运筹学绪论
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设备 原材料 A 原材料 B 利润 甲 1 4 0 2 乙 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
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由一支综合性的队伍 ，采用科学的方法，为一些涉及 到有机系统（人-机）的控制系统问题提供解答，为该 系统的总目标服务的学科。 ——钱学森等
学科体系
运筹学已经形成了一个庞大的学科体系，其具体内容主要包括： 规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、决 策论、对策论、排队论、存储论、网络分析等。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
线性规划 对偶理论
图与网络方法 网络计划技术
运输问题
整数规划
矩阵决策
决策分析
动态规划
绪论-思考题
1．什么是运筹学？列举我国古代运筹学思想的应用案例。 2．在第二次世界大战中，有哪些运用运筹学的战例？ 3．我国的运筹学研究和应用情况如何？ 4．主要分支有哪些？ 5．简述运筹学分析的步骤。
“Blackett马戏团”在秘密报告中使用了“Operational Research”，即“运筹学”。
第二节、运筹学模型及分析步骤
1．模型
运筹学模型是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等） 来描述被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环 境等）。 运筹学模型的一个显著特点是它们大部分为最优化模型。 一般来说，运筹学模型都有一个目标函数和一系列的约束条件， 模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最 小化。
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目标函数最大 约束条件等式 线性规划问题的标准形式 决策变量非负 • 标准形式为: 右端常数项非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b2 ,...bm 0 x1 , x2 ,..., xn 0
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
z ——利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照
给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”，故有 人称之为最优化技术。 1938 年 英 国 最 早 出 现 了 军 事 运 筹 学 ， 命 名 为 “Operational Research”,1942 年，美国从事这方面工 作的科学家命其名为“Operations Research”，这个名 字一直延用至今。
02 ②
03 ③
3 ．运筹学解决问题的方法步骤
明确问题
• 明确问题 • 建立模型 • 设计算法 • 整理数据 • 求解模型 • 评价结果
建立模型 设计算法 整理数据 求解模型
Yes
简化？
No
No
评价结果
满意？
第三节 运筹学的定义及学科体系
Operations Research含义
Operations 汉语翻译
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定目标函数
以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为：
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x1十2 x2 ≤ 90 4 x1十6 x2 ≤ 200 7 x2 ≤ 210 x 1 ≥ 0 ，x 2 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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• 第三步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
资源A限制：3 x1十2 x2 ≤ 90 资源B限制；4 x1十6 x2 ≤ 200 资源C限制： 7 x2 ≤ 210 此外，产量x1和x2不能为负，只能取正值 非负条件： x1 ≥0， x2 ≥ 0
二、运筹学学科的形成
现在普遍认为，运筹学的研究是从第二次世界大战 初期的军事任务开始的，以英国为代表的科学家做了奠基 性的工作。当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式 分配给各种不同的军事经营及在每一经营内的各项活动， 所以美国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运 用科学手段来处理战略与战术问题，实际上这便是要求他 们对种种（军事）经营进行研究，这些科学家小组正是最 早的运筹小组（O.R.小组）。 第二次世界大战期间，运筹学（OR）成功地解决了许 多重要作战问题，显示了科学的巨大物质威力，为“OR” 后来的发展铺平了道路。
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
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线性规划模型的一般形式
Max (min) z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1 a x a x ... a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn ( , )0
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
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– 用矩阵表示
max Z CX
0 a11 .....a1n 0 x 1 0 (P , P ,..., P ) .............. a 11..... 1 2 3 a ... 1n x2 a ......a mn m1 A .............. X 0 ... a ......a m 1 mn 资源向量 C - 价值向量X - 决 策 变 量向量 x n
•基本概念
决策变量（Decision variables ） 它是决策变量的函数 目标函数（Objective function） 约束条件（Constraint conditions ） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 ，通常表达为含决策变 最优解（Optimal solution) 量的等式或不等式。
1935年，英国科学家R.Watson-Wart发明了雷达。丘吉尔 命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。
1939年由P.M.S.Blackett（著名物理学家）为首，组织 了一个小组，代号“Blackett马戏团”。研究的问题是：设计 将雷达信息传送到指挥系统和武器系统的最佳方式；雷达与武 器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与武器 的协调，作了系统的研究，并获得成功。
第一章 线形规划
本章学习重点
线性规划是运筹学中比较成熟的一个分支 ，它具有成熟而有效的求解方法，可以借助于 计算机进行求解，在军事、经济等领域中具有 广泛的应用。学习本章，要掌握线性规划的数 学模型（建模以及把不同形式的线性规划问题 化为标准形式的方法）、求解方法。
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第一节
线性规划问题 及其数学模型
系
统来自百度文库
工
程
A
第一讲 绪
一、运筹学的形成与发展
论
二、运筹学模型及分析步骤
三、运筹学的定义及学科体系 学习目的 学习本章要了解运筹学的形成和发展历史、典型案 例，以及运筹学研究的主要内容等。
第一节
运筹学的形成和发展
运筹学（ Operations Research ）是系统工程的最重要
的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。
工作、操作、行动、手术、运算 Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学
运筹学的定义
Morse&Kimball（运筹学界元老） 运筹学是为决策 机构在对其控制的业务活动进行决策时，提供的数量化 为基础的科学方法。
英国人运筹学会（世界上最早的运筹学会） 运筹学 是运用科学方法（特别是数学方法）来解决工业、商业、 政府、国防等部门里有关人力、机器、物资、金钱等大 型系统的指挥和管理中出现的复杂问题的一门学科。
线性规划问题的提出 线性规划的数学模型 线性规划的基本概念 线性规划问题的标准形式
继续
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
甲 1 4 0 2
乙 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
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如何安排生产 使利润最大
？
产品
产品
甲
乙
数学模型举例：
Max（Min） z＝7 x1+5 x2 3 x1+2 x2 ≤ 90 4 x1+6 x2 ≤ 200 7 x2 ≤ 210 x 1≥0 ，x 2≥0
2．研究方法
01 ①
从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模 型； 探索求解的结构并导出系统的求解过程； 从可行方案中寻求系统的最优解法。
挖沟
引水入沟 丁谓修宫工程问题示意图
填沟
2．田忌赛马
战国时期齐王和田忌赛马,各从自己上等马 、中等 马 、下等马中选送一匹进行比赛，每输一局，输银千两， 齐王的马都比田忌的好，但田忌的下等马与齐王的上等 马赛，用上等马对中等马，用中等马对下等马，这样田 忌非但没有输，反而嬴了一千两银子，这便是系统中从 整体出发，选最优方案，到最后实施的对策策略。
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x1 ——甲的产量 x 2 ——乙的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
一、中国古代的运筹学思想
中国《史记》中的“运筹帷幄之中，决胜千 里之外”表达了中国古代运筹学思想，在古代中 国有许多运筹学思想的应用案例，如丁谓修宫、 田忌赛马等，都蕴藏着神奇的运筹学思想，这些 案例至今仍有很高的参考和借鉴价值。
1．丁谓修宫
宋朝《梦溪笔谈》中记载了这样一个故事：北宋真宗 年间，皇宫失火，皇帝召各大臣商议如何在很短的时间内 修复好皇宫，而修复皇宫包括取土烧砖，运输建筑材料， 清理废墟三大工程，但在当时的条件下，这是相当繁重的 工程，大家都无以言答。当时有个叫丁谓的大臣，他提出 了一个一举三得的方案 取土问题 木材和石料运输问题 建筑垃圾处理问题
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
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由一支综合性的队伍 ，采用科学的方法，为一些涉及 到有机系统（人-机）的控制系统问题提供解答，为该 系统的总目标服务的学科。 ——钱学森等
学科体系
运筹学已经形成了一个庞大的学科体系，其具体内容主要包括： 规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、决 策论、对策论、排队论、存储论、网络分析等。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
线性规划 对偶理论
图与网络方法 网络计划技术
运输问题
整数规划
矩阵决策
决策分析
动态规划
绪论-思考题
1．什么是运筹学？列举我国古代运筹学思想的应用案例。 2．在第二次世界大战中，有哪些运用运筹学的战例？ 3．我国的运筹学研究和应用情况如何？ 4．主要分支有哪些？ 5．简述运筹学分析的步骤。
“Blackett马戏团”在秘密报告中使用了“Operational Research”，即“运筹学”。
第二节、运筹学模型及分析步骤
1．模型
运筹学模型是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等） 来描述被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环 境等）。 运筹学模型的一个显著特点是它们大部分为最优化模型。 一般来说，运筹学模型都有一个目标函数和一系列的约束条件， 模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最 小化。
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目标函数最大 约束条件等式 线性规划问题的标准形式 决策变量非负 • 标准形式为: 右端常数项非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b2 ,...bm 0 x1 , x2 ,..., xn 0
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
z ——利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照
给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”，故有 人称之为最优化技术。 1938 年 英 国 最 早 出 现 了 军 事 运 筹 学 ， 命 名 为 “Operational Research”,1942 年，美国从事这方面工 作的科学家命其名为“Operations Research”，这个名 字一直延用至今。
02 ②
03 ③
3 ．运筹学解决问题的方法步骤
明确问题
• 明确问题 • 建立模型 • 设计算法 • 整理数据 • 求解模型 • 评价结果
建立模型 设计算法 整理数据 求解模型
Yes
简化？
No
No
评价结果
满意？
第三节 运筹学的定义及学科体系
Operations Research含义
Operations 汉语翻译
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定目标函数
以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为：
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x1十2 x2 ≤ 90 4 x1十6 x2 ≤ 200 7 x2 ≤ 210 x 1 ≥ 0 ，x 2 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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• 第三步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
资源A限制：3 x1十2 x2 ≤ 90 资源B限制；4 x1十6 x2 ≤ 200 资源C限制： 7 x2 ≤ 210 此外，产量x1和x2不能为负，只能取正值 非负条件： x1 ≥0， x2 ≥ 0
二、运筹学学科的形成
现在普遍认为，运筹学的研究是从第二次世界大战 初期的军事任务开始的，以英国为代表的科学家做了奠基 性的工作。当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式 分配给各种不同的军事经营及在每一经营内的各项活动， 所以美国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运 用科学手段来处理战略与战术问题，实际上这便是要求他 们对种种（军事）经营进行研究，这些科学家小组正是最 早的运筹小组（O.R.小组）。 第二次世界大战期间，运筹学（OR）成功地解决了许 多重要作战问题，显示了科学的巨大物质威力，为“OR” 后来的发展铺平了道路。
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
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线性规划模型的一般形式
Max (min) z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1 a x a x ... a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn ( , )0
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
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– 用矩阵表示
max Z CX
0 a11 .....a1n 0 x 1 0 (P , P ,..., P ) .............. a 11..... 1 2 3 a ... 1n x2 a ......a mn m1 A .............. X 0 ... a ......a m 1 mn 资源向量 C - 价值向量X - 决 策 变 量向量 x n
•基本概念
决策变量（Decision variables ） 它是决策变量的函数 目标函数（Objective function） 约束条件（Constraint conditions ） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 ，通常表达为含决策变 最优解（Optimal solution) 量的等式或不等式。
1935年，英国科学家R.Watson-Wart发明了雷达。丘吉尔 命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。
1939年由P.M.S.Blackett（著名物理学家）为首，组织 了一个小组，代号“Blackett马戏团”。研究的问题是：设计 将雷达信息传送到指挥系统和武器系统的最佳方式；雷达与武 器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与武器 的协调，作了系统的研究，并获得成功。
第一章 线形规划
本章学习重点
线性规划是运筹学中比较成熟的一个分支 ，它具有成熟而有效的求解方法，可以借助于 计算机进行求解，在军事、经济等领域中具有 广泛的应用。学习本章，要掌握线性规划的数 学模型（建模以及把不同形式的线性规划问题 化为标准形式的方法）、求解方法。
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第一节
线性规划问题 及其数学模型
系
统来自百度文库
工
程
A
第一讲 绪
一、运筹学的形成与发展
论
二、运筹学模型及分析步骤
三、运筹学的定义及学科体系 学习目的 学习本章要了解运筹学的形成和发展历史、典型案 例，以及运筹学研究的主要内容等。
第一节
运筹学的形成和发展
运筹学（ Operations Research ）是系统工程的最重要
的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。
工作、操作、行动、手术、运算 Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学
运筹学的定义
Morse&Kimball（运筹学界元老） 运筹学是为决策 机构在对其控制的业务活动进行决策时，提供的数量化 为基础的科学方法。
英国人运筹学会（世界上最早的运筹学会） 运筹学 是运用科学方法（特别是数学方法）来解决工业、商业、 政府、国防等部门里有关人力、机器、物资、金钱等大 型系统的指挥和管理中出现的复杂问题的一门学科。
线性规划问题的提出 线性规划的数学模型 线性规划的基本概念 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
甲 1 4 0 2
乙 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
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如何安排生产 使利润最大
？
产品
产品
甲
乙
数学模型举例：
Max（Min） z＝7 x1+5 x2 3 x1+2 x2 ≤ 90 4 x1+6 x2 ≤ 200 7 x2 ≤ 210 x 1≥0 ，x 2≥0
2．研究方法
01 ①
从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模 型； 探索求解的结构并导出系统的求解过程； 从可行方案中寻求系统的最优解法。
挖沟
引水入沟 丁谓修宫工程问题示意图
填沟
2．田忌赛马
战国时期齐王和田忌赛马,各从自己上等马 、中等 马 、下等马中选送一匹进行比赛，每输一局，输银千两， 齐王的马都比田忌的好，但田忌的下等马与齐王的上等 马赛，用上等马对中等马，用中等马对下等马，这样田 忌非但没有输，反而嬴了一千两银子，这便是系统中从 整体出发，选最优方案，到最后实施的对策策略。
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x1 ——甲的产量 x 2 ——乙的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
一、中国古代的运筹学思想
中国《史记》中的“运筹帷幄之中，决胜千 里之外”表达了中国古代运筹学思想，在古代中 国有许多运筹学思想的应用案例，如丁谓修宫、 田忌赛马等，都蕴藏着神奇的运筹学思想，这些 案例至今仍有很高的参考和借鉴价值。
1．丁谓修宫
宋朝《梦溪笔谈》中记载了这样一个故事：北宋真宗 年间，皇宫失火，皇帝召各大臣商议如何在很短的时间内 修复好皇宫，而修复皇宫包括取土烧砖，运输建筑材料， 清理废墟三大工程，但在当时的条件下，这是相当繁重的 工程，大家都无以言答。当时有个叫丁谓的大臣，他提出 了一个一举三得的方案 取土问题 木材和石料运输问题 建筑垃圾处理问题