5同态与同构89节

•
2 (a) 1 , 2 (b) 1 , 2 (a b) 1
• 所以, 2 (a b) 2 (a)2 (b)
• 例3 2 : a 1 ( a是 A的任一元)
• 固然是一个 A到 A的映射,但不是同态映
射.因为,对于任意 A的 a 和 b来说,
a 1, b 1
a b 1 (1) (1)
• 证明: • (1) f 1是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式
f 1(aob) f 1[ f (a)of (b)] f 1[ f (a ob)] a ob f 1(a) o f 1(b)
5.3 同态的代数系统
• 定义 A和 A是两个代数系统,如果存在
一个 A到 A的同态满射 f ,就称 A和 A同
xx • 上面的等式即:
a ob aob
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A到 A 的映射 称为对于代数运算 o和o 的同态映射,假如,a,b A,都有:
(a ob) (a)o(b)
注: 同态映射简称为态射.
• A＝{所有整数}, A 的代数运算是普通加法. • A {1, 1} , A 的代数运算是普通乘法.
a a, b b, c c
• 于是
(aob)oc f (a ob)oc f [(a ob) oc]
f [a o(b oc)] f (a)of (b oc) ao(boc)
注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有 一般性 • (2)同学们按照上面的方法,给出证明.
e ,
• 定理2 假定,e , 都是集合 A的代数运算, e , 都是 集合 A 的代数运算,并且存在一个 A到 A 的满射 , 使得 A与 A 对于代数运算 e ,e 来说同态,对于代数 运算 , 来说也同态.那么
态. • 记号: A : A
• 性质1
（1）反身性: A : A
（2）传递性: 注: 对称性不成立
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 o和 o来说, A到 A 同态.那么,
（1）若 o适合结合律, o 也适合结合律；
（2）若 o适合交换律, o 也适合交换律.
• 证明 我们用 f 来表示 A到 A的同态满射. （1）假定a, b, c 是 A的任意三个元. 由于 f 是同态满 射,我们在 A 里至少找得出三个元 a , b , c 来,使得 在 f 之下,
• 由于同构映射的性质，我们知道，
x o y z € xoy z
抽象地来看，A与A 这两个代数系统，没有任何区别（只
有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
进一步的定义 • 定义2 • (1)单同态:
• (2)满同态:
• (3)同构映射:
性质
• 性质1 设 A, A, A是三个代数系统,并且
f : A A, g: A A
是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, gf : A A仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射)
• 性质2 设 f : A A 是一个同构. 那么， f 1 : A A 也是一个同构.
变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……..
小结
• 现在我们看两个任意的，对于代数运算 o和 o来说 是同构的集合 A和 A．我们可以假定，
A {a ,b ,c ,...}
A {a ,b , c ,...}
• 并且在 A与 A间的同构映射 之下， a a ，b b ，c c ，…
• 例1 证明 1 : a 1 ( a是 A的任一元)
• 是一个到的同态映射.
• 证明 ……
• 例2 2 :
a 1 , a 1,
若是偶数 若是奇数
• 证明:2是一个 A到 A 的满射的同态映射.
•• 证个(2)明整若数:a ,显ab和都然b是, 来奇2是说数,A分…到三…A种的情满况射:.对于A 的任意两 • (13)若aa ,和bb都奇是偶偶性数相,那反么,…a …b…也.是偶数
(1) 若e , 适合第一分配律, e , 也适合第一分配律. (2) 若e , 适合第二分配律, e , 也适合第二分配律.
• 证明 ……
• 注: A : A, 由 A的性质可以推出 A 具有同样的 性质; 反过来不成立.
5.5 同构的代数系统及其意义
定义
定义 A和 A 是两个代数系统,如果存在一个 A到 A 的同构映射 f ,就称 A和 A 同态.
• 我们比较两个代数系统 A 和A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具
体的说,假如a 和b 是A 的两个元,那么(a ob) 和(a)o(b) 都有意 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
(a ob) (a)o(b)
• 换一种表示，假定在 之下的像，
• 记号: A A
自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己 做。
同构的代数系统意味什么
例1 A {0，1，2}, A {3，4，5．}
012
34 5
0 01 2
3345
1 12 0
4Βιβλιοθήκη Baidu53
2 20 1
5534
各 A是 A 与的代数运算 o与 o的表． 请比较两个运算表,方向异同之处?
在A的运算表, 进行变换: 0 3,1 4, 2 5
§5 同态与同构（8－9节）
• 5.1 最初的思想 • 5.2 同态映射与性质 • 5.3 同态的代数系统 • 5.4 可单向传递的性质 • 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这
里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合.