初三数学视图与投影(一)

第12次课：视图与投影（一）

一、考点、热点回顾

（一）三视图

1．视图：我们从某一角度观察一个物体时，所看到的物象叫做一个物体的视图.

2．三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.其中，把从正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图，由水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图.三个视图合起来简称为三视图．3．三视图中三个视图之间的位置关系为：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方.

4. 三视图中三个视图之间的大小关系为：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等.这里的长、宽、高分别对应三视图所示物体的左右之间、前后之间、上下之间的长度.

（二）投影

1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子

叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.

2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).

3．中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（center projection).

4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

5.正投影的性质：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

二、典型例题

1．视图”以“视”的基础上的“对应”为特征，建立起三维的基本几何体及简单物体与二维（平面）图形表示方法间的对应关系。

例10.投影线的方向如箭头所示，画出图9-12中圆台的正投影.

图9-12

要注意图中所示箭头的方向。

【解答示范】如图9-13

【归纳点评】图9-13

画正投影的过程体现了立体图形与平面图形之间的转化与联系的过程。

例11. 在下列几何体中,主视图是圆的是( ).

（A）（B）（C）（D）

【思路点拨】

分析物体主视图的形状时，就是判断从正面看到的这个物体的正投影，可以从物体中哪些部分平行于投影面入手考虑. 当一个几何图形平行于投影面时，它的正投影是与它全等的平面几何图形. 选项Ａ图圆锥的正投影是一个三角形，Ｂ图圆柱的正投影是矩形，Ｃ图圆台的正投影是梯形，只有Ｄ图球的正投影是圆。

【解答示范】选（D）

【归纳点评】

三视图是由同一物体在三个不同投影面上的正投影组成的。对物体的三视图的讨论，首先是确定它的形状，其次是考虑它的大小.本题只涉及了形状的确定。

2.三视图

三视图是主视图、俯视图和左视图的统称，它是从三个方向分别表示物体形状的一种常用视图. 三视图是由同一物体在三个不同投影面上的正投影组成的.物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图对这三个投影面的相对位置有特殊要求，即三个平面中任何两个平面都互相垂直，一般地，对于许多物体，通过反映其正面、上面和左面的形状和大小，就可以了解其整体的形状和大小.通过一些的典型实例，就可以理解这种关系在现实生活中的应用。

例12. 下面的三视图所对应的物体是（）

（A）（B）（C）（D）

【思路点拨】

由三视图想出物体形状，这是由平面图形得到立体图形的过程，反映了平面图形与立体图形之

间的联系. 本题还提示我们，对于三视图的问题不仅要考虑物体与图形的形状，还要考虑大小。

【解答示范】选（A）

【归纳点评】

三视图反映了立体图形和平面图形之间的联系与转化，这对培养我们的空间想象能力有很直接的

帮助.

３. 画三种视图的方法

在学习中注意想像和抽象，即把实物抽象成相应的几何体，在此基础上再画其视图.画三种视图时，主视图涉及的是这个立体图形的长和高，左视图涉及的是这个立体图形的宽和高，俯视图涉及的是这个立体图形的长和宽，所以，主、俯视图的长是相等的，主、左视图的高是相等的，左视图的长与俯视图的高是相等的．更严格地说，应是“长对正，高平齐，宽相等”．看得见部分的轮廊线通常画成实线，看不见部分的轮廊线通常画成虚线.

画三视图是将一个物体从三个方面观察，分别表现这三个方面的“分解”过程；由三视图想出物体的立体形状，则是把物体的三个方面形状“综合”起来的过程.这两个过程是相反的，也是互相联系的.

例13. 画出下面实物的三视图（图9-14）.

图9-14

【思路点拨】

主视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的高度和宽度，所以画某物体的三种视图时，一定要注意：主视图与俯视图要一样长；主视图与左视图要一样高；俯视图与左视图要一样宽。另外还要注意，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．

【解答示范】如图9-15：

【归纳点评】画好虚线部分需要具备一定的空间想象能力。

：

图9-15

例14：如图9-17是图9-16所示的几何体的三种视图，其中是否有错误？若有错误，请指出其错在哪里,并画出正确的三种视图．

【思路点拨】首先考虑三视图的形状，其次考虑所画三视图的大小是否符合“长对正，高平齐，宽相等”，最后考虑是否在看得见部分的轮廊线画成实线，看不见部分的轮廊线画成了虚线.

【解答示范】

如果将主视图看作正确的，那么俯视图和左视图都

有错误，它们错在： （1）俯视图中，内部实线段位置与实物图不对应；

（2）左视图有三处错误：①左视图没有与主视图“平齐”（即两视图的高不等）；②左视图的宽与俯视图的宽不相等；③左视图中未画出相应的虚线． 正确的三种视图如图9-18所示： 【归纳点评】

“长对正，高平齐，宽相等”中的长、宽、高并不局限于长方体，而是分别对应于一般三视图所示物体的左右之间、前后之间、上下之间三个方向的长度.

例15. 如图9-19是一个由若干个边长都为2cm 的小正方体

组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的体积是____________.

【思路点拨】

由三视图确定该几何体有三层三列，假定是排满三层三列的正方体，应共有27块小正方体组成。首先由主视图中间一列的缝隙，我们知道应从27块中减去6块，同理我们再看左视图中所缺少的，应再减去8块，最后看俯视图，应在最下面一层中再减去3块。所以由图形的三视图可知原图形有27-6-8-3=10块，如图9-19，即可求得体积.

【解答示范】

如图9-20所示：80cm 3

1

1

1

1 2 1

3

图9-18

主视图

俯视图

左视图

图9-16

图9-17 主视图

俯视图

左视图

主视图 左视图

俯视图

图9-19