高考数学一轮复习第6章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义理(含解析).pdf

第 2 讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[考纲解读]　1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)

2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．(难点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看,本讲是高考必考内容．预测2020 年的考查,主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数,同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现,属中档题型.

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2．线性规划相关概念

3．重要结论

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线；

特殊点定域：若直线不过原点,特殊点常选原点；若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证．

(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ax＋By＋C>0 或Ax＋By＋C<0,则有

①当B(Ax＋By＋C)>0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的上方；

②当B(Ax＋By＋C)<0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的下方．

(3)最优解和可行解的关系

最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一,有时有多个．

4．利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤

(1)作可行域；

(2)将目标函数进行变形；

(3)确定最优解；

(4)求最值．

1．概念辨析

(1)不等式Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0 的上方．( )

(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )

(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )

(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y轴上的截距．( )

参考答案　(1)×　(2)√　(3)√　

(4)×

2．小题热身

(1)不等式组Error!表示的平面区域是( )

参考答案　

B

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0 及其下方部分,x－y＋2＜0 表示直线x－y ＋2＝0 上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.

(2)已知点(－3,－1)和(4,－6)在直线3x－2y－a＝0 的两侧,则实数a的取值范围为( )

A．(－7,24)

B．(－∞,－7)∪(24,＋∞)

C．(－24,7)

D．(－∞,－24)∪(7,＋∞)

参考答案　

A

解析　由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0,所以(a＋7)(a－24)<0,所以－7

(3)已知实数x,y满足Error!则z＝x＋2y的最小值为________．

参考答案　5

11解析　由题意可得可行域为如图所示(含边界),z＝x＋2y,即y＝－x＋z,则在点A

22

处取得最小值,联立Error!解得Error!∴A(1,2)．代入z＝x＋2y得最小值5.

(4)(2018·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件

Error!则z＝x＋y的最大值为________．

参考答案　

9

解析　不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域,如图

所示,由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得,即当x＝5,y＝4 时,z max＝9.

题型　二元一次不等式(组)表示的平面区域

一

1．若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是( )

4

A．a≥B．0

3

4 34 3

C．1≤a≤D．0

参考答案　

D

解析　作出不等式组

Error!表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知,要使原不等式组表示的平面区域

的形状为三角形,只需动直线l：x＋y＝a在l,l之间(包含l,不包含l)或l上方(包含

12213

l)．故选D.

3

2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．

参考答案　

Error!

解析　两直线方程分别为x－2y＋2＝0 与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0,又(0,0)点在直线x＋y－1＝0 左下方可知x＋y－1≥0,即Error!为所表示的可行域．

条件探究　把举例说明1 中的不等式组改为Error!

“三角形”改为“四边形”,求a的取值范围．

解　平面区域如图中的阴影部分,直线2x＋y＝6 交x轴于点A(3,0),交直线x＝1 于点B(1,4),当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6 的交点在线段AB(不包括线段端点)上时,此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得3＋0＝a,即a＝3,将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝1＋4＝5,故实数a的取值范围是(3,5)．

1．解决求平面区域面积问题的方法步骤

(1)画出不等式组表示的平面区域；

(2)判断平面区域的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等,若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．

2．根据平面区域确定参数的方法

在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中,首先把不含参数的平面区域确定好,然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状,根据求解要求确定问题的参考答案．如举例说明 1. π3已知平面上的单位向量 e 与 e 的起点均为坐标原点 O,它们的夹角为 .平面区域 D 由12

→所有满足 ＝λe ＋μe 的点 P 组成,其中Error!那么平面区域 D 的面积为( )

OP

121

23

3

A. B. C. D.324

参考答案　

D 123解析　建立如图所示的平面直角坐标系,不妨令单位向量 e ＝(1,0),e ＝),设(,122向量→

＝(x,y),因为→

＝λe ＋μe ,所以

OP OP 12

Error!即Error!

因为Error!所以Error!表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示,所以平面区域 D 的面积为3

,故选 D.

4题型　线性规划中的最值问题

二

角度 1　求线性目标函数的最值

1．(2018·全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件Error!

则 z ＝3x ＋2y 的最大值为________．

参考答案　6

解析　根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示：