高考数学二轮复习每日一题规范练(第六周)理

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高考理科数学二轮复习课时作业1-6-2

课时追踪训练1．若曲线 ax2＋ by2＝1 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数a， b 知足 ()A ． a2＞ b2 B.1＜1 a bC． 0＜ a＜ b D． 0＜ b＜ a22x 轴上，所以1＞1＞ 0，所以 0＜ a＜ b.分析：由 ax2＋ by2＝1，得x＋y＝ 1，因为焦点在11 a ba b答案： C2．(2014 年新课标卷Ⅰ )已知抛物线C： y2＝ 8x 的焦点为 F ，准线为 l， P 是 l 上一点， Q是直线 PF 与 C 的一个交点．若→→FP＝ 4FQ ，则 |QF |＝()75 A. 2 B.2 C． 3D． 2分析：过点 Q 作 QQ′⊥ l 交 l 于点→→Q′， (图略 )因为 FP＝ 4FQ ，所以 |PQ|∶ |PF|＝ 3∶ 4，又焦点 F 到准线 l 的距离为4，所以 |QF|＝ |QQ ′|＝3.应选 C.答案： C22y3．(2014 年洛阳模拟 ) 已知 F 1， F2是双曲线x －＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线订交，此中一个交点为P，则 |PF2|＝ ()A ． 6B． 4C． 2D． 1分析：由题意令 |PF 2|－ |PF 1|＝ 2a，由双曲线方程能够求出|PF 1|＝ 4， a＝ 1，所以 |PF 2|＝ 4＋2＝ 6.答案： Ax2y24．(2014 年全国纲领卷 )已知椭圆 C：2＋2＝ 1(a＞ b＞0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率a b为3，过 F2的直线 l 交 C 于 A、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ()3A.x2y2x22＋＝ 1 B. ＋ y＝ 132322D.x2＋y2x＋y＝ 1＝ 1C.128124分析：由椭圆的性质知 |AF1|＋ |AF 2|＝ 2a，|BF 1|＋ |BF2|＝ 2a，∴△ AF 1B 的周长＝ |AF1 |＋ |AF 2|22＋ |BF 1|＋ |BF 2|＝ 4 3，∴ a＝ 3.又 e＝3，∴ c＝ 1.∴ b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x＋y＝ 1，332应选 A.答案： A2 215．(2014 年沈阳模拟 )已知双曲线yx2t 2－3 ＝ 1(t ＞ 0)的一个焦点与抛物线 y ＝x 的焦点重合，8则此双曲线的离心率为()A ． 2 B. 3 C ． 3D ． 4分析：依题意，抛物线1 22＝ 8y 的焦点坐标是 (0,2)，因本题中的双曲线的离心率y ＝ x即 x82＝ 2 ＝ 2，选 A.e ＝ t22－3答案： Ax 2 y 2x 2 y 2＝ 1 的两个极点，且焦距是6．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的极点恰巧是椭圆 9 ＋ 5 6 3，则此双曲线的渐近线方程是()1B ． y ＝ ± 2xA ． y ＝ ± x22C ． y ＝ ± 2xD ． y ＝ ±2x分析：由题意知双曲线中， a ＝ 3， c ＝ 3 3，所以 b ＝ 3 2，所以双曲线的渐近线方程为yb ＝ ±a x ＝± 2x.答案： C227．(2014 年重庆高考 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x2－ y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点，双曲ab线上存在一点P 使得 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 3b ，|PF 1| |PF · 2|＝ 9ab ，则该双曲线的离心率为()445A. 3B.39C.4D ． 3分析：由双曲线的定义得 ||PF 1|－ |PF 2||＝ 2a ，又 |PF 1 |＋|PF 2|＝ 3b ，所以 (|PF 1|＋ |PF 2|)2－ (|PF 1|222222 2＝9ab ，即－ |PF 2|) ＝ 9b － 4a ，即 4|PF 1| ·|PF 2|＝ 9b － 4a ，又 4|PF 1 | |PF · 2|＝ 9ab ，所以 9b － 4a b 2 9b 3b 3b b 4 b 19 a － a － 4＝ 0，则 a ＋ 1 a － 4 ＝ 0，解得 a ＝3 a ＝－3舍去，则双曲线的离心率 e ＝1＋ b 2 ＝ 5.a 3答案： B8．已知点 M(－ 3,2)是坐标平面内必定点，若抛物线y 2＝ 2x 的焦点为 F ，点 Q 是该抛物线上的一动点，则 |MQ|－ |QF |的最小值是 ()7A. 2B ． 35C.2D ． 2分析：抛物线的准线方程为x ＝－ 1，由图知，当MQ ∥ x 轴时， |MQ |－ |QF |获得最小值，215此时 |QM|－ |QF|＝ |2＋ 3|－ 2＋ 2 ＝ 2，选 C.答案： C9．过抛物线 y 2＝ 2px( p ＞0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B 、C 两点， l 与抛物线的准线交→ →)于点 A ，且 |AF|＝ 6， AF ＝ 2 FB ，则 |BC|＝ (9A. 2 B ． 613C. 2D ． 8分析：不如设直线πl 的倾斜角为 θ，此中 0＜ θ＜，点 B(x 1， y 1)、 C(x 2， y 2)，则点 B 在 x2轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有 |BF |＝ |BB 1|＝ 3，|AF|＝ p，|AB| |BB 1|由此得 p ＝ 2，抛物线方程是y 2＝ 4x ，焦点 F(1,0)， cos θ＝ p＝ p ＝2＝ 1， sin θ＝ 1－ cos 2θ＝|AF| 6 6 3 2 2， tan θ＝ sin θ2，直线 l ： y ＝ 2 2(x － 1)．由y ＝ 2 2 x －得 8(x － 1) 2 ＝ 4x ，即3 ＝ 2y 2＝ 4xcos θ2x 2－ 5x ＋ 2＝0， x 1＋ x 2＝ 5， |BC|＝ x 1＋ x 2＋ p ＝5＋ 2＝ 9，选 A.22 2答案： A10． (2014 年湖北高考 )已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， π()且∠ F 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为34 32 3A. 3B. 3C ． 3D ． 2分析：假设焦点在 x 轴上，点 P 在第一象限， F 1 ，F 2 分别为左、右焦点．设椭圆的方程22 22为x2y2x 2 y 2＝ 1(m ＞0，n ＞ 0)，它们的离心率分别为e 1，e ，a ＋b ＝ 1(a ＞b ＞ 0)，双曲线的方程为 m － n 2π 则 |PF 1|＝a ＋ m ，|PF 2|＝ a －m ，在△ PF 1F 2 中， 4c 2＝ (a ＋ m)2＋ (a － m)2－ 2(a ＋ m)(a － m)cos ? a 2322 a 2 m 2 ＝ 4，则 a 2 m 2 1＋ 1 a m 21 ＋ 1 ＝ a m 4 3，当且仅＋ 3m＝4c ?＋ 3c ＋ 3 c 3 ≥ ＋?＋ ≤ 3cc c ce 1 e 2 c c当 a ＝ 3m 时，等号建立，应选 A.答案： A11．(2014 年唐山模拟 )C 是以原点 O 为中心，焦点在 y 轴上的等轴双曲线在第一象限的部分，曲线 C 在点 P 处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则 ( )1A ． |OP|＝ 2|AB|B ． |OP|＝ |AB|1C.2|AB|＜ |OP|＜ |AB|1D ． |OP|＜ 2|AB|y ＝ kx ＋ m分析：设过点 P 的切线为 y ＝ kx ＋ m ，由222 ，消去 y 得： (kx ＋ m)2－ x 2＝a 2，即 (k 2y － x ＝ a－ 1)x 2＋ 2kmx ＋ m 2 － a 2＝ 0，∵直线与曲线相切，故＝ 0，由求根公式可知x ＝km ，∴P 2 1－kPkm 2 ， m2 .∵y ＝kx ＋ m y ＝x ，1－k1－ km ， my ＝ kx ＋ m∴可取 B 1－ k1－ k ，∵ y ＝－ x，∴可取 A－ mm，∴ x P ＝x A ＋ x B ，y P ＝ y A ＋ y B，∴ P 为 AB 的中点，∠ AOB ＝ 90°，∴，k ＋1 2 2k ＋ 11|OP|＝ 2|AB|.答案： Ax y2212．已知直线 a ＋b ＝ 1(a ，b 是非零常数 )与圆 x ＋ y ＝ 100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．52 条B ．60 条C ．66 条D ．78 条分析：因为知足 x 2＋ y 2＝ 100 的整数点 (x ，y)有 12 个，它们分别为 ( ±10,0)，( ±6，±8) ，( ±8，x ＋ y＝ 1 与圆的交点一定经过这些点，但a ，b 为非零常数，故在以这±6)， (0， ±10)，故直线 a b些点为公共点的直线中有这样几类：一类公共点为2 个点，去除垂直坐标轴和经过原点的直线，共有 C 2 － 10－4＝ 52 条；一类为公共点为1 个点 (即圆的切线 )，相同去除垂直坐标轴的12直线，共有 8 条．综上，所求的直线共有60 条，应选 B.答案： B13．已知点 F(1,0)是抛物线 C： y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点，则 p＝________.分析：由题意可得p＝1，解得 p＝ 2. 2答案： 214． (2014 年南京模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，若中心在座标原点的双曲线的一条准线方程为 x＝1，且它的一个极点与抛物线y2＝－ 4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为2________．分析：抛物线 y2＝－ 4x的焦点为 (－ 1,0)，所以双曲线的一个极点为(－ 1,0)，即 a＝ 1，又因为双曲线的一条准线方程为x＝1，所以a2＝1，故 c＝ 2，b＝ 3，则该双曲线的渐近线方程2c2为 y＝± 3x.答案： y＝± 3x22x2y22＋ y2＝ a2的两条切线，记切点分别15．过双曲线a－b＝ 1(a＞ 0，b＞0)的左焦点 F 作圆 x为 A， B，双曲线的左极点为C，若∠ ACB＝ 120°，则双曲线的离心率e＝________.分析：如下图，依据题意以及双曲线的几何性质，|FO |＝ c， |OA|＝ |OC|＝ a，而∠ ACB ＝120°，∴∠ AOC＝ 60°，又 FA 是圆 O 的切线，故 OA⊥FA，在 Rt△FAO 中，简单获得 |OF |＝2a，∴ e＝c＝ 2. a答案： 216．设 e1， e2分别是拥有公共焦点F1， F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点， O 是 F 1F 2的中点，且知足 |PO|＝ |OF2|，则e1e2＝ ________.e12＋ e22分析：由 |PO |＝ |OF 2|＝ |OF1|可知，△PF1F2为直角三角形，所以|PF 1|2＋ |PF2|2＝ 4c2.又|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a椭PF1|＋|PF222，即＝ 4a椭，||PF1|－ |PF 2||＝ 2a双PF1|－|PF222＝ 4a双22①4c ＋ 2|PF 1| |PF·2|＝4a椭，22②4c － 2|PF1 | |PF·2|＝4a双222①＋②得a椭＋ a双＝ 2c .又 e1＝c，e2＝c，所以a椭a双答案：222e1e2cc c2a ·a22＝椭双2＝22＝2＝.c22 e1＋ e2＋c a椭＋ a双2c22a椭a双。

2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：每日一题规范练(第一周)

所以(b＋c)2＝16，故 b＋c＝4.
星期二 2020年3月24日 [题目 2] 在公差不为 0 的等差数列{an}中，a1，a4，a8 成等比数列，
数列{an}的前 10 项和为 45.
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)若 bn＝anan＋1，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由 a1，a4，a8 成等比数列可得， a24＝a1·a8，(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，所以 a21＋6a1d＋9d2＝a21＋7a1d. 因为 d≠0，所以 a1＝9d. 由数列{an}的前 10 项和为 45，得 S10＝10a1＋45d＝45，则 90d＋45d＝45，
星期三 2020年3月25日 [题目 3] 某市在 2019 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据
统计显示，全市 10 000 名学生的成绩服从正态分布 N(120，25)，现某
校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析，结果这 50 名学生的成绩全
部介于 85 分至 145 分之间，现将结果按如下方式分为 6 组，第一组
故 d＝1，a1＝9×1＝3.
3
3
因此数列{an}的通项公式 an＝n＋8. 3
( ) (2)bn＝ana1n＋1＝（n＋8）9（n＋9）＝9 n＋1 8－n＋1 9 .
所以
Tn
＝
9(1－ 9
1＋ 10
1－ 10
1＋ 11
1－ 11
1＋ 12
…
＋
1－ n＋8
1 n＋9)
＝
9
( ) 19－n＋1 9 ＝1－n＋9 9＝n＋n 9.
于是 n＝(2，－2，－2)，P→A＝(1，1，－2)．

2018届高考数学理二轮专题复习：规范练5-2-6 含答案

大题规范练(六)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积．解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213，∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×12×398＝3394.2．(本小题满分12分)如图(1)，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝90°，CD ＝4.把△ABD 沿BD 折起，使A ，C 两点间的距离为2 2.记BD 的中点为E ，如图(2)．(1)求证：平面ACE ⊥平面BCD ；(2)求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得CB ＝CD ＝4，AB ＝AD ＝42，AE ⊥BD ，CE ⊥BD .又AE ∩CE ＝E ，因此BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BCD ，因此平面ACE ⊥平面BCD .(2)如图，以CB ，CD 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点C 垂直于平面CBD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz ，则C (0,0,0)，B (4,0,0)，D (0,4,0)，设A (x 1，y 1，z 1)(z 1＞0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC 2＝8AB 2＝32AD 2＝32，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋z 21＝8x 1－2＋y 21＋z 21＝32x 21＋y 1－2＋z 21＝32z 1＞0，由此解得x 1＝y 1＝－1，z 1＝6，故A (－1，－1，6)，CA →＝(－1，－1，6)，AD →＝(1,5，－6).CB →＝(4,0,0)设a ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ABC 的法向量，则有 ⎩⎨⎧a ·CB →＝0a ·CA →＝0，即⎩⎨⎧4x 2＝0－x 2－y 2＋6z 2＝0，故x 2＝0，y 2＝6z 2.取z 2＝1得a ＝(0，6，1)．设直线AD 与平面ABC 所成的角为β，则sin β＝|cos 〈a ，AD →〉|＝|a ·AD →||a ||AD →|＝217，即直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)当今时代，智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁，其中的一款软件——微信更是逐渐成为人们交流的一种方式．某机构对人们使用微信交流的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表：的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？4人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据如下：参考公式：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)2×2列联表如下：K 2＝10×40×35×15≈9.524＞6.635，所以有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． (2)依题意得ξ的所有可能取值分别为0,2,4，且P (ξ＝0)＝C 22C 25·C 24C 25＋C 12·C 13C 25·C 14·C 11C 25＝30100＝0.3，P (ξ＝4)＝C 23C 25·C 24C 25＝0.18，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝4)＝0.52.因此，ξ的分布列是所以ξ的期望E (ξ)4．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a ＞2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM面积的比．解：(1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离， ∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， ∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y ＞0时，y ＝2x ，∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点的切线方程为l 1：y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02，令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)，点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小．此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 的面积之比为1∶4.解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在，设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0y 2＝4x，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k y 0－y 20＝0得(2－ky 0)2＝0，即k ＝2y 0.∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.(下同解法一)5．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋ax ＋2，g (x )＝－2cos x －x ＋(x ＋1)ln(x ＋1)． (1)若直线y ＝－4x 是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的值；(2)若对任意x 1∈[1,2]，都存在x 2∈(－1,1]，使得f (x 1)－g (x 2)＞3a ＋4成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋a .设直线y ＝－4x 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，－4x 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－4x 0＝x 30＋ax 0＋23x 20＋a ＝－4，解得x 0＝1，a ＝－7.(2)g ′(x )＝2sin x －1＋ln(x ＋1)＋1＝2sin x ＋ln(x ＋1)，∵当x ∈(－1,1]时，y ＝2sin x 及y ＝ln(x ＋1)均为增函数，∴g ′(x )在(－1,1]上为增函数，又g ′(0)＝0，∴当x ∈(－1,0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(0,1]时，g ′(x )＞0，从而g (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴g (x )在(－1,1]上的最小值为g (0)＝－2.依题意得，当x ∈[1,2]时，f (x )min ＞3a ＋4＋g (0)＝3a ＋2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝3x 2＋a ∈[a ＋3，a ＋12]．当a ＋3≥0，即a ≥－3，x ∈[1,2]时，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，于是有a ＋3－3a ＞2(a ≥－3)，解得－3≤a ＜12.当a ＋12≤0，即a ≤－12，x ∈[1,2]时，f (x )单调递减，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋10，于是有2a ＋10－3a ＞2(a ≤－12)，解得a ≤－12.当－12＜a ＜－3，x ∈[1,2]时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，－a 3上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a3，2上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋2，于是有2a 3－a3＋2－3a ＞2(－12＜a ＜－3)，解得－12＜a ＜－3.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. 请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4. 7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若存在x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|＜3成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x ＜2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a －(2x－4)|＝|a＋4|.因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min＜3，所以|a＋4|＜3，解得－7＜a＜－1，故实数a的取值范围为(－7，－1)．。

高考数学二轮复习课时规范练(第二周)理

规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知a ，b 分别是△ABC 内角A ，B 的对边，且b sin 2A ＝3a cos A sin B ，函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A 2sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求A ；(2)求函数f (x )的值域．解：(1)在△ABC 中，b sin 2A ＝3a cos A sinB ，由正弦定理得，sin B sin 2A ＝3sin A cos A sinB ，所以tan A ＝sin A cos A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝32cos 2x －14sin 2x ＝34(1＋cos 2x )－14sin 2x ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋34＝34－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以3－24≤－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34≤ 32，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－24，32. [题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)． (1)证明：{a n }是等比数列；(2)在a n 和a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列．记插入的n 个数的和为T n ，求T n 的最大值．(1)证明：因为3a n ＋S n ＝4，所以S n ＝4－3a n (n ∈N *)，所以，当n ≥2时，有S n －1＝4－3a n －1，上述两式相减，得a n ＝－3a n ＋3a n －1，即当n ≥2时，a n a n －1＝34. 又n ＝1时，a 1＝4－3a 1，a 1＝1.所以{a n }是首项为1，公比为34的等比数列．(2)解：由(1)得a n ＝a 1·q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，所以T n ＝n （a n ＋a n ＋1）2＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＝7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，因为T n ＋1－T n ＝7（n ＋1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝7（3－n ）32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，所以T 1＜T 2＜T 3，T 3＝T 4，T 4＞T 5＞T 6… 所以T n 的最大值为T 3＝T 4＝189128.[题目3] (本小题满分12分)如图，在直角梯形BB 1C 1C 中，∠CC 1B 1＝90°，BB 1∥CC 1，CC 1＝B 1C 1＝2BB 1＝2，D 是CC 1的中点．四边形AA 1C 1C 可以通过直角梯形BB 1C 1C 以CC 1为轴旋转得到，且二面角B 1CC 1A 为120°.(导学号 54850154)(1)若点E 是线段A 1B 1上的动点，求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角B AC A 1的余弦值．(1)证明：如图所示，连接B 1D ，DA 1.由已知可得BB 1綊12CC 1綊CD ，所以四边形B 1BCD 是平行四边形，所以B 1D ∥BC . 又BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ；所以B 1D ∥平面ABC . 同理可得DA 1∥平面ABC .又A 1D ∩DB 1＝D ，所以平面B 1DA 1∥平面ABC . 因为DE ⊂平面B 1DA 1，所以DE ∥平面ABC .(2)解：作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则C 1(0，0，0)，A 1(3，－1，0)，B (0，2，1)，C (0，0，2)，A (3，－1，1)．CA →＝(3，－1，－1)，CB →＝(0，2，－1)，C 1C →＝(0，0，2)．设平面ABC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0m ·CB →＝0，即⎩⎨⎧3x 1－y 1－z 1＝02y 1－z 1＝0.取m ＝(3，1，2)．设平面A 1ACC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0n ·C 1C →＝0，即⎩⎨⎧3x 2－y 2－z 2＝02z 2＝0.取n ＝(1，3，0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝238×4＝64.所以二面角B AC A 1的余弦值是64. [题目4] (本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室．假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为p (0＜p ＜1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A ，若化验结果呈阳性则含A ，呈阴性则不含A .若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A 时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．(1)若p ＝13，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由．解：(1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为1927.(2)设q ＝1－p ，则0＜q ＜1.方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，P (Y ＝2)＝q 4，P (Y ＝4)＝C 12(1－q 2)q 2，P (Y ＝6)＝(1－q 2)2，E (Y )＝2×q 4＋4×C 12(1－q 2)q 2＋6×(1－q 2)2＝6－4q 2.方案二：设所需化验的次数为Z ，则Z 的所有可能取值为1，5，P (Z ＝1)＝q 4，P (Z ＝5)＝1－q 4， E (Z )＝1×q 4＋5×(1－q 4)＝5－4q 4.因为E (Y )－E (Z )＝6－4q 2－(5－4q 4)＝(2q 2－1)2≥0，即E (Y )≥E (Z )，所以方案二更适合．[题目5] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，设点F 1，F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B ，P 为椭圆C 上三点，满足OP →＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M ，N 两点，求|MN |.解：(1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2.故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OP →＝35OA →＋45OB →，所以OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2，由于点P 在椭圆C 上，故有18⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 22＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 22＝1，925⎝ ⎛⎭⎪⎫x 218＋y 214＋1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x 228＋y 224＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即925＋1625＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0. 令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22.因A ，B 在椭圆C 上，故有相加有x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2.故（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2，由于x 1x 28＋y 1y 24＝0，故（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－43，x 3x 4＝－23.故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453.法二设A (22cos α，2sin α)，B (22cos β，2sin β)，因为OP →＝35OA →＋45OB →，所以OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫62cos α＋82cos β5，6sin α＋8sin β5，因为点P 在椭圆上，所以(3cos α＋4cos β)2＋(3sin α＋4sin β)2＝25，所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以cos(α－β)＝0，所以α－β＝π2，所以B (22sin α，－2cos α)，所以AB 中点Q 的坐标为(2cos α＋2sin α，sin α－cos α)，设Q 的点坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos α＋2sin α，y ＝sin α－cos α，所以x 22＝cos 2α＋2cos αsin α＋sin 2α＝1＋2cos αsin α，y 2＝cos 2α－2cos αsin α＋sin 2α＝1－2cos αsin α，所以x 22＋y 2＝2，即线段AB 中点Q 的轨迹为E 的方程为x 24＋y 22＝1.设M ，N 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝x ＋1，消y ，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝－23，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 453. [题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －1x＋b .(导学号 54850155)(1)若函数g (x )＝f (x )＋2x为减函数，求a 的取值范围；(2)若f (x )≤0恒成立，证明：a ≤1－b .(1)解：因为g (x )＝f (x )＋2x ＝ln x ＋ax ＋1x＋b ，x ＞0.所以g ′(x )＝1x ＋a －1x2，x ＞0.因为g (x )为减函数，所以g ′(x )≤0恒成立．则a ≤1x 2－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14恒成立．所以a ≤－14.(2)证明：f ′(x )＝1x ＋1x 2＋a ＝ax 2＋x ＋1x2(x ＞0)，令y ＝ax 2＋x ＋1，当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (x )≤0恒成立；当a ＜0时，Δ＝1－4a ＞0，当ax 2＋x ＋1＝0，得x ＝－1－1－4a 2a ＞0或x ＝－1＋1－4a 2a＜0，设x 0＝－1－1－4a2a ，函数f (x )在(0，x 0)上单调递增；在(x 0，＋∞)上单调递减．又f (x )≤0恒成立，所以f (x 0)≤0，即ln x 0＋ax 0－1x 0＋b ≤0.由上式可得b ≤1x 0－ax 0－ln x 0，由ax 20＋x 0＋1＝0，得a ＝－x 0＋1x 20，所以a ＋b ≤1x 0－ax 0－ln x 0－x 0＋1x 20＝－ln x 0＋1x 0－1x 20＋1.令t ＝1x 0，t ＞0，h (t )＝ln t ＋t －t 2＋1，h ′(t )＝1＋t －2t 2t ＝－（2t ＋1）（t －1）t，当0＜t ＜1时，h ′(t )＞0，函数h (t )在(0，1)上单调递增，当t ≥1时，h ′(t )≤0，函数h (t )在(1，＋∞)上单调递减，h (t )≤h (1)＝1.故a ＋b ≤1，即a ≤1－b .[题目7] 请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的参数方程为错误!(α为参数)，普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，因为点A 的极坐标为(23，θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝2π3.(2)直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，普通方程为x ＋错误!y －4错误!＝0，点A 的直角坐标为(－3，3)，射线OA 的方程为y ＝－3x ，代入x ＋3y －43＝0，可得B (－23，6)，因此|AB |＝（－3＋23）2＋（3－6）2＝2 3. 2．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集．解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≤4，当x ≤－32时，不等式可化为－x －32－x ＋32≤4，所以x ≥－2，所以－2≤x ≤－32；当－32＜x ＜32时，不等式化为x ＋32－x ＋32≤4恒成立；当x ≥32时，不等式可化为x ＋32＋x －32≤4，所以x ≤2，所以32≤x ≤2.综上所述，不等式的解集为[－2，2]．。

2018届高考数学理二轮专题复习限时规范训练：第一部分

限时规范训练十六圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，①又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9， ②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |，又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8，所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号，即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝ 4.答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

高考数学二轮复习每日一题规范练(第五周)理

化简得4a 6＝a 4，设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a6a4＝14，因为a n ＞0(n ∈N *)，所以q ＞0，所以q ＝12，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－2.(2)由(1)得，b n ＝log 12a 2n －1＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122n－3＝2n －3，设C n ＝2bnbn＋1＝2（2n－3）（2n－1）＝12n－3－12n－1，所以T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝(1－1－11)＋(11－13)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋(12n－3－12n－1)＝－1－12n－1＝－2n2n－1. [题目3](本小题满分12分)某部门为了了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率； (2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布和数学期望．解：(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C14C28C312＋C38C312＝168220＝4255. (2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0，1，2，3，易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，P (X ＝k )＝Ck 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫233－k，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49， P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为X 0123P827 49 29 127数学期望E (X )＝3×13＝1. [题目4](本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°.(1)证明：AD ⊥BA 1；(2)若平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且A 1D ＝AB ，求直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值．(1)证明：取AD 中点O ，连接OB ，OA 1，BD ，如图1.图1因为AA 1＝A 1D ，所以AD ⊥OA 1.又∠ABC ＝120°，AD ＝AB ，所以△ABD 是等边三角形，所以AD ⊥OB ，所以AD ⊥平面A 1OB ，因为A 1B ⊂平面A 1OB ，所以AD ⊥A 1B . (2)解：因为平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ，又A 1O ⊥AD ，所以A 1O ⊥平面ABCD ，所以OA 、OA 1、OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OA 1所在射线为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系O xyz ，设AB ＝AD ＝A 1D ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，0，3)，B (0，3，0)，D (－1，0，0)．则DA1→＝(1，0，3)，DC →＝AB →＝(－1，3，0)，BA1→＝(0，－3，3)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝x－3y＝0，n ·DA1→＝x＋3z＝0，令x ＝3，则y ＝1，z ＝－1，所以n ＝(3，1，－1)．设直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BA1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA1→|n||BA1→|＝|－3－3|5·6＝105.。

20届高考数学(理)二轮复习第2部分专题6 规范答题示例6

典例6 (12分)(2019·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数，证明： (1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2上存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点. 审题路线图(1)设g (x )＝f ′(x )→对g (x )求导→得出g (x )的单调性，得证(2)对x 进行讨论→分四个区间(－1，0]，⎝⎛⎦⎤0，π2，⎝⎛⎦⎤π2，π，(π，＋∞)，根据用导数判断函数单调性来确定零点个数评分细则第(1)问：对函数f (x )两次求导给2分；判断出新函数g ′(x )的单调性给1分；确定g (x )存在唯一极大值点给1分；结论给1分.第(2)问：求出f (x )定义域给1分；确定区间(－1,0]上的零点个数给1分；确定区间⎝⎛⎦⎤0，π2上的零点个数给2分，确定区间⎝⎛⎦⎤π2，π上的零点个数给1分；确定区间(π，＋∞)上的零点个数给1分；结论给1分.跟踪演练6 (2019·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明：曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线.(1)解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞).因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增.因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)上有唯一零点x 1，即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f ⎝⎛⎭⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)上有唯一零点1x 1. 综上，f (x )有且仅有两个零点.(2)证明因为1x 0＝0ln e x－，故点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x 上.由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，连接AB ，则直线AB 的斜率 k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x 在点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线.。

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

高考数学二轮复习大题规范天天练第一周星期六综合限时练文(2021年整理)

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星期六(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟）1。

（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别是a，b，c，已知A＝错误!,b2－a2＝错误!c2。

(1）求tan C的值;(2）若△ABC的面积为3，求b的值。

解(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－错误!＝错误!sin2C.所以－cos 2B＝sin2C。

又由A＝错误!，即B＋C＝错误!π，得－cos 2B＝－cos错误!＝sin 2C＝2sin C cos C，解得tan C＝2.(2）由tan C＝2,C∈(0，π）得sin C＝错误!，cos C＝错误!,又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin错误!，所以sin B＝310 10,由正弦定理得c＝错误!b,又因为A＝错误!，错误!bc sin A＝3，所以bc＝6错误!，故b＝3。

2。

（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用x n表示编号为n （n＝1，2,…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率。

2019高考数学(理科)二轮专题大题规范练六

大题规范练(六)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)已知f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )图象的对称中心；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在[0，π]上的单调递增区间．解：(1)f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin x －12cos x ＋1＝34sin 2x －12×1＋cos 2x2＋1 ＝34sin 2x －14cos 2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0，得2x －π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，34(k ∈Z )．(2)由题意知g (x )＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴g (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.2．(本题满分12分)在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos)合作，调查了腾讯服务的6 000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”．(1)根据上述样本数据，列出2×2列联表，判断是否有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关？(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 k 01.3232.0722.7063.841解：(1)K 2＝60×（10×12－30×8）218×42×40×20≈1.429＞1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关．(2)用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为1860＝310，ξ的可能取值为0，1，2，3，由题意，得到ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310，P (ξ＝k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103－k，k ＝0，1，2，3，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝9001 000＝910.3．(本题满分12分)已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2，AD ＝2，AB ＝1，如图1所示，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置得三棱锥P BCD ，如图2所示．(1)求证：BD ⊥PC ；(2)当平面PBD ⊥平面PBC 时，求二面角P DC B 的大小．解：(1)在图1中，连接AC，交BD于点G，因为∠CDA＝∠DAB＝90°，所以tan∠CAD＝CDAD＝2，tan∠DBA＝ADAB＝2，所以∠CAD＝∠DBA，因为∠CAD＋∠BAG＝90°，所以∠DBA＋∠BAG＝90°，所以BD⊥AC.所以将△ABD沿BD折起到△PBD的位置后，仍有BD⊥PG，BD⊥CG，如图2所示，又PG∩CG＝G，所以BD⊥平面PCG，又PC⊂平面PCG，所以BD⊥PC.(2)因为平面PBD⊥平面PBC，PB⊥PD，平面PBD∩平面PBC＝PB，PD⊂平面PBD，所以PD⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以PD⊥PC，又BD⊥PC，BD∩PD＝D，所以PC⊥平面PBD，所以BP⊥CP.以P为坐标原点，PC，PB，PD所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图3所示，则P(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(0，0，2)，BD→＝(0，－1，2)，BC→＝(2，－1，0)，易知平面PCD 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BCD 的法向量，则 ⎩⎨⎧BD →·n ＝0，BC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，2x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝1，得n ＝(1，2，1)是平面PCD 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝22，易知二面角P DC B 为锐角，所以二面角P DC B 的大小为45°.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝－2＋at (t 为参数)，在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的普通方程．解：(1)消去参数t 化简得直线l 的普通方程为ax －y ＋2a －2＝0.ρ＝4sin θ ⇒ρ2＝4ρsin θ⇒x 2＋y 2＝4y ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)得圆C 的圆心C (0，2)，半径r ＝2，又|AB |＝22，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|2a －4|a 2＋1＝r 2－14|AB |2，即|2a －4|a 2＋1＝2，化简得a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7或a ＝1， ∴直线l 的方程是7x －y ＋12＝0或x －y ＝0. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )＋|x |≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|x －1|，若关于x 的不等式f (x )＋g (x )＜3有解，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x |≤6，即|2x －2|＋|x |≤6，当x ≤0时，原不等式化为2－2x －x ≤6，得x ≥－43，∴－43≤x ≤0.当x ≥1时，原不等式化为2x －2＋x ≤6，得x ≤83，∴1≤x ≤83.当0＜x ＜1时，原不等式化为2－2x ＋x ≤6，得x ≥－4， ∴0＜x ＜1.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－43≤x ≤83.(2)由题意得[f (x )＋g (x )]min ＜3，而f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|x －1|，①当a2≥1时，f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a －1，x ＝a2－x ＋a －1，1≤x ＜a 2a ＋1－3x ，x ＜1. 当x ＝a 2时，f (x )＋g (x )＝a2－1.②当a 2＜1时，f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a －1，x ＝1x ＋1－a ，a 2≤x ＜1a ＋1－3x ，x ＜a2.当x ＝a 2时，f (x )＋g (x )＝1－a2.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1＜3⇒－4＜a ＜8. 故不等式f (x )＋g (x )＜3有解时，实数a 的取值范围为(－4，8)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题六解析几何1-6-2(含答案)

2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)

限时规范训练一集合、常用逻辑用语限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．集合A ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}的真子集个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选C.A ＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.2．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3，∴A ∩B ＝{0,1,2}，A ∩B 中有3个元素，故选B. 3．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：选C.集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C. 4．已知p ：a ＜0，q ：a 2＞a ，则﹁p 是﹁q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p ：a ≥0，﹁q ：0≤a ≤1，所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ，所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0解析：选D.若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋a b ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．6．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1＜x ≤1B ．x ≤1C ．x ＞－1D ．－1＜x ＜1解析：选D.由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x ∉B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin (－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.8．已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则﹁p 为( ) A ．∃x ∈R ，e x－x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1＞0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1＞0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0解析：选C.特称命题的否定是全称命题，所以﹁p ：∀x ∈R ，e x－x －1＞0.故选C. 9．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0解析：选D.令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.10．命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＞2；命题q ：命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(﹁p )∨(﹁q )真，p ∧q 假，(﹁p )∧q 真，p ∨(﹁q )假．11．下列说法中正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x＞0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x 2＋2x )min ≥(ax )max ” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题解析：选B.全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，﹁p (x )”，故命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x≤0”，A 错；命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，是真命题，故原命题是真命题，B 正确；“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x ＋2)min ≥a ”，由此可知C 错误；命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为“若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝－1”，而函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点⇔a ＝0或a ＝－1，故D 错．故选B.12．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________．解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1.答案：(1，＋∞)14．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)15．设集合S ，T 满足∅≠S ⊆T ，若S 满足下面的条件：(i)对于∀a ，b ∈S ，都有a －b ∈S 且ab ∈S ；(ⅱ)对于∀r ∈S ，n ∈T ，都有nr ∈S ，则称S 是T 的一个理想，记作S ⊲T .现给出下列集合对：①S ＝{0}，T ＝R ；②S ＝{偶数}，T ＝Z ；③S ＝R ，T ＝C (C 为复数集)，其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________．解析：①(ⅰ)0－0＝0,0×0＝0；(ⅱ)0×n ＝0，符合题意．②(ⅰ)偶数－偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；(ⅱ)偶数×整数＝偶数，符合题意． ③(ⅰ)实数－实数＝实数，实数×实数＝实数；(ⅱ)实数×复数＝实数不一定成立，如2×i＝2i ，不合题意．答案：①②16．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0；当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求．当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时不符合第①条的要求．当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－m ＋，2m ＜－4，－m ＋＜1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－m ＋＜2m ，2m ＜1，－m ＋＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2)限时规范训练二平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选 B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选 A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选 C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知， AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB→＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －2＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形．设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233限时规范训练三算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( )A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选 D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.根据程序框图知，当i ＝4时，输出S .第1次循环得到S ＝S 0－2，i ＝2；第2次循环得到S ＝S 0－2－4，i ＝3；第3次循环得到S ＝S 0－2－4－8，i ＝4.由题意知S 0－2－4－8＝－4，所以S 0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A ．x ＞3B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ≤5解析：选B.输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x ＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为()A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a＝1－(－1)＝2，i＝3＋1＝4，i≥2 019不成立；…，由此可知a是以3为周期出现的，结束时，i＝2 019＝3×673，此时a＝－1，故选A.7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，解得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16B．k＜8C．k＜16 D．k≥8解析：选 A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．9．如图所示的程序框图中，输出S＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；M ＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率P＝710，故选D.12．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α解析：选C.g(x)＝g′(x)，即x＝1，所以α＝1；h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝1x＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b ＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x∈[2,30]，经过第一次循环得到x＝2x＋1，n＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x＋1)＋1，n＝3；经过第三次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，此时输出x，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914.16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322限时规范训练四函数的图象与性质限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝x ＋x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意，x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 016D ．2 018解析：选D.令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 4．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B.因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．6．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x3＋x＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x 3＋－x ＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x 3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4ax －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1.令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选B.函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1＜20.3＜2＜log 25，∴c ＞b ＞a ，故选B. 11．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：选A.∵x ∈(0,4)，∴x ＋1＞1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 29x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.12．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x－12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x－12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，g (x )在[－k ，k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数， ∴a ＋b ＝0，故m ＋n ＝4.(a ＋2)＋(b ＋2)＝a ＋b ＋4＝4. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3214．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期是4，所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴，所以f (0)＝f (2)．由1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x ≤3时，函数f (x )单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．答案：f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2x －m ，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1＜x 1＋x 2＋x 3＜8，所以2＜x 3＜9.结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1限时规范训练五不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ；④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12 解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x－y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)限时规范训练六导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝ax＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)．而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 28．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x ＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝2x ＋3－x ＋2x ＋1.(1)求证：当x ＝0时，f (x )取得极小值；(2)是否存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ＞－12时，f ′(x )＝2－2－x ＋x ＋2＝8x 2＋8x ＋x ＋x ＋2.设F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)，则f ′(x )＝F x x ＋2.当x ＞－12时，y ＝8x 2＋8x ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2是单调递增函数，y ＝2ln(2x ＋1)也是单调递增函数．∴当x ＞－12时，F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)单调递增．∴当－12＜x ＜0时，F (x )＜F (0)＝0，当x ＞0时，F (x )＞F (0)＝0.∴当－12＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值．(2)由(1)知f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，若存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]，则f (m )＝m ，f (n )＝n ，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n .∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n . 设H (x )＝2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)，则 H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1.当x ＞0时，2x ＋1＞0,8x 2＋18x ＋5＞0， ∴H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1＞0.∴H (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，即当x ≥0时，H (x )≥H (0)＝3. ∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上没有实数根． ∴不存在满足条件的实数m ，n .11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．。

【高中教育】2020高考数学二轮复习小题限时练六理

【20xx精选】最新高考数学二轮复习小题限时练六理
(建议用时：40分钟)
1。

已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则M∩N＝________。

解析{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}。

答案{2，3}
2。

为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了
该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，
则该组数据的方差为________。

解析平均数＝＝18，故方差s2＝(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5。

答案5
3。

已知复数z满足(z－2)i＝1＋i(i为虚数单位)，则z的模为
________。

解析由(z－2)i＝1＋i，得z＝＋2＝3－i，所以|z|＝。

答案10
4。

如图是一个算法的流程图，则最后输出的S＝________。

解析这是一个典型的当型循环结构，
当n＝1，3，5，7，9，11时满足条件，
执行下面的语句，S＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S＝36。

答案36
5。

已知m∈{－1，0，1}，n∈{－1，1}，若随机选取m，n，则直线mx＋ny＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是________。

高考数学二轮复习每日一题第六周规范练文-人教版高三全册数学试题

每日一题规X 练(第六周)[题目1] (本小题满分12分)在△ABC 中，2b －ca＝cos Ccos A. (1)求∠A 的大小；(2)若a ＝10，b ＝82，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，由题意，可得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A.所以2sin B cos A ＝cos C sin A ＋sin C cos A ，即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝22. 因为A ∈(0，π)，所以∠A ＝π4.(2)因为a ＝10，b ＝82，所以102＝(82)2＋c 2－2×82×22c ，解之得c ＝14或c ＝2，所以S ＝12bc sin A ＝56或S ＝12bc sin A ＝8.[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)，所以a 1＝S 1＝4＋2p ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n.由于{a n }是等比数列，所以a 1＝4＋2p ＝2，则p ＝－1，因此a n ＝2n(n ∈N *)． (2)由a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，得2n＝22nb n ，所以b n ＝n2n .T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n .①12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n2n ，因此T n ＝2－12n －1－n2n .[题目3] (本小题满分12分)为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽某某”的号召，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，将木兰溪流经市区河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：南岸 77 92 84 86 74 76 81 71 85 87 北岸72877883838575899095(1)记评分在80以上(包括80)为优良．从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率；(2)根据表中数据完成下面茎叶图；(3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？解：(1)从10段中任取一段的基本事件为(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)，(74，83)，(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)共10个，这些基本事件是等可能的．用A 表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A 包含的基本事件为：(92，87)，(86，83)，(85，90)，(87，95)共4个，所以P (A )＝410＝25.(2)根据表中数据完成下面茎叶图(2)南岸10段的分值数据的中位数z 1＝81＋842＝82.5，南岸10段分值数据的平均数：x 1＝（70×4＋1＋4＋6＋7）＋（80×5＋1＋4＋5＋6＋7）＋9210＝81.3.北岸10段分值数据的中位数z 2＝83＋852＝84，北岸10段分值数据的平均数：x 2＝（70×3＋2＋5＋8）＋（80×5＋3＋3＋5＋7＋9）＋（90×2＋0＋5）10＝83.7.由z 1＜z 2，x 1＜x 2，可看出北岸保护更好．[题目4] (本小题满分12分)如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE 是矩形，△ABC 是正三角形，AB ＝1，AE ＝2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF .(1)试确定F 的位置； (2)求三棱锥A CDF 的体积．解：(1)连接BE 交AD 于点O ，连接OF ，因为CE ∥平面ADF ，CE ⊂平面BEC ，平面ADF ∩平面BEC ＝OF ，所以CE ∥OF .因为O 是BE 的中点，所以F 是BC 的中点． (2)因为BC 与平面ABD 所成角为30°，BC ＝AB ＝1，所以C 到平面ABD 的距离为h ＝BC ·sin 30°＝12.因为AE ＝2，所以V A CDF ＝V F ACD ＝12V B ACD ＝12V C ABD ＝12×13×12×1×2×12＝112.[题目5] (本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．(1)解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a 2＋43b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)，则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3，则线段A 2B 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3.① 因为P 是椭圆E 上的点，所以x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0，所以直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x3y（x －x 0），x 23＋y 22＝1，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，因为Δ＝0，所以直线PQ 与椭圆E 相切，故直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ＞0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝2x －a x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x ＞0)．所以，当0＜x ＜a2时，f ′(x )＜0；当x ＞a2时，f ′(x )＞0，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a2ln a2，由题意，可得a 2－a2ln a2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0，记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a ＞0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根；由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0，且0＜a ＜2时，g ′(a )＞0；a ＞2时，g ′(a )＜0. 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点，所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0，所以a ＝2. (2)由条件可得f 2(x )e 2x－6mf (x )e x＋9m ＝0，令h (x )＝f (x )e x＝(x 2－2ln x ) e x，则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x－2ln x e x，令r (x )＝x 2＋2x －2x－2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x ＞2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解，当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件．当Δ＞0时可得m ＜0或m ＞1，所以e 2－6m e ＋9m ≤0，解之得m ≥e 26e －9，综上可知，m 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9. [题目7] 请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)对于曲线C ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .对于l ：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，消去t 可得y ＝13(x －5)，化为一般式可得x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2，0)，半径为2，所以弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，所以弦长|PQ |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7，所以以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37. 2．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|ax －2|. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )＞x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，求m 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|＞x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2＞x ＋1，解得x ＞3. 当x ＜1时，不等式化为2－2x ＞x ＋1，解得x ＜13.综上所述，解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)． (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，因为f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，所以4＜1m ，则0＜m ＜14.故实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。

高考数学二轮复习课时规范练(第一周)理

规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)根据正弦定理得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝37sin 60°＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3.因为sin C ＝3143，c ＜a ，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1314. 在△ABC 中，sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A ·cos C ＋cos A ·sin C ＝32×1314＋12×3314＝437，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×473＝6 3.[题目2] (本小题满分12分)已知在递增数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ，且满足3(S n ＋S n －1)＝a 2n ＋2(n ≥2)．(导学号 54850152)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足log 2b na n＝n ，求其前n 项和T n . 解：(1)因为3(S n ＋S n －1)＝a 2n ＋2(n ≥2)，所以3(S n －1＋S n －2)＝a 2n －1＋2(n ≥3)．两式相减得3(a n ＋a n －1)＝(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1)，由递增数列{a n }，且a 1＝2，得a n －a n －1＝3(n ≥3)．由题意得3(a 1＋a 2＋a 1)＝a 22＋2，且3(a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2)＝a 23＋2，解之得a 2＝5，a 3＝8.由等差数列的通项公式得a n ＝8＋3(n －3)＝3n －1，上式对n ＝1，2也成立，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)数列{b n }满足log 2b n a n＝n ，可得b n ＝(3n －1)·2n，前n 项和T n ＝ 2·2＋5·22＋8·23＋…＋(3n －1)·2n， 2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n －1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝4＋3(22＋23＋ (2))－(3n －1)·2n ＋1＝4＋3·4（1－2n －1）1－2－(3n－1)·2n ＋1，化简可得T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.[题目3] (本小题满分12分)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点．(1)求证：BF ∥平面ADP ； (2)求二面角B DF P 的余弦值．(1)证明：取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ，因为F 是CE 的中点，所以FG 是梯形CDPE 的中位线，因为CD ＝3PE ，所以FG ＝2PE ，因为FG ∥CD ∥AB ，AB ＝2PE ，所以AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，所以BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，所以BF ∥平面ADP .(2)解：法一因为AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDPE ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，设PE ＝1，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，3，0)，D (0，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，2)，所以DB →＝(2，2，0)，又F (0，2，1)，所以DF →＝(0，2，1)，设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝－1，所以n ＝(－1，1，－2)，因为平面PDF 的一个法向量为DA →＝(2，0，0)，且二面角B DF P 的平面角为钝角，所以二面角B DF P 的余弦值为－|cos 〈DA →，n 〉|＝－66.法二因为AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDPE ，过B 作BM ⊥CD 于M ，设PE ＝1，则BM ＝DM ＝2，连接FM ，由(1)得FM ⊥CD ，过M 作MN ⊥DF 于N ，连接BN ，则∠BNM 为所求二面角的平面角的补角，因为DM ＝2，FM ＝1，所以DF ＝5，则MN ＝25，所以tan ∠BNM ＝BM MN＝5，则cos ∠BNM ＝66，所以二面角B DF P 的余弦值为－66.[题目4] (本小题满分12分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”．(1)请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；(3)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)甲班样本数据的平均值为16(9＋11＋13＋20＋24＋37)＝19，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间19小时；乙班样本数据的平均值为16(11＋12＋21＋25＋27＋36)＝22，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间22小时．(2)因为从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜”的概率是13，所以从甲班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜”的概率为P ＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝49.(3)X 的可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝C 24C 23C 26C 26＝225，P (X ＝1)＝C 14C 12C 23＋C 24C 13C 13C 26C 26＝2675， P (X ＝2)＝C 22C 23＋C 24C 23＋C 14C 12C 13C 13C 26C 26＝3175， P (X ＝3)＝C 22C 13C 13＋C 14C 12C 23C 26C 26＝1175， P (X ＝4)＝C 22C 23C 26C 26＝175.X 的分布列是：E (X )＝0×225＋1×75＋2×75＋3×75＋4×75＝3.[题目5] (本小题满分12分)设f (x )＝e x(ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝2.71 828…)．(1)若y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2e x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝e x (ln x －a )＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x－a ，所以由题意，得f ′(1)＝e(1－a )＝2e ，解得a ＝－1.所以f (1)＝e(ln 1－a )＝e ，由切点(1，e)在切线y ＝2e x ＋b 上，得e ＝2e ＋b ，b ＝－e ，故a ＝－1，b ＝－e.(2)由题意可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立．因为e x＞0，所以只需ln x ＋1x－a ≤0，即a ≥ln x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x.因为g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，由g ′(x )＝0，得x ＝1.g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝ln 1e＋e ＝e －1，g (e)＝1＋e，因为e －1＞1＋1e，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1，故a ≥e －1.故实数a 的取值范围是[e －1，＋∞)． [题目6] (本小题满分12分)(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(导学号54850153)(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题意得P (x ，x 2)，－12＜x ＜32.设直线AP 的斜率为k ，故k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 斜率的取值范围为(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12＜x ＜32，则直线AP 的方程为：y ＝kx ＋12k ＋14，直线BQ 的方程为：y ＝－1k x ＋32k ＋94，联立直线AP 与BQ 的方程错误! 点Q 的横坐标是x Q ＝3＋4k －k22k 2＋2，因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2·(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，f ′(k )＞0；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时， f ′(k )＜0，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减．因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[题目7] 在下面两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．1．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t y ＝32t (t 为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M (2，0)，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t y ＝32t (t 为参数)，消去参数，得普通方程y ＝3(x －2)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t y ＝32t (t 为参数)代入y 2＝4x ，整理可得3t 2－8t －32＝0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝83，t 1t 2＝－323.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 2t 1t 2＝14.2．(本小题满分10分)设函数f (x )＝|2x ＋3|－|2x －a |，a ∈R. (1)若不等式f (x )≥5的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，求实数a 的值．解：(1)||2x ＋3|－|2x －a ||≤|2x ＋3－2x ＋a |＝|3＋a |，因为不等式f (x )≥5的解集非空，所以|3＋a |≥5，所以a ≤－8或a ≥2.(2)因为函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －12＝0，所以|2x ＋2|－|2x －1－a |＋|－2x ＋2|－|－2x －1－a |＝0，由于对任意x 为实数均成立，所以a ＝1.。

2020版高考数学二轮复习每日一题规范练第六周文含解析

每日一题规范练(第六周)星期一 2020年4月27日[题目1] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.星期二 2020年4月28日[题目2] 已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值．解：(1)令n ＝1，则a 1－2a 2＋a 3＝0，得a 2＝5. 又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)，故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列．所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 于是b n ＝a 2n －1＝2·2n －1＋1＝2n＋1.(2)由(1)可知，b n ＝2n＋1.于是b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋n ＝2（1－2n）1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2.令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的递增函数．又f (9)＝210＋9－2＝1031，f (10)＝211＋10－2＝2056. 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值是10.星期三 2020年4月29日[题目3] 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．(1)求四棱锥P-ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .(1)解：易知V 四棱锥P-ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ，则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ，所以AG∥平面PEC.(3)证明：易知CD⊥AD，CD⊥PA，因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.易知PD⊥AG，因为PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD，所以EF⊥平面PCD.又EF⊂平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.星期四2020年4月30日[题目4] 2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：(1)(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)因为K2＝80×40×80×40＝7.5＞6.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．(2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有6060＋20×4＝3(人)，女生有2060＋20×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A，B，C，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，甲)，(B ，C )，(B ，甲)，(C ，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情形．所以所求概率P ＝36＝12.星期五 2020年5月1日[题目5] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且|F 1F 2|＝2.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆的下顶点为B ，过右焦点F 2作与直线BF 2关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．解：(1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，e ＝c a ＝22，解之得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，直线l 与直线BF 2关于x 轴对称，所以k l ＋k BF 2＝0.由(1)问的椭圆方程x 22＋y 2＝1，知F 2(1，0)，B (0，－1)．所以k BF 2＝－1－00－1＝1，从而k l ＝－1，所以直线l 的方程为y －0＝－1×(x －1)，即x ＋y －1＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 22＋y 2＝1⇒3x 2－4x ＝0. 解得x ＝0或x ＝43.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．不妨设x 1＝0，x 2＝43.所以当x 1＝0时，y 1＝1；当x 2＝43时，y 2＝－13.所以M (0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13.因此|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＝423. 设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝12 .故S △OMN ＝12·|MN |·d ＝12×423×12＝23.星期六 2020年5月2日[题目6] 已知函数f (x )＝x 2－a 2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －a2x.因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 2－12ln x ，f ′(x )＝2x －12x＝（2x －1）（2x ＋1）2x.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)g (x )＝x 2－12ln x ＋12mx ，由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －12x ＝0，得x ＝－m ±m 2＋168，设x 0＝－m ＋m 2＋168，所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数．因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立，由g (x )＞0，得12m ＞ln x2x－x .令h (x )＝ln x 2x －x ，则h ′(x )＝2－2ln x －4x24x2.当x ＞1时，h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减；所以当x ＝1时，h (x )的最大值为－1，所以m2≥－1，即m ≥－2.所以实数m 的取值范围是[－2，＋∞)．星期日 2020年5月3日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．以质点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ. (1)求曲线E 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1)E 的方程可化为ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入得x 2＋3y 2＝3. 所以曲线E 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 过定点P (1，0)，将直线l 的参数方程代入曲线E 的方程得3t 2＋23t －4＝0.t 1＋t 2＝－233，t 1t 2＝－43. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2153. 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x |，g (x )＝m |x －3|.(1)若m ＝2，且f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若当x ＞5时，函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝2时，f (x )－g (x )＝|x |－2|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －6，x ＜0，3x －6，0≤x ＜3，6－x ，x ≥3.若f (x )－g (x )≥0，解得2≤x ≤6，要使得函数f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，必须满足[a ，a ＋1]⊆[2，6]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤6，解得2≤a ≤5.所以实数a 的取值范围是[2，5]．(2)当x ＞5时，若函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方，即g (x )－f (x )＞0在(5，＋∞)上恒成立，所以m |x －3|－|x |＞0，即m ＞|x ||x －3|恒成立．当x ＞5时，因为|x ||x －3|＝x x －3＝x －3＋3x －3＝1＋3x －3＜1＋35－3＝52，所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.。

高考数学二轮复习课时规范练(第六周)理

规范练(第六周)[题目1] (本小题满分12分)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝sin(A ＋C )，cos(A －C )＋cos B ＝3c .(导学号 54850162)(1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围．解：(1)因为b ＝sin(A ＋C )，可得b ＝sin B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得a ＝sin A ，c ＝sin C .因为cos(A －C )＋cos B ＝3c ，可得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝3c ，则cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝3c ，所以2sin A sin C ＝3c ，所以2ac ＝3c ，可得a ＝32＝sin A ，因为A 为锐角，所以A ＝π3.(2)因为a ＝32，A ＝π3，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即34＝b 2＋c 2－bc ，整理得(b ＋c )2＝34＋3bc ，又因为34＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以(b ＋c )2＝34＋3bc ≤34＋94＝3，解得：b ＋c ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立，又b ＋c ＞a ＝32，所以b ＋c ∈⎝⎛⎦⎥⎤32，3，故b ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.[题目2] (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n . 解：(1)因为2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，所以11＋a n ＋1＝11＋a n ＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列，所以c n ＝12＋(n －1) 12＝n2，则a n ＝2n－1.(2)由(1)得，b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋ (2)2n －1，①所以12S n ＝2×12＋4×122＋…＋2（n －1）2n －1＋2n2n ，② ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－2n 2n ＝4－2n ＋42n ，从而S n ＝8－4n ＋82n ＝8－n ＋22n －2.[题目3] (本小题满分12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求随机变量ξ分布列及数学期望E (ξ)；(3)某评估机构以指标M (M ＝E （ξ）D （ξ），其中D (ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效．若M ≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？解：(1)由统计表格及频率分布直方图知，样本容量n ＝620×0.005＝60，所以b ＝(0.01×20)×60＝12，则a ＝60－(12＋24＋6)＝18，从而c ＝1820×60＝0.015.(2)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数＝2460×10＝4，则“合格”的学生数＝10－4＝6.由题意可得ξ＝0，5，10，15，20.则P (ξ＝0)＝C 44C 410＝1210，P (ξ＝5)＝C 34C 16C 410＝24210，P (ξ＝10)＝C 24C 26C 410＝90210，P (ξ＝15)＝C 14C 36C 410＝80210，P (ξ＝20)＝C 46C 410＝15210.所以ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0＋5×210＋10×210＋15×210＋20×210＝12.(3)D (ξ)＝(0－12)2×1210＋(5－12)2×24210＋(10－12)2×90210＋(15－12)2×80210＋(20－12)2×15210＝16，因此M ＝E （ξ）D （ξ）＝1216＝0.75＞0.7，所以认定教育活动是有效的．故在(2)的条件下，判断该校不用调整安全教育方案．[题目4] (本小题满分12分)(2017·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B PD A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． (1)证明：设AC ∩BD ＝O ，连接OM .因为PD ∥平面MAC 且平面PBD ∩平面MAC ＝MO ，所以PD ∥MO . 因为O 为BD 中点，所以M 为PB 中点．(2)解：取AD 中点E ，连接PE . 因为PA ＝PD ，所以PE ⊥AD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间直角坐标系，则B (－2，4，0)，P (0，0，2)，D (2，0，0)，A (－2，0，0)，易知平面PDA 的法向量m ＝(0，1，0)．设平面BPD 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则n ·DP →＝(x 0，y 0，z 0)·(－2，0，2)＝－2x 0＋2z 0＝0， n ·DB →＝(x 0，y 0，z 0)·(－4，4，0)＝－4x 0＋4y 0＝0，所以可取n ＝(1，1，2)．设二面角B PD A 的平面角为θ(易知为锐角)，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝11×12＋12＋（2）2＝12，所以θ＝π3，即二面角B PD A 的大小为π3.(3)解：由(2)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2，4，0)， MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则有sin α＝|cos 〈MC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC →·n |MC →|·|n |＝ |3＋2－1|1＋1＋（2）2×32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝269，所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点．(导学号 54850163)(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程；(2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 之间的等量关系，并说明理由．解：(1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，所以m1＋14＝1，解之得m ＝52，切线l ：y ＝－12x ＋52⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，所以a ＝5，b ＝52，所以椭圆E 的方程为x 25＋y 254＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.当Δ＝(2a 2km )2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2m 2－a 2b 2)时，则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，则(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＝m 2(a 2＋b 2)＝(k 2＋1)a 2b 2，① 又因为圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m ，所以原点O 到切线l ：y ＝kx ＋m 的距离为半径r ⇒m 2＝(1＋k 2)r 2，② 由①②得r 2(a 2＋b 2)＝a 2b 2.所以以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则a ，b ，r 之间的等量关系为r 2(a 2＋b 2)＝a 2b 2.[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ＞0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －a x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x ＞0)．所以，当0＜x ＜a2时，f ′(x )＜0；当x ＞a2时， f ′(x )＞0，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a2ln a2，由题意，可得a 2－a2ln a2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0，记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a ＞0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根；由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0，且0＜a ＜2时，g ′(a )＞0；a ＞2时，g ′(a )＜0.所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点，所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0，所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x－6mf (x )e x＋9m ＝0，令h (x )＝f (x )e x＝(x 2－2ln x )e x，则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x－2ln x e x，令r (x )＝x 2＋2x －2x－2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x ＞2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解，当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件．当Δ＞0时可得m ＜0或m ＞1，所以e 2－6m e ＋9m ≤0，解之得m ≥e 26e －9，综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9. [题目7] 请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 1．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)对于曲线C ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .对于l ：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，消去t 可得y ＝13(x －5)，化为一般式可得x－3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2，0)，半径为2，所以弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，所以弦长|PQ |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7，所以以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37. 2．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝|ax －2|. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )＞x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，求m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|＞x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2＞x ＋1，解得x ＞3. 当x ＜1时，不等式化为2－2x ＞x ＋1，解得x ＜13.综上所述，解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)． (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，因为f (x )＋f (－x )＜1m有实数解，所以4＜1m ，则0＜m ＜14.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。

高考数学二轮复习每日一题规范练(第二周)理

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题每日一题规范练(第二周)[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos(2x 0＋π6)·cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝ 3－4310. [题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n 数列{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6，所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列，所以b n ＝2n －1，则b 3＝4.由a 1b 3＝12，得a 1＝3，则等差数列{a n }的公差为d ＝a 2－a 1＝3. 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *)．(2)设C n ＝b n cos(a n π)，由(1)得C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，则C n ＋1＝(－1)n ＋12n，所以C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．所以T n ＝－1×[1－（－2）n]1－（－2）＝13[(－2)n－1]．[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2＝100×（40×55×45×60×40≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，故X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.[题目4] (本小题满分12分)在如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ＝DA ＝AB ＝2CB ，EA ⊥AB ，M 是线段EC 上的点(不与端点重合)，F 为线段DA 上的点，N 为线段BE 的中点．(1)若M 是线段EC 的中点，AF ＝3FD ，求证：FN ∥平面MBD ；(2)若EM MC ＝λ，二面角M BD A 余弦值为13，求λ的值．(1)证明：连接MN .因为M ，N 分别是线段EC ，线段BE 的中点，所以MN ∥CB 且MN ＝12CB ＝14DA ，又AF ＝3FD ，所以FD ＝14DA ，所以MN ＝FD ，又CB ∥DA ，所以MN ∥DA ，所以MN ∥FD . 所以四边形MNFD 为平行四边形，所以FN ∥MD ，又FN ⊄平面MBD ，MD ⊂平面MBD ，所以FN ∥平面MBD .(2)解：由已知，分别以直线AE ，AB ，AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，如图所示．设CB ＝1，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (0，2，1)，D (0，0，2)，E (2，0，0)DB →＝(0，2，－2)，DC →＝(0，2，－1)，CE →＝(2，－2，－1)，因为EM →＝λMC →，所以CM →＝11＋λCE →，DM →＝DC →＋CM →＝DC →＋11＋λCE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，－2－λ1＋λ＝11＋λ(2，2λ，－2－λ)．设平面ABD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)，平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥DB →，n ⊥DM →.所以⎩⎪⎨⎪⎧n·DB →＝0⇒2y －2z ＝0⇒y ＝z ，n ·DM →＝0⇒2x ＋2λy －（2＋λ）z ＝0，令z ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－λ2，1，1.因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角的余弦值为13，所以|cos 〈n ，n 1〉|＝|n ·n 1||n ||n 1|＝13⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ22＋2＝13，解得λ＝1或λ＝3.又因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角为锐角，所以λ＝1.[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax.因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意，故实数a 的值为－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0，记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x －1x(x ＞0)，所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增．所以F (x )＞F (1)＝1＞0，所以a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，所以x －2ln x ＋2＞0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增．所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1，故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且椭圆C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围及|EF |的最大值．解：(1)由题意，得b ＝1，c ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2，离心率e ＝c a ＝32，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)，所以k PA ＝y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，同理得直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0＋1）x 0－1，直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝⎛⎭⎪⎫3，3（y 0－1）x 0＋1，线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0，所以圆的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02.令y ＝0，则(x －3)2＋9y 20x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02，因为x 204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x 0，因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解，则134－6x 0＞0，又0＜x 0≤2，解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2.故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2. 设交点坐标E (x 1，0)，F (x 2，0)，则|EF |＝|x 1－x 2|＝2 134－6x 0(2413＜x 0≤2)，所以|EF |的最大值为1.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5，若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13，若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去，若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)． (2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|，得到f (x )的最小值为|a －1|，又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤32.。

高考数学二轮复习每日一题规范练(第四周)理

每日一题规范练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S 5＋2，b 4成等比数列．(1)求{b n }的通项公式；(2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ，因为b 2, S 5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，5b 1＋5×42d ＋2＝（b 1＋d ）（b 1＋3d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝10，d ＝－2.因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0，所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n.所以S n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n，所以e S n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1，以上两个式子相减得，(1－e)S n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)S n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以S n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bcos B＝3c －a cos A. (1)若a ＝2sin A ，求b ；(2)若b ＝3，△ABC 的面积为22，求a ＋c .解：(1)由正弦定理得b cos B ＝3c －a cos A ⇒sin Bcos B＝3sin C －sin Acos A，即cos A sin B ＝3cos B sin C －sin A cos B ，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝3cos B sin C ，即sin(A ＋B )＝3cos B sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin C ＝3cos B sin C . 因为sin C ≠0，所以cos B ＝13，则sin B ＝223，因为a ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝sin B ·asin A ＝223×2＝43. (2)因为△ABC 的面积为22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝22，得ac ＝6，因为b ＝3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－23ac ＝(a ＋c )2－83ac ＝(a ＋c )2－16＝9，因此(a ＋c )2＝25. 又a ＞0，c ＞0，故a ＋c ＝5.[题目3] (本小题满分12分)如图所示，在左边的平面图中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AE ＝2，AC ＝22，∠ACD ＝π4，AE ⊥AC ，F 为BC 的中点．现在沿着AC 将平面ABC 与平面ACDE 折成一个直二面角，如下图，连接BE ，BD ，DF .(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求二面角E BD C 平面角大小的余弦值．(1)证明：在直观图中，过点D 作DG ⊥AC 交AC 于点G (如图1)．因为AE ⊥AC ，所以AE ∥DG .图1因为CD ＝2，∠ACD ＝π4，所以DG ＝CG ＝ 2.因为AE ＝2，所以AE ＝DG ，所以四边形AGDE 为矩形．所以ED ∥AG ，ED ＝AG ，取AB 的中点H ，连接EH ，HF ，因为F 为BC 的中点，所以HF ∥AG ，HF ＝AG ，所以HF ∥ED ，HF ＝ED ，所以四边形EDFH 为平行四边形，从而DF ∥EH .因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE ，所以DF ∥平面ABE .(2)解：以A 为原点，AC ，AE 所在射线为y 轴，z 轴建立空间坐标系(如图1)．因为AB ＝BC ＝2，AC ＝22，所以AB ⊥BC ，且∠CAB ＝π4，则B (2，2，0)．因为E (0，0，2)，所以EB →＝(2，2，－2)．又ED →＝(0，2，0)，设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)．则⎩⎨⎧2x 1＋2y 1－2＝0，2y 1＝0，解得x 1＝1，y 1＝0，所以n 1＝(1，0，1)．又D (0，2，2)，C (0，22，0)．所以CB →＝(2，－2，0)，CD →＝(0，－2，2)．设平面CBD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，1)，则⎩⎨⎧2x 2－2y 2＝0，－2y 2＋2＝0，解得x 2＝1，y 2＝1，所以n 2＝(1，1，1)．设平面BDE 与平面BCD 所成角的大小为θ，由图易知，平面BDE 与平面BCD 所成角为钝角，则cos θ＝－|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝－22×3＝－63.星期四 2019年4月11日[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：月份 1 2 3 4 5 销售量x (万件) 3 6 4 7 8 利润y (万元)1934264146(1)30”的概率；(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．故所求事件的概率为P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，x i y i ＝652，x 2i ＝110.所以b ^＝＝652－4×5×30110－4×52＝5.2. 则a ^＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2，所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5] (本小题满分12分)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的公共弦过抛物线的焦点F ，且弦长为4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值．解：(1)由题意可知，2p ＝4，所以p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .又⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋p 2＝r 2，所以r 2＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2＝5.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 可得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·16k 2＋16＝4(1＋k 2)．因为抛物线为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，y ′＝x 2，所以过A 点的切线的斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以点M 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ·x 12＋11＋k2，故S △ABM ＝12×4(1＋k 2)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ·x 12＋11＋k2＝1＋k 2·|kx 1＋2|，又k ＝y 1－1x 1＝x 21－44x 1，代入上式并整理得S △ABM ＝116·（x 21＋4）2|x 1|，令f (x )＝（x 2＋4）2|x |，可得f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝（x 2＋4）2x ＝x 3＋8x ＋16x，f ′(x )＝3x 2＋8－16x 2＝（x 2＋4）（3x 2－4）x 2，令f ′(x )＝0，可得x ＝233，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞时，f ′(x )＞0. 所以x ＝233时，f (x )取得最小值12839，故S △ABM 的最小值为116×12839＝839.[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m ＜－2，m 为常数)．(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值； (2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1＜x 2，证明：x 1·x 2＜1. (1)解：由题意得，函数f (x )的定义域为x ＞0，f ′(x )＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 所以y ＝f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2＋e －1e ＞0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f (e)＝1－e －m .(2)证明：由题意知，x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2.又由(1)知，f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上递减，故x 2＞2，所以0＜1x 2＜1，则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－(ln 1x 2－1x 2)＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x＋2ln x (x ＞2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x2≤0，当x ＞2时，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (2)＝－32＋ln 4.因为32－ln 4＝ln e 324＞ln 2.56324＝ln 1.634＝ln 4.0964＞ln 1＝0.所以g (x )＜0，所以当x ＞2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＜0，即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2，因为0＜x 1＜1，0＜1x 2＜1，f (x )在(0，1)上单调递增．所以x 1＜1x 2，故x 1x 2＜1.[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t (t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标； (2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝ 3.故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0.设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝62. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝435.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5，解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立；当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5，解不等式2x －5≥5，得x ≥5.故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|(x －1)＋(a －x )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5.所以实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．。