最新高三(上)第一次段考数学试卷附带参考答案

最新高三（上）第一次段考数学试卷

一、单选择题（共8题，每题5分，共40分）

1. 已知集合A ={−2, 1}，B ={x|ax =2}，若A ∩B =B ，则实数a 值集合为( ) A.{−1} B.{2} C.{−1, 2} D.{−1, 0, 2}

2. 已知z ＝1−3i 1+i

，则|z|=( )

A.√2

B.2

C.√5

D.3

3. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4. a →

=(2, 1)，a →

⋅b →

=10，|a →

+b →

|=5√2，则|b →

|=( ) A.√5 B.√10 C.5

D.25

5. 函数f(x)=

x 3e x −1

的图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

6. 中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位．“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书．某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A.13

15

B.2

3

C.8

15

D.1

3

7. 函数f(x)=sin x +2|sin x|，x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ） A.(0, 1) B.(0, 3) C.(1, 3) D.(0, 2)

8. 已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1=2，n 2a n+12−4(n +1)2a n 2

−2(n +1)a n +na n+1=0，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019=( )

A.2019×22020+2

B.2019×22020−2

C.2018×22020+2

D.2018×22020−2

二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分）

已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是( ) A.f(3)=9 B.f(−3)=4

C.f(x)=x 2

D.f(x)=(x +1)2

下列各式中，值为1

2的是（ ） A.cos 2

π12

−sin 2

π12

B.

tan 22.5∘

1−tan 222.5∘

C.2sin 195∘

cos 195∘

D.√

1+cos π6

2

设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)，且X 落在区间(−3, −1)内的概率和落在区间(1, 3)内的概率相等．若P(X >2)=p ，则下列结论正确的有（ ） A.μ=0

B.σ=2

C.P(0

2−p D.P(X <−2)=1−p

下列说法中正确的是（ ） A.AB →

+BA →

＝0→

B.若|a →

|=|b →

|且a →

 // b →

，则a →

＝b →

C.若a →

、b →

非零向量且|a →

+b →

|=|a →

−b →

|，则a →

⊥b →

D.若a →

 // b →

，则有且只有一个实数λ，使得b →

=λa →

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

曲线y =(x +2)e x 在点(0, 2)处的切线方程为________．

(1

x2

−2x)6的展开式中的常数项为________．

已知π

2<α<π，0<β<π

2

，tanα=−3

4

，cos(β−α)=5

13

，则sinβ的值为________．

已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=6，a3+a9=14，数列{b n}满足b n=1

S n−n

，记{b n}的前n项和为

T n，T n的最小值为t，若x+y=t(x, y>0)，则1

x +4

y

最小值为________．

四、解答题（共6题，共70分）

已知函数f(x)＝cos2x+√3sin(π−x)cos(π+x)−1

2

．求函数f(x)在[0, π]上的单调递减区间．

已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n−1(n∈N+)．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n＝log

4

a n+1，求{

b n}的前n项和为T n．

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(a+c)2=b2+2√3ab sin C．

（1）求B的大小；

（2）若b=8，a>c，且△ABC的面积为3√3，求a．

（银川质检）已知函数f(x)=ax−1−ln x(a∈R)．

讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；

若函数f(x)在x=1处取得极值，∀x∈(0, +∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的最大值．

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

已知函数f(x)=e x−m⋅ln(x+1)，m∈R．

（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（2）若m=4，证明f(x)有且仅有两个不同的零点．（参考数据：e e≈15.15）