平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用

平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用金贺浩（太和第二中学 安徽 太和 236600）摘要：本文先总结了几种“推导”公式的方法，使学生全面彻底了解公式的“来龙去脉”和真正意义，再通过举例、应用使之掌握公式的用法. 关键词:匀变速直线运动;位移差; 纸带;一、平均速度等于中间时刻的速度1、公式推导或证明 平均速度t s t x v 梯==ttvv 20+=20v v +=（无t 、x 和a ), 或t x v ==t at t v 2021+20v v v +== 22210000v v at v v at v +=++=+=202t v ta v =⋅+=,类比t a v v ⋅+=0,其中时间t 不同.或tat vt t x v 221-==22-21-0v v at v v at v +=+==22-t v t a v ==,把at v 210+记作2t v ,2t 代表中间时刻,2t v 代表中间时刻的速度（220tt =+），则202vv v vt +==，其中0v 和v 分别指某段时间间隔内对应的初始时刻和末时刻的速度或位移内对应的初始位置和末位置的速度.形象地说，也就是梯形对应的上底和下底，2t“恰好”是梯形的中位线，即平均速度是对应的梯形的中位线对应的纵坐标数值.例如，质点由A 点匀加速出到B ，则该段位移内的平均速度是2BA v v v +=；一个物体做匀加速直线运动，它在第3s 内（指第2s 末到第3s 末）的平均速度是5.1322v v v v =+=，其中右下脚码指对应的时刻，1.5是中间时刻的坐标5.1232=+，它是数学上中点坐标212xx x +=的“迁移变形”，第6s 内的平均速度是__________，它在第二个4s 内的平均速度是6284842v v v v v ==+=+，它在第一个4s 内的平均速度是__________.例题：如图所示，一个做直线运动的物体的速度图象，初速度0v ，末速度t v ，在时间t 内物体的平均速度v ，则：A.20t v v v += ；B. 20tv v v +< ； C. 20tv v v +> ； D.v 的大小无法确定解析：公式t x v =，x 是图像的面积，对于匀变速2/200v v t t v v t s v +=+==梯，因为本题梯s x >, 所以20tv v v +>.2.两个“中间速度”的对比——中间时刻（时间的中点，对应横坐标的平均值，）和中间位置（位置的中点，对应图像左右部分面积相等，面积代表位移）全程的位移为x ,中点位移为2x ，记中间位置时速度为2x v ，重复利用公式ax v v 2202=-①，得22222x a v v x=-②，22222x a v v x =-③，联立②③解得2222v v v x +=；或联立①②，解得22220220220222v v v v v ax v v x +=-+=+=；或联立②③解得22-2-2022022222v v v v v ax v v x +=-==.（1）当作匀变速直线运动时，对于任意时间间隔内，无论是加速或减速，都有22x tv v <或22220v v v v +<+. 证明：由于220222v v v x+=,42202022v vv v v t ++=，得2-2-42-42-242-2-20220202020202022*******222≥==+=+++=+++=）（）（）（）（）（v v v v v vv v v vv v v v v vv v v v v v tx即22x t v v ≤或22220v v v v +≤+. 特别的，当作匀速直线运动时，对于任意时刻的速度0v v =,都有22x t v v =或22220v v v v +=+. （2）也可通过图像直接看出：证明2222t xv v >（22t x v v >）或22/22/t x v v >（2/2/t x v v >）.（3）通过数字说明：例如某质点做匀加速直线运动从A 到B ，s m v A/1=，s m v B /7=，那么经过AB 中点O 时和一半时间时速度分别为多大？中间时刻——时间的中点：s m vv v t/4202=+=； 中间位置——位置的中点：s m v v v x /52222=+=，符合22x t v v <.二、公式在纸带上的应用——“打点模型”1.证明:如上图图所示，从0到1，从1到2，从2到3，从O 到A,从A 到B,从B 到C,等等，时间间隔都是相同的（0.02s 的倍数）.根据以上推导，得TS S v 2322+=，TS S v 2211+=，TAC v B 2=，Tx v OB A 2=，TB D T x T BD v BDC 2)(22表示坐标（表示长度）-===证法一：方程组由2021at t v x +=得 2B 121aT T v s -=①2221aT T v s B +=②得Tll v B 221+=③212aT s s =-④证法二：再由at v v +=0，得aT v v B A -=和aT v v B C +=.ABCS 1S 2O ABCDEFS 1S 2S 3S 4S 5S 6图 90 1 2 3 4 5 6 7 S 3 S 6ts s t s t st t vv v v v 210022+===+=+=梯 t s s t s t st t v v v v v CA C AB 2122+===+=+=梯 T S S V 2322+=TS S V 2211+=点拨：一般匀变速题目中，具有连续相等时间间隔的要素时，都可以转化为“打点模型”，如右图所示。

2.例题（1）【2011安徽高考】．一物体作匀加速直线运动，通过一段位移x ∆所用的时间为1t ，紧接着通过下一段位移x ∆所用的时间为2t 。

则物体运动的加速度为A ．)()(2212121t t t t t t x +-∆B ．)()(212121t t t t t t x +-∆C ．)-()(2212121t t t t t t x +∆D ．)-()(212121t t t t t t x +∆解：物体作匀加速直线运动在前一段x ∆所处的时间间隔从0到1t 时刻，对应位置是A 、B ；物体在后一段x ∆所处的时间间隔从1t 到）（21t t +时刻，对应位置是B 、C. 解法一：物体作匀加速直线运动在前一段x ∆所用的时间为1t ，10t →的平均速度为11t xv ∆=，即为121t 时刻的瞬时速度；物体在后一段x ∆所用的时间为2t ，211t t t +→的平均速度为22t xv ∆=，即为）（2121t t +时刻的瞬时速度。

速度由1v 变化到2v 的时间为221t t +，所以加速度)()(22221212*********t t t t t t x t t t x t x t t v v t v a +-∆=+∆-∆=+-=∆∆=，检验：（1）公式从单位上看（检验），右边部分确实是加速度的单位，正确；（2）令21t t =，则021=-t t ，0=a ，即表示做匀速直线运动，符合。

故A 正确。

解法二： 由2021at t v x +=得 对AB(10t →)：21121at t v x A +=∆① 对AC(210t t +→)：22121(21(2））t t a t t v x A +++=∆② 或对BC(211t t t +→)：222121)(at t at v x A ++=∆③或②-①=③，由②①，消去A v ，得22212121-21-t at x t at x ∆=∆④，解之， 12122211--2121-21-t x t x t t a at t x at t x ∆∆=∆=∆）（得)()(222121212112t t t t t t x t t t x t x a +-∆=+∆-∆=. 解法三：对AB ：21121at t v x B -=∆① 对BC ：22221at t v x B +=∆②由①②，消去B v ，得22212121-21t at x t at x ∆=+∆③，解之， 12122211-2121-21t x t x t t a at t x at t x ∆∆=+∆=+∆）（得)()(222121212112t t t t t t x t t t x t x a +-∆=+∆-∆=.检验：由①②联立，xt t t t t t v x t v t x t v t t xt v t x t v B B B B B ∆-=-∆-=∆-∆-=∆-)()()()(212121221221221122222211 解得21122)(t t x t t v v x B ∆+==，全程的平均速度是2212t v t t xv =+∆=，匀变速直线运动满足22t x v v >，222)(2)(21222121212221212212112>+>++∆>∆++∆>∆+t t t t t t t t x t t x t t t t xt t x t t即[]0)()(0)(2)(0)(2)(02)(01221212212212121212212121221211222>++∆>+-+∆>+∆-∆+>+∆-∆+>-t t t t t t x t t t t t t t t x t t t t t xt x t t t t xt t x t t v v t x解法四：由1102t v v x+=，得1102t x v v =+；由2212t v v x +=得，2122t x v v =+；由t v a ∆∆=得)()(22221212112121202t t t t t t x t t t x t x t t v v a +-∆=+-=+-= （2）【2010安徽高考】物体做匀加速直线运动，在第一个t 内位移为1x ，第二个t 内位移为2x ，则物体在第一个t 末的速度及加速度分别为多少？(纸带中用平均速度代替瞬时速度)解：物体作匀加速直线运动在前一段1x 所处的时间间隔从0到t 时刻，对应位置是A 、B ；物体在后一段2x 所处的时间间隔从t 到t 2时刻，对应位置是B 、C.解法一：物体作匀加速直线运动在前一段1x 所用的时间为t ，t →0的平均速度为txv 11=，即为t 21时刻的瞬时速度；物体在后一段2x 所用的时间为2t ，t t 2→的平均速度为txv 22=，即为t t t 2321=+）（时刻的瞬时速度。