求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结

三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=

2

-最小值

最大值

φ+wx ：相位，其中T

w π

2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等

一、利用五点法，逆求函数解析式

三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点

第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2

π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π

第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =

2

3π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2

例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．

例2.是函数π

2sin()2

y x ωϕϕ⎛⎫

=+< ⎪⎝

⎭

的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π

116ωϕ==，

Ｂ．10π116

ωϕ=

=-， Ｃ．π

26

ωϕ==，

Ｄ．π

26

ωϕ==-，

例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则

A ．4

,2

π

ϕπ

ω=

=

B ．6

,3

π

ϕπ

ω=

=

C ．4,4πϕπω==

D ．4

5,4π

ϕπω==

例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）

变式练习

1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)

2、已知函数)sin(ϕω+=x A

y (A >0，ω>0，|ϕ|<

π

)的图象如图，求函数的解析式。

二、特殊值法求解析式

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．特殊化赋值法运算量小，可以简化过程，

例1设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8

π

=

x 。求()y f x =的解析式。

三、利用图像平移，选准变换过程切入求解

例1、下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

D.cos 26y x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

变式练习

1、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ

0,0,22

A ωϕ>>-<< ）

，其部分图像如图5所示．求函数()f x 的解析式；

图5

y

x

2

-1-01

-1

12345

6

2、如图是函数k x A y ++=)sin(ϕω(A >0，ω>0，|ϕ|<π)在一个周期内的图象，求这

个函数的解析式。

3、已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ， 0ω>，πϕ<||）的一段图象如图所示，求函数的解析式；

四、待定系数法

例1、已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]3

,0[π

上是单调函数。求函数()y f x =的解析式。

y x

-4

2 - π 6 O

π 5 6

π 3

变式练习

1、函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象与x 轴相交的两邻点坐标分别为 (

6

π

, 0), (2

π

, 0), 且过(0 , －3), 求该函数的解析式。

五、利用最值点满足的条件进行求解

例1、设函数f (x )=3 2cos x ω+sin ωxcos ωx+a (其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π

. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-65,

3

ππ上的最小值为3，求a 的值.

变式练习：1.已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图

像关于点)0,4

3(

πM 对称，且在区间]2,0[π

上是单调函数，求ϕ和ω的值.

2、函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(125π, 3)和(12

11π, －3), 求该函数的解析式。