济南大学17年高数上试卷
2017高等数学上试题及解答
法线斜率k法
=
1 2
,
法线方程为y 1 x 1 2, x 2y 3 0.
2
3. 函数f
x
x
2
cos
x在
0,
2
上的最小值m=
2
先求内部驻点 y 1 2sin x,令y 0,sin x 1 , x ,
26
f
6
6
3,
f
0
2,
f
2
2
,
ymin
f
2
.
2
4.
广义积分 1
解 令x 3sect,则dx 3sect tan tdt
x
x2 9
t
原式
3 tan 3sec
t t
3sec
t
tan
tdt
3
tan2 tdt 3
3
sec2 t 1 dt 3tan t t C
x2 9 3arccos 3 C. 或令 x2 9 t,即x t2 9,则dx t dt
sin x
4.设F
x
x
0
x
t
f
t
dt , 则F
x
A
A.
x
0
f
t
dt
B.
x
0
f
t dt
C. 0
D. f x
F
x
xx 0
tf
t
dt
=
x
0
xf
t tf
t dt
x
0
x
f
t dt
x
0 tf
t dt
x
x0
f
t
dt
x
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
2017高考数学山东卷(文)精编
2017年普通高等学校招生全国统一考试山东卷 文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的． 1．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =（）A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)【答案】C ，交集，绝对值不等式2．已知i 是虚数单位，若复数满足1zi i =+，则2z =（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】A ，复数运算，由1zi i =+得22()(1)zi i =+，即22z i -=，故22z i =-3．已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】D ，简单线性规划 4．已知3cos 4x =，则cos 2x =（） A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D ，倍角公式5．已知命题:p x ∃∈R ，210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B ，复合命题，p 真，q 假6．执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（） A ．3x >B ．4x >C ．4x ≤D ．5x ≤【答案】B ，程序框图-条件分支，由于输入x 为4，要想输出y 为2，则程序经过2log y x =的运算7．函数cos2y x x =+最小正周期为（）A ．2π B ．23π C ．π D ．2π【答案】C ，两角和差的三角函数，三角函数周期性8．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（） A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A ，茎叶图-中位数，平均数9．设1()2(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，则1()f a =（） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C ，分段函数，无理方程，由()(+1)f a f a =，2(11)a =+-，解得14a =，则1()(4)6f f a==10．若函数()xe f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（）A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A ，指数运算，指数函数单调性，看选项A ，得()x e f x 2x xe -=⋅2xe ⎛⎫= ⎪⎝⎭，单调递增．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量(2,6)a =，(1,)b λ=-，若//a b ，则λ=__________．【答案】3-，向量共线 12．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为__________． 【答案】8，均值不等式求最值-逆代法，∵121a b +=，∴2a b +12(2)()a b a b =++44b a a b =++4≥+8= 13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为__________．【答案】22π+，三视图，长方体、圆柱体积，【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-．若当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则(919)f =__________．【答案】6，函数的奇偶性，函数的周期性，∵(4)(2)f x f x +=-，∴()f x 的周期6T =，∴(919)f (16153)(1)(1)6f f f =+⨯==-=15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于,A B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为____________．【答案】2y x =±，双曲线性质，抛物线定义，曲线交点， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得2221210p y y b a -+=，∴21222b p y y a +=， 由||||4||AF BF OF +=，得12222p py y p +++=，即12y y p +=， ∴2212b a =，即b a =． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家123,,A A A 和3个欧洲国家123,,B B B 中选择2个国家去旅游。
2017年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）（2017•山东）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．（5分）（2017•山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．3．（5分）（2017•山东）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4．（5分）（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D7．（5分）（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．8．（5分）（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．9．（5分）（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2017•山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= 4．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r=（3x）r=3r x r．+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．12．（5分）（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）（2017•山东）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X01234PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．（12分）（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成+1的区域的面积T n．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．21．（14分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b ＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。
2017年山东理数高考试题文档版(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
学.科.网答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ） （D （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79（9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学理
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数y =的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ，则A ∩B=( )A.(1，2)B.(1，2]C.(-2，1)D.[-2，1)解析：由4-x2≥0，解得：-2≤x ≤2，则函数y =的定义域[-2，2]，由对数函数的定义域可知：1-x ＞0，解得：x ＜1，则函数y=ln(1-x)的定义域(-∞，1)， 则A ∩B=[-2，1). 答案：D.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z=a+3i ，z z ⋅=4，则a=( ) A.1或-1C.解析：由z a =，则z 的共轭复数z a =，由()()234z z a a a⋅=-=+=，则a 2=1，解得：a=±1，∴a 的值为1或-1. 答案：A.3.已知命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧￢q C.￢p ∧q D.￢p ∧￢q解析：命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题.∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题. 答案：B.4.已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z=x+2y 的最大值是( )A.0B.2C.5D.6解析：画出约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示；由30350x x y ++⎨⎩+⎧＝＝解得A(-3，4)，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y 的最大值为z max =-3+2×4=5.答案：C.5.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+，已知10101122516004ii i i xy b ===∑∑＝＝，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170解析：由线性回归方程为4y x a =+，则101011112251601010i i i i x x y y ====∑∑＝＝，， 则数据的样本中心点(22.5，160)，由回归直线方程样本中心点，则4160422.570a y x =-=-⨯=， ∴回归直线方程为470y x =+， 当x=24时，42470166y =⨯+=，则估计其身高为166. 答案：C.6.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为( )A.0，0B.1，1C.0，1D.1，0解析：当输入的x 值为7时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，满足b 2＞x ，故输出a=1； 当输入的x 值为9时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，不满足b 2＞x ，满足x 能被b 整数，故输出a=0. 答案：D7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是( )A.()21log 2a ba ab b++＜＜ B.()21log 2a b a b a b ++＜＜ C.()21log 2a b a a b b ++＜＜D.()21log 2a ba b a b ++＜＜解析：∵a ＞b ＞0，且ab=1， ∴可取a=2，12b =. 则()()22221111524log log 2log 1222822a b a a b b +===+=⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∈，，，， ∴()21log 2a b a b a b++＜＜. 答案：B.8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518 B.49 C.59 D.79解析：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有2936C =种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有115420C C =种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率205369P ==. 答案：C.9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是( ) A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A解析：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a.答案：A.10.已知当x∈[0，1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )A.(0，1]∪[+∞)B.(0，1]∪[3，+∞)C.(0∪[+∞)D.(0∪[3，+∞)解析：根据题意，由于m为正数，y=(mx-1)2为二次函数，在区间(0，1m)为减函数，(1m，+∞)为增函数，函数y m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=(mx-1)2为减函数，且其值域为[(m-1)2，1]，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=(mx-1)2在区间(0，1m)为减函数，(1m，1)为增函数，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m-1)2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是(0，1]∪[3，+∞).答案：B.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知(1+3x)n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=____.解析：(1+3x)n的展开式中通项公式：()133rr r r rr n n T C x C x +==.∵含有x 2的系数是54，∴r=2.∴22354n C =，可得26n C =，∴()162n n -=，n ∈N*. 解得n=4. 答案：4.12.已知12e e ，123e e -与12e e λ+的夹角为60°，则实数λ的值是____.解析：12e e ，是互相垂直的单位向量， ∴121e e ==，且120e e ⋅=；12e -与12e e λ+的夹角为60°，∴)()121212123c ||os60e e e e e e e λλ-+=-⨯⨯︒⋅+，即()222222211221122112213132322e e e e e e e e e e e λλλλ+-⋅-=-⋅+⨯+⋅+⨯，12λ=，λ=解得λ=3.答案：3.13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为____.解析：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V 1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积2211144V ππ=⨯⨯⨯=， 则该几何体的体积11222V V V π=+=+.答案：22π+.14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为____.解析：把x 2=2py(p ＞0)代入双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，可得：a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0，∴222A B pb y y a+=， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴2422A B p p y y ++⨯=⨯， ∴222pb p a=，∴2b a =.∴该双曲线的渐近线方程为：y x =.答案：y x =.15.若函数e xf(x)(e ≈2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为____.①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x 3 ④f(x)=x 2+2.解析：对于①，f(x)=2-x，则()()·22xx x x e g x e f x e -⎛⎫ ⎝==⎪⎭＝为实数集上的增函数；对于②，f(x)=3-x，则()()·33xx x xe g x ef x e -⎛⎫⎝==⎪⎭＝为实数集上的减函数；对于③，f(x)=x 3，则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3，g ′(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3)，当x ＜-3时，g ′(x)＜0，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上先减后增；对于④，f(x)=x 2+2，则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2)，g ′(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)＞0在实数集R 上恒成立，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上是增函数. ∴具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④.三、解答题16.设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0＜ω＜3，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[344ππ-，]上的最小值.解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据06f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的值； (Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x ∈[344ππ-，]时g(x)的最小值.答案：(Ⅰ)函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= sin coscos sinsin 662x x x πππωωω⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 22x x ωω-=3x πω⎛⎫-⎪⎝⎭，又0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴63k ππωπ-=，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3， ∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到43y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，∴函数()12y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当34]4[x ππ∈-，时，[2123]3x πππ-∈-，，∴sin 11[22]x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴当x=-4π时，g(x)取得最小值是32=-.17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点.(Ⅰ)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(Ⅱ)当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C 的大小.解析：(Ⅰ)由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；(Ⅱ)法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.答案：(Ⅰ)∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；(Ⅱ)解法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，====∴AE GE AC GC取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角.=又AM=1，∴EM CM在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，∴EC＝EMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意得：A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(13)，C(-10)，故()()()203130203AE AG CG -＝，，，＝，，，＝，，. 设()111m x y z ＝，，为平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，得11112300x z x -⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 1=2，得()3m＝； 设()222n x y z ＝，，为平面ACG 的一个法向量， 由00n AG n CG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，可得22220230x x z ⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 2=-2，得()3-3-2n＝，，. ∴1cos 2m nm n m n ⋅=＜，＞＝. ∴二面角E-AG-C 的大小为60°.18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.(Ⅱ)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX. 解析：(1)利用组合数公式计算概率；(2)使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望. 答案：(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则()48510518C P M C ==.(II)X 的可能取值为：0，1，2，3，4，∴()565101042C P X C ===，()41645105121C C P X C ===，()326451010221C C P X C ===，()23645105321C C P X C ===，()14564101442P X C C C ===. ∴XX 的数学期望0123424221212142EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式；(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n+1(x n+1，n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n+1所围成的区域的面积T n .解析：(I)列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；(II)从各点向x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【解答】解：(I)设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0， 由题意得1121132x x q x q x q +⎧⎨-⎩＝＝，两式相比得：2132q q q +-＝，解得q=2或13q =-(舍)，∴x 1=1，∴x n =2n-1.(II)过P 1，P 2，P 3，…，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ， 记梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则()12122122n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴T n =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n+1)×2n-2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1，②①-②得：-T n=32+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=()()()111 21231212122 2122nn nn n----+-+⨯=-+-⨯-.∴()21212nnnT-⨯+=.20.已知函数f(x)=x2+2cosx，g(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)，其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(Ⅱ)令h(x)=g(x)-a f(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 解析：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，可得f′(π)=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.(II)h(x)=g(x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)，可得h′(x)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，可得函数u(x)在R上单调递增.由u(0)=0，可得x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出.答案：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，∴f′(π)=2π.∴曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为：y-(π2-2)=2π(x-π).化为：2πx-y-π2-2=0.(II)h(x)=g (x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，∴函数u(x)在R上单调递增.∵u(0)=0，∴x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.(1)a≤0时，ex-a＞0，∴x＞0时，h′(x)＞0，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.∴x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.(2)a＞0时，令h′(x)=2(x-sinx)(e x-e lna)=0.解得x1=lna，x2=0.①0＜a＜1时，x∈(-∞，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(lna，0)时，e x-e lna＞0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(0，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′(x)≥0，∴函数h(x)在R上单调递增.③1＜a时，lna＞0，x∈(-∞，0)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(0，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(lna，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].综上所述：a ≤0时，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x ＜0时，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.0＜a ＜1时，函数h(x)在x ∈(-∞，lna)是单调递增；函数h(x)在x ∈(lna ，0)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].当a=1时，lna=0，函数h(x)在R 上单调递增.a ＞1时，函数h(x)在(-∞，0)，(lna ，+∞)上单调递增；函数h(x)在(0，lna)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为2，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)如图，动直线l：12y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k2，且124k k =M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.解析：(Ⅰ)由题意得关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得a ，b 的值，则椭圆方程可求； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M 的半径r ，则123r AB =＝.由题意设知214k k ＝.得到直线OC 的方程，与椭圆方程联立，求得C 点坐标，可得|OC|，由题意可知，1sin21SOT rOC r OCr∠=++＝.转化为关于k 1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT 的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k ±＝. 答案：(Ⅰ)由题意知，2222222c a c a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩＝＝＝，解得a=2，b=1.∴椭圆E 的方程为2212x y +＝； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立221122x y y k x ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝()22114210k x x +--＝. 由题意得△=64k 12+8＞0.()12122111221x x x x k +-+＝. ∴121AB x =-. 由题意可知圆M 的半径r 为123r AB =＝.由题意设知，124k k ＝，∴21k 因此直线OC 的方程为1y . 联立22112x y y x⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，得22212211811414k x y k k ++＝，＝.因此，OC=由题意可知，1sin21SOT rOCr OCr∠=++＝.而21OCr=＝令t=1+2k12，则t＞1，1t∈(0，1)，因此，1 OCr=≥.当且仅当112t＝，即t=2时等式成立，此时12k±＝.∴1sin22SOT∠≤，因此26SOTπ∠≤.∴∠SOT的最大值为3π.综上所述：∠SOT的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为12k±＝.。
2017年高考试题：文科数学(山东卷)『一流精品』
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；学.科.网如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N = （A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2（D ）()1,2 （2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =(A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3（4）已知3cos 4x =,则cos2x = (A)14- (B)14 (C)18- (D)18 （5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤（7）函数2cos 2y x x =+最小正周期为 （A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ） 2π （8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ） 5,7（9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8（10）若函数()e x f x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（A ）()2x f x -= （B ）()2f x x = （C ）()-3xf x = （D ）()cos f x x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . (13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= . (15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.(17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.。
2017-2018学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）•z＝5（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．2i D．23．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝15，a6+a10＝34，则S10＝（）A．40B．80C．100D．1204．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝a+log2（x+1），则f（﹣7）的值为（）A．﹣3B．3C．log26D．无法确定6．（5分）某校从高三年级中随机选取400名学生．将他们的数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）．若要从成绩在[120.130），[130，140），[140.150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从成绩在[130，140）内的学生中选取的人数为（）A．16B．8C．4D．27．（5分）已知直线m，n和平面α，满足m⊄α，n⊂α．则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图所示的程序框图．运行相应的程序．则输出的结果是（）A．0B．C．D．9．（5分）设F1和F2为双曲线（a＞b＞0）的两个焦点，若点P（0，2b），F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）＝3﹣|x﹣a|是定义在R上的偶函数，则下列不等式关系正确的是（）A．f（log23）＞f（log0.57）＞f（a）B．f（log0.57）＞f（log23）＞f（a）C．f（a）＞f（log0.57）＞f（log23）D．f（a）＞f（log23）＞f（log0.57）11．（5分）在直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（1，3），C（3，2），点M（a，b）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，若，则2m﹣n的最大值为（）A．B．4C．D．312．（5分）已知函数f（x）＝2ax3﹣3ax2﹣6x的两个极值点是x1，x2，且A（x1，x1﹣1），B （x2，x2﹣1），则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相交B．相切C．相交或相切D．相离二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）曲线y＝sin x+e x在点（0，1）处的切线方程为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）将2至2018这2017个自然数中能被3除余1且被7除余l的数按由小到大的顺序排成一列．构成数列{a n}，则该数列的项数为．16．（5分）在锐角△ABC中，已知，b＝3．则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，CB ＝CD，∠BCD＝120°．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）若P A＝AB＝4，求四棱锥P﹣ABCD的表面积．19．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国．带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计．结果如表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图．并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．（2）求y关于x的线性回归方程．并预测该公司2018年2月份的市场占有率．参考数据：，，．参考公式：相关系数＝，回归直线方程为其中：，．20．（12分）已知点P（﹣2，1）在椭圆C：（a＞0）上．动点A，B都在椭圆上，直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点，（1）求椭圆C的方程和直线AB的斜率；（2）对定点Q．若直线QA和QB的斜率之和为定值．则称Q为“和谐点”．试求直线x＝2上“和谐点”的个数．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）≥ax﹣1，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线分别交直线l和曲线C1于A，B两点，求的最大值及相应α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式|3f（x）﹣4|≤2；（2）设函数g（x）＝|2x+6|，若∃x0∈R，使f（x0）+g（x0）≤a2﹣4a成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合，∴A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：B．2．【解答】解：由（1﹣2i）•z＝5，得z＝，∴z的虚部为2．故选：D．3．【解答】解：设公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣，d＝，则S10＝10a1+45d＝10×（﹣）+45×＝100，故选：C．4．【解答】解：如图所示：∵，∴．故选：D．5．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）＝a+log2（x+1）；∴f（0）＝a+0＝0；∴a＝0；∴x≥0时，f（x）＝log2（x+1）；∴f（﹣7）＝﹣f（7）＝﹣log28＝﹣3．故选：A．6．【解答】解：某校从高三年级中随机选取400名学生，将他们的数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）．由频率分布直方图得：（0.02+0.035+a+0.01+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，要从成绩在[120.130），[130，140），[140.150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，从成绩在[130，140）内的学生中选取的人数为：36×＝8．故选：B．7．【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A．8．【解答】解：根据题中的流程图，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+…sin的值，由于：2018＝12×168+2，可得：S＝sin+sin+…sin＝168×（sin+sin+…+sin）+sin+sin＝0×168+sin+sin＝0+＝．故选：C．9．【解答】解：由题意可知：双曲线（a＞b＞0）焦点在x轴上，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），由F1、F2、P（0，2b）是等腰直角三角形的三个顶点，∴2b＝c，∴4b2＝a2+b2，a2＝3b2，∴，则双曲线的渐近线方程是y＝．故选：C．10．【解答】解：f（x）＝3﹣|x﹣α|是R上的偶函数；∴3﹣|﹣x﹣α|＝3﹣|x﹣α|；∴|﹣x﹣α|＝|x﹣α|；∴|x+α|＝|x﹣α|；∴（x+α）2＝（x﹣α）2；∴x2+2αx+α2＝x2﹣2αx+α2；∴2αx＝﹣2αx；∴α＝0；∴；∴f（x）在[0，+∞）上单调递减；f（log0.57）＝f（﹣log27）＝f（log27）；∵α＜log23＜log27；∴f（α）＞f（log23）＞f（log27）；∴f（α）＞f（log23）＞f（log0.57）．故选：D．11．【解答】解：＝（2，2），＝（1，3），＝（x，y），∵＝m+n，∴，∴2m﹣n＝2x﹣y，作出平面区域如图所示：令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C（3，2）时，截距最小，即z最大．∴z的最大值为2×3﹣2＝4．即2m﹣n的最大值为4．故选：B．12．【解答】解：由f（x）＝2ax3﹣3ax2﹣6x，得f′（x）＝6ax2﹣6ax﹣6，又函数f（x）有两个极值点，∴方程ax2﹣ax﹣1＝0有两个不等的实数根，则a2+4a＞0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，∴k AB＝＝﹣＝a，则过AB的直线方程为y﹣＝a（x﹣x1），整理得：y＝ax+，即y＝a（x﹣1），则直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），∴直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系为相交．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：y＝sin x+e x的导数为y′＝cos x+e x，在点（0，1）处的切线斜率为k＝cos0+e0＝2，即有在点（0，1）处的切线方程为y＝2x+1．故答案为：y＝2x+1．14．【解答】解：由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，∴几何体的体积V＝××π×12×+×22×＝+．故答案为：．15．【解答】解：自然数中能被3除余1且被7除余l的数可以表示为21n+1．令21n+1≤2018，解得n≤96．其2至2018这2017个自然数中能被3除余1且被7除余l的数共有96个．故答案为：96．16．【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系：如图：因为，AC＝3，所以C（，），设B（x，0），因为△ABC是锐角三角形，所以∠B+∠C＝，所以﹣∠B，由0＜∠C＜得，0＜﹣∠B＜，得＜∠B＜，即B点在如图的线段DE上（不与D、E重合），所以＜x＜3，则•＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，所以•的取值范围是：（0，9）．故答案为：（0，9）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2．∴2ac sin B＝a2+c2﹣b2+2ac，可得：2ac sin B＝2ac cos B+2ac，∴sin B﹣cos B＝1，可得：2sin（B﹣）＝1，可得：sin（B﹣）＝，∵B∈（0，π），∴B＝…6分（2）∵b＝2，B＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：4＝a2+c2﹣ac，又∵a2+c2≥2ac，∴4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝≤＝．可得三角形面积的最大值为…12分18．【解答】解：（1）证明：CB＝CD，∠BCD＝120°，可得∠CBD＝30°，由△ABD为等边三角形，可得∠ABD＝60°，即有∠ABC＝90°，即CB⊥AB，由P A⊥底面ABCD，可得P A⊥CB，而P A∩AB＝A，可得BC⊥平面P AB，又BC⊂平面PBC，则平面PBC⊥平面P AB；（2）P A＝AB＝4，可得PB＝＝4，由（1）可得CB⊥PB，同理可得CD⊥PD，则底面ABCD的面积为×16+•••＝，S△P AB＝S△P AD＝•4•4＝8，S△PCB＝S△PCD＝•4•＝，则四棱锥P﹣ABCD的表面积为+16+．19．【解答】解：（1）如图示：由散点图可知，可以用线性回归方程模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，＝（11+13+16+15+20+21）＝16，∴＝76，∴r＝≈0.96，故两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；（2）＝＝2，又＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，∴＝﹣＝16﹣2×3.5＝9，故回归方程是：＝2x+9，2018年2月的月份代码x＝7，∴＝23，估计2018年2月的市场占有率为23%．20．【解答】解：（1）将P（﹣2，1）代入，得a2＝8，∴椭圆方程为，设直线AB的方程：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），A，B中点M（x0，y0），由得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0∴，，直线OP经过AB的中点，则k OM＝k OP，，∴，∴k＝（2）由k＝，可得x1+x2＝﹣2m，x，设Q点的坐标为（2，t），∴k QA+k QB＝＝＝＝＝，当且仅当t﹣1＝0，即t＝1时，k QA+k QB为常数0，即Q点坐标为（2，1），故“和谐点”的个数为1个．21．【解答】解：（1）f′（x）＝2x+（a﹣2）﹣＝，（x＞0），令g（x）＝2x2+（a﹣2）﹣a＝（2x+a）（x﹣1），①当a≥0时，﹣≤0，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增；②当﹣2＜a＜0时，0＜﹣＜1，x∈（﹣，1），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（0，﹣），（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＝﹣2时，﹣＝1，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，f（x）递增；④当a＜﹣2时，﹣＞1，x∈（1，﹣），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（），1），（﹣，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当a≥0时，x∈（0，1），f（x）递减，x∈（0，1），f（x）递减，x∈（1，+∞），f（x）递增；当﹣2＜a＜0时，x∈（﹣，1），f（x）递减，x∈（0，﹣），（1，+∞），f（x）递增，当a＝﹣2时，x∈（0，+∞），f（x）递增，当a＜﹣2时，x∈（1，﹣），f（x）递减，x∈（），1），（﹣，+∞），f（x）递增；（2）f（x）≥ax﹣1，即x2﹣2x﹣alnx+1≥0，令h（x）＝x2﹣2x﹣alnx+1，即h（x）min≥0，h′（x）＝，令t（x）＝2x2﹣2x﹣a，△＝4+8a，①若a≤﹣，即△≤0，h′（x）＞0，h（x）在[1，+∞）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，②若a＞﹣．即△＞0，x1＝，x2＝，（i）若﹣＜a＜0，x∈[1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，（ii）若a＝0，x∈[1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，（iii）若a＞0，x∈[1，x2），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（x2，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（x2）＜h（1）＝0，不合题意，舍，故a的范围是（﹣∞，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为转换为直角坐标方程为：x+y﹣4＝0．转换为极坐标方程为：．曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．整理得：x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为：ρ＝2sinθ．（2）令θ＝α，则：＝，即：|OA|＝，|OB|＝2sinα，所以：＝，由于：，所以：，故当，即：时，．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）不等式|3f（x）﹣4|≤2；可得：﹣2≤3f（x）﹣4≤2，即≤f（x）≤2∵f（x）＝|x﹣2|．∴≤|x﹣2|≤2则，解得：或∴原不等式的解集为[，4]∪[0，]．（2）由题意，∃x0∈R，使f（x0）+g（x0）≤a2﹣4a成立，则[f（x0）+g（x0）]min≤a2﹣4a成立，f（x0）+g（x0）＝|x﹣2|+|2x+6|＝根据一次函数的图象性质，可知：当x＝﹣3时，[f（x0）+g（x0）]min＝5；∴5≤a2﹣4a即a2﹣4a﹣5≥0解得：a≥5或a≤﹣1．故得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）．。
2017年高考真题数学文山东卷 含答案 精品
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =（A ）()1,1- （B ）()1,2-（C ）()0,2（D ）()1,2（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = (A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 （4）已知3cos 4x =,则cos2x = (A)14-(B)14 (C)18- (D)18（5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤（7）函数cos2y x x =+最小正周期为 （A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ） 2π（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为 （A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ） 5,7（9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8 （10）若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 （A ）()2xf x -=（B ）()2f x x=（C ）()-3xf x =（D ）()cos f x x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= . (12）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . (13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6x f x -=,则f (919)= .(15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. (17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、选择题(1) C (2) A (3) D (4) D (5) B(6) B (7) C (8) A (9) C (10) A二、填空题（11）3（12）8（13）π22+ （14）6（15）2y x =± 三、解答题 （16）解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,,A A A A A A 共3个,则所求事件的概率为：()31155P A ==.(Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B 共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个. 则所求事件的概率为：29P =. （17）解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-， 又 3ABC S ∆=，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-， 又0A π<<所以34A π=，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得29823()292a =+-⨯⨯-=，所以a =（18） 证明：（Ⅰ）取11B D 中点1O ，连接111,CO AO ，由于1111ABCD A BC D -为四棱柱，所以1111//,=AO CO AO CO ， 因此四边形11AOCO 为平行四边形， 所以11//AO O C ， 又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ， 所以1//AO 平面11B CD ， （Ⅱ）因为 AC BD ⊥,E,M 分别为AD 和OD 的中点， 所以EM BD ⊥,又 1A E ⊥面ABCD ，BD ABCD ⊂平面 所以1,A E BD ⊥ 因为 11//B D BD所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，又 A 1E, EM 11,A EM A E EM E ⊂⋂=平面 所以11B D ⊥平面111,A EM B D ⊂又平面11B CD ， 所以 平面1A EM ⊥平面11B CD 。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(山东卷,附解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文山东卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).【试卷点评】【命题特点】2017年山东高考数学试卷,试卷结构总体保持了传统的命题风格,以能力立意,注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养,符合考试说明的各项要求,贴近中学教学实际,是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.试题的顺序编排,遵循由易到难,基本符合学生由易到难的答题习惯.从命题内容来看,既突出热点内容的年年考查,又注意了非热点内容的考查,对教学工作有较好的导向性.同以往相比,今年对直线与圆没有独立的考题,而在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系,对基本不等式有独立的考查,与往年突出考查等差数列不同,今年对此考查有所淡化.具体看还有以下特点：1.体现新课标理念,保持稳定,适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》,重点内容重点考查,试题注重考查高中数学的基础知识,并以重点知识为主线组织全卷,在知识网络交汇处设计试题内容,且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识,难度不大.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求. 数学思想方法是数学的灵魂,是对数学知识最高层次的概括与提炼,也是试卷考查的核心.通过命题精心设计,较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程,将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用,关注社会生活.通过概率问题考查考生应用数学的能力,以学生都熟悉的内容为背景,体现试卷设计问题背景的公平性,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2018年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测2018年应特别关注：1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多与单调性相关；对具体函数的基本性质（奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数的考查依然是重点. 导数的几何意义与利用导数研究函数的性质的命题变换空间较大，直接求解问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大.3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合.4.数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征，确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现.5.立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明.6.解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化.7.概率与统计知识：概率与统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多地考查基础知识、基本应用，内容包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图（表）、假设性检验、回归分析等.试卷解析第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =（A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,2【答案】C【解析】试题分析：由|1|1x -<得02x <<,故={|02}{|2}{|02}MN x x x x x x <<<=<<,故选C.【考点】 不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（A ）-2i （B ）2i （C ）-2 （D ）2【答案】A【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i ＝－i. （3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3【答案】D【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．（4）已知3cos4x=,则cos2x=（A）14-（B）14（C）18-（D）18【答案】D 【解析】试题分析：由3cos4x=得2231cos22cos12148x x⎛⎫=-=⨯-=⎪⎝⎭,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．（5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【考点】命题真假的判断【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．（6）执行下面的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤【答案】B【解析】【考点】程序框图【名师点睛】程序框图试题主要有求程序框图执行的结果和完善程序框图两种形式,求程序框图执行的结果,要先找出控制循环的变量的初值（计数变量与累加变量的初始值）、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环体是反复执行的步骤,循环次数比较少时,可依次列出；循环次数较多时,可先循环几次,找出规律,最后要特别注意循环结束的条件,不要出现多一次或少一次循环的错误.完善程序框图的试题多为判断框内内容的填写,这类问题常涉及,,,≥>≤<的选择,解答时要根据循环结构的类型,正确地进行选择,注意直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断,后循环,条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.另外，还要注意判断框内的条件不是唯一的,如5i >也可写成6i ≥.（7）函数3sin 2cos2y x x +的最小正周期为（A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ）2π 【答案】C【解析】 试题分析：因为π32cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其最小正周期2ππ2T ==,故选C. 【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数,一般先把其化为()22y a b x ωϕ=++的形式再求周期.（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ）3，5 （B ）5，5 （C ）3，7 （D ）5，7【答案】A【解析】【考点】茎叶图、样本的数字特征【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示.缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐. 利用茎叶图对样本进行估计时,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.（9）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解析】试题分析：由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【考点】分段函数求值 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．（10）若函数()e x f x (e=2.71828是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M性质.下列函数中具有M 性质的是（A ）()2x f x -= （B ）()2f x x = （C ）()3xf x -= （D ）()cos f x x = 【答案】A【考点】导数的应用【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= .【答案】3-【解析】试题分析：由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.（12）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8【解析】【考点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．（13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】π22+ 【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．（14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6x f x -=,则f (919)= .【答案】6【解析】【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式．③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值：常利用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．④应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．（15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】2y x = 【解析】 试题分析：由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±. 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则 (1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游. （Ⅰ）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率； （Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）2.9【解析】包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个，所以所求事件的概率为：29P =.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏. （17）（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a . 【答案】3=π,=29.4A a 【解析】又3b =，所以22c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22982322()=29a =+-⨯⨯， 所以29a =【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． （18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】（Ⅰ）证明见解析.（Ⅱ）证明见解析. 【解析】所以1AO ∥平面11B CD .（Ⅱ）因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以1,A E BD ⊥【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行． （19）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）2552n nn T +=- 【解析】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和. 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==. 又0n a >，解得：12,2a q ==， 所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． （20）（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=,（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x '=-，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值． （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=;（Ⅱ）EDF ∠的最小值为π3. 【解析】又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*） 且122421kmx x k +=+，令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134ND NF≤+=，【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．。
2017年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则1．（5分）设函数y=A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1 或﹣1B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a ＞b ，2 2下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（）第1 页（共22 页）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+ ＜＜log 2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+ ＜log 2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+ ＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11．（5 分）已知（1+3x ） 的展开式中含有 x 的系数是 54，则 n=．12．（5 分）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ．13．（5 分）由一个长方体和两个何体的体积为 ．圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x =2py （p ＞0）交于 A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |， 则该双曲线的渐近线方程为．15．（5 分）若函数 ef （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在 f （x ）的定义 域上单调递增，则称函数 f （x ）具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的 函数的序号为．①f （x ）=2 ②f （x ）=3 ③f （x ）=x ④f （x ）=x +2．三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）设函数 f （x ）=sin （ωx﹣）+sin （ωx ﹣），其中 0＜ω＜3，已知f （ ）=0．（Ⅰ）求 ω；（Ⅱ）将函数 y=f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g （x ）的图象，求 g （x ）在[﹣n 2 2x ﹣x ﹣x 3 2第3 页（共22 页），]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是的中点．（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6 和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x 2，2）…Pn+1（x n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=xn+1所围成的区域的面积T n．2x第4 页（共22 页）e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．=1（a＞b＞0）的离心（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣直线OC 的斜率为k2，且看k1k2=交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，，M 是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）（2017•山东）设函数 y= 义域为 B ，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．（1，2] C ．（﹣2，1）的定义域为 A ，函数 y=ln （1﹣x ）的定D ．[﹣2，1）【解答】解：由 4﹣x ≥0，解得：﹣2≤x ≤2，则函数 y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x ＞0，解得：x ＜1，则函数 y=ln （1﹣x ）的定义域 （﹣∞，1）， 则 A ∩B=[﹣2，1）， 故选 D ．2．（5 分）（2017•山东）已知 a ∈R ，i 是虚数单位，若 z=a + ） i ，z• =4，则 a=（A ．1 或﹣1B ．或﹣C ．﹣D ．【解答】解：由 z=a + i ，则 z 的共轭复数 =a ﹣ i ，由 z• =（a +i ）（a ﹣ i ）=a +3=4，则 a =1，解得：a=±1，∴a 的值为 1 或﹣1， 故选 A ．3．（5 分）（2017•山东）已知命题 p ：∀x ＞0，ln （x +1）＞0；命题 q ：若a ＞b ，则 a ＞b ，下列命题为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∧￢qC ．￢p ∧qD ．￢p ∧￢q【解答】解：命题 p ：∀x ＞0，ln （x +1）＞0，则命题 p 为真命题，则￢p 为假2 2 2 2 2命题；2 2取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a ＜b ，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题．∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题．故选B．4．（5分）（2017•山东）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z 在y 轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为=﹣3+2×4=5．z max故选：C．5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，则= x i=22.5，==160，y i则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则= ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24 时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（）第8 页（共22 页）A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0【解答】解：当输入的 x 值为 7 时，第一次，不满足 b ＞x ，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，满足 b ＞x ，故输出 a=1；当输入的 x 值为 9 时，第一次，不满足 b ＞x ，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，不满足 b ＞x ，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0；故选：D7．（5 分）（2017•山东）若 a ＞b ＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A ．a + ＜ ＜log 2（a +b ））B ． ＜log 2（a +b ）＜a +C ．a + ＜log 2（a +b ）＜D ．log 2（a +b ））＜a + ＜【解答】解：∵a ＞b ＞0，且 ab=1， ∴可取 a=2，b= ．则=4，= = ，log 2（a +b ）= =∈（1，2），∴ ＜log 2（a +b ）＜a + ．故选：B ．8．（5 分）（2017•山东）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽 取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次， 共有 =36 种不同情况，且这些情况是等可能发生的，第 9 页（共 22 页）2 2 2 2抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20 种，故抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选：C．9．（5分）（2017•山东）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y= +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，由于m 为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m 为增函数，分2 种情况讨论：①、当0＜m≤1 时，有≥1，22在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）为减函数，且其值域为[（m﹣1），1]，函数y=+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1 个交点，符合题意；②、当m＞1 时，有＜1，第10 页（共22 页）y=（mx ﹣1） 2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，函数 y=+m 为增函数，其值域为[m ，1+m ]，若两个函数的图象有 1 个交点，则有（m ﹣1） ≥1+m ， 解可得 m ≤0 或 m ≥3， 又由 m 为正数，则 m ≥3；综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B ．二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11．（5 分）（2017•山东）已知（1+3x ） 的展开式中含有 x的系数是 54，则 n= 4 ．【解答】解：（1+3x ） 的展开式中通项公式：Tr +1= （3x ） =3x ． ∵含有 x 的系数是 54，∴r=2． ∴=54，可得 =6，∴ =6，n ∈N ．解得 n=4． 故答案为：4．12．（5 分）（2017•山东）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ．【解答】解： ，∴| |=| |=1，且是互相垂直的单位向量，• =0；又﹣ 与 +λ的夹角为 60°，∴（﹣）•（ +λ）=|﹣|×| +λ|×cos60°，即+（﹣1）• ﹣λ=×× ，第 11 页（共 22 页）2 n 2 n r r r 2*化简得即﹣λ=解得λ=﹣λ=．××，，故答案为：．13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个图如图，则该几何体的体积为2+ ．圆柱体构成的几何体的三视【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×1 ×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ ．14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x =2py（p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x =2py（p＞0）代入双曲线可得：a y ﹣2pb y+a b =0，第12页（2222 2 2 2 2共22 页）=1（a＞0，b＞0），∴y A +y B =，∵|AF |+|BF |=4|OF |，∴y A +y B +2× =4× ，∴∴ ==p ，．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x ．故答案为：y=±x ．15．（5 分）（2017•山东）若函数 ef （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在 f （x ）的定义域上单调递增，则称函数 f （x ）具有 M 性质．下列函数中所有具 有 M 性质的函数的序号为 ①④ ．①f （x ）=2 ②f （x ）=3 ③f （x ）=x ④f （x ）=x +2．【解答】解：对于①，f （x ）=2 ，则 g （x ）=e f （x ）= 上的增函数；对于②，f （x ）=3 ，则 g （x ）=e f （x ）=为实数集为实数集上的减函数；对于③，f （x ）=x ，则 g （x ）=e f （x ）=e •x ，g′（x ）=e •x +3e •x =e （x +3x ）=e •x （x +3），当 x ＜﹣3时，g ′（x ）＜0， ∴g （x ）=e f（x ）在定义域 R 上先减后增； 对于④，f （x ）=x +2，则 g （x ）=e f （x ）=e （x +2），g′（x ）=e （x +2）+2xe =e （x +2x +2）＞0 在实数集 R 上恒成立，∴g （x ）=e f （x ）在定义域 R 上是增函数．∴具有 M 性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④．三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）第 13 页（共 22 页）x ﹣x ﹣x 3 2 ﹣xx﹣x x 3 x x 3 x 3 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx ﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移，]上的最小值．个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx ﹣=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）= sinωx﹣cosωx），= sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）又f（）= sin（ω﹣=kπ，k∈Z，∴解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；ω﹣）=0，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移∴函数y=g（x）= sin（x﹣个单位，得到y=sin（x+）；﹣）的图象，当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x ﹣∴当x=﹣）∈[﹣，1]，时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．第14 页（共22 页）17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形的中ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是点．（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG 中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC 为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC 中，由于∠EBC=120°，2 2 2由余弦定理得：EC =2 +2 ﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC 为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．第15 页（共22 页）由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG 的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG 的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，．则P（M）= =（II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4，，∴P（X=0）= =，P（X=1）= =，P（X=2）= =，P（X=3）= =．P（X=4）= =∴X 的分布列为X01234PX 的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．（12分）（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P 1（x1，1）， P 2（x 2，2）…Pn +1 （x n +1 ，n +1）得到折线 P 1 P 2…P n +1 ，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn +1 所围成的区域的面积 Tn ．【解答】解：（I ）设数列{xn}的公比为 q ，则 q ＞0，由题意得，两式相比得：，解得 q=2 或 q=﹣ （舍），∴x 1=1，∴x n =2 ．（II ）过 P 1，P 2，P 3，…，P n 向 x 轴作垂线，垂足为 Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n， 即梯形 P n P n +1 Q n +1Q n 的面积为 b n ，则 b n ==（2n +1）×2 ，∴T n =3×2 +5×2 +7×2 +…+（2n +1）×2 ，①∴2T n =3×2 +5×2 +7×2 +…+（2n +1）×2 ，②①﹣②得：﹣T n = +（2+2 +…+2 ）﹣（2n +1）×2n ﹣1= +﹣（2n +1）×2 n ﹣1=﹣ +（1﹣2n ）×2 ． ∴T n =．n ﹣1n ﹣2 ﹣1 0 1 n ﹣20 1 2 n ﹣12 n ﹣1 n ﹣12x20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x +2cosx，g（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；第18 页（共22 页）（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x+2cosx）h′（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2）+e （﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e﹣a）=2（x﹣sinx）（e﹣e）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R 上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0．（1）a≤0 时，e ﹣a＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0 时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e﹣e）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1 时，x∈（﹣∞，lna）时，e ﹣e＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e ﹣e＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e ﹣e＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1 时，lna=0，x∈R 时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R 上单调递增．③1＜a 时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；22 2x2 x xx x lnaxx lnax lnax lnax lna2x lnax lnax∈（lna，+∞）时，e ﹣e＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．第19 页（共22 页）∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln a﹣2lna +sin （lna ） +cos （lna ）+2]．综上所述：a ≤0 时，函数 h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1 时，函数 h （x ）在 x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数 h （x ）在 x ∈（lna ，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0） =﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．当 a=1 时，lna=0，函数 h （x ）在 R 上单调递增．a ＞1 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0），（lna ，+∞）上单调递增；函数 h （x ）在 （0，lna ）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0） =﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．21．（14 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，焦距为 2．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，该直线 l ：y=k 1x ﹣直线 OC 的斜率为 k 2，且看 k 1k 2=交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC |：|AB |=2：3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分 别为 S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．2 2 2第20 页（共22 页），b=1．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=∴椭圆E 的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．．∴|AB|=由题意可知圆M 的半径r 为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC 的方程为．联立，得．．因此，|OC|=由题意可知，sin=而=令t=，则t＞1，∈（0，1），．．因此，=≥1．当且仅当，即t=2 时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT 的最大值为．综上所述：∠SOT 的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，文1，5分】设集合{}{}11x 2M x x N x =-<=<，，则M N =I （ ）（A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,2 【答案】C【解析】:02M x <<，2N x <：，所以(0,2)M N =I ，故选C ． （2）【2017年山东，文2，5分】已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则²z =（ ）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】A【解析】1i1i iz +==-，所以22(1i)2i z =-=-，故选A ．（3）【2017年山东，文3，5分】已知x y 、满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D【解析】可行域如图，在点()1,2A -z 取最大值：max 3z =，故选D ．（4）【2017年山东，文4，5分】已知cos 34x =，则cos2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）18【答案】D【解析】2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ．（5）【2017年山东，文5，5分】已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <。
下列命题为真命题的是（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ 【答案】B【解析】22131()024x x x -+=-+>，p 真；22a b a b <⇔<，q 假，故命题p q ∧，p q ⌝∧，p q ⌝⌝∧均为假命题；命题p q ⌝∧为真命题，故选B ． （6）【2017年山东，文6，5分】执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ 【答案】B【解析】解法一：当4x =，输出2y =，则由2log y x =输出，需要4x >，故选B ．解法二：若空白判断框中的条件3x >，输入4x =，满足43>，输出426y =+=，不满足，故A 错误，若空白判断框中的条件4x >，输入4x =，满足44=，不满足3x >，输 出2log 42y ==，故B 正确；若空白判断框中的条件4x ≤，输入4x =，满足44=， 满足4x ≤，输出426y =+=，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件5x ≤， 输入4x =，满足45<，满足5x ≤，输出426y =+=，不满足，故D 错误，故选B ．（7）【2017年山东，文7，5分】函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为（ ）（A ）2π （B ）23π （C ）π （D ）2π【答案】C【解析】3sin 2cos22sin(2)6y x x x π=+=+，所以22, T πωπω===，故选C ．（8）【2017年山东，文8，5分】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。
(精校版)2017年山东理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
学.科.网答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ） （D （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79（9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足 ()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A （10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦ 第II 卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -= ③()3f x x = ④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2017年数学真题及解析_2017年山东省高考数学试卷(理科)
2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选：A．【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4．【分析】利用通项公式即可得出．=（3x）r=3r x r．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z 1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z 2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【分析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a ﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin=．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．。
高考山东理科数学试题及答案
2017 年一般高等学校招生全国一致考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．（ 1）【 2017 年山东，理 1，5 分】设函数y 4 x 2 的定义域为A，函数y ln(1 x)的定义域为B，则A I（）B（ A） 1,2（ B） (1,2（ C）2,1（ D）2,1)（ 2）【 2017 年山东，理2，5分】已知a R，i是虚数单位，若z a3i ，z z 4 ，则a（）（A）1 或1（B） 7或7（ C）3（D） 3（ 3）【 2017 年山东，理3， 5分】已知命题p ：x0，ln( x1)0 ；命题 q ：若a b ，则a2b2，以下命题为真命题的是（）（ A）p q（ B）p q（ C）p q（D）p qx y30（ 4）【 2017 年山东，理4，5分】已知 x 、y知足拘束条件3x y50 ，则z x 2 y 的最大值是（）x30（ A）0（ B）2（C）5（ D）6（ 5）【 2017 年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，依据丈量数据的散点图能够看出y 与x之间有线性有关关系，设其回归直线方程为 y bx a ，已知1010y i 1600 ， b 4 ，该班某学生的脚长为24，据此预计其身高为（x i 225 ，）i 1i 1（ A） 160（B） 163（ C） 166（D） 170（ 6）【 2017 年山东，理6，5分】履行两次以下图的程序框图，若第一次输入的x 值为 7，第二次输入的 x 值为 9，则第一次、第二次输出的 a 值分别为（）（ A）0，0（B） 1， 1（C）0，1（D）1，0（ 7）【 2017 年山东，理 7， 5 分】若a b 0 ，且 ab 1，则以下不等式成立的是（）（ A） a1blog 2 ( a b)（ B）blog 2 (a b) a1b2b 2（ C） a 1log2 (a b)b（ D）log2( a b)a1b bab2a2（ 8）【 2017 年山东，理8，5 分】从分别标有 1，2，， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不一样的概率是（）（A）5（B）4（C）5（D）7 18999（ 9）【 2017 年山东，理9，5 分】在ABC中，角A、B、 C 的对边分别为 a 、b、 c ，若ABC为锐角三角形，且知足 sinB(1 2cosC)2sin AcosC cosAsinC ，则以下等式成立的是（）（ A）a 2b（ B）b 2a（C）A 2B（D）B 2A（ 10）【 2017 年山东，理10， 5 分】已知当 x 0,1时，函数 y( mx 1)2的图象与yx m的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）（A） 0,1U 2 3,（B）0,1U3,（C）0, 2 U 2 3,（D）0, 2 U3,第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分（ 11）【 2017 年山东，理11， 5 分】已知 (13x)n的睁开式中含有x2的系数是54，则 n．ur uur ur uur ur uur（ 12）【 2017 年山东，理12，5 分】已知e1、 e2是相互垂直的单位向量，若3e1e2与 e1e2的夹角为60，则实数的值是．（ 13）【 2017 年山东，理13， 5 分】由一个长方体和两个1 圆柱体组成的几何体的三视图如4图，则该几何体的体积为．（ 14）【 2017 年山东，理14， 5 分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2y21（a0 ， b 0 ）的右支与焦a2b2点为 F 的抛物线x2 2 py （p 0）交于A、B两点，若AF ＋ BF ＝4 OF ，则该双曲线的渐近线方程为．（ 15）【 2017 年山东，理15， 5 分】若函数x e f x （e 2.71828L 是自然对数的底数）在 f ( x) 的定义域上单一( )递加，则称函数 f ( x) 拥有M性质。
山东省济南市2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含答案
2016-2017学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若集合A={x|x2+5x+4＜0}，集合B={x|x＜﹣2}，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，4）C．[﹣2，﹣1）D．∅2．复数z=的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1、D．03．从高一某班学号为1～50的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．2，11，23，34，45 B．5，16，27，38，49C．3，13，25，37，47 D．4，13，22，31，404．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．D．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后经过点（，﹣），则φ等于（）A．﹣B．﹣C．0 D．7．已知命题p：∃x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|≥6，则下列叙述正确的是（）A．￢p为：∃x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|＜6B．￢p为：∀x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|≥6C．￢p为：∀x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），|x﹣1|+|x+2|＜6D．￢p为真命题8．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．19．从焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上取一点A（x0，y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为B．若|AF|=4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x10．已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x∈[1，m]（m ＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m的取值范围是（）A．（1，2+ln2]B．（1， +ln2]C．[ln2，2）D．（2， +ln2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知向量=（3，m），=（1，﹣2），若•=2，则m=．12．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为．13．如图是一个程序框图，则输出的n的值是．14．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），圆F：（x﹣c）2+y2=c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a，若圆F被直线l所截得的弦长为c，则双曲线的离心率为．15．若函数f（x）=（x﹣b）lnx（b∈R）在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）若c=2，求sinC；（2）求△ABC面积的最大值．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）若AD=AE，求平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n+1，S n，a成等差数列（n∈N*）．（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（1﹣an）log2（a n a n+1），求数列{}的前n项和T n．19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？20．已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）=bx3﹣bx，a∈R且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．21．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（a＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=．（1）求椭圆G的方程；（2）直线l与椭圆G交于两个不同的点M，N．（i）若直线l的斜率为1，且不经过椭圆G上的点C（4，n），其中n＞0，求证：直线CM与CN关于直线x=4对称．（ii）若直线l过F2，点B是椭圆G的上顶点，是否存在直线l，使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由．2016-2017学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若集合A={x|x2+5x+4＜0}，集合B={x|x＜﹣2}，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，4）C．[﹣2，﹣1）D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜﹣1，即A=（﹣4，﹣1），∵B=（﹣∞，﹣2），∴∁R B=[﹣2，+∞），则A∩（∁R B）=[﹣2，﹣1），故选：C．2．复数z=的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1、D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的实部为0．故选：D．3．从高一某班学号为1～50的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．2，11，23，34，45 B．5，16，27，38，49C．3，13，25，37，47 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【分析】求出系统抽样间隔，即可得出结论．【解答】解：从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样，间隔相同，故选D．4．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，若，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此可求出f（﹣1），可得结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，∴f（1）=21+a﹣1，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣21+a+1=，∴a=﹣3．故选：A．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=+=．故选B．6．若函数f （x ）=2sin （2x +φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后经过点（，﹣），则φ等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．0D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=2sin （2x +φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后，得到的函数解+析式为y=2sin （2x ﹣+φ），又∵所得图象经过点（，﹣），即：﹣=2sin （﹣+φ），可得：sin （﹣+φ）=﹣，∴解得：φ=2kπ﹣，k ∈Z ，或φ=2kπ+，k ∈Z ，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故选：A ．7．已知命题p ：∃x ∈（﹣2，2），|x ﹣1|+|x +2|≥6，则下列叙述正确的是（ ）A ．￢p 为：∃x ∈（﹣2，2），|x ﹣1|+|x +2|＜6B ．￢p 为：∀x ∈（﹣2，2），|x ﹣1|+|x +2|≥6C ．￢p 为：∀x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），|x ﹣1|+|x +2|＜6D ．￢p 为真命题【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得￢p ．再由绝对值三角不等式，可得答案．【解答】解：∵命题p ：∃x ∈（﹣2，2），|x ﹣1|+|x +2|≥6， ∴￢p 为：∀x ∈（﹣2，2），|x ﹣1|+|x +2|＜6，故A，B，C全错误；根据|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）+（﹣x﹣2）|=3，故￢p为真命题，故D正确；故选：D8．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．9．从焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上取一点A（x0，y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为B．若|AF|=4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B到直线AF的距离为BC=，求出cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出结论．【解答】解：设B到直线AF的距离为BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=，∴cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，∴p=1，∴此抛物线的方程为y2=2x．故选A．10．已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x∈[1，m]（m ＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m的取值范围是（）A．（1，2+ln2]B．（1， +ln2]C．[ln2，2）D．（2， +ln2）【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=e|x|，∴f（x﹣2）=e|x﹣2|，在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：由图可得：当x=1时，f（x﹣2）=g（x）=e，当x=4时，f（x﹣2）=e2＜g（x）=4e，当x＞4时，由f（x﹣2）=e x﹣2≤g（x）=4e5﹣x得：e2x﹣7≤4，解得：x≤ln2+，对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m∈（1， +ln2]，故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知向量=（3，m），=（1，﹣2），若•=2，则m=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求得m 的值．【解答】解：∵向量=（3，m），=（1，﹣2），若•=2，则3﹣2m=5，∴m=﹣1，故答案为：﹣1．12．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为43．【考点】二项式系数的性质．==（﹣2）k，令【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．==（﹣2）k，【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．13．如图是一个程序框图，则输出的n的值是5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，S=1时，n=1；S=2时，n=2；S=时，n=4；S=＞10，n=5；终止循环，输出n=5．故答案为：5．14．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），圆F：（x﹣c）2+y2=c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a，若圆F被直线l所截得的弦长为c，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l的方程为y=（x﹣a），利用圆F被直线l所截得的弦长为c，可得圆心F到直线l的距离为=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设直线l的方程为y=（x﹣a），即ax﹣by﹣=0．∵圆F被直线l所截得的弦长为c，∴圆心F到直线l的距离为=，∴=，∴（c﹣a）（c﹣2a）=0，∴c=2a，∴e=2，故答案为2．15．若函数f（x）=（x﹣b）lnx（b∈R）在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，对b进行讨论得出b的范围．【解答】解：f′（x）=lnx+=lnx﹣+1，∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，若b＞0，则f′′（x）=+＞0，∴f′（x）=lnx﹣+1在[1，e]上是增函数，∴f′（x）≥f′（1）≥0，即﹣b+1≥0，解得0＜b≤1，综上，b的范围是（﹣∞，1]．故答案为（﹣∞，1]．三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）若c=2，求sinC；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求2sinB=cosB，利用同角三角函数基本关系式可求tanB，进而可求sinB，由正弦定理即可求得sinC的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵2sinA=acosB ，，b=，∴2sinB=cosB ， 即tanB=，∴sinB=，∵c=2，∴sinC==．（2）由（1）得cosB=，∴5=a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac=ac ，即有ac ≤，可得：△ABC 面积的最大值为： =．17．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=a ，∠ABC=60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）若AD=AE ，求平面BDF 与平面ACFE 所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ACFE ．（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ，过C 作CG ⊥FO ，G 为垂足，连结BG ，则∠BGC 为所求二面角的平面角，则平面BDF 与平面ACFE 所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）在梯形ABCD 中，∵AD=DC=CB=a ，∠ABC=60°， ∴四边形ABCD 是等腰梯形， 且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120 ∴∠ACB=90，∴AC ⊥BC又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．解：（2）设AC与BD交点为O，连结FO，过C作CG⊥FO，G为垂足，连结BG，由（1）得BC⊥平面ACEF，则∠BGC为所求二面角的平面角，在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=60°，则AB=2a，AC=，∵AB∥DC，CD=a，∴，则AO=2CO=a，∵AE=CF=a，∴FO=，则CG==，∴tan∠BGC==2，∴sin∠BGC=．∴平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值为．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n+1，S n，a成等差数列（n∈N*）．（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（1﹣an）log2（a n a n+1），求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得b n=（1﹣an）log2（a n a n+1）=（2n+1）（2n﹣1），可得==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵2n+1，S n，a成等差数列（n∈N*）．∴2S n=2n+1+a，当n=1时，2a1=4+a，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．∵数列{a n}是等比数列，∴a1=1，则4+a=2，解得a=﹣2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）得b n=（1﹣an）log2（a n a n+1）=（2n+1）（2n﹣1），∴==，∴数列{}的前n项和T n=+…+==．19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．…P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；…考生甲正确完成题数ξ的分布列为Eξ=1×+2×+3×=2．…设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…P（η=0）=；P（η=1）==，P（η=2）==，P（η=3）==．…考生乙正确完成题数η的分布列为：Eη=0×+1×+2×+3×=2．…（Ⅱ）因为Dξ==，…Dη=npq=．…所以Dξ＜Dη．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…20．已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）=bx3﹣bx，a∈R且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设h（x）=﹣f（x）在（1，2）上的值域是A，函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则A⊆B，根据函数的单调性分别求出集合A、B，从而求出b的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣=，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）递减，a＞0时，由f′（x）＞0，得：x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）∵对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使得f（x1）+g（x2）=0，∴对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使得g（x2）=﹣f（x1），设h（x）=﹣f（x）在（1，2）上的值域是A，函数g（x）在（1，2）上的值域是B，则A⊆B，当x∈（1，2）时，h′（x）=＜0，即函数h（x）在（1，2）上递减，∴h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），g′（x）=bx2﹣b=b（x+1）（x﹣1），①当b＜0时，g（x）在（1，2）是减函数，此时，g（x）的值域是B=（b，﹣b），∵A⊆B，又﹣b≥0＞﹣1，∴b≤ln2﹣2，即b≤ln2﹣3，②当b＞0时，g（x）在（1，2）上是指数，此时，g（x）的值域是B=（﹣b，b），∵A⊆B，∴﹣b≤ln2﹣2，∴b≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2，综上可得b的范围是（﹣∞，ln2﹣3]∪[3﹣ln2，+∞）．21．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（a＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=．（1）求椭圆G的方程；（2）直线l与椭圆G交于两个不同的点M，N．（i）若直线l的斜率为1，且不经过椭圆G上的点C（4，n），其中n＞0，求证：直线CM与CN关于直线x=4对称．（ii）若直线l过F2，点B是椭圆G的上顶点，是否存在直线l，使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设|PF1|=m，|PF2|=n．由PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=，可得m2=n2+4c2，m﹣n=，m+n=2a，又a2=5+c2，解出即可得出．（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得：=1，解得y，可得C（4，1）．设直线l的方程为：y=x+m，k CM=k1，k CN=k2，M（x1，y1），N（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x2+8mx+4m2﹣20=0，△＞0，k1+k2=+=，把根与系数的关系代入分子=0．即可证明．（ii）△BF2M与△BF2N的面积的比值为2，可得：|F1M|=2|F2M|，即y1=﹣2y2，①，当直线l为x轴时，不和题意，舍去．当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+，代入椭圆方程化为：（k2=4）y2+2ky﹣5=0，可得y1+y2=，②y1•y2=，③由①②③联立解出即可得出．【解答】解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n．∵PF2⊥F1F2，|PF1|﹣|PF2|=，∴m2=n2+4c2，m﹣n=，m+n=2a，a2=5+c2，解得：a2=20，c2=15．∴椭圆G的方程为=1．（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得：=1，解得y=±1，则C（4，1）．设直线l的方程为：y=x+m，k CM=k1，k CN=k2，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：5x2+8mx+4m2﹣20=0，△=64m2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．x1+x2=﹣，x1•x2=．k1+k2=+=，分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1•x2+（m﹣5）（x1+x2）+8（1﹣m）=2×+（m﹣5）×+8（1﹣m）=0．∴k1+k2=0，∴直线CM与CN关于直线x=4对称．（ii）△BF2M与△BF2N的面积的比值为2，可得：∴|F1M|=2|F2M|，即y1=﹣2y2，①，当直线l为x轴时，不和题意，舍去．当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+，代入椭圆方程化为：（k2=4）y2+2ky ﹣5=0，∴y1+y2=，②y1•y2=，③由①②③联立解得k2=，即k=±．∴存在直线l的方程为：x±y+=0，使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2．2017年3月11日。
2017年山东文数高考真题(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
学.科.网答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；学.科.网如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =（A ）()1,1- （B ）()1,2-（C ）()0,2（D ）()1,2（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = (A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 （4）已知3cos 4x =,则cos2x =(A)14-(B)14 (C)18- (D)18（5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是 (A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ （7）函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为（A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ） 2π（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ） 5,7（9）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8（10）若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 （A ）()2xf x -=（B ）()2f x x=（C ）()-3xf x =（D ）()cos f x x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . (13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= .(15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.(17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,（Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C截直线y =1所得线段的长度为22. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、选择题(1) C (2) A (3) D (4) D (5) B (6) B (7) C (8) A (9) C (10) A 二、填空题 （11）3- （12）8 （13）π22+ （14）6 （15）22y x =± 三、解答题 （16）解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,,A A A A A A 共3个,学科&网则所求事件的概率为：()31155P A ==. (Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B 共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个. 则所求事件的概率为：29P =. （17）解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-， 又 3ABC S ∆=，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-， 又0A π<< 所以34A π=，又3b =，所以22c =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得22982322()292a =+-⨯⨯⨯-=， 所以29a =（18） 证明：（Ⅰ）取11B D 中点1O ，连接111,CO AO ，由于1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以1111//,=AO CO AO CO ， 因此四边形11A OCO 为平行四边形， 所以11//A O O C ，又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ， 所以1//AO 平面11B CD ， （Ⅱ）因为 AC BD ⊥,E,M 分别为AD 和OD 的中点， 所以EM BD ⊥,又 1A E ⊥面ABCD ，BD ABCD ⊂平面 所以1,A E BD ⊥ 因为 11//B D BD所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，又 A 1E, EM 11,A EM A E EM E ⊂⋂=平面 所以11B D ⊥平面111,A EM B D ⊂又平面11B CD ，所以 平面1A EM ⊥平面11B CD 。
济南大学2016～2017年高数上试卷
济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 高等数学（一） 考试时间 2017 年 1 月 3 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、选择题（每小题2分，共10分）(1) =-∞→xx x )sin(lim(A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞.(2) 设2cos 1)(xxx f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(A) )1ln(x -. (B)11-+x . (C) x cos . (D) 1e -x .(4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是(A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值. (C) )1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值. (5) 设⎰++=10d 1)1ln(x x x I kk （3,2,1=k ），则有 (A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤.二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→xx x 10)21(lim ．(2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ． (3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是 . (4) =+⎰∞+12d 11x x． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________. 三、计算题（每小题6分，共18分）(1) 4586lim 224+-+-→x x x x x .(2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程.(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=221t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y.四、计算题（每小题8分，共32分） (1)⎰+x xx d 232. (2)⎰x x xd ln 2. (3) ⎰-122d 4x xx .(4) 求微分方程)1(2d d -=y xy xy满足初值条件1|0-==x y 的特解. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=<<+=⎰0,,2||0,d 2cos 1)(0x a x t t t x x f x在0=x 点可导，求数a 并求)0(f '.(2) 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线)(x f y =与1=x ，0=y 所围成的图形的面积为2，求函数)(x f .六、证明题（10分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且有0)0(=f ，21d )(1=⎰x x f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈c ，使得c c f =)(；(Ⅱ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得1)()(+-='ξξξf f .。
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济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
课 程 高等数学（一） 考试时间 2017 年 1 月 3 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分）
(1) =-∞→x
x x )
sin(lim
(A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞.
(2) 设2
cos 1)(x
x
x f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是
(A) )1ln(x -. (B) 11-+x . (C) x cos . (D) 1e -x . (4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是
(A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值. (C) )1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值. (5) 设⎰
++=1
0d 1)
1ln(x x x I k
k （3,2,1=k ），则有
(A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤.
二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→x
x x 10
)21(lim ．
(2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ． (3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是 . (4) =+⎰
∞+1
2
d 11
x x
． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________. 三、计算题（每小题6分，共18分）
(1) 4
58
6lim 224+-+-→x x x x x .
(2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程.
(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧-=-=2
21t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y
.
四、计算题（每小题8分，共32分） (1)
⎰
+x x
x d 23
2. (2)
⎰x x x
d ln 2
. (3) ⎰
-1
2
2d 4x x
x .
(4) 求微分方程
)1(2d d -=y xy x
y
满足初值条件1|0-==x y 的特解. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧=<<+=⎰0,
,2||0,d 2cos 1)(0x a x t t t x x f x
在0=x 点可导，求数a 并求)0(f '.
(2) 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线)(x f y =与
1=x ，0=y 所围成的图形的面积为2，求函数)(x f .
六、证明题（10分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且有0)0(=f ，2
1
d )(1
=
⎰x x f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈c ，使得c c f =)(；
(Ⅱ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得1)()(+-='ξξξf f .。