最新A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题及练习

相似三角形的判定

一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义

（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。

如图所示，ABC ∆与DEF ∆相似,记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ 。

（

2）相似比：

相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形相似比是有顺序的。

③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 ④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.平行线截三角形相似的定理

（1）平行线截三角形相似的定理：

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 （2）数学表达式： BC DE // ABC ∆∴∽DEF ∆

3.相似三角形的判定定理

（1）判定定理1：AA

（2）判定定理2：SAS /

（3）判定定理3：SSS

（4）判定定理4：HL

4. 相似三角形的基本类型

一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中321∠=∠=∠，可根据641802,541801∠-∠-=∠∠-∠-=∠

，得图

中两个阴影部分三角形相似。

5. 相似三角形判定思路

二．考点讲解

考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似

1.如图所示，在ABC

∆中，BC

DE//.

（1）求

AB

AD

,

AC

AE

,

BC

DE

的值；（2）ADE

∆与ABC

∆相似吗？为什么？

考点2：利用相似三角形的定义确定相似比

2.如图，已知OAC

∆∽OBD

∆,且4

=

OA,2

=

AC,2

=

OB.求：（1）OAC

∆与OBD

∆的相似比；（2）BD的长。

变式练习：如图所示，ABC

∆∽ACD

∆,下列式子不成立的是（）

A.

CD

BC

AC

AB

= B.

AC

AB

AD

AC

= C.AB

AD

AC⋅

=

2 D.

AD

AC

BC

AB

=

考点3：利用平行线识别相似三角形

3.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中

的相似三角形有（）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

变式练习：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

考点4：利用证相似三角形求线段的长

4.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，

AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）

A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm

变式练习：如图，在平行四边形ABCD中，EB

AE=,2

=

AF，则=

FC .

考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例

5.如图所示，P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：

MP

MN

AM⋅

=

2.

变式练习：如图，在梯形ABCD中，CD

AB//，且CD

AB2

=,点E，F分别是BC

AB,的中点，EF与BD相交于

点M.（1）求证：EDM

∆∽FBM

∆; （2）若9

=

DB，求BM的长。

考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似

6.如图所示，在ABC

∆中，AD是BAC

∠的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。求

证：ABF

∆∽CAF

∆.

变式练习:如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．求证：△ADC∽△DEB．

考点7：利用相似三角形证明等积式

7.如图所示，在ABC ∆中， 90=∠BAC ,BC 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于E ,交CA 的延长线于F .求证：DF DE DA ⋅=2.

变式练习：已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延

长

线上，且OB OE =,连接DE 。求证：BE DE ⊥；（2）如果CD OE ⊥，求证：DE CD CE BD ⋅=⋅.

考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似

8.如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，D 、E 、B 、C 在同一条直线上，且AB 2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．

变式练习：如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且PC BP 3=,Q 是CD 的中点。

求证：ADQ ∆∽QCP ∆

考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似

9.如图，已知O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．

变式练习：如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似

10.已知在ABC Rt ∆与///C B A Rt ∆中， 90/=∠=∠C C ,cm AB 6=，cm AC 8.4=，cm B A 5//=，cm C B 3//=。求证ABC ∆∽///C B A ∆.

变式练习：在ABC Rt ∆和FED Rt ∆中， 90=∠C ，10=AB ,8=AC ， 90=∠D ，5=EF ，当=DF

时，ABC Rt ∆∽FED Rt ∆.

三．基础题型讲解

基础题型1：添加条件来说明三角形相似

1.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）

A ．∠ABP=∠C

B ．∠APB=∠AB

C C ．AB 2=AP•AC

D ．

CB

AC

BP AB =

变式练习:如图，21∠=∠，添加一个条件 ，使得ADE ∆∽ACB ∆