奇偶性的概念

奇偶性的概念

学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

知识点一函数奇偶性的几何特征

思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？

答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．

梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义

函数奇偶性的概念：

(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．

知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质

1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

2．重要性质

(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．

(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．

1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f (x )是奇函数，f (1)＝2，则f (－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)

类型一 证明函数的奇偶性

例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2

x －1既非奇函数又非偶函数；

(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；

(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性

证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f (x )＝x 3－x 2

x －1

既非奇函数又非偶函数．

(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．

(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，故函数f (x )＝

1－x 2＋

x 2－1既是奇函数又是偶函数．

反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x

2－x

既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性

证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．

(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．

类型二奇偶性的应用

命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用

例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．

(1)画出f(x)的图象；

(2)解不等式xf(x)>0.

考点函数图象的对称性

题点中心对称问题

解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．

(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．

引申探究

把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．

解(1)f(x)的图象如图所示：

(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．

反思与感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．

跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合． 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题

解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .

分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．

(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值

例3 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.

考点 函数奇偶性的应用

题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 13

解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝1

3x 2＋bx ＋b

＋1.

又f (x )为偶函数，

所以f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝1

3x 2＋bx ＋b ＋1对定义域内任意x 恒成立，

即2bx ＝0对任意x ∈⎣⎡⎦

⎤－23，2

3恒成立，