近世代数知识点
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数(复习duo)
6、等价关系，举例说明。
【定义】设 R 是某个集合上的一个二元关系。若满足以下条件： （1）自反性： ∀x ∈ A ， xRx ； （2）对称性： ∀x, y ∈ A ， xRy ⇒ yRx ；
〖例子〗
G 是全体整数的集合， G 对于普通加法来说作成一个群。 G 是所有不等于零的整数的集合， G 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足 4） G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 G 对于普通乘法来说作成一个群。 G 是全体整数的集合， G 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足 2） 4、什么是一个群 G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 【定义】若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘法，我们就把 G 叫做循环群；我们也说， G 是由 a 所生成的，并且用符号 G = (a) 表示。 a 叫做 G 的一个生成元。 【定义】一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如对于 G 的乘法来说做成一个群。一个群 G 的一 个不空子集 H 做成 G 的一个子集的充分必要条件是： （1） a,b ∈ H ⇒ ab ∈ H ； （2） a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ； （3） a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H 。
【定义】一个集合 A 的代数运算 适合结合律，假如对于 A 的任何三个元 a, b, c 来说，都有：
(a b) c = a (b c) 。
〖例子〗
（1） A = {所有不等于零的实数} ， 是普通除法，a b = a / b ，这个运算 不适合结合律。(4 / 2) / 2
(完整版)近世代数复习知识点
一、二、(45分)
单项选择题和填空题的知识点:
1.
任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子 2.
任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群 3.
群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。
4.
什么是一个群G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。
5. 什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。
6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,)
n n m 。
7. 环、整环、除环、域的定义。
8. 什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？
9. 什么叫做一个群的左、右陪集， 有限群的左、右陪集的个数是什么关系？
10. 环无零因子是什么意思？
11. 无零因子的特征是什么意思？
12. 有限群G 的任何元素的阶数都是G 阶数的因子。
13. 集合的直积是怎么定义的。
14. 循环群的子群是循环群吗？
15. 一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?
三、问答题知识点（25分）
1. 正规子群,举例说明
2. 循环群, 举例说明
3. 有限域,举例说明
5 . 群的左、右陪集，举例说明
6. 原根，举例说明
7. 等价关系，举例说明
8. 系统同态，举例说明
9. 检错和纠错
10.理想和商环
四、证明题知识点（30分）
1. lagrange 定理。
P .69
2. 例1. P .94
3. 定理1 p.72
4. 定理 p.88。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数笔记
近世代数笔记世代数，也称为代数学，是数学中的一个重要分支，研究代数结构及其上的操作。
在近代数学发展中，代数学作为数学的基础学科，发挥着重要作用。
以下是一些关于近世代数的笔记：一、代数结构代数结构是代数学中的一个重要概念，指具有某种代数运算的数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构；环是一种具有加法和乘法运算的代数结构；域是一种具有加法、乘法、单位元和逆元的代数结构。
研究代数结构可以帮助我们更深入地理解数学中的抽象概念和结构。
二、线性代数线性代数是代数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和矩阵。
线性代数在科学和工程领域有着广泛的应用，如解线性方程组、求特征值和特征向量、研究线性映射等。
掌握线性代数知识可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的相关概念。
三、代数方程代数方程是代数学中的一个重要内容，研究方程及其根的性质和解法。
在代数方程中，常见的问题包括一元多项式方程的解法、代数方程组的求解、代数方程的根与系数之间的关系等。
通过学习代数方程，我们可以更好地理解和应用代数学中的代数概念和方法。
四、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉领域，研究代数结构与拓扑结构的关系。
代数拓扑在数学中有着重要的地位，如同调理论、同伦论、拓扑群等都是代数拓扑的经典应用。
通过学习代数拓扑，我们可以更深入地理解代数学和拓扑学的交叉点，为数学研究提供新的视角和方法。
总之，代数学作为数学的基础学科，对于数学的发展和应用具有重要意义。
通过学习代数学，我们可以更好地理解和应用数学中的抽象概念和方法，为数学研究和实际应用提供新的思路和途径。
希望以上的笔记内容可以帮助大家更好地理解近世代数的相关知识。
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。
一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。
群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。
二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。
环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。
环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。
三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。
域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。
域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。
四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。
向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。
向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。
五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。
同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。
同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。
六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。
理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。
七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。
同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。
八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。
域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。
近代代数知识点总结
近代代数知识点总结近代代数是代数学的一个重要分支，它涉及了一系列复杂的数学概念和技巧。
近代代数的研究对象是数学结构及其性质，主要包括代数系统、线性代数、群论、环论、域论等。
本文将重点总结近代代数的几个重要知识点，包括代数系统的基本概念、线性代数、群论、环论和域论等内容。
一、代数系统的基本概念代数系统是近代代数的基础，它包括了一系列代数结构，如半群、幺半群、群、环、域等。
代数系统的研究是为了更好地理解和描述代数结构之间的联系和性质，为其他分支的发展奠定了基础。
1.1 半群和幺半群半群是代数系统中最基本的结构之一。
一个半群是一个集合S，其上定义了一个二元运算∗，满足封闭性、结合律。
即对于任意a，b，c∈S，有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)。
当半群中存在一个元素e，使得对于任意a∈S，都有e∗a=a∗e=a时，这个半群称为幺半群。
1.2 群群是代数系统中最重要的结构之一。
一个集合G上的一个二元运算∗称为一个群，如果满足以下四个性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。
即对于任意a，b∈G，都有a∗b∈G，且存在一个元素e∈G，对于任意a∈G，都有e∗a=a∗e=a，对于任意a∈G，存在一个元素b∈G，使得a∗b=b∗a=e。
1.3 环环是一个包含了加法和乘法运算的代数结构，它满足一定的性质。
一个集合R上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个环：加法封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元存在性、加法逆元存在性、乘法封闭性、乘法结合律、乘法分配律。
1.4 域域是一个更为抽象和严格的代数结构，它包含了加法和乘法运算，并且满足一定的性质。
一个集合F上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个域：加法和乘法满足环的所有性质，乘法交换律、乘法单位元存在性、乘法逆元存在性。
以上是代数系统的基本概念，对于这些概念的理解和应用将对后续的代数学习起到重要的指导作用。
二、线性代数线性代数是代数系统中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等内容。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数知识点
近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A、1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。
●满射:像集合中每个元素都有原像。
Remark: 映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A、●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R、Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。
第二章群2、1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i、证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果就是否还在定义的集合中。
ii、若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中,规定a0=e、3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S就是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T就是S的子半群a,b T,有ab T2、2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i、若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群、ii、加群=代数运算为加法+交换群iii、单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p)、2、群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3、群的性质i、群满足左右消去律ii、设G就是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii、e就是G单位元⇔ e2=eiv、若G就是有限半群,满足左右消去律,则G就是一个群4、群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。
近世代数知识点
近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数(复习duo)
（3）传递性： ∀x, y, z ∈ A ， (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz 。
则称 R 是一个定义在某个集合上的等价关系。
〖例子〗
设 A = {1, 2,,8} ，定义域上的关系如下： xRy ⇔ ∀x, y ∈ A, x ≡ y(mod 3) 。
7、系统同态，举例说明。
【定义】一个 A 到 A 的映射φ ，叫做一个对于代数运算 和 来说的， A 到 A 的同态映射，假如，在φ 之
单位元和一个元素的逆元素是唯一的。
9、什么叫做一个群的左、右陪集，有限群的左、右陪集的个数是什么关系？
由等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 a 的右陪集用符号 Ha 来表示。 a b, b−1a ∈ H ，
Ha 为右陪集。
由等价关系 ′ 所决定的类叫做子群 H 的左陪集。包含元 a 的左陪集用符号 aH 来表示。a b, ab−1 ∈ H ，
下，不管 a 和 b 是 A 的哪两个元，只要 a → a,b → b 就有 a b → a b 。
〖例子〗
φ ：a →1。
8、检错和纠错 【定义】信息位上增加一部分位数来进行检错和纠错。检错：能够检查出有错，但不知道错在哪里。纠错： 能够检查出错误并准确定位，同时纠正错误。 9、理想和商环
【定义】环 R 的一个非空子集ℵ 叫做一个理想子环，简称理想。
【定义】一个环 R 叫做一个除环，假如： （1） R 至少包含一个不等于零的元； （2） R 有一个单位元； （3） R 的每一个不等于零的元有一个逆元。
【定义】一个交换环叫做一个域。
8、什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？
【定义】一个群 G 的唯一的能使 e=a a=e a （ a 是 G 的任意元）的元 e 叫做群 G 的单位元。 【定义】唯一的能使 a= −1a a= a−1 e 的元 a−1 叫做元 a 的逆元（有时简称逆）。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。
在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。
一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。
一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。
群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。
二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。
一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的应用包括数论、代数几何等领域。
三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。
域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。
四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。
向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。
线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。
五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。
域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。
六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。
代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。
七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。
泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。
近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。
它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。
同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。
总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。
近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。
一、群论群是近世代数中最基本的代数结构之一。
群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。
群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。
群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。
二、环论环是一种比群更一般化的代数结构。
环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。
环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。
三、域论域是一种比环更一般化的代数结构。
域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。
域论的基本概念包括子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。
域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。
线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
五、Galois理论Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。
Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。
Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
六、表示论表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。
近世代数主要知识点
除环、域
除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单位 元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元 域 一个交换除环叫做一个域 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说 的阶都一样的 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
变换群
定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等 变换ε ，若是对乘法（ζ ：a→aζ，λ：a→a٨ 那么a→（a)ד٨）来说 做成一个群，那么G只包含A的一一变换。 变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个 群叫做A的一个变换群 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c · · · · · · · 我们在G里任意取出一个 元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意 元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可 以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起， 做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ · · · · · · · }那么x→x’是G到G’的满射，但消 去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一一 映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
同态、不变子群
一个群G同他的每一个商群G/N同态 同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G’的一个同 态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的 子集就叫做同态映射的核 。 定理 假定 G 与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个 同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’
近世代数复习提纲
近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()ab b a a a -----==；（4）ab ac b c =⇒=；（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。
3、元素的阶使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。
（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。
（2）若m a e =，则①||a m ≤；②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。
（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。
（4）||||r n a n a d =⇒=，其中(,)d r n =。
证明 设|||r a k =。
因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d。
另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d =。
注：1︒||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。
2︒||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。
例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。
显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。
二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。
2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。
3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。
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近世代数知识点
第一章基本概念
1.1 集合
A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A.
1.2 映射
证明映射：
单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark ：映射满足结合律！
1.3 卡氏积与代数运算
{ (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4 等价关系与集合的分类
★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a;
2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R;
3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R.
Remark :对称+传递工自反
★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群
2.1 半群
1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°）
Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。
2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不
存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e.
3. 逆元
i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4. 子半群
i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个
子半群
ii. T是S的子半群？？a,b ET,有ab ET
2.2 群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算 +结合律+单位元+逆元
Remark ：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或 Abel 群 .
ii. 加群=代数运算为加法 + 交换群
iii. 单位根群Um={ ??€??|?叨=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵
集合GL（n,P）,数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL（n,p）.
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元 +左（右）逆元
=代数运算 +结合律+ 单位元+逆元
=代数运算+结合律+ ? a,b €G,ax=b,ya=b 有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii. 设G是群，则？ a,b €G,ax=b,ya=b 在G中有唯一解
iii. e 是 G 单位元 ? e2=e
iv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则 G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用|??表示。
若为无限群，则|??= ©Remark ：i. 克莱因四元群是一个 Abel 群
ii. 四阶群只有克莱因四元群和模 4 的剩余类群
2.3 元素的阶
1.定义：设G是一个群，a €G，使得am=e成立的最小正整数m称为元素a 的阶，记作|??=m;若m不存在，则|??= g
2. 阶的性质
①G 是一个群，a €G, |??=m ,
i. a n=e? m|n;
ii. a h=a k? m |? - ??
iii. e=a 0,a1 ,a2, . a m-1两两不同；
. ??
iv. ★? r€Z, |a r|= —
| (??,??
Remark: i. ? r €Z, |a r|=m ? (m,r)=l；
ii.若 m=st,s,t €N,则|a s| =t.
②|??= g,
i. a n=e ? n=0;
ii. a h=a k? ? = ??
iii. .. a-2 ,a-1 ,a0,a1,a2.. 两两不等
iv. ? r CZ\{0}, |a r|= g.
Remark:若|a|< g, |b|< g, 则 |ab|< )
定理：有限群中的元素的阶均有限。
Remark :定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。
单位根群是一个无限交换群。
3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a 的幕，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。
记 G=(a).
Remark: 生成元不一定唯一,例如( Z,+ ),1 , -1 都是生成元。
定
理：
设G= (a)是一个循环群，
(1)
1 若|??= ??，则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2…
1・…a
m-
( 2)
}；
若|??= %，则G是无限群，且 G={ ...... a-2 ,a-
1 ,a0,a1 ,a2…… } .
定
理：
设G= (a)是一个循环群，
(1) 若|??= ??，则 G 有？?m)个生成元：a r ,(r,m)=1
( 2) 若|??| = %，则 G 有两个生成元： a,a-1
( 3 )
若|??= ??,ar是G的生成元？ |a r|=m;
( 4 ) 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成兀：a,a2…
…a
p-1 Remark ： ??(m) 表示小于 m ，且与 m 互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。
★定理：设 G 是 m 阶群,则 G 是循环群 ? G 有 m 阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，？却？ G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群,
记为H W G.
1. 子群的性质
(1)传递性：H WK，K W G，贝U H W G;
(2)保单位元：设H <G，a€H,则e H=e G；
(3)保逆元：设 H <G, a €H,则 a-1H=a -1G.
★定理：设 G 是半群，？ MH?G, H <G? ? a,b €H,有 ab,a -1€H? ? a,b €H,ab -
1€H。