高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版

3.3直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离
第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)
[导入新知]
1．两直线的交点坐标
2．两直线的位置关系
[化解疑难]
两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0
或A1
A2≠
B1
B2(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
[导入新知]
两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[化解疑难]
两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.
[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋1
2；
(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋1
2
.
[解] (1)解方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得
⎩⎨⎧
x ＝－103
，
y ＝143.
所以l 1与l 2相交，且交点坐标为
⎝⎛⎭
⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②
②×6整理得2x －6y ＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②
②×6－①得3＝0，矛盾．
方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]
判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.
解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，
所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，
－1)．
(2)解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋2＝0，①
2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1
与l 2无公共点，即l 1∥l 2.
[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝1
2时，直线方程为x ＝9.
两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.
故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．
法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，y ＝－4.
所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．
[活学活用]
2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．
解：法一：由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，
y ＝2，
即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2
－2＝－1，
直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.
法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.
[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝
3－15－1＝12，k AC ＝3－1
0－1
＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．
[类题通法]
1．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．
[活学活用]
3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2
＝(x－2)2＋(0－7)2，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.
8.两条直线相交求参数中的误区
[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )
A ．a ＝1或a ＝－2
B ．a ≠±1
C ．a ≠1且a ≠－2
D ．a ≠±1且a ≠－2
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－a －1，
y ＝1，
将l 2，l 3的交点(－a －
1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①
；
(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②
， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；
(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；
当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]
①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．
②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．
解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．
[成功破障]
(2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.1
2 B ．－12
C.23
D ．－23
解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－9，y ＝－8，
即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－
9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝2
3
.
[随堂即时演练]
1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)
D ．(3,4)
解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－4，y ＝3.
2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5
D ．1－或5
解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.
3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．
解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．
答案：(5,0)或(－3,0)
4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝1
6
.
答案：⎝⎛⎭
⎫－12，1
6 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.
解：解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －3＝0，
x －y ＝0，得交点P (1,1)．
(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，
∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝3
2
，
∴斜率k ＝－1k 2＝－2
3，
∴y －1＝－2
3(x －1)
即：2x ＋3y －5＝0.
3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离
[导入新知]
点到直线的距离与两条平行线间的距离
[化解疑难]
1．点到直线的距离公式需注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得
d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1
.
2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；
(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解
(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.
[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋1
4
；(2)y ＝6；(3)x ＝4.
[解] (1)直线y ＝34x ＋1
4化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝
|3×3－4×(－2)＋1|
32＋(－4)2
＝
185
. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[活学活用]
1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1
D.2＋1
解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2
＝1，
得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.
2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝15
5＝3.
答案：3
[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，1
2
)，
则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×1
2
＋C |
52＋(－12)2
＝|C －6|13，
由题意，得|C －6|
13＝2，
所以C ＝32，或C ＝－20.
故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|
52＋(－12)2，
解得C ＝32，或C ＝－20.
故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1
；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝
|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]
3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．
解析：因为两直线平行，所以m ＝2.
法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝
|6×0＋2×3－1|62＋22
＝
104
. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －1
2
＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝
⎪
⎪⎪⎪
－3＋1232
＋1
2
＝
10
4. 答案：104
[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．
由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|
k 2＋1，解得k ＝4，
故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.
法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，
若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.
若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]
解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．
[活学活用]
4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧
x －3y －4＝0，
4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2
3
，即直线l 过点B ⎝
⎛⎭⎫2，－2
3. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，
点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋2
3＝k (x －2)，
即kx －y －2k －2
3
＝0，
由点A 到l 的距离为5，得
⎪
⎪⎪⎪
－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2
＝5，解得k ＝43
，
所以l 的方程为43x －y －83－2
3＝0，
即4x －3y －10＝0.
综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.
9.漏掉直线斜率不存在的情况
[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2
的方程．
[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①
，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，
即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝
|－1－5k |
(－1)2＋k 2
＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方
程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.
(2)若l 1，l 2的斜率不存在①
，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.
[易错防范]
1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．
2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]
经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．
解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.
当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1
＝1得k ＝3
4，故其方程为3x －4y ＋5＝0.
故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0
[随堂即时演练]
1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2
D. 5
解析：选D d ＝|－5|
5
＝ 5.
2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|
12＋12＝ 2.
3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．
解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋5
2＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪
⎪5－5242＋32＝
1
2
. 答案：12
4．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．
解析：∵|5×2－12k ＋6|
52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，
∴k ＝－3，或k ＝17
3.
答案：－3或17
3
5．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3
， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，
点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)
2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，
即△ABC 的面积为4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.2
2
C ．3
D.322
解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2
＝322.
2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4
D ．3≤d ≤5
解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于5
5
的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0
C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0
D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0
解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于5
5
，所以d ＝
|c －1|22＋1
2
＝5
5
，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0
D ．3x ＋y ＋13＝0
解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝
2－4－3－3＝1
3
，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.
5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )
A ．3 2
B ．2 3
C ．3 3
D ．4 2
解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|
2
＝3 2.
二、填空题
6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．
解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋2
2
＝|C |
12＋22
，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝0
7．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．
解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.
∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴
|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |
k 2＋1
.
∴|1－3k |＝|3k －5|，
∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝0
8．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．
解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有
|c －3|
22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，
即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.
法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)
2
＝1.
则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题
9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.
(1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－3
4(x ＋2)，
整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.
(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |
32＋42＝3，
即
|14＋C |
5
＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．
解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，
则d ＝
310
. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则
|m ＋16|10＝3
10
， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，
则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝3
10
， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.
所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.
直线与方程
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)
D.⎝⎛⎭⎫12
，－3
2 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧
2＋x ′2＝－1，
－3＋y ′
2＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．135°
解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.
3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1
B ．2
C.
22
D. 2
解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12
＝2
2.
4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A.1
3 B ．－13
C ．3
D ．－3
解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋7＝2，
b ＋1＝－2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－5，
b ＝－3，
故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－1
3.a ＝－5.
5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0
D ．2x ＋y －5＝0
解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为1
2，
∴所求直线的方程为y －3＝1
2(x ＋1)，
即x －2y ＋7＝0.
6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )
A ．m ＝－3，n ＝1
B ．m ＝－3，n ＝－3
C ．m ＝3，n ＝－3
D ．m ＝3，n ＝1
解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－m
n ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.
7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0
D ．－3x ＋4y ＋5＝0
解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.
8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9
D ．－9
解析：选D 由题意知k AB ＝k BC
即
b －1－2－3＝11－b
8＋2
，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭
⎫3，32 D ．(3，－1)
解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－2x 0＋4＝－1
2
，y 0
＋22＝2·x 0
－4
2
，解
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝4，
y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )
A ．k ≥3
4，或k ≤－4
B ．－4≤k ≤3
4
C ．－3
4
≤k ≤4
D ．以上都不对
解析：选A 由题意知k AP ＝－3－1
2－1
＝－4， k BP ＝
－2－1－3－1＝34
.由斜率的特点并结合图形可知k ≥3
4，或k ≤－4.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫
－2＋02
，
3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.
答案：10
12．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y
a ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直
线方程为
x ＋y －2＝0.
答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝0
13．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．
解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝1
2
，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.
答案：2x ＋y －5＝0
14．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．
解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32
，解得x ＝1或x ＝27
7.
即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－8
7. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277
，－8
7 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；
(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．
解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
b －4
a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋
b ＋4
2－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．
16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？
解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.
当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．
当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.
故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．
17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．
(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1
k AB
＝1，
∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，
∴S △ABC ＝1
2
|AC |·|BC |＝2.
18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．
解：由方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．
又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．
已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．
解方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).
得顶点C 的坐标为(5，－6)．
所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。