4.常用坐标系(4学时)

机体坐标系的角速度分量与姿态角变化率之间的关系
sin p cos cos sin q r sin cos cos
q cos r sin p (r cos q sin ) tan 1 (r cos q sin ) cos
转换矩阵的性质
预备知识 基元旋转

基元旋转，坐标系绕它的一个轴旋转
沿ox轴正向看是顺时针旋转 沿 oy 轴正向看是顺时针旋转 沿 oz 轴正向看是顺时针旋转 但坐标排列次序相反 但坐标排列次序相反
0 1 T 0 cos 0 sin 0 sin cos cos T 0 sin 0 sin 1 0 0 cos cos T sin 0 sin cos 0 0 0 1
机体坐标系的角速分量


r 是机体坐标系相对于 机体坐标系的三个角速度分量 p ，q ， 地面坐标系的转动角速度在机体坐标系各轴上的分量。 ① 角速度 p ，与机体轴oxb 重合一致； ② 角速度 q，与机体轴oyb 重合一致； ③ 角速度r ，与机体轴ozb 重合一致。 应当注意：上述三个角速度分量，在有些教材中分别表述成 滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度，其实是不准确的。 这样容易被理解成滚转角速度 ，俯仰角速度 和偏航角速 度 ，而 p 只有在俯仰角 为零且偏航角也为零时才等 ， q 只有在飞机无滚转且无偏航时才等于 ， r 只有 于 在无滚转或无偏航时才等于 。
飞机的运动参数和常用坐 标系及飞机的操纵机构
1.常用坐标系（5种） 2.飞机的运动参数定义 3.常用坐标系之间的变换 4.欧美系和苏式坐标系的区别和联系 5.常规飞机的操纵机构和操纵舵面极性
刚体飞行器的空间运动可以分为两部分：质心 运动和绕质心的转动。描述任意时刻的空间运动需 要六个自由度：三个质心运动和三个角运动。 作用在飞机上的重力、推力和气动力及其相应 的力矩产生原因各不相同，选择合适的坐标系来方 便的描述飞机的空间运动状态是非常重要的。 在一般情况下，由于飞机均在大气层内飞行， 其飞行高度有限，为了简化所研究问题的复杂性， 有必要进行下列合理假设： ①忽略地球曲率，即采用所谓的“平板地球假设”； ②认为地面坐标系为惯性坐标系。



一定要注意变换的次序。 先偏航，再俯仰， 再滚转

由地面坐标系到机体坐标系的转换矩阵（方向余弦阵DCM）为
S cos cos cos sin sin (sin sin cos cos sin ) (sin sin sin cos cos ) sin cos (cos sin cos sin sin ) (cos sin sin sin cos ) cos cos

欧拉角(姿态角)
航迹角
Байду номын сангаас
航迹角是由航迹坐标系于地面坐标 系之间的关系确定的 。 ① 航迹倾斜角 —航迹速度矢量 与地平面 og xg y g 之间的夹角；


在地平面内指向含Vk的铅垂面
右侧，沿航迹系的oy轴 ② 航迹方位角 —速度矢量在地 平面og xg y g 的投影与og x g 轴的夹角， 其速度矢量沿地面系的OZ轴； ③ 航迹滚转角 — ozw 轴与包含 oxw 轴的垂直平面的夹角，速度矢量沿 航迹系OX轴。
Zg
X1
X2
arctan
AD OA

C
B

D
Xg
arctan

Yg Y1
BC OB

BC AD
A
OA OB


Y2
Z1 Z 2
从地面坐标系到机体坐标系的转换
①从地面坐标系 Sg 转动偏航角 到过渡坐标系 S ox y z ，即 x cos sin 0 xg y sin cos 0 y g 0 1 z 0 zg
w w w w w
w w
w w
w w
速度坐标系常用来 描述飞机的气动力 若无侧滑，则气 流系横轴和机体 系横轴一致
4.稳定坐标轴系(Stability coordinate frame)Ss------Oxsyszs①原点O取在飞机质心处，坐标系与飞机固连② xs轴与气流速度V在飞机对称平面内的投影重合一致③zs 轴在飞机对称平面与xs轴垂直并指向机腹下方,与气流系 Zw一致 ④ys轴与机体轴yb重合一致
②从过渡坐标系 S oxy z 转动俯仰角 到过渡坐标系 S oxy z ，即 x cos 0 sin x y 0 y 1 0 z z sin 0 cos ③从过渡坐标系 S oxy z 转动滚转角 到机体坐标系Sb (oxb yb z b ) ，即 0 0 x x 1 y 0 cos sin y z 0 sin cos z
航迹系和地面系的关系
地面系绕立轴转一 个航迹方位角，再 绕横轴转一个航迹 倾斜角得航迹系
航迹系和气流系的关系（无风时）
无风时，航迹系Ox轴 和气流坐标系相同， 航迹系绕纵轴转动一 个航迹滚转角得到气 流系
关于有风时二者关系 的推导参见鲁道夫布 劳克豪斯著《飞行控 制》第40页
5个轴系之间的关系
常用坐标系之间的转换

为了方便地描述飞机的空间运动状态，必须选择合适的坐标 系。通常将作用在飞机机体上的力和力矩分别投影到机体坐 标系中来分析飞机的角运动，而气流坐标系主要通过两个气 流角和来描述飞机相对于气流的位置，进而确定作用在飞机 上空气动力的大小。如果选机体坐标系来描述飞机的空间转 动状态，则推力可以直接在机体坐标系中表示，而气动力则 要有气流坐标系转换到机体坐标系，重力则需要从地面坐标 系转换到机体坐标系，这样才能够使得作用在不同坐标系中 的力统一到所选定的坐标系中，进而建立沿各个坐标轴的力 的方程以及绕各轴的力矩方程。所以，坐标系之间的转换是 建立飞机运动方程不可缺少的重要环节。
机体坐标系和气流坐标系之间的转换


①从机体坐标系 Sb (oxb yb zb )转动迎角 到稳定坐标系 Ss (os xs ys zs ) ，即有 xs cos 0 sin x y 0 y 为什么？ 1 0 s zs sin 0 cos z ②再从稳定坐标系 Ss (os xs ys zs ) 转动侧滑角 到气流坐标系 Sw (ow xw yw zw )，即 xw cos sin 0 xs y sin cos 0 y w s 0 1 zw 0 zs

一、常用坐标系（欧美系）
1.地面坐标系 S (o x y z ) o z 垂直地面指 o g x g 水平面任意方向， o 地面任意点， og xg y g水平面（地平面），符合右手规则。 向地心，
g g g g g
g
g
g
地面坐标系常用于指示飞机的方位， 近距离导航和航迹控制
2.机体坐标系

Sb (ob xb yb zb )


气流角
是由气流速度矢量与机体坐标系之间的关系确定的 ① 迎角 ，也称攻角—气流速度矢量在飞机对称面的投影 与 oxb 轴的夹角，以速度投影在 oxb 轴下为正，当 0 时 迎角速度矢量沿机体系或稳定系oy轴负方向 ② 侧滑角 —飞机速度矢量与飞机对称面的夹角，当 0 时， 。 侧滑角速度矢量沿稳定系或气流系的oz轴。

迎角不同于飞机的姿态角
5个轴系之间的关系
地面系和机体系的关系
定义了三个欧拉角， 由地面系先绕立轴 右转偏航角，再绕 横轴转俯仰，再绕 纵轴转滚转得机体 系
稳定系和机体系的关系
稳定坐标轴系 和机体轴差一 个迎角，机体 系绕横轴向下 转一个迎角得 稳定系
稳定系和气流系的关系 稳定系绕立 轴向右转一 个侧滑角即 得气流系
xq cos Lpq yq sin
顺时针旋转的转换矩阵
sin x p y cos p
yq cos x q sin
sin y p x cos p
飞机的运动参数
② 偏航角 —机体轴oxb 在地平面og xg y g平面的投影与 o g x g 轴 与 o g z g 轴方向一致，垂直于地平面,右偏航为正； 的夹角， 与 ③ 滚转角 — ozb 轴与包含 oxb 轴的垂直平面的夹角， oxb 轴方向一致，右滚转为正。

1.姿态角（Euler角） 飞机的姿态角是由机体坐标系和地面坐标系之间的 关系确定的 0时 ① 俯仰角 —机体轴 oxb 与地平面 og xg y平面的夹角， g 与 oy g轴方向一致，俯仰角 抬头为正；
绕 ox 轴的旋转矩阵
绕 oy 轴的旋转矩阵
绕 oz 轴的旋转矩阵
转换矩阵的计算和旋转顺序的选择原则
转换矩阵的计算 坐标系之间的转换矩阵可 以通过若干个基元矩阵依 次左乘得到 旋转顺序的选择原则������ ������ O 使Euler角有明确的物理 意义������ ������ 遵循工程界的传统习惯 ������ ������ 使Euler角可测量
上述表达形式还可以用四元数 （Quaternion）法计算, 四元数法具体的表述参见肖业伦著 《航空航天器运动的建模 —飞行动力学的理论基础》 第九章(北航出版社，2003)