高等数学-向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何

5.1向量

既有大小又有方向的量

表示：→

-AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2

22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→

ο

a 模为1的向量。 3． 模

→

→→

⋅=++=a a z y x a 2

22||

4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→

→

5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++=

a ⊥

b ⇔a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积

|a ⨯b | =| a || b |sin θ= z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

a //

b ⇔a ⨯b ＝0.( a ⨯b= - b ⨯a ) ⇔

2

1

2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→

→

例1 1||,2||==→

→

b a ，→a 与→

b 夹角为3

π

，求||→

→+b a 。

解 22

||cos ||||2||2)()(||→

→→→

→→→→→→→→→→→

→++=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ

713

cos

12222=+⋅⋅⋅+=

π

例2 设2)(=⋅⨯c b a ，求)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+。 解 根据向量的运算法则

)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+

=)(])()[(a c c b a b b a +⋅⨯++⨯+

)(])[()(])[(a c c b a a c b b a +⋅⨯+++⋅⨯+= a c b a a c b a ⋅⨯+++⋅⨯=])[()()( a c b a c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()(

c b a c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a

例3 设向量k j i a +-=，k j i b 543+-=，b a x λ+=，λ为实数，试证：当模x

最小时，向量x 必须垂直于向量b 。 解 由k j i a +-=，k j i b 543+-=得50||,3||2

2

==b a ，12=⋅b a ，于是

b a b a b a x ⋅++=+=λλλ2||||)(||22222

25325650502432

2

+

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=λλλ 由此可知，当256-

=λ时，模||x 最小，因而⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=-=255,251,257

256b a x 故

0)5,4,3(255,251,257

=-⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⋅b x

所以，当模x 最小时，向量x 必须垂直于向量b 。

8． 向量的投影

Prj a b ＝|b |θcos 为向量b 在向量a 上的投影。a ·b ＝| a |Prj a b

5.2空间平面与直线 5.2.1 空间平面

点法式方程：与定点),,(0000z y x p 连线和非零向量n ＝（a ，b ，c ）垂直的点的集合。

0)()()(000=-+-+-z z c y y b x x a 。

平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，n ＝（A ，B ，C ）

截距式方程：

1=++c

z b y a x 三点式方程 01

31

31

312121

2111

=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 例1 求过)0,0,0(O ，)2,3,1(A ，)1,1,2(--B 点的平面方程

解（1）点法式

n ＝)7,5,1(1

12231--=--=⨯→

→→→

-→

-k

j i OB OA 。

则平面方程为0)0(7)0(5)0(=---+--z y x ，即075=+-z y x 。 解（2）设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，代入)0,0,0(O 得0=D 。

代入)2,3,1(A ，)1,1,2(--B 得⎩

⎨

⎧=--=++020

23C B A C B A 解之得A C A B 7,5=-=

代入方程消去A ，得方程为075=+-z y x

例2 一平面通过点)3,2,1(，它在正x 轴，正y 轴上的截距相等，问此平面在三坐标面

上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。 解 依题意设所求平面的截距式方程为

1=++c

z

a y a x ，由于点)3,2,1(在此平面上，故有

1321=++c a a ，解之3

3-=

a a

c 。

四面体之体积3

2133613

-⋅=-⋅⋅=a a a a a a V ，2

32)3()3(321---='a a a a V ， 令0='V 得9,2

9

==

c a 。 例3 求过点)1,1,1(-A ，)2,2,2(--B 和)2,1,1(-C 三点的平面方程。

解 由三点式方程03

2

333

1

11=---+--z y x 故所求方程为0)1(6)1(9)1(3=++-+--z y x ，即023=--z y x