图与网络模型的基本概念

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图与网络的运筹学实验报告

图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。

本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。

一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。

图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。

1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。

根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。

二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。

通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。

2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。

通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。

2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。

通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。

三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。

3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。

3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。

四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。

4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。

4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。

运筹学(第6章图与网络分析)

a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈

定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领域应用极为广泛。例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H

例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工程师
生产副厂长
经营副厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的弧表示。
端点,关联边,相邻若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7

运筹学第六章图与网络分析1.

一、树的概念及性质例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市），并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义：连通且不含圈的无向图称为树。次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)，称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5

运筹学胡运权第五版(第6章)ppt课件

即n=k时结论也成立。综上，n阶树有n-1条边。
.
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）：假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
其中
i
dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）}
dir（0）
r
r
drj（0）
j
即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 7 12 6 ∞
D（1）= V2 5 0 7 2 7 4 10
V3 2 7 0 6 5 4 10
.
最小部分树长Lmin=14
1、最短路问题
*§6.3 最短路问题
从已知的网络图中找出两点之间距离最短（即权和最小）的路。
2、相关记号
（1）dij表示图中两个相邻点i和j之间的距离（即权）。易见 dii=0 约定：当i和j不相邻时，dij=∞
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。易见 Lii=0
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
.
3 V7
1 6
V6
* 4、矩阵算法
求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8

MBA数据模型与决策考试复习资料要点

数据模型与决策考试复习资料一、简答题1.数据、模型与决策的本质是什么?根据目标〔管理问题〕，确定影响目标的关键要素，采集相关的数据，构建相应模型，应用定量分析方法，进行辅助决策的科学（即管理科学）2.数据、模型与决策的基本流程是什么？确定目标→分析类型→确定因素→收集数据→整理信息→分析建模→预测决策3.数据、模型与决策的基本框架是什么？4.举例说明数据模型与决策的作用抄一实例：解决生产计划的线性规划问题。

例某企业生产A、B两种产品为畅销产品，已知，所需的资源总量和单耗如下表1，并调查知2004-2008年该企业生产A、B两种产品的单位售价分别为A：2、3、4、5、6千元，B：3、4、5、6、7千元，试问：2009年该企业A、B两种产品的生产计划是是什么？5.图与网络的概念是什么？图：由点和边组成的集合网络：带有某种数量指标的图（即赋权图）称为网络6.网络的基本特征是什么？1）三要素：点、边、权2）一般将研究“对象”作为“点”，“对象”之间的关系作为“边”，“对象”之间的关系程度作为“权”7.什么是树？什么是最小树？树：无圈连通图；最小树：权重之和最小的树8.什么情况下用破圈法，什么情况下用避圈法？破圈法适用于网络图已存在的问题，基本思路：对于网络图中每一个圈都破掉其最长边，直至网络图中不存在圈为止。

避圈法适用于网络图不存在的问题，基本思路：对网络图中在不构成圈的条件下，每次连接距离最短的边，直至网络图中各点连通为止。

9.什么是最短路？在一网络中，求给定一初始点至一终点的一条路长最短的路（即路的各边权数之和最小）。

10.什么是线性规划？线性规划是求一个线性函数在满足一组线性等式或不等式方程条件下的极值问题的统称。

11.线性规划问题的组成1）决策变量构成反映决策者目标的线性目标函数2）决策变量的线性等式或不等式构成约束方程3）限制决策变量取值范围的非负结束12.线性规划的基本特征1）目标函数是线性的2）约束条件是线性的13.线性规则的三要素决策变量、目标、约束14.线性规划建立模型的基本步骤1）根据问题确定目标2）根据目标设计决策变量3）根据目标与决策变量设计目标函数4）根据影响目标因素的关系与限制设计约束条件15.线性规划基本求解方法1）图解法；2）单纯形法；3）计算机解法16.数据的概念数据是字母、数字、下划线和符号等，用于表达事件和它们的形态，并根据正式的规则和惯例加以组织的状态（形式）17.数据收集的基本要素，基本流程基本要素：“人、财、物”基本流程：根据问题→明确目标→确定指标→准备要素→选择渠道→选用方式→运用方法→实施活动18.模型有几类？数学模型、网络模型、计算机模型、图表模型19.常用的统计调查方法定期统计报表制度、普查、典型调查、重点调查和抽样调查。

高等数学中的复杂网络与图模型

复杂网络与图模型是研究高等数学中的一个重要分支领域，它研究的是有大量节点和连接关系的网络或图的性质和特点。

在现实生活中，许多实体系统都可以用复杂网络来表示，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。

因此，复杂网络与图模型的研究对于了解现实世界的复杂系统具有重要意义。

在复杂网络与图模型的研究中，最基本的概念是节点和边。

节点代表网络中的个体或物体，边表示节点之间的连接或关系。

通过分析节点和边的特性，可以揭示网络中的结构和功能。

例如，节点的度是指与该节点相连的边的数量，它可以用来度量节点的重要性和影响力。

边的权重则表示节点之间的强弱关系，通过权重可以分析节点之间的相似性或差异性。

复杂网络与图模型的研究方法非常多样，其中最常见的方法之一是分析网络的拓扑结构。

拓扑结构包括节点的分布、节点之间的连接方式、网络的层次结构等。

常见的拓扑结构包括随机网络、小世界网络和无标度网络。

随机网络是指节点之间的连接关系是随机的，它的拓扑结构非常均匀。

小世界网络则是介于随机网络和无标度网络之间的一种网络结构，它既具有良好的聚类特性，又具有短路径长度。

无标度网络则是节点的度分布服从幂律分布的网络，即存在少量的高度连接的节点，而大多数节点只有很少的连接。

除了分析网络的拓扑结构外，复杂网络与图模型的研究还可以通过网络的动力学过程来揭示网络的行为。

动力学过程包括信息传播、疫情传播、蛋白质相互作用等。

通过动力学模型的建立和分析，可以研究网络中节点的演化规律和行为模式。

复杂网络与图模型的研究不仅在理论层面上具有重要意义，还有很多实际应用。

例如，在社交网络中，通过研究网络的拓扑结构和节点的行为模式，可以预测用户的行为和兴趣，为个性化推荐和广告投放提供参考依据。

在疫情传播的研究中，通过分析网络的拓扑结构和节点的动力学行为，可以预测疫情的传播趋势和控制策略。

同时，复杂网络与图模型的研究还可以应用于交通网络、金融网络、生物网络等领域。

总之，高等数学中的复杂网络与图模型是一个研究网络和图的性质和特点的重要领域。

第5章图与网络分析163页PPT

bi j 0wi j
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 4
v2
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
v1 0 4 0 6 4 3
v
2

4
0
2
7
0
0

B

v3
0
2
0
5
0
3
v4 6 7 5 0 2 0
v
5
4
17
v4
树与图的最小树
v1 23 v6
20
v2
1
4
v7
9
15 v3
28 25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7
9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7 9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23
1
4
v7
v6
9
v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
②
15
9
7 ④ 14
⑤
①
10
19
20
6 ⑥
③
25
图的矩阵描述：邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
1. 邻接矩阵对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵

《图与网络》课件

学习图与网络的意义
学习图和网络的基础概念和算法有助于提高编程能力和数据处理能力，同时也对多种应用领域产生启发作用。
2 算法
最短路径算法，网络流量算法，欧拉路径算法等。
五、图与网络的区别与联系
图与网络的区别
• 节点的关系 • 数据表示方式
图与网络的联系
• 共同的算法和应用场景 • 都能够通过节点与边的关系来描述对象间的关系
六、结语
图与网络的未来
未来图和网络将在数据挖掘，机器学习，人工智能等领域发挥越来越大的作用。
图与网络
图与网络是计算机科学中基础的数据结构，它们被广泛应用于算法，人工智能，机器学习等领域。
一、什么是图
图的定义
图是由节点和边组成的数据结构，节点表示对象，边表示对象间的关系。
图的种类
有无向图、有向图、加权图、无向加权图和有向加权图等几种。
图的表示方法
邻接矩阵和邻接表是常用的表示方法。
二、图的应用
应用场景
社交网络，交通网络，电成树算法，网络流算法等。
三、什么是网络
1
网络的定义
网络是由节点和边（或链路）组成的连通结构。
2
网络的种类
计算机网络、社会网络、交通网络等不同的种类。
3
网络的表示方法
邻接矩阵、邻接表等方式。
四、网络的应用
1 应用场景
物流、城市规划、社会网络、通信网络等。

《图与网络分析》课件

网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性等。
网络动态分析的应用

图与网络分析-(共34张PPT)

4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。

图论与网络知识点

图论与网络知识点一、引言近年来，随着互联网的普及和快速发展，图论与网络知识成为计算机科学中重要的研究领域之一。

图论是一门研究图和网络结构的学科，而网络知识则是应用图论来研究和解决网络中的各种问题。

本文将介绍一些图论与网络的基本概念、算法和应用。

二、图论基础知识1. 图的定义图是由节点和连接节点的边构成的一种数据结构，通常用G = (V, E)表示，其中V表示节点的集合，E表示连接节点的边的集合。

2. 图的分类根据图中边的特性，图可以分为有向图和无向图。

在有向图中，边是有方向性的，而在无向图中，边是没有方向性的。

3. 图的表示方法图可以通过邻接矩阵或邻接链表进行表示。

邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中节点之间的连接关系；邻接链表是一种链表的形式，用于存储每个节点的相邻节点信息。

三、图论算法1. 最短路径算法最短路径算法用于找到两个节点之间最短路径的方法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

2. 拓扑排序拓扑排序用于对有向无环图中的节点进行排序。

拓扑排序算法常用于任务调度、依赖关系分析等场景。

3. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一棵树，使得树中所有边的权重和最小。

常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。

4. 最大流算法最大流算法用于找到网络中从源节点到目标节点的最大流量。

Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法是常用的最大流算法。

四、网络知识点1. 网络拓扑结构网络拓扑结构指的是网络中节点之间连接的方式，常见的网络拓扑结构有星型结构、环型结构、总线结构、网状结构等。

2. 网络协议网络协议是计算机网络中用来进行数据交换的约定和规则。

常见的网络协议有TCP/IP协议、HTTP协议、FTP协议等。

3. 网络安全网络安全是指保护计算机网络和网络资源不受未经授权的访问、使用、披露、破坏、干扰等威胁的技术、方法和措施。

网络安全涉及到防火墙、入侵检测系统、数据加密等方面。

第六章图与网络分析

v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出最短通路问题：任意两点之间权重之和最小的一条路。权重之和最小的一条路任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2，、子图：和图G （（ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的），如果一个子图。一个子图。 V 的支撑子图。当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ，，计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算比较所有具有T标号的点把最小者改为P标标号的点， ③比较所有具有标号的点，把最小者改为标号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号标号，最小者时，可同时改为标号，若全部点均标号则停止计算。为P标号则停止计算。标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通、流量：过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合，、上所有边的流量所组成的集合，弧集上所有边的流量所组成的集合记为f={fij}。记为。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt

基于图论的网络优化模型

基于图论的网络优化模型图论是一门研究图结构的数学分支，广泛应用于网络优化问题的建模和解决。

网络优化模型基于图论可以帮助我们解决各种实际问题，如交通优化、物流配送、电力网络规划等。

本文将探讨基于图论的网络优化模型及其应用。

1. 图论基础在开始讨论基于图论的网络优化模型之前，我们需要了解一些图论的基本概念。

图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的连接或关系。

图论研究的是如何用数学方法描述和分析这些连接或关系。

有向图是包含有向边的图，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头。

无向图是边没有方向的图，表示节点之间的双向连接。

路径是指在图中通过边从一个节点到另一个节点的序列。

最短路径是连接两个节点的路径中，边的数量最小的路径。

2. 网络优化模型网络优化模型利用图论的概念和方法，描述和解决各种实际网络问题，通过优化路径、流量分配等策略，提高网络效率和性能。

2.1 最短路径问题最短路径问题是网络优化中最基本的问题之一，它涉及找到两个节点之间的最短路径。

最短路径算法中，Dijkstra算法是一种常用的方法。

该算法用于计算带权有向图中的最短路径。

通过不断迭代找到从起始节点到其他节点的最短路径。

2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在一个连通图中找到一棵包含所有节点的生成树，且其边的权重之和最小。

Prim和Kruskal算法是解决最小生成树问题的两种主要方法。

Prim算法从一个起始节点开始，逐步扩展生成树。

Kruskal算法则是按照边的权重进行排序，逐个添加边，直到生成树包含所有节点为止。

2.3 最大流问题最大流问题是在有向图中，从一个节点到另一个节点的最大流量路径。

Ford-Fulkerson算法是解决最大流问题的一种常用方法。

该算法通过在网络中找到增广路径，并根据路径上的最小剩余容量来增大流量，直到无法找到增广路径为止。

3. 应用案例基于图论的网络优化模型在各个领域有广泛的应用。

3.1 交通优化交通优化问题是指如何在城市交通网络中提高道路利用率，减少拥堵等问题。

运筹学图与网络模型以及最小费用最大流

4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。