初三数学上册春季班培优讲义.第17讲 托勒密定理-测试题(含答案)【精品】

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（托勒密定理）四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC

AB CD ⋅=⋅+

⋅．

【解析】如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠．

∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC AD

BC BP

=

， 即AC BP AD BC ⋅=⋅ ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，

∴ACB DCP △∽△，AB AC

DP CD

=

，AC DP AB CD ⋅=⋅． ② ①+②，有AC BP AC PD AD BC AB CD ⋅+⋅=⋅+⋅．

即()AC BP PD AD BC AB CD +=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．

【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆．

（1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____．

（2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________．

（3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=︒，点D 为ABC △外接圆的BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________．

图2-1 图2-2 图2-3

【解析】（1）PA PB PC =+；（2）2CA CB CD +=；（3）3DB DC DA +=．

【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的Y 字模型，建议讲2中方法．

O

D C

B

A

A

B

C

P O

D

A

O

C D C A B D C

126345P

A B

如图，O 的直径AB 的长为10，直线EF 经过点B ，且CBF CDB

∠=∠，连接AD ．

（1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）若点C 是弧AB 的中点，6BD =，求CD 的长．

【解析】（1）∵AB 是O 的直径，

∴90ADB ∠=︒即90ADC CDB ∠+∠=︒， ∵ADC ABC ∠=∠，CBF CDB ∠=∠， ∴90ABC CBF ∠+∠=︒，即90ABF ∠=︒， ∴AB EF ⊥∴EF 是O 的切线； （2）法1：作BG CD ⊥，垂足是G ，

由题45ADC CDB ∠=∠=︒，∴32BG DG ==，

∵DAB DCB ∠=∠，∴3

tan 4

BG DCB CG ∠==，

∴42CG =，∴423272CD CG DG =+=+=．

法2：由托勒密定理，214BD AD CD +==，∴72CD =．

【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习哈，注意书写过程．

（1）（13年成外直升）如图4-1，ABC △内接于O ，AB AC =；当动点P 在O 上从点B 出发，

按逆时针方向向点C 运动时，PB PC

PA

+的值（ ）．

A ．保持不变

B ．先减小后增大

C ．先增大后减小

D ．无法判断

（2）（2013成都中考）如图4-2，A ，B ，C 为O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'.设EB'b =，EC c =，EA'p =．先探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当4n =时，p =__________；当12n =时，p =__________． （参考数据：62sin15cos754-︒=︒=，62

cos15sin 754

+︒=︒=）

图4-1 图4-2

【解析】（1）A ；（2）2p c b =+；62

2

p c b +=+

． 【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理中考和直升考试中的应用，等腰三角形的Y 字模型．

A'

F

A

B

O

B'

C E

A

D O

E

B

C

F

A

D

O

E

B

C F

G

A B

O P C

如图，过A 的圆截平行四边形ABCD 的边和对角线分别于P ，

Q ，R ，求证：AP AB

AQ AD AR AC ⋅+⋅=⋅．

【解析】连接PQ 、PR 、QR ．

在圆内接四边形APRQ 中，由托勒密定理得AP QR AQ PR AR PQ ⋅+⋅=⋅．

又∵12∠=∠，34∠=∠，∴PQR CAB △∽△，于是QR PR PQ

AB BC CA

==

． 设上面的比值为k ，并考虑到BC AD =有QR k AB =⋅，PR k AD =⋅，PQ k CA =⋅， 于是可推得AP AB AQ AD AR AC ⋅+⋅=⋅．

【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理和相似综合．

如图，圆G 过坐标原点，交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，点C 为圆上一点，且OC 平分AOB ∠交AB 于点F ．CE y ⊥轴于E 交AB 于点H ，连接EG ． （1）求证：CBF COB △△∽；

（2）请探究OE 、AE 和EG 这三条线段之间的数量关系，写出你的结

论并证明． 【解析】（1）证明：∵OC 平分AOB ∠，

∴AC BC =，45AOC COB ∠=∠=︒， ∴45CBF COB ∠=∠=︒，∵OBC BCF ∠=∠（公共角）， ∴CBF COB ∽△△；

（2）法1：连接CG ，则290AGC AOC ∠=∠=︒，∴90AGC AEC ∠=∠=︒， ∴A 、E 、C 、G 四点共圆，由托勒密定理2CE AE EG =+，又CE OE =， ∴2OE AE EG =+；

法2：在CE 上截取CQ AE =，连接GC 、GQ ，EG ．

∵AC BC =，∴CG AB ⊥，∴90GCQ GHC ∠=︒-∠，

∵CE y ⊥轴，∴90GAE AHE ∠=︒-∠，∵AHE GHC ∠=∠，∴GAE GCQ ∠=∠， ∴EAG QCG ≌△△，∴EG GQ =，AGE CGQ ∠=∠，

∴90EGQ AGE AGQ AGQ CGQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴EG GQ ⊥， ∴EGQ △是等腰直角三角形，∴2EQ EG =，又OE CE =，AE QC =， ∴2OE AE CE CQ EQ EG -=-==；∴2OE AE EG -=．

【教师备课提示】这道题主要考查要用托勒密定理，先证四点共圆．

D C Q A R P B D C Q A R

P B 1

4

23

y

x

O B

A

E H

C G F