利用法向量求二面角的正负

利用法向量求二面角的平面角

授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14

【教学目标】

1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关

的简单问题。

2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和

空间想象能力。

3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的

情感体验。

【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。

【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、内容回顾

求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。

前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面内找棱的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。

而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。

而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢？

二、新课讲授

如图，二面角为l αβ--

1、记121212,,C =A,=B.l l l l l l αβαβ⊥⊥ 且与相交于，

2、过B 作,()BO l AO AOB ⊥∠连下面说明即是二面角的平面角

11,,.,.l l BO l l BOC l OC l l l AOC l AO

AOB ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴∠ 面面是二面角的平面角（一找、二证、三计算）

3、,l AOC BOC ⊥面和面

0=360.

AOC BOC AOBC AOBC ∴ 又过空间一点有且只有一个平面和已知直线垂直。面和面重合。

即四点共面，即有平面四边形内角和

4、在12 l l ，上分别取直线的方向向量12,,n n

，事实上，由于线面垂直，两

方向向量即是两平面的法向量。

①0

01212,,180,180.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠=<>∠+∠=⇒∠+<>=

②00

1212,180,180,.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠+<>=∠+∠=⇒∠=<> 由①②分别可得1212,,COS AOB COS n n COS AOB COS n n ∠=-<>

∠=<>

5、总结。计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。即计算法

向量的数量积。可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值。

注释： 这里不能像解决线线角或线面角那样，对向量夹角的余弦值套上绝对值。

因为前两种角都是在00090-之间，所以前两种角的正（余）弦值一定是一个正数。而二面角的平面角在000180-，所以余弦值有可能会是负值。正负的选取要通过对图形的观察得到。无论法向量的夹角余弦值求出来是正还是负，如果观察得到的二面角的平面角是个锐角，则平面角的余弦值取正的。

三、例题 例1、

,2,4,ABC B SA ABC SA BC AB M N AB BC S NM A ∆∠⊥===--是以为直角的直角三角形。平面、分别是、的中点。求二面角的余弦值。

解：如图，以B 为原点，,BA BC x y

为、轴建系，

则A （4，0，0），S （4，0，2），M （2，0，0），N （0，1，0）

12(0,0,2)

,,SA AMN

AS AMN AMN n AS SMN n x y z ⊥∴∴===

面可作为平面的一个法向量。

平面一个法向量为设平面的一个法向量为（）

220(,,)(2,0,2)0220

0(,,)(4,1,2)0420

n SM x y z x z n SN x y z x y z ⎧∙=⇒∙--=⇒--=⎪⎨∙=⇒∙--=⇒-+-=⎪⎩

2

12

=1 2.1,2,1

,

x z y n

COS n n

=-=∴=-

∴<>===

令，则1,（）

6

COSθ

∴=

可观察二面角的平面角是锐角，

注释：引导学生总结用法向量求解二面角的平面角问题的一般步骤。 Step1 建系

Step2 表示相应点的坐标

Step3 设平面的法向量分别为

12

,n n

Step4 列方程求出法向量

Step5 用数量积公式求法向量的余弦值

Step6 根据图形判断锐角或钝角

例2

、0

1111

160

ABC A B C AB AC AA ABC

-==∠=在直三棱柱中，，.

1

1

.

AB AC

A AC B

⊥

--

（1）证明

（2）求二面角的平面角的余弦值。

1

1

11

12

11

,sin30

sin sin sin sin602

90.

(0,0,0),(1,0,0),

(1,0,0)

AB AC

ABC C C

C B C

BAC AB A C

A B C A

AB AA C n

A BC n

∆==∴=∴=

∴∠=⇒⊥

∴=

解：如图

（1）中，即，，

（2）如图建系，

是平面的一个法向量。

设平面

的法向量为

21

21

2

12

(,,)

(,,)(1,0,0

(,,)0

,

x y z

n A B x y z x

n A C x y z

n

n n

A A

=

⎧∙⇒∙⇒-=

⎪

⎨

∙⇒∙⇒-=

⎪⎩

=

∴==

-

令z=1,可得

COS<

观察可知二面角

1

1

C B

A A C B

-

∴--

的平面角为锐角，

二面角的平面角的余弦值

四、小结

本节课主要学习了利用法向量求二面角的平面角的大小，并通过两个例题熟悉了利用法向量求二面角大小的主要步骤。

五、作业布置（P112，第6题）