浙江省宁波市镇海中学2021届高三上学期期中考试数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（13）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.46.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6对称.则θ的最小值为（）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6A. π6B. π3C. π2D.π9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+210.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.10 D.1411.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i的虚部为___ .模为___ ． 12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该几何体的体积（单位：cm 3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm 2）为___ ．13.（填空题.6分）若（1+x ）（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8.则a 1+a 2+…+a 7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法． 14.（填空题.6分）已知数列{a n }.{b n }满足：a 1=1.a n +a n+1=n.b n =a 2n-1.则数列b n =___ ；记S n 为数列{a n }的前n 项和.S 31-S 24=___ ．15.（填空题.4分）函数f （x ）=sin （ωx+φ）的部分图象如图所示.则f （x ）的单调递增区间为___ ．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．20.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1= 12，(a n+1+1)(a n+1)=2a n+1，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*.a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜112．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）【正确答案】：C【解析】：求出集合A.集合B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}.集合B={x|-1≤x≤1}.∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0.1]．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）3A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【正确答案】：D【解析】：根据指数函数和对数函数的性质即可求出．）-0.8=30.8.【解答】：解：a=30.7.b=（13则b＞a＞1.log0.70.8＜log0.70.7=1.∴c＜a＜b.【点评】：本题考查了指数函数和对数函数的性质.属于基础题．3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β【正确答案】：B【解析】：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：对于A.若α || β.m || β.则l || m或l与m异面.故A错误；对于B.若α || β.m⊥β.则m⊥α.又l⊂α.则l⊥m.故B正确；对于C.若1 || m.α || β.则m || β或m⊂β.故C错误；对于D.若l⊥m.m || β.则α || β或α与β相交.故D错误．故选：B．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]【正确答案】：A【解析】：根据二元一次不等式组画出可行域.目标函数几何意义z′=x-3y-2的纵截距相反数.平移目标函数观察Z取值范围．【解答】：解：如图可行域：令z′=x-3y-2.平移直线x-3y-2=0可知当直线过C（0.-1）时.z′取得最大值1.经过B（-2.1）时.z′有最小值-7.Z=|x-3y-2|.所以Z的取值范围：[0.7]【点评】：本题考查线性规划问题.属常规题较简单.解题的关键是画好可行域.弄清z所对应的几何意义．5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.4【正确答案】：A【解析】：利用已知条件化简.转化求解即可．【解答】：解：1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2 .则S3=8．故选：A．【点评】：本题考查等比数列的性质.考查化归与转化的思想．6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由函数为偶函数.可排除选项A.由f（2）＞0.可排除BC.即可得到正确答案．【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠±1}. f(−x)=−x(e −x−e x)x2−1=f(x) .故函数f（x）为偶函数.其图象关于y轴对称.故排除A；又f(2)=2(e 2−e−2)3＞0 .故排除BC；故选：D．【点评】：本题考查利用函数性质确定函数图象.考查数形结合思想.属于基础题．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据条件判断函数f（x）是奇函数.同时也是增函数.结合函数奇偶性和单调性的性质.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵f（x）=|x|（e x-e-x）.∴f（-x）=|-x|（e-x-e x）=-|x|（e x-e-x）=-f（x）.即函数f（x）是奇函数.当x≥0.f（x）为增函数.则由a+b＞0得a＞-b.此时f（a）＞f（-b）=-f（b）.即f（a）+f（b）＞0成立.即充分性成立. 若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞-f（b）=f（-b）.则a＞-b.即a+b＞0成立.即必要性成立.则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件.故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6对称.则θ的最小值为（）A. π6B. π3C. π2D.π【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式.再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．【解答】：解：函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得y=f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ π6 ]=2sin（2x-2θ+ π6）；又函数y的图象关于直线x=π6对称.即2× π6 -2θ+ π6=kπ+ π2.k∈Z；解得θ=- 12kπ.k∈Z；又θ＞0.所以θ的最小值为π2．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了图象平移问题.是基础题． 9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2 【正确答案】：C【解析】：过O 作OD⊥AB .由已知求得|OD|.再求出原点到直线x+y-4=0的距离.求得| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.再由 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |求解．【解答】：解：如图.P 为直线x+y-4=0上的任意一点.过原点O 作OD⊥AB .由|AB|=2 √3 .可得|OD|=1. ∴| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP|-1.则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√2−1=2√2−1 ． 则| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 4√2−2 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质.考查向量模的最值的求法.理解题意是关键.是中档题．10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ）A.2B.4C.10D.14【正确答案】：B【解析】：可将数列的递推式两边平方.运用累加法和排除法.可得结论．【解答】：解：|a i+1|=|a i +1|.两边平方可得a i+12=a i 2+2a i +1. 由a 12=a 02+2a 0+1=0+0+1.a 22=a 12+2a 1+1.a 32=a 22+2a 2+1.….a 212=a 202+2a 20+1. 上面的式子累加可得a 212=2（a 1+a 2+…+a 20）+21.则| ∑a k 20k=1 |=| a 212−212|.若| a 212−212 |=2.可得a 21=±5.故A 可能； 若|a 212−212|=4.可得a 21不为整数.故B 不可能； 若| a 212−212 |=10.可得a 21=±1.故C 可能； 若|a 212−212|=14.可得a 21=±7.故D 可能．故选：B ．【点评】：本题考查数列递推式的运用和数列的求和.考查分类讨论思想和判断能力.属于中档题．11.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i 的虚部为___ .模为___ ． 【正确答案】：[1] 32; [2]√102【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.可得复数的虚部.再由复数模的计算公式求复数的模．【解答】：解：∵ i (1+2i )1+i = −2+i1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−2+2i+i−i 22=−12+32i .∴复数 i (1+2i )1+i 的虚部为 32. |i (1+2i )1+i |=| −12+32i |= √(−12)2+(32)2=√102． 故答案为： 32 ； √102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）.则该几何体的体积（单位：cm3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm2）为___ ．【正确答案】：[1] 163; [2]4 √2【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图.进一步利用体积公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E-ABCD．如图所示：所以V E−ABCD=13×2×4×2=163. S△ADE=12×4×√22+22=4√2．故答案为：163；4√2．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换.几何体的体积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．13.（填空题.6分）若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.则a1+a2+…+a7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法．【正确答案】：[1]125; [2]35【解析】：利用二项式定理可知.对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．先求出任取不同的三项的所有取法.再求出三项均相邻和只有两项相邻的不同取法.利用间接法即可求解．【解答】：解：∵（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.∴a8= C77•（-2）7=-128．令x=0.得（1+0）（1-0）7=a0.即a0=1；令x=1.得（1+1）（1-2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-2.∴a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125．在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.有C93 =84种不同取法.三项均相邻.有7种不同的取法.两项相邻.有2×6+6×5=42种不同的取法.故三项均不相邻有84-7-42=35种不同的取法．故答案为：125；35．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.组合数公式的应用.属于中档题．14.（填空题.6分）已知数列{a n}.{b n}满足：a1=1.a n+a n+1=n.b n=a2n-1.则数列b n=___ ；记S n为数列{a n}的前n项和.S31-S24=___ ．【正确答案】：[1]n; [2]97【解析】：由a n+a n+1=n.可将n换为n-1.相减可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.再由数列的分组求和.可得所求和．【解答】：解：a1=1.a n+a n+1=n.可得a2=1-a1=0.将n换为n-1可得a n-1+a n=n-1.n≥2.又a n+a n+1=n.相减可得a n+1-a n-1=1.可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.可得b n=a2n-1=1+（n-1）=n；a2n=0+n-1=n-1.则S31-S24=a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31=（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）=（13+14+15+16）+（12+13+14）=58+39=97．故答案为：n.97．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的求和方法：分组求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．15.（填空题.4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.则f（x）的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1][2k- 54 .2k- 14].k∈Z【解析】：由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用正弦函数的单调性.得出结论．【解答】：解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象.可得12• 2πω= 54- 14.∴ω=π．再根据五点法作图.可得π× 14+φ=π.∴φ= 3π4.f（x）=sin（πx+ 3π4）．令2kπ- π2≤πx+ 3π4≤2kπ+ π2.k∈Z.解得 2k- 54≤x≤2k- 14.k∈Z.故函数的增区间为[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．故答案为：[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.正弦函数的单调性.属于中档题．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√23【解析】：换元t= xy +2yx.然后结合基本不等式可求t的范围.然后结合函数y=t+ 1t的单调性可求范围.然后2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t.从而可求【解答】：解：因为x＞0.y＞0.令t= xy +2yx.则t ≥2√2 .所以y=t+ 1t 在[2 √2 .+∞）上单调递增.y ≥9√24.则2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t≤9√24= 2√23.当且仅当t= 1t即t=1时取等号.故答案为：2√23【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑.属于中档试题．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O 为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.推导出∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理推导出12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．【解答】：解：四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°. 构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.∵异面直线AB与CD所成角为60°.∴∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos60°.∴AB2+BE2-AB•BE=12.∴12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.∴四面体ABCD的体积：V A−BCD=13V ABE−CDF = 13×12×AB×BE×sin60°×BC = √36×AB×BE≤ 2√3．∴四面体ABCD的体积的最大值为2 √3．故答案为：2√3．【点评】：本题考查四面体的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化角为边.再由余弦定理求出cosB.从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形.利用余弦定理求出BD的值.再求△ABC的面积．【解答】：解：（1）△ABC中.sin2A+sin2C-sin2B= 23sinAsinC.由正弦定理得.a2+c2-b2= 23ac.所以cosB= a 2+c2−b22ac=23ac2ac= 13；又B∈（0.π）.所以sinB= √1−sin2B = √1−(13)2= 2√23；（2）如图所示.设BD=AD=2DC=x.由c=AB=2.利用余弦定理得.AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB. 即x2=22+x2-2×2×x× 13.解得x=3.CD= 12 x= 32.所以△ABC的面积为S△ABC= 12AB•BC•sinB= 12×2×（3+ 32）× 2√23=3 √2．【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取BC的中点E.连接DE.分别计算BD.CD.利用勾股定理的逆定理证明BD⊥CD.再根据面面垂直的性质得出BD⊥平面SCD；（2）建立空间坐标系.计算平面MBD的法向量n⃗ .计算n⃗和DS⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出SD与平面MBD所成角的大小．【解答】：（1）证明：取BC 的中点E.连接DE. 设AB=a.则AD=a.BC=2a.BE= 12 BC=a. ∵∠ABC=90°.AD || BE.AD=BE. ∴四边形ABED 是正方形. ∴BD= √2 a.DE⊥BC .DE=CE=a. ∴C D= √2 a.∴BD 2+CD 2=BC 2.故BD⊥CD .∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.BD⊂平面ABCD.BD⊥CD . ∴BD⊥平面SCD ．（2）解：过S 作SN⊥CD .交CD 延长线于N.∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.SN⊂平面SCD.SN⊥CD . ∴SN⊥平面ABCD.∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角.故∠SDN=60°. ∵SD=CD= √2 a.∴DN=√2a 2 .SN= √6a2. 以D 为原点.以DB.DC.及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz.如图所示.则B （ √2 a.0.0）.D （0.0.0）.A （ √22a.- √22a.0）.S （0.- √22a. √62a ）. ∵M 是SA 的中点.∴M （ √24 a.- √22 a. √64 a ）.∴ DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.- √22 a. √62 a ）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 a.0.0）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √24 a.- √22 a. √64a ）. 设平面MBD 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {√2ax =0√24ax −√22ay +√64az =0 . 令z=2可得 n ⃗ =（0. √3 .2）.∴cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62a √7×√2a= √2114 . ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= √2114 ．【点评】：本题考查面面垂直的性质.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对∀n∈N *.a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2＜ 112 ．【正确答案】：【解析】：（1）求得a n+1= an1+a n.判断a n ＞0.两边取倒数.结合等差数列的定义和通项公式.可得所求通项公式；（2）求得a k a k+1a k+2= 12 [ 1(k+1)(k+2) - 1(k+2)(k+3)].再由数列的裂项相消求和和不等式的性质.即可得证．【解答】：解：（1）由a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ .可得a n+1= an 1+a n.由a 1＞0.可得a n ＞0. 则 1a n+1=1+ 1a n.即1a n+1- 1a n=1.所以{ 1a n}是首项为2.公差为1的等差数列. 则 1a n=2+n-1=n+1.即a n = 1n+1 ；（2）证明：a n = 1n+1 .对k=1.2.3.….a k a k+1a k+2= 1(k+1)(k+2)(k+3)= 12 [ 1(k+1)(k+2)- 1(k+2)(k+3)].所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2= 12 [ 12×3- 13×4+ 13×4- 14×5+…+ 1(n+1)(n+2)- 1(n+2)(n+3)]= 12 [ 12×3- 1(n+2)(n+3)]= 112- 12(n+2)(n+3)＜112．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的裂项相消求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过椭圆E的离心率.及椭圆过点P（- √3 . 12）.求得a.b即可得到椭圆方程．（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.写出直线MA、MB的方程即可得到得D（0. 2 y0x0+2）.C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2令x0+2y0=t.利用椭圆参数方程无得t的范围即可求解．【解答】：解：（1）由题意{ca =√323 a2+14b2=1.结合a2=b2+c2.解得a2=4.b2=1.c2=3.故.椭圆C的标准方程为：x 24+y2=1．；（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.a（-2.0）.B（0.-1）.直线MA的方程为：y=y0x0+2(x+2) .令x=0.得D（0. 2 y0x0+2）.直线MB的方程为：y=y0+1x0x−1 .令x=0.得C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2.令x0+2y0=t.则t2=(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0 =4+4x0y0. ∴ x0y0=t2−44.∴S=t2−44t2−44+t+2=1+ −4t+2．令x0=2cosθ，y0=sinθ，θ∈(0，π2) .则t=2cosθ+2sinθ=2 √2 sin（θ+π4）.∵ θ∈(0，π2) .∴ θ+π4∈(π4，3π4) .sin（θ+π4）∈（√22.1]．∵函数S=1+ −4t+2在（2.2 √2 ]单调递增.∴ S∈(0，3−2√2 ]．三角形OCD的面积的取值范围为（0.3-2 √2 ]．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的综合应用.三角形面积的求法.考查转化思想以及计算能力.是难题．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导.判断函数的单调性.进而得到函数的最值；（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.依题意当x≥−π2时.x•h（x）≥0恒成立.然后分a≤1及a＞1讨论.即可得出结论．【解答】：解：（1）f'（x）=e x-sinx.令g（x）=e x-sinx.x≥0.则g'（x）=e x-cosx．当x∈[0.π）时.g'（x）为增函数.g'（x）≥g'（0）=0；当x∈[π.+∞）时.g'（x）≥eπ-1＞0．故x≥0时.g'（x）≥0.g（x）为增函数.故g（x）min=g（0）=1.即f'（x）的最小值为1．时.x•h（x）≥0恒成立．（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.h'（x）=e x-sinx-a.则x≥−π2当a≤1时.若x≥0.则由（1）可知.h'（x）≥1-a≥0.所以h（x）为增函数.故h（x）≥h（0）=0恒成立.即x•h（x）≥0恒成立；，0] .则h''（x）=e x-cosx.若x∈[−π2h'''（x）=e x+sinx在[−π，0]上为增函数.2)=e−π2−1＜0 .又h'''（0）=1. ℎ‴(−π2故存在唯一x0∈(−π，0) .使得h'''（x0）=0．2，x0)时.h'''（x）＜0.h''（x）为减函数；当x∈(−π2x∈（x0.0）时.h'''（x）≥0.h''（x）为增函数．)=e−π2＞0 .h''（0）=0.又ℎ″(−π2，0)使得h''（x1）=0．故存在唯一x1∈(−π2故x∈(−π，x1)时.h''（x1）＞0.h'（x）为增函数；2x∈（x1.0）时.h''（x1）＜0.h'（x）为减函数．)=eπ2+1−a＞0 .h'（0）=1-a≥0.又ℎ′(−π2，0]时.h'（x）＞0.h（x）为增函数.所以x∈[−π2故h（x）≤h（0）=0.即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时.由（1）可知h'（x）=e x-sinx-a在[0.+∞）上为增函数.且h'（0）=1-a＜0.h'（1+a）≥e1+a-1-a＞0.故存在唯一x2∈（0.+∞）.使得h'（x2）=0．则当x∈（0.x2）时.h'（x）＜0.h（x）为减函数.所以h（x）＜h（0）=0.此时x•h（x）＜0.与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述.a≤1．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值及最值.考查不等式的恒成立问题.考查转化思想.分类讨论思想.考查逻辑推理能力.属于中档题．。
浙江省2021版高三上学期数学期中考试试卷(II)卷
浙江省2021版高三上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·湘西模拟) 已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|y=log2x}，则A∩B=（）A . （0，2）B . （﹣2，0）C . （0，+∞）D . （0，1）2. （2分）已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是（）A . 0<m≤4B . 0≤m≤1C . m≥4D . 0≤m≤43. （2分） (2018高一上·黑龙江期末) 已知，且，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）若，则下列不等式不成立的是（）A . ＞B . ＞C .D . |a|＞﹣b5. （2分）已知向量，满足，则与的夹角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分） (2015高三上·泰安期末) 设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A . 75B . 90C . 105D . 1207. （2分）设等比数列的公比q=2，前n项和为，则的值是（）A .B . 4C .D .8. （2分）(2019高一上·长沙月考) 为了得到(x∈R)的图象，只需把函数)(x∈R)的图象上所有的点的（）A . 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B . 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C . 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D . 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变9. （2分） (2019高三上·浙江月考) 函数的部分图象是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·梅州月考) 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（，）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、多选题 (共3题；共9分)11. （3分）(2020·泰安模拟) 已知向量，则（）A .B .C .D .12. （3分） (2019高一上·厦门期中) 已知函数与（且）的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可以是下列数据中的（）A .B .C .D .13. （3分）(2020·聊城模拟) 设函数是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间[0，1]上，，其中集合，则下列结论正确的是（）A .B . 在[2m，2m+1](m∈N)上单调递增C . 在内单调递增D . 的值域为[0，1]三、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）计算：tan（﹣2010°）=________15. （1分） (2019高二下·南宁期中) 已知向量，若函数在区间上存在增区间，则t 的取值范围为________.16. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知是定义在R上的奇函数，且时，单调递增，已知设集合集合则 ________.17. （1分） (2016高二上·桃江期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=1：：3，则∠B的大小为________．四、解答题 (共6题；共60分)18. （10分） (2019高一下·辽源期末) 己知数列的前项和，求数列的通项.19. （10分） (2016高一上·湖北期中) 已知是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且满足（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．20. （10分） (2018高三上·邹城期中) 已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（Ⅲ）设（）是函数的两个极值点，若，试求的最小值.21. （10分） (2017高一下·启东期末) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA= asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．22. （10分） (2018高三上·福建期中) 某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打车前往，大数据分析显示，当的学生选择自行打车，自行打车的平均时间为(单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:（1）当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?（2）求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.23. （10分） (2020高二下·北京期中) 已知函数f（x）＝ax2﹣（a+4）x+2lnx，其中 .（1）当时，求曲线的点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为-4，求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、多选题 (共3题；共9分)11-1、12-1、13-1、三、填空题 (共4题；共4分)14-1、15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共6题；共60分) 18-1、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)
2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．167．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．99．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km10．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
高三数学上学期期中试题含解析 4
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
镇海中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔本大题一一共10小题〕1.集合，，那么的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 72.假设a，b，且，那么以下不等式中一定成立的是A. B. C. D.3.是等差数列的前n项和，且，，那么等于A. 50B. 42C. 38D. 364.函数的图象大致为A. B.C. D.5.如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的外表积是A. 84B.C.D.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
6.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，那么的函数解析式为A. B.C. D.7.设命题p：，命题，假设q是p的必要不充分条件，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.8.，，，那么A. B. C. D.9.椭圆和双曲线有一样的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公一共点，且，假设椭圆和双曲线的离心率分别为，，那么的最小值为A. B. C. D.10.设a，b为正实数，且，那么的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题〔本大题一一共7小题〕11.抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．12.点，，点在线段AB上，那么直线AB的斜率为______；的最大值为______．13.假设实数满足约束条件，那么的最小值为______；的最小值为______．14.长方体中，，那么直线与平面所成的角为______；假设空间的一条直线l与直线所成的角为，那么直线l与平面所成的最大角为______．15.是等比数列，且，，那么______，的最大值为______本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
16.圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，假设在该圆上任意点A满足，那么直线l的斜率k的取值范围为______．17.点，为单位圆上两点，且满足，那么的取值范围为______．三、解答题〔本大题一一共5小题〕18.的最大值为．Ⅰ务实数a的值；Ⅱ假设，求的值．19.在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
浙江省2021年数学高三上学期文数期中考试试卷(I)卷
浙江省 2021 年数学高三上学期文数期中考试试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2019·赤峰模拟) 设集合A.B.C.D.2. （1 分） 命题“，”的否定是（ ）A.，0B.，C.，D.，，则中的元素个数为（ ）3. （1 分） (2020 高一下·南宁期中) 数列 是等差数列，，，则（）A . 12B . 24C . 36D . 724. （1 分） 函数 y=f(x)为定义在 R 上的减函数，函数 y=f(x-1)的图像关于点（1,0）对称， x,y 满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2) 0，M(1,2),N(x,y)，O 为坐标原点，则当时，的取值范围为（ ）A.第 1 页 共 20 页B . [0,3] C . [3,12] D . [0,12] 5. （1 分） (2020 高三上·郴州月考) 已知角 的终边经过点，则（）A. B. C. D. 6. （1 分） (2017 高一上·武汉期末) 要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（x﹣ ）的图象（ ） A . 向右平移 个单位 B . 向右平移 个单位 C . 向左平移 个单位 D . 向左平移 个单位 7. （1 分） 已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0 的解集为A. B.第 2 页 共 20 页C.D.8. （1 分） (2019 高二下·蕉岭月考) 在中，一点，且，则（）A.B.C.D.，点 为 边上9. （1 分） 设 f（x）= A . -1， 则 f（f（﹣2））=（ ）B.C.D.10. （1 分） (2017·临川模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的 表面积是（ ）第 3 页 共 20 页A . 2 +2 +2 B . 3 +2 +3 C . 2 + +2 D . 3 + +311. （1 分） (2019·新乡模拟) 设 ， ， 分别是方程 实数根，则有（ ），，的A.B.C.D.12. （1 分） 若直线 l 的方向向量为 ， 平面 α 的法向量为 ， 能使 l∥α 的是（ ）A . =（1，0，0）， =（﹣2，0，0）B . =（1，3，5）， =（1，0，1）C . =（0，2，1）， =（﹣1，0，﹣1）D . =（1，﹣1，3）， =（0，3，1）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·西安模拟) 已知向量，且，则________.14. （1 分） (2016 高二上·商丘期中) 实数 x，y 满足条件 最小值的差为 2，则 m 的值为________．，若目标函数 z=2x+y 的最大值与15. （1 分） (2017·湖北模拟) 在△ABC 中，∠B= ，AC= ，D 是 AB 边上一点，CD=2，△ACD 的面积为第 4 页 共 20 页2，∠ACD 为锐角，则 BC=________．16. （1 分） (2015·河北模拟) 已知正实数 x，y 满足 2x+y=2，则的最小值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 12 分)17. （2 分） (2016 高一下·新疆期中) 已知数列{an}是等差数列，且 a1=2，a1+a2+a3=12．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令 bn=an3n（x∈R）．求数列{bn}前 n 项和的公式．18. （2 分） (2019 高三上·和平月考) 已知函数 f（x）=sin（2ωx+ 其中 ω＞0，且函数 f（x）的最小正周期为 π）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，（1） 求 ω 的值；（2） 求 f（x）的单调增区间（3） 若函数 g（x）=f（x）-a 在区间[- ， ]上有两个零点，求实数 a 的取值范围．19. （2 分） (2019 高三上·济南期中)分别为内角的对边.已知.（1） 若的面积为,求 ;（2） 若,求的周长.20. （2 分） (2018·河北模拟) 如图，在直三棱柱在直线上.中，平面，其垂足 落第 5 页 共 20 页（1） 求证：；（2） 若 是线段 上一点，，值.，三棱锥的体积为 ，求的21. （2 分） (2018 高一上·苏州期中) 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售岀 8 台， 为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元， 平均每天就能多售出 4 台．（1） 假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不 要求写自变量的取值范围）（2） 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3） 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？22. （2 分） (2019·长沙模拟) 设函数.（1） 求函数的极值点个数；（2） 若，证明.第 6 页 共 20 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 7 页 共 20 页解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：解析：第 8 页 共 20 页答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、 考点：第 9 页 共 20 页解析： 答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、第 10 页 共 20 页考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三(上)期中数学试卷答案解析_20201208213730
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三（上）期中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．（0，1]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：C．2．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．3．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥mC．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则Z＝|x﹣3y﹣2|的取值范围是（）A．[0，7]B．（1，7）C．[0，4]D．[1，4]【解答】解：如图可行域：令z′＝x﹣3y﹣2，平移直线x﹣3y﹣2＝0可知当直线过C（0，﹣1）时，z′取得最大值1，经过B（﹣2，1）时，z′有最小值﹣7，Z＝|x﹣3y﹣2|，所以Z的取值范围：[0，7]故选：A．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，a2＝2，则S3＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：，则S3＝8．故选：A．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，故选：C．8．已知函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．π【解答】解：函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得y＝f（x﹣θ）＝2sin[2（x﹣θ）+]＝2sin（2x﹣2θ+）；又函数y的图象关于直线对称，即2×﹣2θ+＝kπ+，k∈Z；解得θ＝﹣kπ，k∈Z；又θ＞0，所以θ的最小值为．故选：C．9．已知线段AB是圆C：x2+y2＝4的一条动弦，且，若点P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，过原点O作OD⊥AB，由|AB|＝2，可得|CD|＝1，∴||＝|OP|﹣1，则．则||＝||＝2||＝2||，∴的最小值为．故选：C．10．已知数列{a n}满足a0＝0，|a i+1|＝|a i+1|（i∈N），则||的值不可能是（）A．2B．4C．10D．14【解答】解：|a i+1|＝|a i+1|，两边平方可得a i+12＝a i2+2a i+1，由a12＝a02+2a0+1＝0+0+1，a22＝a12+2a1+1，a32＝a22+2a2+1，…，a212＝a202+2a20+1，上面的式子累加可得a212＝2（a1+a2+…+a20）+21，则||＝||，若||＝2，可得a21＝±5，故A可能；若||＝4，可得a21不为整数，故B不可能；若||＝10，可得a21＝±1，故C可能；若||＝14，可得a21＝±7，故D可能．故选：B．二、填空题11．复数的虚部为，模为．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为，||＝||＝．故答案为：；．12．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是；此几何体各个面中，面积的最大值（单位：cm2）为．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD．如图所示：所以，．故答案为：．13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0，得（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1，得（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，有＝84种不同取法，三项均相邻，有7种不同的取法，两项相邻，有2×6+6×5＝42种不同的取法，故三项均不相邻，则有84﹣7﹣42＝35种不同的取法．故答案为：35．14．已知数列{a n}，{b n}满足：a1＝1，a n+a n+1＝n，b n＝a2n﹣1，则数列b n＝；记S n为数列{a n}的前n项和，S31﹣S24＝．【解答】解：a1＝1，a n+a n+1＝n，可得a2＝1﹣a1＝0，+a n＝n﹣1，n≥2，将n换为n﹣1可得a n﹣1又a n+a n+1＝n，相减可得a n+1﹣a n﹣1＝1，可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列，可得b n＝a2n﹣1＝1+（n﹣1）＝n；a2n＝0+n﹣1＝n﹣1，则S31﹣S24＝a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31＝（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）＝（13+14+15+16）+（12+13+14）＝58+39＝97．故答案为：n，97．15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k﹣，k∈Z，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．16．已知x＞0，y＞0，则的最大值为．【解答】解：因为x＞0，y＞0，令t＝，则t，所以y＝t+在[2，+∞）上单调递增，y，则＝＝＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝1时取等号，故答案为：17．四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为．【解答】解：四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，构建直三棱柱ABE﹣CDF，设G，H分别为△ABE，△CDF的外心，连结GH，取其中点O，则O为直三棱柱ABE﹣CDF的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，∵异面直线AB与CD所成角为60°，∴∠ABE＝60°，设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r，则r＝＝2，AE＝2r sin60°＝2，由余弦定理得：AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos60°，∴AB2+BE2﹣AB•BE＝12，∴12＝AB2+BE2﹣AB•BE≥2AB•BE﹣AB•BE＝AB•BE，∴四面体ABCD的体积：＝＝≤．∴四面体ABCD的体积的最大值为2．故答案为：．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，c＝2．（1）求sin B的值；（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B＝＝＝；又B∈（0，π），所以sin B＝＝＝；（2）如图所示，设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•BC•sin B＝×2×（3+）×＝3．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝a，则AD＝a，BC＝2a，BE＝BC＝a，∵∠ABC＝90°，AD∥BE，AD＝BE，∴四边形ABED是正方形，∴BD＝a，DE⊥BC，DE＝CE＝a，∴CD＝a，∴BD2+CD2＝BC2，故BD⊥CD，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，BD⊥CD，∴BD⊥平面SCD．（2）解：过S作SN⊥CD，交CD延长线于N，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SN⊂平面SCD，SN⊥CD，∴SN⊥平面ABCD，∴∠SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故∠SDN＝60°，∵SD＝CD＝a，∴DN＝，SN＝，以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，则B（a，0，0），D（0，0，0），A（a，﹣a，0），S（0，﹣a，a），∵M是SA的中点，∴M（a，﹣a，a），∴＝（0，﹣a，a），＝（a，0，0），＝（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2可得＝（0，，2），∴cos＜，＞＝＝＝，∴SD与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．20．已知数列{a n}满足a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜．【解答】解：（1）由a1＝，可得a n+1＝，由a1＞0，可得a n＞0，则＝1+，即﹣＝1，所以{}是首项为2，公差为1的等差数列，则＝2+n﹣1＝n+1，即a n＝；（2）证明：a n＝，对k＝1，2，3，…，a k a k+1a k+2＝＝[﹣]，所以a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n +1a n +2＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝﹣＜．21．已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （﹣，）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆C 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，O 为椭圆的中心，求三角形OCD 的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意，结合a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，故，椭圆C 的标准方程为：．；（2）设M （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，a （﹣2，0），B （0，﹣1），直线MA 的方程为：，令x ＝0，得D （0，），直线MB 的方程为：，令x ＝0，得C （，0），所以三角形OCD 的面积S ＝|OC ||OD |＝＝，令x 0+2y 0＝t ，则＝4+4x 0y 0，∴，∴S＝＝1+．令，则t＝2cosθ+2sinθ＝2sin（），∵，∴，sin（）∈（，1]．∵函数S＝1+在（2，2]单调递增，∴]．三角形OCD的面积的取值范围为（0，3﹣2]．22．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．。
浙江宁波十校2021年高三数学上期中联考试题(解析版)
2021届浙江省宁波十校高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2A x x =>，{}05,Z B x x x =<<∈，则()RA B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【分析】求出集合B ，利用补集和交集的定义可求得集合()A B R.【详解】{}2A x x =>，则{}2RA x x =≤，{}{}05,Z 1,2,3,4B x x x =<<∈=，因此，(){}R1,2A B =.故选：C.2．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1- B ．12-C ．13D ．1【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B3．若实数x ，y 满足约束条件502010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则 2z x y =+的最大值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在y 轴上的解距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件502010x yyx+-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y=+，可化为直线122zy x=-+，当直线122zy x=-+过点A时在y上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由5010x yx+-=⎧⎨-=⎩，解得(1,4)A，所以目标函数2z x y=+的最大值为max1249z=+⨯=.故选：C.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by=+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by=+转化为直线的斜截式：a zy xb b=-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b=-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bzx a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A ．213π+ B ．233π+ C ．326π+ D ．346π+ 【答案】C【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是一个34的圆锥与三棱锥组合而成的几何体，结合锥体的体积公式可求得原几何体的体积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示，由三视图可知，原几何体是一个34的圆锥与三棱锥组合而成的几何体， 由三视图中的数据可知，原几何体的体积为()223131*********V cm ππ+⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：C.5．已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由向量平行的坐标表示可得若//a b →→，则32m =-或1m =，再由充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =， 所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件. 故选：A.6．函数()e e ln --=x xf x x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由于()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，再利用特殊值，即可得出正确选项． 【详解】解：函数()||x xe ef x ln x --=，定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，且()()()||||x xx x e e e e f x f x ln x ln x -----==--=-， ()f x ∴是奇函数，其图象关于原点对称，排除C 、D ，因为函数的定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，令12x =，12()0e e f x --=<，排除A ， 故选：B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图，已知点E、F、G、H分别是正方体1111ABCD A B C D-中棱1AA、AB、BC、11C D的中点，记二面角E FG D--的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，直线HG与直线DG所成角为γ，则（）A．αβγ>>B ．βαγ>>C．βαγ=>D．γαβ>=【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则()2,0,1E，()2,1,0F，()1,2,0G，()0,1,2H，()1,1,2HG=-，()1,2,0DG=，()0,1,1EF=-，()1,1,0FG=-，显然面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设面EFG的法向量为(),,m x y z=，则·0·0m EFm FG⎧=⎨=⎩，即y zx y-=⎧⎨-+=⎩，令1y=则1z=、1x=，所以()1,1,1m=所以3cos=3n mn mα=，6sin6HG nHG nβ===23cos1sinββ=-=()11120230cos1065HG DGHG DGγ⨯+⨯+⨯-===⨯因为330310>，即cos cosαγ>，所以γαβ>=故选：D8．如图，设1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是以12F F为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF与椭圆交于点Q，若124PF QF=，则直线2PF的斜率为（）A．2-B．1-C．12-D．1【答案】A【分析】连接11,PF QF，设()2QF x x=>，则14PF x=，根据椭圆的定义，可求得224PF a x=-，12QF a x=-，结合1290F PF︒∠=，可得22211+=PF PQ QF，计算可得3a x=，从而可求出21tan PF F∠，由直线2PF的斜率为()21tan180k PF F︒=-∠，可求出答案.【详解】如下图，连接11,PF QF，设()2QF x x=>，则14PF x=，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=， 所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆定义的应用、圆的性质及直线的斜率，解题关键是利用椭圆的定义，得出1212,,,PF PF QF QF 之间的关系，进而由1290F PF ︒∠=，并利用勾股定理，可求出21tan PF F ∠，进而可求出直线2PF 的斜率.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.9．已知a ，b R ∈，对任意的实数x 均有()()()210x a x b x a +---≥，则2+a b 的最小值为（ ）A ．158B ．1C ．78D ．2【答案】D【分析】根据题中条件，先令t x =，则有()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；分别讨论0b ≤，0b >两种情况，结合不等式的解法，求出21a b a ≥⎧⎨=+⎩，得到2222a b a a +=++，进而可得出结果. 【详解】因为a ，b R ∈，对任意的实数x 均有()()()210x a x b x a +---≥，令t x =，则有()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立； 若0b ≤，则0t b -≥，原不等式可化为()()210t a t a +--≥，因为()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭，所以解不等式()()210t a t a +--≥可得21t a ≥+或t a ≤-，因21a a +>-，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；即0b ≤不满足题意；若0b >，当0a ≥时，0t a +≥，则原不等式可化为()()210t b t a ---≥，令()()()21f t t b t a =---，则()f t 是开口向上的二次函数，且零点为t b =和21t a =+， 为使()()210t b t a ---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；只有21b a =+；当0a <时，0a ->；若21a b a -<<+，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩或()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩，解得21t a ≥+或a t b -≤≤，因为21b a <+，所以不能满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21b a a <-<+，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩或()()2010t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩，解得21t a ≥+或b t a ≤≤-，因为21a a -<+，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21a a b -<+<，则由不等式()()()210t a t b t a +---≥可得()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩或()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩，解得t b ≥或21a t a -≤≤+，因为21a b +<，所以不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若=-b a ，则不等式()()()210t a t b t a +---≥可化为()()2210t a t a +--≥，解得21t a ≥+或t a =-，不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；若21b a =+，则不等式()()()210t a t b t a +---≥可化为()()2210t a t a +--≥，解得t a ≥-，不满足原不等式对任意的[)0,t ∈+∞恒成立；综上，为使()()()210t a t b t a +---≥对任意的[)0,t ∈+∞恒成立，只有21a b a ≥⎧⎨=+⎩，所以222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，则其是开口向上的二次函数，对称轴为14a =-，所以其在[)0,+∞上单调递增，因此2220022y a a =++≥++=.故选：D.【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立求解多变量参数的范围问题，解题关键在于确定参数之间的关系，解决本题的关键在于根据题中条件得出,a b 的关系21a b a ≥⎧⎨=+⎩，得出2222a b a a +=++，进而可根据a 的范围求出结果. 10．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（）ABCD 【答案】D【分析】设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计算可得()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β=，结合21cos cos 22cos14αββ==-≤-，可求出cos β≤≤，从而可求出()122a e e a⋅+的最大值. 【详解】由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+， 由1222e e +≤，可得()2212cos +4sin 4αα+≤，整理得1cos 4α≤-， 设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅， 即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-，当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ， 即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ， 因为1cos 4α≤-，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意， 故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z .而()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r r aββαβαβαβ⋅+++==+-，因为()cos cos βαβ≤-，所以()122a e e a⋅+()3cos αβ≤-，当()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，此时()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=， 因为()21coscos 22πcos 22cos14k αβββ=-==-≤-，所以23cos 8β≤，即cos 44β-≤≤，所以()122a e e a⋅+()3cos 3cos αββ≤-=≤故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题．二、填空题11．已知函数()2e 2=++xf x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(3,e ⎤-∞⎦【分析】原不等式可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-，从而构造函数()e 2xg x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可.【详解】由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，()e 2xa x ≥-恒成立；当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-， 令()e 2xg x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，求导得()()()2e 32x x g x x -'=-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，所以()()3min 3e g x g ==，则3e a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是(3,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(3,e ⎤-∞⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为e 2xa x ≥-，通过构造函数()e 2xg x x =-，令()min g x a ≥，可求出a 的取值范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.12．已知0a >，2b >-，且2a b +=，则2242a b a b +++的最小值为___________． 【答案】4【分析】首先得到224442422a b a b a b a b ++=+++-+++，再根据()24a b ++=结合基本不等式即可得到答案. 【详解】因为0a >，2b >-，且2a b +=，所以()24a b ++=，且20b +>. 所以()222244444442222b b a b b a a b a b a b a b +--+++=++=+++-+++ ()42444422422b a b a b a b a b +-=+++-=+++-+++ ()4411222224222b a a b a b a b a b +⎛⎫=+=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭. 当且仅当22b aa b +=+，即0b =，2a =时取等号. 所以2242a b a b +++的最小值为4. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________． 【答案】23【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离22301152+1d -⨯-+==，根据图像的对称性可知2232lPC d =-= 所以线段MN 长度的最大值为3故答案为: 23【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.三、双空题14．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是13sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[)()0,x ∈+∞，则该简谐运动的最小正周期是___________，振幅是___________．【答案】4π 3【分析】由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】因为13sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[)()0,x ∈+∞，所以该函数的最小正周期2412T ππ==,振幅为3， 所以该简谐运动的最小正周期是4π，振幅是3. 故答案为：4π；3.15．在二项式62x ⎛⎝的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________．【答案】60 1【分析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为0，求出参数的值，代入展开式通项可求得展开式的常数项，再令1x =代入二项式可求得展开式所有项的系数和.【详解】二项式62x ⎛ ⎝的展开式通项为()()36662166221rrr r r r r r T C x C x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 令3602r -=，可得4r =，所以，展开式的常数项为()442562160T C =⋅⋅-=，在二项式62x ⎛ ⎝中，令1x =，可得所有项的系数和为()6211-=. 故答案为：60；1.【点睛】求解二项式中所有项的系数和，一般在二项式中，令所有的变量均为1计算即可.16．古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织_______尺，八日共织________尺． 【答案】15 80【分析】设该女子第()N n n *∈日织n a 尺布，可知数列{}n a 为等差数列，根据题意求出等差数列{}n a 的首项和公差，进而可求得7a 以及该数列的前8项和.【详解】设该女子第()N n n *∈日织n a 尺布，可知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则141339a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，71615a a d ∴=+=，8187883282802S a d ⨯=+=⨯+⨯=. 因此，该女子第七日织15尺布，八日共织80尺布. 故答案为：15；80.17．一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，1个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为___________；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则()ξ=E ___________．【答案】320 32【分析】（1）不放回取球可看作将球进行排列，由于红球首先被全部取完，则分两种情况求解：一种先取完3个红球，另一种在取3个红球的空档处还取走了1个黄球，剩下1个黄球和1个绿球进行排列，从而可求出所求概率；（2）研究在取完红球之前取走的黄球数其实不受绿球影响，所以此题无须考虑绿球，ξ可能的取值为0，1，2，0ξ=时，先取3个红球再取2个黄球，1ξ=时，取3个红球的空档处还取了1个黄球，剩下1个黄球最后取，2ξ=时，取3个红球的空档处还取了2个黄球，然后利用数学期望公式可求得答案【详解】（1）全部排列数为66323260A A A =，由于红球首先被全部取完，则①先取完3个红球，可看作2个黄球和1个绿球的排列数：133C =种；②在取3个红球的空档处还取走了1个黄球有133C =种，剩下1个黄球和1个绿球进行排列有2种，所以红球先取完的概率为33236020+⨯=， （2）研究在取完红球之前取走的黄球数其实不受绿球影响，所以此题无须考虑绿球，则全部排列数为55323210A A A =种，ξ可能的取值为0，1，2，则0ξ=时，先取3个红球再取2个黄球，共1种；1ξ=时，取3个红球的空档处还取了1个黄球，剩下1个黄球最后取，共133C =种；2ξ=时，取3个红球的空档处还取了2个黄球，若2个黄球不在一起，共233C =种，若2个黄球在一起，共133C =种，所以13333()0121010102E ξ+=⨯+⨯+⨯= 【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量数学期望的求法，解此题的关键是将不放回取球可看作将球进行排列，利用排列组合知识求解四、解答题18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()(sin sin sin 2sin a b c A B C c A -+++= （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求AC 边上的高的最大值．【答案】（1）=6B π；（2）【分析】（1）由正弦定理化简得222a c b +-=，再由余弦定理即可得解； （2）记AC 边上的高为b h ，由三角形面积公式可得sin b ac Bh b=，结合正弦定理及三角恒等变换得2sin 23b h A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】（1）根据正弦定理可得()()(2a b c a b c ca -+++=，化简整理得222a c b +-，由余弦定理得222cos 2a c b B ca +-=， 因为()0,B π∈，故=6B π；（2）记AC 边上的高为b h ，由11=sin 22b S bh ac B =，可得sin b ac Bh b=，又因为4sin sin sin a c bA C B===，所以14sin sin =4sin sin =4sin cos 62b h A C A A A A A π⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2=23sin 2sin cos 31cos 2sin 22sin 233A A A A A A π⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，在三角形ABC 中，=6B π，故50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当232A ππ-=即512A π=时，()max 2+3b h =． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是应用正、余弦定理转化条件，细心计算即可得解.19．如图，在四棱锥E ABCD -中，//DC AB ，90BAE BAD ∠=∠=︒，12AB AD AE ED DC ====，M 为EB 的中点．（1）求证：DM AE ⊥；（2）求直线DM 与平面BCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）25． 【分析】（1）取AE 的中点为F ，连接MF DF 、，可证,AE DF AE MF ⊥⊥，可证明AE DFM ⊥面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）记AE 的中点为F ，连接MF DF 、．DE AD AE ==，AE DF ∴⊥．90BAD BAE ∠=∠=︒，AB ∴⊥面ADE ．M 为EB 的中点，//MF AB ∴ ，MF∴⊥面ADE，MF AE∴⊥，又DF MF F⋂=AE∴⊥面DFM，AE DM∴⊥．（2）AB⊥面AED，又//AB DC，DC AED∴⊥面，故可如图建系,不妨设4DC=，则2AB AD AE ED====，由等边三角形AED 可知，3)E,(2,2,0)B，(0,4,0)C ，33(2M则有332DM⎛=⎝⎭，()2,2,0BC=-，(1,3CE=-,设平面BCE的一个法向量(),,n x y z=，由n BCn CE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220430x yx y z-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则1y=，3z=所以平面BCE的一个法向量(1,1,3n=．则3312522cos,395144n DM++==⨯++所以直线DM与平面BCE25【点睛】方法点睛：线面角的一般求解方法：先建立适当空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦公式求解.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-()n *∈Ν. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证3242222312n n a a a S S S ++++⋅⋅⋅+<，n *∈Ν． 【答案】（1）12n n a -=；（2）证明见解析【分析】（1）当2n ≥时，可得1121n n S a --=-，结合1n n n a S S -=-，可求得12n n a a -=，即可得出数列{}n a 是等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）求出n S 的表达式，从而可得()122211221n n n n a S ++++=-，利用放缩法可得221n n a S ++<1112121n n +---，进而可证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，当1n =时，1121a a =-，解得11a =，当2n ≥时，由112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，可得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=．（2）由12n n a -=，可得()112==2112n n n S ⨯---，则()122211221n n n n a S ++++=-()()()()11+1+1+12211212121222121n nn n n n n n ++<==-------， 所以32422223+1n n a a a S S S ++++2231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n +=-<-.【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的通项公式及证明不等式，关键是求出公式()12n n n a S S n --≥=的应用，及利用放缩法得到()122211221n n n n a S ++++=-()()11+1+121121212122n n n n n ++<=-----，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．21．已知抛物线()21:20C y px p =>，圆()222:44C x y -+=．抛物线1C 的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线1C 上一点Q （除原点外）作抛物线1C 的切线，交y 轴于点P ．过点Q 作圆2C 的两条切线，切点分别为M 、N ．若//MN PQ ，求PMN 的面积．【答案】（1）抛物线1C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；（2）3． 【分析】（1）根据抛物线()21:20C y px p =>的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径求解.（2）设点()0,P a ，切线PQ 的方程设为y kx a =+与抛物线方程联立，根据与抛物线相切，由0∆=得到1ak =，切点Q 的坐标()21,2,PQ a a k a=，再由过点Q 作圆2C 的两条切线，切点分别为M 、N ．得到直线()()2:4424MN x a ay --+=．然后由MN PQ k k =解得a 即可.【详解】（1）因为抛物线1C 的焦点到其准线的距离恰好是圆2C 的半径 所以2p =，故抛物线1C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0．（2）设点()0,P a ，则切线PQ 的方程可设为y kx a =+．联立方程24y x y kx a⎧=⎨=+⎩可得()222240k x ak x a +-+=．由0∆=可得1ak =，且切点Q 坐标为()21,2,PQ a a k a=． 设点()()1122,,,M x y N x y ，则切线()()11:444QM x x yy --+=， 切线()()22:444QN x x yy --+=．将点Q 的坐标代入可得直线()()2:4424MN x a ay --+=．故242MNa k a-=-． 由MN PQ k k =可得a =因为两种情况中的P 点关于x轴对称，所以求出的面积相同．下只求a =联立方程：()224420x y x ⎧-+=⎪-+=可得230y -=．故()142,0,3M N ⎛ ⎝⎭从而有MN d =，所以1=2S MN d ⋅ 【点睛】思路点睛：基本思路是设点p 的坐标，由直线PQ 与抛物线相切，得到Q 的坐标和直线PQ 的斜率，然后利用点M ，N 处的切线过点Q ，得到直线MN 的斜率，由MN PQ k k =求解. 22．已知函数()ln 2xe f x x x a x=-+-，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：22142121a a x x a ---<-．【答案】（1）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（2）（i ）12e a +>；（ii ）证明见解析． 【分析】（1）首先求出函数的导函数，令()'0f x >，即可得到函数的单调递增区间，令()'0f x <，求出函数的单调递减区间；（2）（i ）由题意可知()10f <，即可求出参数的取值范围；（ii ）不妨设12x x <，因为()22ln 22a e f a a a =-．令21t a e =>+，()ln te g t t t=-．利用导数研究函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）函数的定义域为()()0ln 2xe f x x x a x+∞=-+-，，，所以第21页 ()()()()22111'1x x x e x e x f x x x x -+-=-+=，0x > ． 当1x >时，()()'0,f x f x >单调递增；当01x <<时，()()'0,f x f x <单调递减．所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1．（2）（i ）由题意可知()10f <，即120e a +-<，所以12e a +>（ii ）不妨设12x x <．因为()222ln 222ln 222a ae ef a a a a a a a =-+-=-． 令()21,ln te t a e g t t t =>+=-，()()21't e t t g t t --=． 令()()1t h t e t t =--则()'1t h t e t =⋅-，()()''10t h t e t =⋅+> ，所以()'h t 单调递增，又因为()'10h e +>，所以()h t 单调递增．因为()2110e h e e ++=->，所以()'0g t >，故()g t 单调递增．又因为()()1110e g e g e e -+>=->，所以()220,2f a x a ><．由ln 1≤-x x 可知112121111ln 212112*********a a e e f a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥+- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- 令110,21m a e ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，所以()10m e f m m m>-> 所以1121x a >-，所以22142121a a x x a ---<-． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
浙江省2021版高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷(精编)
浙江省 2021 版高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 16 分)1. （2 分） (2016 高一上·杭州期末) 设集合 U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则 M∪N=________， ∁UM=________．2. （1 分） (2016 高二上·浦东期中) 在数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，若 Sn=n2+1，n∈N* ，则 an=________．3. （1 分） (2019 高二下·上饶期中) 已知双曲线的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 ________.，再反向延长交另一条渐近线于点，若，则双曲线 的离心率为4. （1 分） (2019 高一上·林芝期中) 函数的定义域为________.5. （1 分） (2017 高三上·山东开学考) 已知两个单位向量 ， 满足| +2 |= 夹角为________．，则 ， 的6. （1 分） (2019·青浦模拟) 已知 、b、 都是实数，若函数域是，则 的所有取值构成的集合是________的反函数的定义7. （2 分） (2018 高二上·嘉兴月考) 函数 ________．的最小值为________，此时 的值为8. （1 分） (2012·重庆理)=________．9. （1 分） (2020·大连模拟) 数列 满足，则 的前 8 项和为________.10. （1 分） (2015 高三上·临川期末) 已知△ABC 中，AB=7，AC=8，BC=9，P 点在平面 ABC 内，且 则| |的最大值为________ ．+7=0，11. （1 分） (2019 高一下·重庆期中) 已知 是 与 的等差中项，则第 1 页 共 10 页的最小值为________.12. （1 分） (2017·扬州模拟) 在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点．若△ABC的面积为 2，则•+ 2 的最小值为________．13.（1 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在 x0（a＜x0＜b），满足，则称函数 y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0 是它的一个均值点．如 y=x2 是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数 f（x）=x3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是________14. （1 分） (2018 高一下·山西期中) 给出下列命题：①已知任意两个向量 不共线，若、、，则三点共线；②已知向量与 的夹角是钝角，则 的取值范围是；③设 ，则，则函数的最小值是是等腰三角形；其中正确命题的序号为________．二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)；④在中，若15. （2 分） (2019 高一上·射洪月考) 若函数 数，则 的取值范围 （ ）A.与在区间上都是减函B.C.D.16. （2 分） (2020 高一下·永济期中) 下列关于函数 A . 最小正周期是第 2 页 共 10 页的说法正确的是（ ）B . 在区间上单调递减C . 图象关于点成中心对称D . 图象关于直线成轴对称17. （2 分） (2016 高二下·江门期中) 已知向量 最小值是（ ）A.5 B.4 C.3 D.2，，t∈R，则的18. （2 分） (2020 高二下·顺德期中) 若 f(x)= 围是（ ）上是减函数，则 b 的取值范A . [-1，+∞]B . （-1，+∞）C . （-∞，-1]D . （-∞，-1）三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)19. （5 分） (2017 高二上·河北期末) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明： + +…+ ＜2．20. （10 分） (2020·西安模拟) 在平面坐标系中 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为第 3 页 共 10 页（t 为参数），曲线 C 的参数方程为（ 为参数）.以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1） 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程；（2） 设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的取值范围.21. （10 分） (2016 高一下·吉林期中) 已知函数 f（x）=sin2x﹣ cos2x （1） 求函数的最小正周期及函数图象的对称中心；（2） 若不等式﹣2＜f（x）﹣m＜2 在 x∈[]上恒成立，求实数 m 的取值范围．22. （10 分） (2018·枣庄模拟) 已知数列且.分别是等差数列与等比数列，满足，公差，（1） 求数列 和 的通项公式；（2） 设数列 对任意正整数 是自然对数的底数）均有成立，设 的前 项和为 ，求证：23. （15 分） (2018 高一上·扬州期中) 已知 是满足下列性质的所有函数（其中 为函数的定义域），均有成立.组成的集合：对任何（1） 已知函数，，判断与集合 的关系，并说明理由；（2） 是否存在实数 ，使得，不存在，请说明理由；属于集合 ？若存在，求 的取值范围，若（3） 对于实数 、，用表示集合 中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：数”，其中常数称为，和式恒成立，则称的“绝对差上界”， 的最小值称为第 4 页 共 10 页为上的“绝对差有界函的“绝对差上确界”，符号上确界”.；求证：集合中的函数 是“绝对差有界函数”，并求 的“绝对差第 5 页 共 10 页一、 填空题 (共 14 题；共 16 分)参考答案1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)第 6 页 共 10 页15-1、 16-1、 17-1、 18-1、三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)19-1、 20-1、第 7 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、 22-1、22-2、第 8 页 共 10 页23-1、 23-2、23-3、第 9 页 共 10 页第 10 页 共 10 页。
浙江省2021版数学高三上学期理数期中考试试卷(I)卷
浙江省2021版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·乌鲁木齐模拟) 若集合，，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）(2013·天津理) 在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A .B .C .D .3. （2分）已知命题：p1：函数的最小值为3；p2：不等式的解集是{x|x<1};p3：，使得成立;p4：，成立.其中的真命题是（）A . p1B . p1 ， p3C . p2 ， p4D . p1 ， p3 ， p44. （2分）设a>b，不等式⑴a2>b2 ，⑵>⑶>能成立的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）(2017·六安模拟) 设函数f（x）=（）x+（）x ，其中A、B为△ABC的内角，如果对任意x＞0都有f（x）＜2，那么（）A . 0＜A+B＜B . 0＜A+B＜C . ＜A+B＜D . A+B＞6. （2分） (2015高二上·天水期末) 函数y= 的单调递增区间是（）A . （0，）B . （，+∞）C . （0，e）D . （e，+∞）7. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 设a= ，则二项式（a ﹣）6展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣192B . 192C . ﹣6D . 68. （2分） (2019高三上·杭州月考) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数则（）A . 2010B . 2011C . 2012D . 201310. （2分）(2017·南海模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递减区间为（）A .B .C .D .11. （2分）已知集合，则集合B等于（）A .B .C .D .12. （2分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，f（）＜，其导函数f′（x）满足f′（x）＞m，且当x∈[﹣π，π]时，函数g（x）=﹣sin2x﹣（m+4）cosx+4有两个不相同的零点，则实数m 的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣8）B . （﹣∞，﹣8]∪（0，1）C . （﹣∞，﹣8]∪[0，1]D . （﹣8，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高一上·金华期末) 计算lg4+lg500﹣lg2=________， +（log316）•（log2 ）=________．14. （1分） (2018高三上·静安期末) 若为上的奇函数，当时，，则________．15. （1分）(2017·天心模拟) △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的最大值是________．16. （1分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=xlnx﹣x，则曲线y=f（x）在点（﹣e，f（﹣e））处的切线方程为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·重庆月考) 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称函数的一个上界.已知函数 ,（1）求函数在区间上的所有上界构成的集合（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围.18. （10分）(2020高一下·重庆期末) 在中，是角的对边，且.（1）若，解这个三角形；（2）我们知道，如果是某个定圆的一条弦，点在分圆所得的优（劣）弧上运动，则的大小确定.本题中，若，请结合的外接圆，根据的取值讨论解的个数，并请说明取何值时的面积最大.19. （10分） (2019高三上·德州期中) 如图，在四边形中，，，，连接，．（1）求的值；（2）若，，求的面积最大值．20. （15分） (2016高一上·哈尔滨期中) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x ﹣1．（1）求f（3）+f（﹣1）；（2）求f（x）在R上的解析式；（3）求不等式﹣7≤f（x）≤3的解集．21. （10分）(2020·海南模拟) 已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.22. （10分） (2018高三上·深圳月考) 已知函数，其中．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省镇海中学2021届高三上学期期中考试数学试卷
13．已知数列 中， ， ， ，若数列 单调递增，则实数 的取值范围为__________， __________．
14．设实数 、 满足 ，则 的最大值为__________， 的最小值________．
三、填空题
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
21．已知椭圆 的四个顶点组成的四边形的面积为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的下顶点为 ，如图所示，点 为直线 上的一个动点，过椭圆 的右焦点 的直线 垂直于 ，且与 交于 两点，与 交于点 ，四边形 和 的面积分别为 .求 的最大值.
6．已知抛物线 的焦点为 ， 为原点，若 是抛物线上的动点，则 的最大值为
A． B． C． D．
7．函数y＝ 的图象大致是()
A． B． C． D．
8．已知 ， 分别为双曲线 的中心和右焦点，点 ， 分别在 的渐近线和右支， ， 轴，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
9．在平面内， ，动点 ， 满足 ， ，则 的最大值是
由 ，
得 .
所以 是等边三角形，设 的边长为 ，则 ，得 .
以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,
则 ，
由 ，得点P满足： .
则 为PC的中点，
设 ，则 ，满足： ，
整理得： ，即点M在以 为圆心，1为半径的圆上，
则 的最大值是圆心到B的距离加半径： .
故选B.
点睛：对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错．
浙江省2021版高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷(模拟)
浙江省2021版高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题p:;命题q:关于x的方程有实数解,则p是q的（）.A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2018高二下·乌兰月考) 已知复数是z的共轭复数，则＝（）A .B .C . 1D . 23. （2分）函数的图象如下图，则（）A . ,,B . ,,C . ,D . ,,4. （2分） (2018高二下·顺德期末) 某班班会准备从含甲、乙的人中选取人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A . 种B . 种C . 种D . 种5. （2分）已知函数下列是关于函数的零点个数的4个判断:①当时，有3个零点；②当时，有2个零点;③当时，有4个零点；④当时，有1个零点.则正确的判断是（）A . ①④B . ②③C . ①②D . ③④6. （2分）设f(x)=， f(f(-2))=则（）A . -1B .C .D .7. （2分）已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于（）A . {1＋ i,1－ i}B . { －i}C . {1＋2 i,1－2 i}D . {1－ i}8. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=3，则点（a，b）所在的直线为（）A . x﹣3y=0B . x+3y=0C . 3x﹣y=0D . 3x+y=09. （2分） (2018高二上·凌源期末) 函数的最大值是（）A . -1B . 1C . 6D . 710. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 下列关于函数 y=ln|x|的叙述正确的是（）A . 奇函数，在（0，+∞）上是增函数B . 奇函数，在（0，+∞）上是减函数C . 偶函数，在（0，+∞）上是减函数D . 偶函数，在（0，+∞）上是增函数11. （2分）已知，设函数的零点为m，的零点为，则的最大值为（）A . 8B . 4C . 2D . 112. （2分） (2017高一上·南涧期末) 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（）A . 4B . 7C . 8D . 16二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一上·珠海期末) 计算 ________．14. （1分） (2019高一上·上海月考) 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为________.15. （2分） (2019高一上·浙江期中) 若函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为________，值域为________．16. （1分） (2017高三上·连城开学考) 对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2 ，③f （x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·抚顺模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．18. （10分） (2019高一上·分宜月考) 已知函数（1）若函数在区间上存在最小值，求实数a的取值范围；（2）当时，若对任意，总存在，使成立，求实数m的取值范围.19. （10分） (2019高一上·宾阳月考) 已知函数定义域为R，且， .（1）确定函数f(x)的解析式;（2）判断并证明函数f(x)奇偶性.20. （10分） (2019高一上·南昌月考) 已知二次函数 )满足，且 .（1）求函数的解析式；（2）令，求函数在x∈[0，2]上的最小值．21. （15分） (2017高一上·陵川期末) 某蛋糕店出售一种蛋糕，这种蛋糕的保质期很短，必须当天卖掉，否则容易变质，该蛋糕店每天以每块16元的成本价格制作这种蛋糕若干块，然后以每块26元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕只能以每块6元低价出售．蛋糕店记录了100天该种蛋糕的日需求量n（单位：块，n∈N*）整理得如图：（1）若该蛋糕店某一天制作19块蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；（2）若要求出售“出售的蛋糕块数不小于n”的频率不小于0.4，求n的最大值．（3）若该蛋糕店这100天每天都制作19块蛋糕，试计算这100天蛋糕店所获利润的平均数．22. （5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）=f（），求证：f（x）为奇函数．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。
浙江省2021版高三上学期期中数学试卷(I)卷
浙江省 2021 版高三上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） 已知，，则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2019·浙江模拟) 已知平面，直线，若，，“”是“中至少有一条与 垂直”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） (2019·衡水模拟) 空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ），则A. B.第 1 页 共 10 页C.D.4.（2 分）(2017·大庆模拟) 函数 f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜ 的图象，只需把 y=f（x）的图象上所有点（ ））的图象如图所示，为了得到 y=sinωxA . 向左平移 个单位长度 B . 向右平移 个单位长度 C . 向左平移 个单位长度 D . 向右平移 个单位长度 5. （ 2 分 ） (2019 高 二 下 · 张 家 口 月 考 ) 已 知（） A. B. C.1 D.2，则6. （2 分） (2017·诸暨模拟) 已知实数 x，y 满足 A . ﹣1B . ﹣2C.2第 2 页 共 10 页，则目标函数 z=x﹣y 的最小值等于（ ）D.17. （2 分） (2019·宝安模拟) 已知双曲线 ：：与 交于 ， 两点，若标原点），则双曲线 的离心率为（ ）（，）的一条渐近线为 ，圆是等腰直角三角形，且（其中 为坐A.B.C.D. 8. （2 分）(2019 高一上·舒城月考) 若定义在实数集 上的满足：时，，对任意 A. B.，都有成立.等于（ ）C. D.二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)9. （1 分） (2016 高一上·平阳期中) 已知 f（x）是偶函数，当 x＜0 时，f（x）=x2+x，则 f（3）=________．10. （2 分） 抛物线 C：y2=2x 的准线方程是________ ，经过点 P（4，1）的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则| |+| |=________11. （1 分） (2018 高二下·邯郸期末) 已知，，则________．12. （1 分） (2017 高二下·运城期末) 已知随机变量 ξ～B（36，p），且 E（ξ）=12，则 D（4ξ+3）=________．13. （1 分） 当 x＞0 时，函数 y=的最小值为________第 3 页 共 10 页14. （1 分） (2017·南通模拟) 已知函数 有且仅有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为________．，若方程 f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1）15. （1 分） (2016 高一上·高青期中) 已知函数 f（x）=x2+4mx+n 在区间[2，6]上是减函数，求实数 m 的取 值范围________三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)16. （10 分） (2016 高二上·会宁期中) △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC+ccosB=2acosB．（1） 求角 B 的大小；（2） 若，求△ABC 的面积．17. （10 分） (2018 高二下·舒城期末) 如图，在三棱柱 ．中，，，（1） 证明：点 在底面上的射影 必在直线 上；（2） 若二面角的大小为 ，，求与平面所成角的正弦值．18. （5 分） (2016 高三上·崇礼期中) 数列{an}是以 d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且 a2 ， a4 ， a8 成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若 bn=an•2n（n∈N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．19. （5 分） (2016 高二上·临川期中) 已知椭圆 C： （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；=1（a＞b＞0）的焦距为 2 ，长轴长为 4．（Ⅱ）如图，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 交于 A，B 两点．设 A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），第 4 页 共 10 页直线 AB 的方程为 y=﹣2x+m（m＞0），试求 m 的值．20. （10 分） (2016 高二下·东莞期中) 已知函数 f（x）= （1） 求函数 f（x）的单调区间； （2） 求函数 f（x）的极值．﹣5x+4lnx．第 5 页 共 10 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)9-1、10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 6 页 共 10 页三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)16-1、 16-2、 17-1、第 7 页 共 10 页17-2、第 8 页 共 10 页18-1、第 9 页 共 10 页19-1、20-1、 20-2、第 10 页 共 10 页。
2021届宁波高三期中考试数学试题(文)
2021届宁波高三期中考试数学试题(文)
摘要：有些地区的期中考试已经结束，大家考的怎么样呢?相信大家一定在认真的复习高三所有课程的同时做了很多习题，下面是精品的请点击下载试题完整版：xxxx届宁波高三期中考试数学试题及答案（文）.doc 总结：希望上面的xxxx届宁波高三期中考试数学试题及答案（文）对高中数学成绩的提升有所帮助，通过做习题巩固学过的知识，祝愿大家在期末考试中取得理想的成绩，加油！
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镇海中学2020学年第一学期期中考试
高三年级数学试卷
第I 卷(选择题共40分)
一､选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|log 1}A x x =<,集合B={x|-1≤x≤1},则A∩B=() A.[-1,1]
B.[-1,2)
C.(0,1]
D.(-∞,2)
2.设0.73,a =081
()3
b -=,0.7log 0.8
c =，则a,b,c 的大小关系为()
A.a<b<c
B.b<a<c
C.b<c<a
D.c<a<b
3.已知平面α,β,直线l ⊂α,直线m 不在平面α上,下列说法正确的是() A.若α//β,m//β,则l//m B.若α//β,m ⊥β,则l ⊥m C.若l//m,α//β,则m//β
D.若l ⊥m,m//β,则α⊥β
4.已知x,y 满足约束条件21010,1x y x y y --≤⎧⎪
++≥⎨⎪≤⎩
则Z=|x-3y-2|的取值范围是()
A.[0,7]
B.(1,7)
C.[0,4]
D.[1,4]
5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 若2123
1112,2,a a a a ++==则3S =() A.8
B.7
C.6
D.4
6.函数2()
()1
x x x e e f x x --=-的图像大致是()
7.已知函数()||(),x x f x x e e -=-对于实数a,b,“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的() A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知函数()2sin(2),6
f x x π
=+将f(x)的图象.上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于直线
6
x π
=
对称,则θ的最小值为() .
6
A π
.
3
B π
.
2
C π
D.π
9.已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且||AB =若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点,则||PA PB +的最小值为()
.1A
.1B .2C .2D
10.已知数列{}n a 满足010,|||1|(),i i a a a i +==+∈N 则20
1
|k
k a
=∑的值不可能是()
A.2
B.4
C.10
D.14
第II 卷(非选择题共110分)
二､填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 11.复数
(12)
1i i i
++的虚部为_____;模为____. 12.已知某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:3cm )是_____;此几何体各个面中,面积的最大值(单位:2)cm 为____.
13.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++
+,则127a a a ++
+的值是___;在上述展开式右边的九项中,随
机任取不同的三项,假设这三项均不相邻,则有____种不同的取法.
14.已知数列{},{}n n a b 满足:11211,,,n n n n a a a n b a +-=+==,则数列n b =,_____;记n S 为数列{}n a 的前n 项和,3124S S -=____.
15.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为____.
16.已知x>0,y>0,,则
2222
24xy xy
x y x y
+++的最大值____. 17.四面体ABCD 中,AB ⊥BC,CD ⊥BC,BC=2,且异面直线AB 和CD 所成的角为60°,若四面体ABCD 的外接
则四面体ABCD 的体积的最大值为____.
三､解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2222
sin sin sin 3
A C
B sinAsin
C +-=，c=2. (1)求sinB 的值;
(2)设D 在BC 边上,且BD=AD=2DC,求△ABC 的面积.
19.如图,在四棱锥S-ABCD 中,侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD,底面为直角梯形且∠AB 1
90,,2
C AB A
D BC ︒===
CD=SD,点M 是SA 的中点.
(1)求证:BD ⊥平面SCD;
(2)若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°,求SD 与平面MBD 所成角的正弦值.
20.已知数列{}n a 满足*111
,(1)(1)21,.2
n n n a a a a n +=++=+∈N
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)证明:对*123234121
,.12
n n n n N a a a a a a a a a ++∀∈+++<
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>且经过点1
().2P
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设点M 是椭圆C 上位于第一象限内的动点,A,B 分别为椭圆C 的左顶点和下顶点,直线MB 与x 轴交于点C,直线MA 与y 轴交于点D,O 为椭圆的中心,求三角形OCD 的面积的取值范围.
22.已知函数()cos 2,()x f x e x f y '=+-为f(x)的导数.
(1)当x≥0时,求()'f x 的最小值;
(2)当2
x π
≥-
时,2cos 2x xe x x ax x +--≥0恒成立,求a 的取值范围.。