低能粒子散射特性的量子力学研究

Using quantum mechanics to study the scattering character of low- energy particle
QI Jian- xia
( Depar tment of A pplied M athematics and Physics, X i an University of Posts and T elecommunications, Xi an 710121, China)
经典的气体分子运动论把电子看成质点, 把气 体原子看成刚性小球, 它们之间碰撞的散射截面仅 决定于原子的尺寸, 电子的平均自由程也仅决定于 气体原子大小及其密度, 都与电子的运动速度无关。 对此, 经典理论无法作出正确解释。
1 理论分析
由量子力学知识可知, 粒子具 有波粒二 像性。 根据粒子的波动性, 可以把电子与原子的碰撞看成 是入射粒子在原子势场中的散射[ 2] , 其散射程度用 总散射截面来表示, 这是对冉绍尔效应的量子力学
摘要 : 本文主要讨论了惰性气体对低能粒子的散射 问题。在惰 性气体 中, 电子平 均自由 程与经典 的气体 分子运 动
论计算结果不 符合, 且惰性气体对电子的弹性散射总 截面随 着电子 能量的减 小而增 大, 经典散射 理论无 法对此 作
出合理解释。本文根据 量子力学知识, 考虑电子的波 动特性, 把电 子与原 子的碰 撞看成 是入射粒 子在原 子势场 中
整势阱参数 U0 和 a, 使 t g( k%a ) & k%a 时, 可以使入 射粒子能量为 1ev 时散射截面出现一个极小值, 即
出现共振透射现象。
当粒子能量增大, 高 l 分波的贡献便是不可忽 略的, 此时需要解 l ∋ 0 的方程( 6) , 求解较为困难。
对于高能散射问题, ka > > 1 时, 可以用玻恩近似
参考文献
[ 1] 吴思诚, 王祖铨. 近代物理 实 I( 基本实 验) [ M ] . 北京: 北京大学出版社, 1986.
[ 2] 周世勋. 量子力 学教 程[ M ] . 北京: 高 等教 育出 版社, 2 00 1.
[ 3] 钱伯初. 量子力学[ M] . 北京: 电子工业出版社, 1993.
法来计算散射截面。可以计算得[ 4] ,
Q
& (2
U 3
0a
2
3
)
2
(
∀3 ak) 2
(
1 k2
(
1 E
( 10)
由( 10) 式可以看出, 在粒子能量较高的高能散
) 122 )
西安邮电学院 学报
2009 年 5 月
射中, 散射截面 Q 是随着粒子能量 E 的增加而减小 的, 对应于图线上极大值右端能量增加, 散射截面减 小的区域。
2 结论
无论是哪种气体原子的弹性散射截面( 或电子
平均自由程) , 在低能区都与碰撞电子的能量( 或运 动速度 v) 明显相关, 而且类似的原子具有相似的行 为。根据量子力学知识可知, 这种现象是一种量子 效应。电子与原子的碰撞实际上是入射电子波在原 子势场中的散射。对于低能粒子, 通过调节调整势 阱参数, 会出现总散射截面最小的情况。对于高能 粒子, 通过用玻恩近似法分析可知, 散射截面与粒子 能量成反比。
Abstract: T he scat tering charact er of low- energy part icle in noble gas is analyzed in t his paper. T he elect ron mean- f ree- path is not coincident w it h t he result of g as kinet ic t heory . T he elast ic scatt ering cross sect ion in creases w it h t he decrease of elect ron energy, while t he classical scat tering theory cannot g ive a reasonable expla nat ion. Based on quantum mechanical t heory, elect ron - atom collision is considered as part icle s scatt ering in an at om pot ent ial field. A model is set up and a qualitative interpret at ion is present ed. Key words: elast ic scatt ering; scat tering cross sect ion; low - energ y part icle
收稿日期: 2009- 02- 11 基金项目: 西安邮电学院中青年科研基金( ZL2008- 31) 作者简介: 祁建霞( 1980- ) , 女 , 山西朔州人, 西安邮电学院应用数理系助教。
ห้องสมุดไป่ตู้3期
祁建霞: 低能粒子散射特性的量子力学研究
) 121 )
图 1 氙、氪、氩的冉绍尔曲线
解释的总体思路。
的散射, 以此建立模型进行分析, 对现象作出了合理的定性解释。
关键词: 弹性散射; 散射截面; 低能粒子
中图分类号: O561. 5
文献标识码: A
文章编号: 1007- 3264( 2009) 03- 0120- 03
引言
在量子力学中, 散射现象也称为碰撞现象。研 究粒子与力场( 或者粒子与粒子) 碰撞的过程有很重 要的实际意义。通过粒子与原子的碰撞加深了我们 对原子内部结构的了解。例如卢瑟福根据 a 粒子的 散射现象, 发现了原子 中心有一个重 核存在; 弗兰 克、赫兹等人所进行的电子与原子碰撞实验, 证明了 玻尔关于原子有定态的假设。此外, 在宇宙射线、气 体放电、气体分子的碰撞等现象中, 碰撞过程也占有 很重要的地位。
明的。电子能量小于 1eV 以后 Q 再度增大。此后, 冉绍尔又对各种气体进行了测量, 发现无论哪种气 体的总有效散射截面都和碰撞电子的速度有关。并 且, 结构上类似的气体原子或分子, 它们的总有效散 射截面对电子速度的关系曲线 Q= F( V) ( V 为加 速电压值) 具有相同的形状, 称为冉绍尔曲线。图 1 为氙( Xe) , 氪( Ke) , 氩( Ar) 三种惰性气体的冉绍尔 曲线。图中横坐标是与电子速度成正比的加速电压 平方根值, 纵坐标是散射截面 Q 值, 其中 a0 为原子 的玻尔半径。图中右方的横线表示用气体分子运动 论计算出的 Q 值。[ 1]
( 上接第 82 页)
Research on QoS mechanisms for mobile Ad- hoc Internets
HE Xiu- mei, SH EN Su- bin
( College of Computer , N anjing U niversity of Posts and T elecommunications, Nanjing 210003, China)
因此, 入射粒子在原子势场中的散射可以分两 种情况分析。对于低能粒子, 我们可以运用分波法分 析, 调节调整势阱参数 U0 和 a , 粒子会发生共振透 射现象, 出现总散射截面最小。对于高能粒子, 可以 运用波恩近似法计算总散射截面, 且得到散射截面 与粒子能量 E 成反比的结论。以上我们定性的解释 了冉绍尔- 汤森效应的实验曲线, 要更加精确的计 算散射截面, 则需要用到 哈特里- 福 克( Hartree F ock) 自洽场方法。
! ∀ 时, U ! 0, 即在粒子远离散射中心时, 两者之
间的相互作用趋于零。这样, 在 r ! ∀ 的地方, 波函
数应由两部分组成: 一部分是描写入射粒子的平面 波 1 = A eikz , 另一部分是描写散射粒子的球面散
射波 2 = f ( , !) eikr / r , 这个波由散射中心向外
截面的问题归结为计算相移 #l 。 #l 可以通过解径向方程:
1d r 2 dr
r
2
d dr
R
l
+
k2-
l(
l+ r2
1)
-
U( r )
Rl
=0
( 5)
求出
kr ! ∀
Rl
1 kr
sin
kr -
l2∀+
#l
( 6)
其中 k2 = 2 E / 2.
对于低能的情况, 即 ka < < 1时, 高 l 分波的贡 献很小, 可以只计算 l = 0 的 s 分波的相移 #0, 令 k%2
传播,
r !∀
eikz +
f(
)
ei kr r
(
k
=
2 E / h2)
( 2) 式中, f ( , !) 称为散射振幅, 仅是 和 !的函数, 而 与 r 无关, 容易证明( 2) 式在 r ! ∀ 时满足方程( 1) 式。
假设入射粒子能量很小, 低能粒子受球对称方 形势阱的散射, 它的德布罗意波长比势场作用范围 大的多。以 a 表示方形势阱的范围, 所以粒子的势能 可以写为
- U0, r # a
U( r) =
( 3)
0, r > a
对于低能粒子的散射的研究, 分波法最为适用,
运用该方法可以求解出粒子的总散射截面为:
∀
∃ Q =
4∀ k2 I=
0
(
2l
+
1) sin2 #l
( 4)
其中 #l 是入射波经过散射后第l 个分波的位相移动
( 简称相移) , 由( 4) 式可以看出, 用分波法计算散射
arctg x & x , 所以( 7) 式可以简化为
#0 & ka
tg k 0 k0 a
a
-
1
<<
1
式中 k0 = 2 | U0 |
所以( 8) 式化简为
Q
&
4k2∀sin2 #0
&
4 k
∀2 #20
&
4
∀a
2(
t
g k 0a k0 a
-
1) 2
( 9) 由上式可以看出, 在粒子能量很低的情况下, 调
2009 年 5 月 第 14 卷 第 3 期
西安邮电学院学报 JOU RNA L OF XI AN U NI VERSIT Y O F POST AN D T ELECOM M U N ICAT IO NS
M ay 2009 Vol 14 N o 3
低能粒子散射特性的量子力学研究
祁建霞
( 西安邮电学院 应用数理系, 陕西 西安 710121)
如前所述, 碰撞过程极其常见并十分重要, 作为 一种探测手段, 在许多领域有着很重要的地位。 1921 年, 冉 绍尔 在 研究 惰性 气体 对 低速 电 子 ( 0. 75eV 1. 1eV 的弹性散射效应时候, 发现氩气中电 子自由程比用气体分子运动论计算出来的数值大得 多。后来, 把电子的能量扩展到一个较宽的范围内 进行观察, 发现氩原子对电子的弹性总散射截面 Q 随着电子能量的减小而增大, 约在 10eV 附近达到 一个极大值, 而后开始下降, 当电子能量逐渐减小到 1eV 左右时, 散射截面 Q 出现一个极小值。也就是 说, 对于能量为 1eV 左右的电子, 氩气竟好像是透
建立坐标系, 取散射中心为坐标原点。用 U( r )
表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能, 则
体系的薛定谔方程写为:
- h2 2 + U( r)
=E
( 1)
其中, 是入射粒子质量, E 是它的能量。 观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地
方, 所以只需讨论 r ! ∀ 时 的行为即可。假设 r
=
k2- 2
U
2
0
,
则:
#0 = arctg kk%t g k%a - ka
( 7)
将( 7) 式代入( 4) 式, 总散射截面为:
Q
&
Q0 =
4 k
∀2 sin2
#0
=
4 k
∀2 sin2
arctg ( kk%t g k%a) -
ka
( 8)
在粒子能量很低 k ! 0 的情况下, 因为 x ! 0 时
Abstract: Mobile Ad- hoc Int ernet is a MANET - orient ed Int ernet architecture. T o achieve QoS- g uarant eed self- organizing rout ing and f ast route- sw itching, a mechanism of QoS is presented, w hich includes an en hanced BGP/ M PLS VPN archit ecture and QoS rout ing method, t hus provides end- to- end QoS guarant ee for the net work. Key words: M AINET ; BGP/ M PL S VPN; QoS routing