《贝叶斯估计》PPT课件
合集下载
贝叶斯公式算法PPT课件
j 1
直观地将Ai 看成是导致随机事件B发生的各 种可能的原因，则P(Ai)可以理解为随机事件 Ai发生的先验概率(a priori probability).如 果我们知道随机事件B发生这个新信息，则它 可以用于对事件Ai发生的概率进行重新的估计 .事件P(Ai|B)就是知道了新信息“A发生”后 对于概率的重新认识，称为随机事件Ai的后验
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.
它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
13
贝叶斯公式：
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
由全概率公式:
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
1
4 p 1
p (1 p)
5
5
16
2019/10/23
17
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
例如，若 p 1 2
则 P(A | B) 5 6
这说明老师们依据试卷成绩来衡量学 生平时的学习状况还是有科学依据的.
i 1
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
6
n
P(B) P ( Ai )P(B｜Ai )
i 1
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai
直观地将Ai 看成是导致随机事件B发生的各 种可能的原因，则P(Ai)可以理解为随机事件 Ai发生的先验概率(a priori probability).如 果我们知道随机事件B发生这个新信息，则它 可以用于对事件Ai发生的概率进行重新的估计 .事件P(Ai|B)就是知道了新信息“A发生”后 对于概率的重新认识，称为随机事件Ai的后验
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.
它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
13
贝叶斯公式：
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
由全概率公式:
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
1
4 p 1
p (1 p)
5
5
16
2019/10/23
17
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
例如，若 p 1 2
则 P(A | B) 5 6
这说明老师们依据试卷成绩来衡量学 生平时的学习状况还是有科学依据的.
i 1
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
6
n
P(B) P ( Ai )P(B｜Ai )
i 1
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai
信号检测与估计 第三章 贝叶斯估计ppt课件
需要数据的n维pdf与有关gxgxxxxn看作确定参数看作随机参数经典估计不提供的全部先验信息贝叶斯估计要利用的先验pdfppt学习交流最小方差准则均方误差准则meansquareerrormse一个很自然的准则10ppt学习交流11ppt学习交流12ppt学习交流13ppt学习交流14ppt学习交流15ppt学习交流16ppt学习交流对应于均匀代价函数17ppt学习交流18ppt学习交流经典估计理论小结主要估计方法lse
例
• 作业4-2
E(ˆ)
2
Var(ˆ) b2 ( )
条件中位数估计
最大后验概率估计
对应于均匀代价函数
关于估计的准则
经典估计理论——小结
主要估计方法
LSE：不需要统计信息 MLE：需要先验概率密度函数 矩估计：相应的矩信息 MVUE和BLUE：一阶、二阶矩信息（均值、方差）
θ看作确定参数 θ看作随机参数
经典估计，不提供θ的全部先验信息 贝叶斯估计，要利用θ的先验pdf
最小均方估计
最小方差准则
均方误差准则（mean square error，MSE）——一个很自然的准则
mse(ˆ)
E
ˆ
2
E
Байду номын сангаас
ˆ
E(ˆ)
§ 贝叶斯估计
误差平方代价函数
误差绝对值代价函数
均匀代价函数
几种贝叶斯估计
估计的数学问题
已知观测数据 X x[0] x[1] L x[N 1]
未知参量
1 2 L p
如何得到估计问题的统计信息？
需要数据的N维pdf，与θ有关
例
• 作业4-2
E(ˆ)
2
Var(ˆ) b2 ( )
条件中位数估计
最大后验概率估计
对应于均匀代价函数
关于估计的准则
经典估计理论——小结
主要估计方法
LSE：不需要统计信息 MLE：需要先验概率密度函数 矩估计：相应的矩信息 MVUE和BLUE：一阶、二阶矩信息（均值、方差）
θ看作确定参数 θ看作随机参数
经典估计，不提供θ的全部先验信息 贝叶斯估计，要利用θ的先验pdf
最小均方估计
最小方差准则
均方误差准则（mean square error，MSE）——一个很自然的准则
mse(ˆ)
E
ˆ
2
E
Байду номын сангаас
ˆ
E(ˆ)
§ 贝叶斯估计
误差平方代价函数
误差绝对值代价函数
均匀代价函数
几种贝叶斯估计
估计的数学问题
已知观测数据 X x[0] x[1] L x[N 1]
未知参量
1 2 L p
如何得到估计问题的统计信息？
需要数据的N维pdf，与θ有关
贝叶斯公式算法 ppt课件
第七节 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
解：记 Ai={球取自i号箱},
i=1,2,3; B ={取得红球}
12 3
B发生总是伴随着A1，A2运，用A加3 之法公一式同得时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B两两互斥
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：
全概率公式:
设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是 两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,
n Ai S, 则对任一事件B，有
i 1 n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
求解如下: 设 A={知道答案}， B={选则正确}，由题意可知：
P(B | A) 1 , P(B | A) 1, P(AB) P(A) p 5
由全概率公式:
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
p 1 (1 p) 4 p 1
5
5
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它
可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
解：记 Ai={球取自i号箱},
i=1,2,3; B ={取得红球}
12 3
B发生总是伴随着A1，A2运，用A加3 之法公一式同得时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B两两互斥
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：
全概率公式:
设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是 两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,
n Ai S, 则对任一事件B，有
i 1 n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
求解如下: 设 A={知道答案}， B={选则正确}，由题意可知：
P(B | A) 1 , P(B | A) 1, P(AB) P(A) p 5
由全概率公式:
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
p 1 (1 p) 4 p 1
5
5
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它
可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
《贝叶斯估计》PPT课件
其中
B(
,
)
( )( ) ( )
，确定的随机变量
X
的分布称为贝塔分
布，记为beta(, )
贝塔分布beta(, ) 的均值 E( X )
，
方差Var( X
)
(
)2 (
1)
当 1时，贝塔分布退化整为理[p0p,1t ] 区间上的均匀分布。
19
信息验前分布
例 设事件 A 的概率为 ，为了估计 而作 n 次独立观察，其中事件 A 出现的次数为 X ，显然， X 服从二项分布 b(n, ) ，即
科全书》（数学卷）
整理ppt
3
第一章先验分布与后验分布
统计学有两个主要学派:频率学派与贝叶斯学派. 它们之间有异同,贝叶斯统计是在与经典统计的争 论中发展起来,主要的争论有: 1.未知参数可否作为随机变量? 2.事件的概率是否一定的频率解释? 3.概率是否可用经验来确定?
……….
§1.1 先介绍三种信息的概念
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯
公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶
斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
整理ppt
2
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
第二步是从总体分布 p(x | ' ) 产生一个样本 x (x1, xn ) ，
这个样本是具体的，人们能看得到的，此样本 x 发生的概) p(xi | ') i 1
这个联合密度函数是综合了总体信息和样本信息，常称
为似然函数，记为 L( ') 。
贝叶斯统计ppt课件
29
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计
若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
u0.5 h( x)d 0.5
则后验分布中位数估计
Me u0.5
30
二 参数的Bayes点估计
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为
或简记B 为 。它们 皆是样本观察值
18
历史迭代图
不收敛 收敛
19
(2)观察自相关性图 （m）
自相关性图用于描述（m）序列在不同迭代
延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
20
21
22
23
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
选择检验统计量，确定抽样分布，等等。
41
四 Bayes假设检验
Bayes假设检验不同型：
简单假设 简单假设
复杂假设 复杂假设 假单假设 复杂假设
42
四 Bayes假设检验
Bayes因子
设两个假设Θ0，Θ1的先验概率分布为π0与π1，
即：
0 P( 0 ),1 P( 1)
则 0 1 称为先验概率比。
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
贝叶斯估计在抽样调查中的应用PPT文档共41页
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
贝叶斯估计在抽样调查中的 应用
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
贝叶斯估计在抽样调查中的 应用
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
6.4贝叶斯估计
6.4贝叶斯估计6.4 贝叶斯估计在统计学中有两个大的学派：频率学派（经典学派）和贝叶斯学派，本书主要介绍频率学派的理论和方法，此小节将度贝叶斯学派做些介绍。
6.4.1 统计推断的基础我们在前面已经讲过，统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进行推断。
事实上，这是经典学派对统计推断的规定，这里的统计推断使用到两种信息：总体信息和样本信息；而贝叶斯学派认为，除了上述两种信息以外，统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。
下面我们先把三种信息加以说明。
（1）总体信息总体信息即总体分布或总体所属分布族提供的信息。
譬如，若已知“总体是正态分布”，则我们就知道很多信息。
譬如：总体的一切阶矩都存在；总体密度函数关于均值对称；总体的所有性质由其一、二阶矩决定；有许多成熟的统计推断方法可以供我们选用等。
总体信息是很重要的信息，为了获取此种信息往往耗资巨大。
比如，我国为确认国产轴承寿命分布为威布尔分布前后花了五年时间，处理了几千个数据后才定下的。
（2）样本信息样本信息即抽取样本所得观测值提供的信息。
譬如，在有了样本观测值后，我们可以根据它大概知道总体的一些特征数，如总体均值、总体方差等等在一个什么范围内。
这是最“新鲜”的信息，并且越多越好，希望通过样本对总体分布或总体的某些特征作出比较精确的统计推断。
没有样本就没有统计学而言。
（3）先验信息如果我们把抽取样本看做一次试验，则样本信息就是试验中得到的信息。
实际中，人们在试验之前对要做的问题在经验上和资料上总是有所了解的，这些信息对统计推断是有益的。
先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一些信息。
一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。
先验信息在日常生活和工作中是很重要的。
先看一个例子。
例6.4.1 在某工厂的产品中每天要抽检n 件以确定该厂产品的质量是否满足要求。
产品质量可用不合格品率p 来度量，也可以用n 件抽查产品中的不合格品件数θ表示。
由于生产过程有连续性，可以认为每天的产品质量是有关联的，即是说，在估计现在的p 时，以前所积累的资料应该是可供使用的，这些积累的历史资料就是先验信息。
贝叶斯估计 PPT
B(1,)的一个样本，试寻求的共轭先验分布？
解 其似然函数为
n
n
n
q(x| )
xi(1)1xi i 1xii(1)n i 1xi
i 1
n x( 1 ) n n x g n ( t|) g 1 ,
其 中 g n ( t |) t( 1 ) n t , 选 取 f () 1 ， 则
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.
2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计
2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计
定理3.2 设 的先验分布为 ( )和损失函数为
L(,d)(d)2
则 的贝叶斯估计
为
d * (x ) E (|X x ) h (|x )d
其 中 h (|x ) 为 参 数 的 后 验 分 布 .
π (1 ) 0 .4 π (2 ) 0 .6
这两个概率是经理的主观判断（也就是先验概率）， 为了得到更准确的信息，经理决定进行小规模的试验， 实验结果如下：
A：试制5个产品，全是正品，
由此可以得到条件分布：
p ( A |1 ) ( 0 . 9 ) 5 0 . 5 9 0 p ( A |2 ) （ 0 . 7 ） 5 0 . 1 6 8
t (1)n t
D f{1t (1)n td :n1 ,2,L,t0,1 ,2,L} 0
显然此共轭分布族为 分布的子族，因而，两点
分布的共轭先验分布族为 分布. 常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
分布 ( , )
泊松分布
均值
分布 ( )
指数分布
均值的倒数
分布 ( )
正态分布 （方差已知）
解 其似然函数为
n
n
n
q(x| )
xi(1)1xi i 1xii(1)n i 1xi
i 1
n x( 1 ) n n x g n ( t|) g 1 ,
其 中 g n ( t |) t( 1 ) n t , 选 取 f () 1 ， 则
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.
2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计
2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计
定理3.2 设 的先验分布为 ( )和损失函数为
L(,d)(d)2
则 的贝叶斯估计
为
d * (x ) E (|X x ) h (|x )d
其 中 h (|x ) 为 参 数 的 后 验 分 布 .
π (1 ) 0 .4 π (2 ) 0 .6
这两个概率是经理的主观判断（也就是先验概率）， 为了得到更准确的信息，经理决定进行小规模的试验， 实验结果如下：
A：试制5个产品，全是正品，
由此可以得到条件分布：
p ( A |1 ) ( 0 . 9 ) 5 0 . 5 9 0 p ( A |2 ) （ 0 . 7 ） 5 0 . 1 6 8
t (1)n t
D f{1t (1)n td :n1 ,2,L,t0,1 ,2,L} 0
显然此共轭分布族为 分布的子族，因而，两点
分布的共轭先验分布族为 分布. 常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
分布 ( , )
泊松分布
均值
分布 ( )
指数分布
均值的倒数
分布 ( )
正态分布 （方差已知）
课件-贝叶斯估计量
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
后者综合了经理的主观概率和实验结果而 获得，要比主观概率更具有吸引力， 获得，要比主观概率更具有吸引力，更贴近 当前实际 当然经过实验A后经理对投资改进质量 当然经过实验 后经理对投资改进质量 的兴趣更大了， 的兴趣更大了，但如果为了进一步保险起 见可以把这次得到的后验分布列再一次作 为先验分布在做实验验证， 为先验分布在做实验验证，结果将更贴近 实际
要么正面朝上要么反面朝上概率各占12这个概率分布是根据我们以前的知识和经验得出来的一般被称做先验分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12先验分布先验分布但还是有不同的主要区别在与概率分布得到的途径上根据先验信息所给出的随机变量的分布这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息先验分布与经典统计学里面的其他分布并没有什么区别同样有先验离散分布和先验连续分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12经典统计学里要得到概率分布必须大量重复实验由大数定律中心极限定理这些基本定理来保证在大量重复实验中频率与概率具有一致从而的到随机变量的概率分布经典统计学的概率分布包含所有样本点即所有可能的实验结果都要被考虑进去贝叶斯统计学的先验概率分布考虑的只是已出现的样本来自于过去的经验山东财政学院贝叶斯估计量oct12可以由经验得来不必做大量的重复实验
f (x p ) = p x (1 p ) (1 x ) x = 0,1 0 < p < 1
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
X 于是， 于是，= ( X , X
1
2
, , X n )
n
的联合条件概率函数为
(1 x i )
n x = p i=1 (1 p ) ∑ i i =1
q (x p ) = Π p xi (1 p )
贝叶斯估计量
Oct-10
后者综合了经理的主观概率和实验结果而 获得，要比主观概率更具有吸引力， 获得，要比主观概率更具有吸引力，更贴近 当前实际 当然经过实验A后经理对投资改进质量 当然经过实验 后经理对投资改进质量 的兴趣更大了， 的兴趣更大了，但如果为了进一步保险起 见可以把这次得到的后验分布列再一次作 为先验分布在做实验验证， 为先验分布在做实验验证，结果将更贴近 实际
要么正面朝上要么反面朝上概率各占12这个概率分布是根据我们以前的知识和经验得出来的一般被称做先验分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12先验分布先验分布但还是有不同的主要区别在与概率分布得到的途径上根据先验信息所给出的随机变量的分布这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息先验分布与经典统计学里面的其他分布并没有什么区别同样有先验离散分布和先验连续分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12经典统计学里要得到概率分布必须大量重复实验由大数定律中心极限定理这些基本定理来保证在大量重复实验中频率与概率具有一致从而的到随机变量的概率分布经典统计学的概率分布包含所有样本点即所有可能的实验结果都要被考虑进去贝叶斯统计学的先验概率分布考虑的只是已出现的样本来自于过去的经验山东财政学院贝叶斯估计量oct12可以由经验得来不必做大量的重复实验
f (x p ) = p x (1 p ) (1 x ) x = 0,1 0 < p < 1
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
X 于是， 于是，= ( X , X
1
2
, , X n )
n
的联合条件概率函数为
(1 x i )
n x = p i=1 (1 p ) ∑ i i =1
q (x p ) = Π p xi (1 p )
贝叶斯统计ppt课件
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
31
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
32
三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
15
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
31
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
32
三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
15
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。
《贝叶斯决策理论》PPT课件
常表示为
p (x )~ N (, )
多元正态分布的性质
等密度点的轨迹是超椭球面
R 1
R 2
R 22 (12 22) p(x2)dx
R 1
P ( 1)(11 22) (21 11) p(x 1)dx (12 22) p(x2)dx
R 2
R 1
一旦R 1 和 R 2 确定，风险 R 就是先验概率 P (1 ) 的线性函数，可表
示为
RabP(1)
a22(1222) p(x2)dx
R 11P(1x)12P(2 x)p(x)dx
R1
21P(1x)22P(2 x)p(x)dx
R2
R11P(1)p(x1)12P(2)p(x2)dx
R 1
21P(1)p(x1)22P(2)p(x2)dx
R2
P (2 ) 1 P (1 ) p ( x 1 ) d x p ( x 1 ) d x 1
2.3 正态分布时的统计决策
贝叶斯分类器的结构可由条件概率密度 和先验概率来决定
最受青睐的密度函数——正态分布，也称 高斯分布
合理性：中心极限定理表明，在相当一般的 条件下，当独立随机变量的个数增加时，其 和的分布趋于正态分布
简易性
2.3.1 正态分布的定义及性质
单变量正态分布由两个参数完全确定，即 均值和方差
模式识别的目的就是要确定某一个给定 的模式样本属于哪一类
可以通过对被识别对象的多次观察和测
量，构成特征向量，并将其作为某一个
判决规则的输入，按此规则来对样本进 行分类
作为统计判别问题的模式分类
在获取模式的观测值时，有些事物具有 确定的因果关系，即在一定的条件下， 它必然会发生或必然不发生
例如识别一块模板是不是直角三角形，只要 凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个 特征，测量它是否有三条直线边的闭合连线 并有一个直角，就完全可以确定它是不是直 角三角形
p (x )~ N (, )
多元正态分布的性质
等密度点的轨迹是超椭球面
R 1
R 2
R 22 (12 22) p(x2)dx
R 1
P ( 1)(11 22) (21 11) p(x 1)dx (12 22) p(x2)dx
R 2
R 1
一旦R 1 和 R 2 确定，风险 R 就是先验概率 P (1 ) 的线性函数，可表
示为
RabP(1)
a22(1222) p(x2)dx
R 11P(1x)12P(2 x)p(x)dx
R1
21P(1x)22P(2 x)p(x)dx
R2
R11P(1)p(x1)12P(2)p(x2)dx
R 1
21P(1)p(x1)22P(2)p(x2)dx
R2
P (2 ) 1 P (1 ) p ( x 1 ) d x p ( x 1 ) d x 1
2.3 正态分布时的统计决策
贝叶斯分类器的结构可由条件概率密度 和先验概率来决定
最受青睐的密度函数——正态分布，也称 高斯分布
合理性：中心极限定理表明，在相当一般的 条件下，当独立随机变量的个数增加时，其 和的分布趋于正态分布
简易性
2.3.1 正态分布的定义及性质
单变量正态分布由两个参数完全确定，即 均值和方差
模式识别的目的就是要确定某一个给定 的模式样本属于哪一类
可以通过对被识别对象的多次观察和测
量，构成特征向量，并将其作为某一个
判决规则的输入，按此规则来对样本进 行分类
作为统计判别问题的模式分类
在获取模式的观测值时，有些事物具有 确定的因果关系，即在一定的条件下， 它必然会发生或必然不发生
例如识别一块模板是不是直角三角形，只要 凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个 特征，测量它是否有三条直线边的闭合连线 并有一个直角，就完全可以确定它是不是直 角三角形
信号检测与估计 第三章 贝叶斯估计ppt课件
θ看作确定参数 θ看作随机参数
经典估计，不提供θ的全部先验信息 贝叶斯估计，要利用θ的先验pdf
最小均方估计
最小方差准则
均方误差准则（mean square error，MSE）——一个很自然的准则
mse(ˆ) E ˆ
2
E
ˆ
E(ˆ)
E(ˆ)
2
Hale Waihona Puke Var(ˆ)b2()条件中位数估计
最大后验概率估计
对应于均匀代价函数
关于估计的准则
经典估计理论——小结
主要估计方法
LSE：不需要统计信息 MLE：需要先验概率密度函数 矩估计：相应的矩信息 MVUE和BLUE：一阶、二阶矩信息（均值、方差）
例
• 作业4-2
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
§ 贝叶斯估计
误差平方代价函数
误差绝对值代价函数
均匀代价函数
C（，ˆ）
1， 0，
ˆ ˆ
2 2
几种贝叶斯估计
估计的数学问题
已知观测数据 X x [0 ]x [ 1 ]Lx [N 1 ]
未知参量
1 2 L p
如何得到估计问题的统计信息？
需要数据的N维pdf，与θ有关
求 ˆ g ( X ) g ( x [ 0 ] ,x [ 1 ] ,x [ 2 ] L x [ N 1 ] )
贝叶斯公式算法 ppt课件
我们看到，当n较大时，直接计算Pn(k) Cnk pkqnk 是颇为麻烦的。实际上，当n很大时，p很小时，
可利用下列泊松近似公式计算：
Pn (k)
Cnk
pk qnk
(np)k k!
enp
当n 20, p 0.1时，就可用上述公式近似运算，而
当n 100, p 0.01时，近似效果则非常好。
定理 : 在n重贝努里试验中事件A恰好发 生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,, n
例：据报道，有１０％的人对某药有 胃肠道反应。为考察某厂的产品质量， 现选５名患者服用此药， 试求下列事件的概率。
（１）有人有反应； （２）不超过２人有反应； （３）至少有３人有反应。
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
运用乘法公式得
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
全概率公式:
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, … ,An之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
12 3
B发生总是伴随着A1，A2运，用A加3 之法公一式同得时发生，
关于贝叶斯决策理论课件.pptx
这组成一个d维的特征向量，而这d维待征所 有可能的取值范围则组成了一个d维的特征 空间。
贝叶斯决策理论方法讨论的问题
讨论的问题
总共有c类物体 已知各类在这d维特征空间的统计分布，
各类别ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi) 类条件概率密度函数p(x|ωi)
问题: 如何对某一样本按其特征向量分类
基于最小错误率的贝叶斯决策
贝叶斯公式
先验概率，后验概率，概率密度函数之间关 系
根据先验概率和概率密度函数可以计算出后 验概率
基于最小错误率的贝叶斯决策
问题
为什么先验概率和类条件概率密度函数可以 作为已知？
而后验概率需要通过计算获得？
基于最小错误率的贝叶斯决策
为什么后验概率要利用Bayes公式从先验 概率和类条件概率密度函数计算获得 ？
贝叶斯决策理论前提
各类别总体的概率分布是已知的; 要决策分类的概率分布是已知的。
课前思考
机器自动识别分类，能不能避免错分类 ? 怎样才能减少错误？ 不同错误造成的损失一样吗？ 先验概率，后验概率，概率密度函数？ 什么是贝叶斯公式？ 正态分布？期望值、方差？ 正态分布为什么是最重要的分布之一？
学习指南
理解本章的关键
要正确理解先验概率，类概率密度函数，后 验概率这三种概率
P(*|#)与P(*)不同
例:*表示中国人，#表示在中国大陆的人 则P(*|#)与P(*)不同含义不同
几个重要概念
先验概率
P(ω1)及P(ω2)
概率密度函数
P(x|ωi)
后验概率
P(ωi|X)
贝叶斯决策理论
先验概率，后验概率，概率密度函数
假设总共有c类物体，用ωi (i=1,2,…,c)标记
贝叶斯决策理论方法讨论的问题
讨论的问题
总共有c类物体 已知各类在这d维特征空间的统计分布，
各类别ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi) 类条件概率密度函数p(x|ωi)
问题: 如何对某一样本按其特征向量分类
基于最小错误率的贝叶斯决策
贝叶斯公式
先验概率，后验概率，概率密度函数之间关 系
根据先验概率和概率密度函数可以计算出后 验概率
基于最小错误率的贝叶斯决策
问题
为什么先验概率和类条件概率密度函数可以 作为已知？
而后验概率需要通过计算获得？
基于最小错误率的贝叶斯决策
为什么后验概率要利用Bayes公式从先验 概率和类条件概率密度函数计算获得 ？
贝叶斯决策理论前提
各类别总体的概率分布是已知的; 要决策分类的概率分布是已知的。
课前思考
机器自动识别分类，能不能避免错分类 ? 怎样才能减少错误？ 不同错误造成的损失一样吗？ 先验概率，后验概率，概率密度函数？ 什么是贝叶斯公式？ 正态分布？期望值、方差？ 正态分布为什么是最重要的分布之一？
学习指南
理解本章的关键
要正确理解先验概率，类概率密度函数，后 验概率这三种概率
P(*|#)与P(*)不同
例:*表示中国人，#表示在中国大陆的人 则P(*|#)与P(*)不同含义不同
几个重要概念
先验概率
P(ω1)及P(ω2)
概率密度函数
P(x|ωi)
后验概率
P(ωi|X)
贝叶斯决策理论
先验概率，后验概率，概率密度函数
假设总共有c类物体，用ωi (i=1,2,…,c)标记
贝叶斯算法PPT
有腿
否
类别 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物
类别
？
Q2 分类问题
税号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 去年退税 是 否 否 是 否 否 是 否 否 否 婚姻状况 单身 婚姻中 单身 婚姻中 离婚 婚姻中 离婚 单身 婚姻中 单身 可征税收入 125k 100k 70k 120k 95k 60k 220k 85k 75k 90k 逃税 否 否 否 否 是 否 否 是 否 是
2、获取训练样本 这里使用运维人员曾经人工检测过的1万个账号作为训练样本。
3、计算训练样本中每个类别的频率 用训练样本中真实账号和不真实账号数量分别除以一万，得到：
P(C = 0) = 8900/10000 = 0.89 P(C = 1) = 1100/10000 = 0.11
4、计算每个类别条件下各个特征属性划分的频率 P(a1<=0.05| C = 0) = 0.3 P(0.05<a1<0.2|C = 0) = 0.5 P(a1>0.2| C = 0) = 0.2 P(a2<=0.1| C = 0) = 0.1 P(0.1<a2<0.8 | C=0) = 0.7 P(a2>0.8| C = 0) = 0.2 P(a3 = 0|C = 0) = 0.2 P(a3 = 0|C = 1) = 0.9 P(a1<=0.05| C = 1) = 0.8 P(0.05<a1<0.2| C = 1) = 0.1 P(a1>0.2| C = 1) = 0.1 P(a2<=0.1| C = 1) = 0.7 P(0.1<a2<0.8 | C=1) = 0.2 P(a2>0.8| C = 0) = 0.1 P(a3 = 1|C = 0) = 0.8 P(a3 = 1|C = 1) = 0.1
否
类别 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物 哺乳动物 非哺乳动物
类别
？
Q2 分类问题
税号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 去年退税 是 否 否 是 否 否 是 否 否 否 婚姻状况 单身 婚姻中 单身 婚姻中 离婚 婚姻中 离婚 单身 婚姻中 单身 可征税收入 125k 100k 70k 120k 95k 60k 220k 85k 75k 90k 逃税 否 否 否 否 是 否 否 是 否 是
2、获取训练样本 这里使用运维人员曾经人工检测过的1万个账号作为训练样本。
3、计算训练样本中每个类别的频率 用训练样本中真实账号和不真实账号数量分别除以一万，得到：
P(C = 0) = 8900/10000 = 0.89 P(C = 1) = 1100/10000 = 0.11
4、计算每个类别条件下各个特征属性划分的频率 P(a1<=0.05| C = 0) = 0.3 P(0.05<a1<0.2|C = 0) = 0.5 P(a1>0.2| C = 0) = 0.2 P(a2<=0.1| C = 0) = 0.1 P(0.1<a2<0.8 | C=0) = 0.7 P(a2>0.8| C = 0) = 0.2 P(a3 = 0|C = 0) = 0.2 P(a3 = 0|C = 1) = 0.9 P(a1<=0.05| C = 1) = 0.8 P(0.05<a1<0.2| C = 1) = 0.1 P(a1>0.2| C = 1) = 0.1 P(a2<=0.1| C = 1) = 0.7 P(0.1<a2<0.8 | C=1) = 0.2 P(a2>0.8| C = 0) = 0.1 P(a3 = 1|C = 0) = 0.8 P(a3 = 1|C = 1) = 0.1
贝叶斯学习过程PPT课件
0 0
n 0
0
n ˆn
先验知识和经验数据各自的贡献取决于 和 的比值，这个比值称为决断因子（dogmatism）
当获得足够多的样本后， 和 的具体数值 的精确假定变得无关紧要， 将收敛于样本均 值
第28页/共48页
高斯情况：单变量， 未知， 已知
• 观察结论
• 随着样本数n的递增， 单调递
，其中的未知参数表示为向量
第20页/共48页
贝叶斯估计
• 贝叶斯估计 • 最大似然估计
第21页/共48页
贝叶斯估计
• 为明确数据集D的作用，类似于ML估计，贝叶斯决策所需后验概率可重新写作 • 简化
第22页/共48页
贝叶斯估计
• 核心问题
• 已知一组训练样本D，这些样本都是从固定但未知的概率密度函数p(x)中独立抽取的，要求根据这些样 本估计
第13页/共48页
ML估计-高斯情况： 未知
μ
•
• 在 下的对数似然
• 对数似然方程
• 的ML估计
数据集D的样本均值
第14页/共48页
ML估计-高斯情况： 和
• x为单变量情况 • 参数向量 • 在 下的对数似然
均未知
• 对数似然方程
μΣ
第15页/共48页
ML估计-高斯情况： 和
• x为单变量情况 • 的ML估计
第11页/共48页
最大化问题
• ML估计的解通过最大化似然函数或对数似然函数实现
第12页/共48页
最大化问题 • 记 表示p维参数向量
， 表示梯度算子
• 全局最大值的必要条件（似然方程）
或
等价的（对数似然方程）
• 似然方程或对数似然方程的解并不是获得全局最大值的充分条件
一、非参数经验贝叶斯估计ppt课件
义
R(d ) E (R( , d ))
R( , d )π( )d
为决策函数d在给定先验分布 ( )下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
2、贝叶斯风险的计算 当X与 都是连续性随机变量时，贝叶斯风险为
R(d ) E(R( , d )) R( , d )π( )d L( , d( x))q( x | )π( )dxd L( ,d( x))h( | x)g(x)dxd g(x){ L( , d( x))h( | x)d }dx
如果先验分布 G(x)未知，该 如何计算？
2、经验贝叶斯决策函数 当先验分布未知时，如何利用历史资料（经验资
料）( X1, X 2 ,L , X n )T 的信息得到最优贝叶斯估计？ 定义3.11 任何同时依赖于历史样本( X1, X2 ,L , Xn )T 和当前样本X的决策函数dn dn ( X | X1,L , Xn )称为 经验贝叶斯决策函数
dn ( X|Fra bibliotekX1, X2 ,L
, Xn)
X
mˆ G' ( X ) mˆ G ( X )
由这两个例子可以看到，经验贝叶斯估计一方面依赖
贝叶斯估计理论，同时也依赖于非参数估计方法。
二、参数经验贝叶斯估计
定理4.1 设f ( )为任一固定的函数，满足条件
(1) f ( ) 0, ,
(2) 0 gn(t | ) f ( )d
B(1, )的一个样本，试寻求的共轭先验分布？
解 其似然函数为
n
n
q( x | )
n
xi (1 )1 xi
xi
n xi
i1 i (1 ) i1
i 1
nx (1 )nnx gn (t | )g1,
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x
0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
假设Ⅲ 我们对参数θ已经积累了很多资料，经过分析、
整理和加工，可以获得一些有关θ的有用信息，这种信
息就是先验信息。参数θ不是永远固定在一个值上，而
是一个事先不能确定的量。
4
从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这 个分布称为先验分布，其密度函数用π(θ)表示。
1 先验分布
定义3.1 将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ 的随机变量，它有一概率分布，记为π(θ), 称为参 数θ的先验分布。
2 后验分布
在贝叶斯统计学中，把以上的三种信息归纳起来的
最好形式是在总参数的联合密度函数
5
p(x1,, xn, ) p(x1,, xn ) ( )
这就是贝叶斯公式的密度函数形式， ( x1,, xn )
称为θ 的后验密度函数，或后验分布。而
p(x1,, xn ) p(x1,, xn ) ( )d 6
是样本的边际分布，或称样本 X1,, X n 的无条 件分布，它的积分区域就是参数θ的取值范围，随 具体情况而定。
2．样本信息，即样本提供给我们的信息，这是
任一种统计推断中都需要的信息。
1
3．先验信息，即在抽样之前有关统计推断的一些 信息。譬如，在估计某产品的不合格率时，假如工 厂保存了过去抽检这种产品质量的资料，这些资料 （包括历史数据）有时估计该产品的不合格率是有 好处的。这些资料所提供的信息就是一种先验信息。 又如某工程师根据自己多年积累的经验对正在设计 的某种彩电的平均寿命所提供的估计也是一种先验 信息。由于这种信息是在“试验之前”就已有的， 故称为先验信息。
初等概率论中的贝叶斯公式是用事件的概率形式给 出的。可在贝叶斯统计学中应用更多的是贝叶斯公 式的密度函数形式。下面结合贝叶斯统计学的基本 观点来引出其密度函数形式。贝叶斯统计学的基本 观点可以用下面三个观点归纳出来。
3
假设Ⅰ 随机变量X有一个密度函数p(x;θ)，其中θ是一 个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯 观点看，p(x;θ)在给定θ后是个条件密度函数，因此 记为p(x|θ)更恰当一些。这个条件密度能提供我们的 有关的θ信息就是总体信息。
( ) (a b) a1(1 )b1, 0 1, a 0, b 0
即
P(X x ) Cnx x (1 )nx, x 0,1,, n.
如果此时我们对事件A的发生没有任何了解，对
的大小也没有任何信息。在这种情况下，贝叶斯建议
用区间（0，1）上的均匀分布作为的先验分布。因为
它在（0，1）上每一点都是机会均等的。这个建议被
后人称为贝叶斯假设,
在这个联合密度函数中。当样本 X1,, X n 给定之后，
未知的仅是参数θ了，我们关心的是样本给定后，θ的
条件密度函数，依据密度的计算公式，容易获得这个
条件密度函数
(
x1,, xn )
p(x1,, xn , )
p(x1,, xn )
p(x1,, xn ) ( )
p(x1,, xn ) ( )d
(
)
1,0
0, others
1
8
样本X与参数的联合分布为
px , Cnx x (1 )nx , x 0,1,, n,0 1
此式在定义域上与二项分布有区别。再计算X的 边际密度为
p(x)
1 0
p(x, )d
Cnx
(x
1)(n x (n 2)
以前所讨论的点估计只使用前两种信息，没有使用
先验信息。假如能把收集到的先验信息也利用起来，
那对我们进行统计推断是有好处的。只用前两种信
息的统计学称为经典统计学，三种信息都用的统计
学称为贝叶斯统计学。本节将简要介绍贝叶斯统计
学中的点估计方法。
2
二、贝叶斯公式的密度函数形式
贝叶斯统计学的基础是著名的贝叶斯公式，它是英国 学者贝叶斯（T.R.Bayes1702~1761）在他死后二年发 表的一篇论文《论归纳推理的一种方法》中提出的。 经过二百年的研究与应用，贝叶斯的统计思想得到很 大的发展，形成一个统计学派—贝叶斯学派。为了纪 念他，英国历史最悠久的统计杂志《Biometrika》在 1958年又全文刊登贝叶斯的这篇论文。