常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程

一椭圆的参数方程

1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>的椭圆的参数方程

为cos (sin x a y b ϕ

ϕϕ=⎧⎨=⎩

为参数）

同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22

221(0)y x a b a b

+=>>的椭圆的参

数方程为cos (sin x b y a ϕ

ϕϕ=⎧⎨=⎩

为参数）

2、椭圆参数方程的推导

如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有

cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕ

ϕϕ

=⎧⎨=⎩为

参数）

这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆

的参数方程cos (sin x a y b ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点

(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋

转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化

可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。 ①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x y

a b ϕϕ==，可以

利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22

221(0)x y a b a b

+=>>

②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x y

a b

ϕϕ==，从而将普通方程

化为参数方程cos (sin x a y b ϕ

ϕϕ=⎧⎨

=⎩

为参数，0)a b >>

注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈

②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

二、双曲线的参数方程

1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的双曲线的

参数方程为sec (tan x a y b ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数）

同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22

221(0,0)y x a b a b

-=>>的双曲线

的参数方程为tan (sec x b y a ϕ

ϕϕ

=⎧⎨

=⎩为参数）

2、双曲线参数方程的推导

如图，

以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆

12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 与x 轴交于点'A ，

过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 与直线OA 交于点'B 。过点','A B 分别作y 轴，

x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。

设Ox 为始边，OA 为始边的角为ϕ，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ϕϕ。

所以(cos ,sin )OA a a ϕϕ=u u u r ，'(cos ,sin )AA x a a ϕϕ=--u u u r

，因为'OA AA ⊥u u u r u u u r ，所以'0OA AA ⋅=u u u r u u u r ，从而2cos (cos )(sin )0a x a a ϕϕϕ--=，解得cos a x ϕ=

，记

1

sec cos ϕϕ

= 则sec x a ϕ=。

因为点'B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有tan y

b

ϕ=

，即tan y b ϕ=⋅ 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ϕ

ϕϕ=⎧⎨=⎩

为参数）

这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。

3、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义

参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈，且2,2

3

π

π

ϕϕ≠

≠

4、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义

因为222

1sin 1cos cos ϕϕϕ

-=，即22

sec tan 1ϕϕ-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化

① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ϕϕϕ

=⎧⎨=⎩为参数）

，易得sec ,tan x y

a b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去，得到普通方程22

221(0,0)x y a b a b -=>>

② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x y

a b

ϕϕ==，从而将普

通方程化为参数方程sec (tan x a y a ϕ

ϕϕ

=⎧⎨=⎩为参数）

三、抛物线的参数方程

1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2

2y px =(0)p >的参数方程为2

2(2x pt t y pt ⎧=⎨

=⎩

为参数）

同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线2

2(0)x py p =>的参数方程是2

2(2x pt t y pt

=⎧⎨

=⎩为