初三数学上册春季班培优讲义.第3讲 一元二次方程的判别式与根系关系-测试题(含答案)【精品】

模块一一元二次方程的判别式

模块二一元二次方程的根与系数关系

模块一 一元二次方程的判别式

1．定义：

在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．

2．判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．

设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则

①△>0⇔方程()ax bx c a 2

++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．

②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b

x x a

12==-2．

③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．

特殊的：

（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；

（2）若△为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 模块二 一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：

如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-

，c

x x a

12=．（使用前提：△≥0） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=．

2．韦达定理的逆定理：

如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，c

x x a

12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的

两个根．

特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．

3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：

（1）当c

a <0时，方程的两根必一正一负．

①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若b

a

-<0，则此方程的正根小于负根

的绝对值．

（2）当c

a >0时，方程的两根同正或同负．

①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若b

a

-<0，则此方程的两根均为负根．

注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．

（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．

（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1

③x x 2+7+15=0 ④()m

x m x 2-+1+=0

2

（m 为常数）

（

2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；

②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；

④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．

（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--

∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．

【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）

结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．

（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21

-1+-

=04

有实根，则k 的取值范围为______．

（2）关于x 的一元二次方程()k x k x 21-2-2+1-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．

（3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？

【解析】（1）≥k 0且≠k 1；

（2）≤k -1<2且k 1≠

2

， 由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0

⎩

，解得≤k -1<2且k 1

≠2；

（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有

△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．

又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1

=-2

．

【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把

判别式和平方的非负性结合起来考查．

已知关于x 的一元二次方程()a

x ax 213

-1-+=04有两个相等的实数根，

求代数式a a a

21

-2+1+的值．

【解析】由题，一元二次方程()a x ax 21

3-1-+

=04

有两个相等的实数根， 所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．

代入a a a

2

1-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．

【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．

在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程

x mx m 21

++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．

【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，

则=△m m 21⎛

⎫-42-=0 ⎪2⎝

⎭，

∴m 1=-4，m 2=2．

若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2，

∴△ABC 的周长为2+2+3=7．

若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==-1，不合题意．

当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，

则m m 19+3+2-=02，则m 22

=-5，

原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27

=5

，

∴ABC △的周长为737

3+3+=55

．

综上所述，ABC △的周长为7或37

5

．

【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．