四年级奥数教程答案
四年级奥数四年级奥数答案
第1讲找规律(一)一､知识要点观察是解决问题的根据｡通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的｡二､精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数｡1,4,7,10,( ),16,19【思路导航】在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数｡根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或16-3=13｡像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列｡练习1:先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数｡(1)2,6,10,14,( ),22,26(2)3,6,9,12,( ),18,21(3)33,28,23,( ),13,( ),3(4)55,49,43,( ),31,( ),19(5)3,6,12,( ),48,( ),192(6)2,6,18,( ),162,( )(7)128,64,32,( ),8,( ),2(8)19,3,17,3,15,3,( ),( ),11,3..【答案】(1)18(2)15(3)18,8(4)37,25(5)24,96(6)54,486(7)16,4(8)13,3【例题2】先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数｡1,2,4,7,( ),16,22 【思路导航】在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3｡由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=11｡经验证,所填的数是正确的｡应填的数为:7+4=11或16-5=11｡练习2:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数｡(1)10,11,13,16,20,( ),31(2)1,4,9,16,25,( ),49,64(3)3,2,5,2,7,2,( ),( ),11,2(4)53,44,36,29,( ),18,( ),11,9,8(5)81,64,49,36,( ),16,( ),4,1,0(6)28,1,26,1,24,1,( ),( ),20,1(7)30,2,26,2,22,2,( ),( ),14,2(8)1,6,4,8,7,10,( ),( ),13,14【答案】(1)25(2)36(3)9,2(4)23,14(5)25,9(6)22,1(7)18,2(8)10,12【例题3】先找出规律,然后在括号里填上适当的数｡23,4,20,6,17,8,( ),( ),11,12【思路导航】在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数……依此规律,8后面的一个数为:17-3=14,11前面的数为:8+2=10练习3:先找出规律,然后在括号里填上适当的数｡(1)1,6,5,10,9,14,13,( ),( )(2)13,2,15,4,17,6,( ),( )(3)3,29,4,28,6,26,9,23,( ),( ),18,14(4)21,2,19,5,17,8,( ),( )(5)32,20,29,18,26,16,( ),( ),20,12(6)2,9,6,10,18,11,54,( ),( ),13,486(7)1,5,2,8,4,11,8,14,( ),( )(8)320,1,160,3,80,9,40,27,( ),( )【答案】(1)18,17(2)19,8(3)13,19(4)15,11(5)23,14(6)12,162(7)16,17(8)20,81【例题4】在数列1,1,2,3,5,8,13,( ),34,55……中,括号里应填什么数?【思路导航】经仔细观察､分析,不难发现:从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数的和｡根据这一规律,括号里应填的数为:8+13=21或34-13=21上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也叫做“兔子数列”｡练习4:先找出规律,然后在括号里填上适当的数｡(1)2,2,4,6,10,16,( ),( )(2)34,21,13,8,5,( ),2,( )(3)0,1,3,8,21,( ),144(4)3,7,15,31,63,( ),( )(5)33,17,9,5,3,( )(6)0,1,4,15,56,( )(7)1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,78(8)0,1,2,4,7,12,20,( )【答案】(1)26,42(2)3,1(3)55(4)127,255(5)1,2(6)209(7)36,38(8)33【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数｡(8,4)(5,7)(10,2)(□,9)【思路导航】经仔细观察､分析,不难发现:每个括号里的两个数相加的和都是12｡根据这一规律,□里所填的数应为:12-9=3练习5:下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数｡(1)(6,9)(7,8)(10,5)(□,13)(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)(3)(18,17)(14,10)(10,1)(□,5)(4)(1,3)(5,9)(7,13)(9,□)(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)(7)(100,50)(86,43)(64,32)(□,21)(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)【答案】(1)2(2)6(3)21(4)17(5)14(6)13(7)42(8)4第2讲找规律(二)一､知识要点对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从以下几个方面来思考:1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,没有一成不变的方法,有时需要综合运用其他知识,一种方法不行,就要及时调整思路,换一种方法再分析;2.对于那些分布在某些图中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关,这是我们解这类题的突破口｡3.对于找到的规律,应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式｡二､精讲精练【例题1】根据下表中的排列规律,在空格里填上适当的数｡【思路导航】经仔细观察､分析表格中的数可以发现:12+6=18,8+7=15,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和｡依此规律,空格中应填的数为:4+8=12｡练习1:找规律,在空格里填上适当的数｡【答案】(1)13(2)2(3)20【例题2】根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数?【思路导航】经仔细观察､分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系:5×12÷10=64×20÷10=8根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为:8×30÷10=24.练习2:根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数｡(1)(2)(3)【答案】(1)15(2)7(3)60,20【例题3】先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数｡12345679×9=12345679×18=12345679×54=12345679×81=【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679,它是有趣的“缺8数”,与9相乘,结果是由九个1组成的九位数,即:111111111｡不难发现,这组题得数的规律是:只要看每道算式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个111111111｡因为:12345679×9=111111111所以:12345679×18=12345679×9×2=22222222212345679×54=12345679×9×6=66666666612345679×81=12345679×9×9=999999999.练习3:找规律,写得数｡(1) 1+0×9=2+1×9=3+12×9= 4+123×9=9+12345678×9=(2) 1×1=11×11=111×111=111111111×111111111=(3)19+9×9=118+98×9=1117+987×9= 11116+9876×9=111115+98765×9=【答案】(1)1,11,111,1111,111111111(2)1,121,12321,12345678987654321(3)100,1000,10000,100000,1000000【例题4】找规律计算｡(1) 81-18=(8-1)×9=7×9=63(2) 72—27=(7-2)×9=5×9=45 (3) 63-36=(□-□)×9=□×9=□【思路导航】经仔细观察､分析可以发现:一个两位数与交换它的十位､个位数字位置后的两位数相减,只要用十位与个位数字的差乘9,所得的积就是这两个数的差｡练习4:1．利用规律计算｡(1)53-35 (2)82-28 (3)92-29 (4)61-16 (5)95-592.找规律计算｡(1) 62+26=(6+2)×11=8×11=88(2) 87+78=(8+7)×11=15×11=165(3) 54+45=(□+□)×11=□×11=□【答案】1.(1)18(2)54(3)63(4)45(5)362.54+45=(5+4)×11=9×11=99【例题5】计算(1)26×11(2)38×11【思路导航】一个两位数与11相乘,只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间,就是所求的积｡(1) 26×11=2(2+6)6=286(2) 38×11=3(3+8)8=418注意:如果两个数字的和满十,要向前一位进一｡练习5:计算下面各题｡(1)27×11(2)32×11(3) 39×11(4)46×11 (5)92×11(6)98×11【答案】(1)297(2)352(3)429(4)506(5)1012(6)1078第3讲简单推理一､知识要点解答推理问题,要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口｡推理要有条理地进行,要充分利用已经得出的结论,作为进一步推理的依据｡二､精讲精练【例题1】一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量,4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量,一袋饼干等于几袋牛肉干的重量?【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出:两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量｡因此,一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量｡练习1:(1)一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量,两只梨子的重量等于一只菠萝的重量,一只梨子的重量等于几根香蕉的重量?(2)3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量,12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量,一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量?(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量｡一只小猪的重量等于几只鸭的重量?【答案】(1)2(2)6(3)8【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于3匹小马的重量,一匹小马的重量等于3头小猪的重量｡一头象的重量等于几头小猪的重量?【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出:“一头象的重量等于12匹小马的重量”,而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”,因此,一头象的重量等于36头小猪的重量｡练习2:(1)一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量,1个菠萝的重量等于4个苹果的重量,1个苹果的重量等于两个橘子的重量｡1只西瓜的重量等于几个橘子的重量?(2)一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等,也和6只羊一天吃草的重量相等｡已知一头牛每天吃青草18千克,一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克?(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量,两只鸭的重量等于6条鱼的重量｡问:两只小猪的重量等于几条鱼的重量?【答案】(1)16(2)5(3)48【例题3】根据下面两个算式,求○与□各代表多少?○+○+○=18 ○+□=10【思路导航】在第一个算式中,3个○相加的和是18,所以○代表的数是:18÷3=6,又由第二个算式可求出□代表的数是:10-6=4.练习3:(1)根据下面两个算式,求□与△各代表多少?□+□+□+□=32 △-□=20（2）根据下面两个算式,求○与□各代表多少?○+○+○=15 ○+○+□+□+□=40（3）根据下面两个算式,求○与△各代表多少?○-△=8 △+△+△=○【答案】(1)8,28(2)5,10(3)12,4【例题4】根据下面两个算式,求○与△各代表多少?△-○=2 ○+○+△+△+△=56【思路导航】由第一个算式可知,△比○多2;如果将第二个算式的○都换成△,那么5个△=56+2×2,△=12,再由第一个算式可知,○=12-2=10.练习4:(1)根据下面两个算式求□与○各代表多少?□-○=8 □+□+○+○=20(2)根据下面两个算式,求△与○各代表多少?△+△+△+○+○=78 △+△+○+○+○=72(3)根据下面两个算式,求△与□各代表多少?△+△+△-□-□=12 □+□+□-△-△=2【答案】(1)9,1(2)18,12(3)8,6【例题5】甲､乙､丙三人分别是一小､二小和三小的学生,在区运动会上他们分别获得跳高､跳远和垒球冠军｡已知:二小的是跳远冠军;一小的不是垒球冠军,甲不是跳高冠军;乙既不是二小的也不是跳高冠军｡问:他们三个人分别是哪个学校的?获得哪项冠军?【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球､跳高冠军是一小或三小的;因为“一小的不是垒球冠军”,所以一小一定是跳高冠军,三小的是垒球冠军;由“甲不是跳远冠军”,“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知,一小的甲是跳高冠军,二小的丙是跳远冠军,三小的乙是垒球冠军｡练习5:(1)有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会｡一个穿花的,一个穿白的,一个穿红的｡但不知哪一个姓王､哪一个姓李､哪一个姓刘｡只知道姓刘的不喜欢穿红的,姓王的既不是穿红裙子,也不是穿花裙子｡你能猜出这三个女孩各姓什么吗?(2)小兔､小猫､小狗､小猴和小鹿参加100米比赛,比赛结束后小猴说:“我比小猫跑得快｡”小狗说:“小鹿在我前面冲过终点线｡”小兔说:“我们的名次排在小猴前面,小狗在后面｡”请根据它们的回答排出名次｡(3)五个女孩并排坐着,甲坐在离乙､丙距离相等的座位上,丁坐在离甲､丙距离相等的座位上,戌坐在她两个姐姐之间｡请问谁是戌的姐姐?【答案】(1)穿白裙子的女孩姓王,穿花裙子的女孩姓刘,穿红裙子的女孩姓李(2)小鹿第一,小狗第二,小兔第三,小猴第四,小猫第五(3)乙和甲第4讲应用题(一)一､知识要点解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较､转化､重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决｡二､精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多｡每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件｡因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多｡这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多｡由此,可求出一个塑料箱装多少件｡练习1:(1)百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里｡如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多,每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?(2)新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元｡已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元?(3)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆,共付款156元｡已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱｡每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?【答案】(1)每个纸箱装球鞋30双,每个木箱装球鞋60双(2)每张桌子的价钱是60元(3)每千克荔枝12元,每千克桂圆30元｡【例题2】一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克｡问:油和桶各重多少千克?【思路导航】原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)｡练习2:(1)一筐梨,连筐重38千克,吃去一半后,连筐还有20千克｡问:梨和筐各重多少千克?(2)一筐苹果,连筐共重35千克,先拿一半送给幼儿园小朋友,再拿剩下的一半送给一年级小朋友,余下的苹果连筐重11千克｡这筐苹果重多少千克?(3)一只油桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油重38千克;如果把油加到原来的4倍,这里油和桶共重46千克｡原来油桶里有油多少千克?【答案】(1)一筐梨的质量36千克,筐的质量2千克｡(2)这筐苹果重32千克｡(3)原来油桶里有油4千克｡【例题3】有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等｡原来每盒茶叶有多少克?【思路导航】由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量｡练习3:(1)有6筐梨子,每筐梨子个数相等,如果从每筐中拿出40个,6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等｡原来每筐有多少个?(2)在5个木箱中放着同样多的橘子｡如果从每个木箱中拿出60个橘子,那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和｡原来每个木箱中有多少个橘子?(3)某食品店有5箱饼干,如果从每个箱子里取出20千克,那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量｡原来每个箱子里装多少千克饼干?【答案】(1)原来每筐有60个｡(2)原来每个木箱中有100个橘子｡(3)原来每个箱子里装50千克饼干｡【例题4】一个木器厂要生产一批课桌｡原计划每天生产60张,实际每天比原计划多生产4张,结果提前一天完成任务｡原计划要生产多少张课桌?【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间｡因为实际比原计划提前1天完成任务,这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完｡实际比原计划每天多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天,原计划生产的天数是15+1=16天｡所以原计划要生产60×16=960张｡练习4:(1)电视机厂接到一批生产任务,计划每天生产90台,可以按期完成｡实际每天多生产5台,结果提前1天完成任务｡这批电视机共有多少台?(2)小明看一本故事书,计划每天看12页,实际每天多看8页,结果提前2天看完｡这本故事书有多少页?(3)修一条公路,计划每天修60米,实际每天比计划多修15米,结果提前4天修完｡一共修了多少米?【答案】(1)这批电视机1710台｡(2)这本故事书有60页｡(3)一共修了1200米｡【例题5】有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒拿出多少只放入乙盒,才能使两盒中的图钉相等?【思路导航】由条件可知,甲盒比乙盒多72-48=24只｡要盒两盒中的图钉相等,只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份,取其中的1份放入乙盒就行了｡所以应拿出24÷2=12只｡练习5:(1)有两袋面粉,第一袋面粉有24千克,第二袋面粉有18千克｡从第一袋中取出几千克放入第二袋,才能使两袋中的面粉重量相等?(2)有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只｡每次从甲盒中拿4只放到乙盒,拿几次才能使两盒相等?(3)有两袋糖,一袋是68粒,另一袋是20粒｡每次从多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里,拿几次才能使两袋糖同样多?【答案】(1)从第一袋中取出3千克放入第二袋中｡(2)3次｡(3)4次｡第5讲算式谜(一)一､知识要点“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式｡解决这类问题,可以根据已学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运用符号｡由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏,所以,我们把这类题目称为“算式谜题”｡解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法､凑整法､估值法等｡二､精讲精练【例题1】在下面算式的括号里填上合适的数｡【思路导航】根据题目特点,先看个位:7+5=12,在和的个位( )中填2,并向十位进一;再看十位,( )+4+1的和个位是1,因此,第一个加数的( )中只能填6,并向百位进1;最后来看百位､千位,6+( )+1的和的个位是2,第二个加数的( )中只能填5,并向千位进1;因此,和的千位( )中应填8｡练习1:(1)在括号里填上合适的数｡ (2)在方框里填上合适的数｡(3)下面的竖式里,有4个数字被遮住了,求竖式中被盖住的4个数字的和｡【答案】(1)676+2415=3091(2)6073-3217=2856(3)25【例题2】下面各式中“巨”､“龙”､“腾”､“飞”分别代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字｡当它们各代表什么数字时,下列的算式成立｡【思路导航】先看个位,3个“飞”相加的和的个位数字是1,可推知“飞”代表7;再看十位,3个“腾”相加,再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6;再看百位,两个“龙”相加,加上十位进上来的2,所得和的个位是0,“龙”可能是4或9,考虑到千位上的“巨”不可能为0,所以“龙”只能代表4,“巨”只能代表1｡练习2:【答案】(1)A=1B=7C=6D=3(2)巧=1填=4式=6谜=5(3)庆=1澳=4门=7归=6【例题3】下面各式中的“兵”､“炮”､“马”､“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个,相同的汉字代表相同的数字｡这些汉字各代表哪些数字?【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析｡“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”,这个数字只能是0｡确定“卒”是0后,所有是“卒”的地方,都是0｡注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”,容易知道“兵”是5,“车”是1;再由十位上的情况可推知“马”是4,进而推得“炮”是2｡练习3:【答案】(1)A=4 B=5 C=1(2)A=1 B=0 C=9 D=8(3)兵=2马=9炮=1【例题4】将0､1､2､3､4､5､6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成一个整数算式｡○×○=□=○÷○【思路导航】要求用七个数字组成五个数,这五个数有三个是一位数,有两个是两位数｡显然,方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数｡0和1不能填入乘法算式,也不能做除数｡由于2×6=12(2将出现两次),2×5=10(经试验不合题意),2×4=8(7个数字中没有8),2×3=6(6不能成为商)｡因此,0､1､2只能用来组成两位数｡经试验可得:3×4=12=6=÷5.练习4:(1)将0､1､3､5､6､8､9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式｡○×○=□=○÷○(2)填入1､2､3､4､7､9,使等式成立｡□÷□=□÷□(3)用1､2､3､7､8这五个数字可以列成一个算式:(1+3)×7=28｡请你用0､1､2､3､4､6这六个数字列成一个算式｡【答案】(1)3×6=18=90÷5(2)21÷3=49÷7 (3)6÷3×4+2=10【例题5】把“+､-､×､÷”分别放在适当的圆圈中(运算符号只能用一次),并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立｡36○0○15=15 21○3○5=□【思路导航】先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行｡显然,36×0+15=15因为第一个等式已填“×”､“+”,在第二个等式中只有“-”､“÷”可以填,题目要求在方框中填整数,已知3不能被5整除,所以“÷”只能填在21与3之间,而3与5之间填“-”｡练习5:(1)把“+､-､×､÷”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数,使下面每组的两个等式成立｡① 9○13○7=100 14○2○5=□② 17○6○2=100 5○14○7=□(2)将1~9这九个数字填入□中(每个数字只能用一次),组成三个等式｡□+□=□ □-□=□ □×□=□【答案】(1)+,×(2)÷,-,2 (3)×,-(4)+,÷,7(2)1+7=8,9-4=5,2×3=6第6讲算式谜(二)一､知识要点解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断;2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的;4.算式谜解出后,要验算一遍｡二､精讲精练【例题1】在下面的方框中填上合适的数字｡【思路导航】由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8｡题中别的数字就容易填了｡练习1:在□里填上适当的数｡【答案】(1)66×35 (2)1234×56 (3)285×35【例题2】在下面方框中填上适合的数字｡【思路导航】由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1｡由第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7､8､9｡如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽｡完整的竖式是:练习2:在□内填入适当的数字,使下列除法竖式成立｡【答案】(1)8931÷687(2)97140÷12【例题3】下面算式中的a､b､c､d这四个字母各代表什么数字?【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0(1已经用过);再由b=0,可推知c=8｡练习3:求下列各题中每个汉字所代表的数字｡花= 红= 柳= 绿= 华= 罗= 庚= 金= 杯=盼= 望= 祖= 国= 早= 日= 统= 一=【答案】(1)花=1红=0柳=8绿=9(2)华=4罗=2庚=8金=5杯=7(3)盼=1望=2祖=3国=4早=5日=6统=7一=9【例题4】在1､2､3､4､5､6､7､8､9这九个数字中间加上“+､-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)｡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100【思路导航】先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数｡比如:123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行｡因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法:123+45-67+8-9=100再比如:89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法:123+45-67+8-9=100.练习4::(1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于99(数字的顺序不能改变)｡ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99(2)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)｡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100(3)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立｡ 1 2 3 4 5 = 100【答案】(1)9+8+7+65+4+3+2+1=99或9+8+7+6+5+43+21=99(2)1+2+3+4+5+6+7+8×9=100(3)1×(2+3)×4×5=100【例题5】在下面的式子里添上括号,使等式成立｡7×9+12÷3-2 = 23【思路导航】采用逆推法,从最后一步运算开始考虑｡假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为25×3=75,而前面7×9+12又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号｡(7×9+12)÷3-2 = 23练习5:1.在下面的式子里添上括号,使等式成立｡(1)7×9+12÷3-2 = 75(2)7×9+12÷3-2 = 47(3)88+33-11÷11×2 = 52.在1､2､3､4､5､6､7､8､9这九个数字中间加上“+､-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)｡【答案】1.(1)(7×9+12)÷(3-2) = 75(2)7×(9+12)÷3-2 = 47(3)(88+33-11)÷(11×2) = 52.123-4-5-6-7+8-9=100第7讲最优化问题一､知识要点在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳｡这类问题在数学中称为统筹问题｡我们还会遇到“费用最省”､“面积最大”､“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题｡以上的问题实际上都是“最优化问题”｡二､精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼,每次只能放两个,剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)｡问煎3个饼至少需要多少分钟?【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎,一分钟后两个饼都熟了一面,这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个｡又煎了一分钟,将两面都熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好｡所以,煎3个饼至少需要3分钟｡练习1:1.烤面包时,第一面需要2分钟,第二面只要烤1分钟,即烤一片面包需要3分钟｡小丽用来烤面包的架子,一次只能放两片面包,她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟?2.用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个｡烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟?3.小华用平底锅烙饼,这只锅同时能放4个大饼,烙一个要用4分钟(每面各需要2分钟)｡可小华烙6个大饼只用了6分钟,他是怎样烙的?【答案】1.至少要烤5分钟｡2.最少要用9分钟｡3.先放入四张饼,2分钟后取出两张饼,再放入剩下的两张饼,并把锅里两张饼翻过去;2分钟后,取出两张熟饼,放入两张已烙熟一面的饼,并把锅里原有的两张饼翻过去;这样,2分钟就全熟了｡【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶｡洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟｡要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?【思路导航】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间｡水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行｡而洗茶壶､洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行｡根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶､洗茶杯､拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟｡练习2:。
高斯小学奥数四年级上册含答案第22讲_数表规律计算
第二十二讲数表规律计算三年级的时候我们学习过找位置，其实就是简单的数表规律问题, 复杂的数表规律问题.数表，其实也就是把数列中的数按某种规律排列成了表格的形式. 表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行、第三行、…… 第一列、第二列、第三列、……请大家仔细观察下面几个表中的数是按照什么规律排列的.1 23 4 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 241 23 4 5612 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19今天我们来学习更为 一般地，在长方形数 从左到右竖行依次为O广我找 巻爸可一下寂叔！密码到底 咼什么IP"笊游最点令妞的那n 旬话去、 有文章！ ’东有十三IT 最东边第门个 致，“甫有百望山”杲雨边第wo 丫数. ■#•+»"是西边第1Q 个輕「北有 4达峻”超北边第呂个數，/f 戋包亠时出石r、臭箱札惊先*»吓 宝箱护-墙.囲jj几年前，翼 英和善爸、小高 到香山寻宝.走 «走着，fem 竄一个宝霜……kg 部不盘 道啊？密码野* 二我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期•实际上，数表中的数也构成一个数列•但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行第几列.我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1. 找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3. 找到这个数所在的行或列.如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，可以通过三个步骤来考虑：1. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2. 找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3. 求出这个数具体是多少.律排列，请问：140这个数在第几行第几列？第11 行第6列是多少？「分析」首先要观察找到数表中的数列是什么.7个数一行，即一周期，求140在第几行第几列，即求140是第几个周期的第几个数•思考一下，能直接用140 7来计算吗？练习1如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，问：100这个数在第几行第几列？第21行第3列是多少?如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的， 请问：300这个数在第几行第几列？第 3行第20列 是多少？ 「分析」数表中的数列是3，6，9, 12,…， 要求300在第几行第几列，要先求出300是 第几个数，再求出它是第几个周期的第几个数.如表所示，表格中的数是按照一定规律排列的，请问:350这个数在第几行第几列？第 71行第2列是多少？例题3如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1) 81在第几行、第几列？(2 )第51行第2列是多少？「分析」9个数一周期，每周期占了两行，那么第 51行第这个格子中的数是在第几个周期中呢？它又是这个周期中的第 几个数呢？如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问: (1) 100在第几行、第几列？ (2 )第40行第4列是多少？例题4如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列，请问：96这个数在第几行第几列？第20行第3列是多少？「分析」两行10个数一周期，96是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢？练习4如表所示，把从1开始连续的自然数按照一定规律排列，请问：157这个数在第几行第几列？第3行第22列是多少?如图，表格中的数是按一定规第1列第2列第3列第4列第5列第6列律排列的，第1行2468请问: 第2行16141210（1）102在第几行、第几列？第3行1820222432302826（2）第20行第3列的数是多少？第4行34「分析」两行8个数一周期，第5行102是第几个数？在第几个周期中呢？第20行第3列是在第几个周期中呢?「分析」几个数一周期呢？是数列中的第几个数？在哪一个周期中呢？第2行第40列是第几个周期中的第几个数呢?随机数表法随机数表，也称乱数表，是由随机生成的从0到9十个数字所组成的数表，每个数字在表中出现的次数是大致相同的，它们出现在表上的顺序是随机的.随机数表在实际生活中具有重大的意义. 随机数表法就是利用随机数表抽取样本的方法.比如，对银行来说，银行的ID和密码非常脆弱，如果有随机数表，就可以防备此类事件•随机数表为每个客户指定各不相同的数字列表，申请时将该随机数表分配给客户，而不是按照一定的规律给出，这就安全很多.举个例子说明：某企业要调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民家庭中抽选10户居民，用随机数表法抽取样本.第一步：将95户居民家庭编号，即01~95 ;第二步：在附录中的随机数表里，随机确定抽样的起点和抽样的顺序•假定从第一行、第五列开始抽，抽样顺序从左往右；第三部：依次抽出号码分别是86、36、96、47、36、61、46、99、69、81 .其中96和99不在编号范围内，所以排除掉，补充后面的两个数62、74 .由此生成的10个样本单位号码为：86、36、47、36、61、46、69、81、62、74.编码为这些号码的居民家庭就是抽样调查的对象.采用随机数表法抽取样本，完全排除主观挑选样本的可能性，使得抽样调查有较强的科学性.作业1. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：(1)66在第几行，第几列？(2)第33行第4列的数是多少？2. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问:（1）91在第几行，第几列？3. 如左下表所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问:（1）第4行第100列的数是多少？4. 如表所示，将从2开始连续的偶数按某种规律填入方格表中，请问:（1）196在第几行，第几列？5. 如左下表所示，数阵中的数是按一定规律排列的，请问:（1）97在第几行第几列？（2）第18行第4列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列345第1行12678910第2行131415第3行11121617181920第4仃L第5行21L第二十二讲数表规律计算1. 例题1答案：第10 行第7列；152详解：（1）一行7个数一周期，140是整个数列中的第70个数，70 7 10 ，即是第10个周期的最后一个数，在第10 行第7 列；（2）一行7 个数一周期，第11 行第 6 列是第11 个周期的第 6 个数，即整个数列中的第10 7 6 76 个数，即为76 2 152 ．2. 例题2答案：第 4 行第25 列；237详解：（1）一列 4 个数一周期，300 是整个数列中的第100 个数，100 4 25 ，即是第25 个周期的最后一个数，在第 4 行第25 列；（2）一列 4 个数一周期，第 3 行第20 列是第20 个周期的第 3 个数，即整个数列中的第19 4 3 79 个数，即为79 3 237 ．3. 例题3答案：第18 行第6列；227详解：（1）两行9个数一周期，81是整个数列中的第81个数，81 9 9 ，即是第9 个周期的最后一个数，在第18 行第6列；（2）两行9 个数一周期，第51 行第 2 列是第26 个周期的第 2 个数，即整个数列中的第25 9 2 227 个数，即为227．4. 例题4答案：第10 行第3列；196详解：（1）两行10 个数一周期，96 是整个数列中的第48 个数，48 10 4L L 8 ，即是第 5 个周期的第8 个数，在第10行第 3 列；（2）两行10 个数一周期，第20 行第 3 列是第10 个周期的第8 个数，即整个数列中的第10 10 2 98 个数，即为98 2 196．5. 例题5答案：第13 行第5列；156详解：（1）两行8个数一周期，102是整个数列中的第51个数，51 8 6L L 3，即是第7个周期的第 3 个数，在第13 行第 5 列；（2）两行8个数一周期，第20行第3列是第10个周期的第3个数，即整个数列中的第9 8 6 78 个数，即为78 2 156 ．6. 例题6答案：第 1 行第34 列；238详解：（1）三列 9 个数一周期， 200 是整个数列中的第 100 个数， 100 期的第 1 个数，在第 1 行第 34 列；（ 2）三列 9 个数一周期，第 2 行第 40 列是第 14 个周期的第 13 9 2 119个数，即为 119 2 238 ．7. 练习 1答案：第 10 行第 5列； 206 简答：（1）一行 5个数一周期， 100是整个数列中的第 50个数， 50 5 一个数，在第 10 行第 5列；（ 2）一行 5 个数一周期，第 21 行第 3 列是第 21 个周期的第 20 5 3 103个数，即为 103 2 206 ．8. 练习 2答案：第 14 行第 5列； 1760 简答：（1）一行 5个数一周期， 350是整个数列中的第 70个数， 70 5 一个数，在第 14 行第 5列；（ 2）一行 5 个数一周期，第 71 行第 2 列是第 71 个周期的第 70 5 2 352 个数，即为 352 5 1760 ．9. 练习 3答案：第 34 行第 2列； 119 简答：（1）两行 6个数一周期， 100是整个数列中的第 100个数， 100 期的第 4个数，在第 34行第 2列；（ 2）两行 6 个数一周期，第 40 行第 4 列是第 20 个周期的第 20 6 1 119 个数，即为 119．10. 练习 4答案：第 4 行第 40 列；86 简答：（1）两列 8 个数一周期， 157 是整个数列中的第 157 个数， 157 期的第 5 个数，在第 4 行第 40 列；（ 2）两列 8 个数一周期，第 3 行第 22 列是第 11 个周期的第 11 8 2 86 个数，即为 86．11. 作业 1答案：第 14 行第 1列； 164 简答：1）一行 5个数一周期， 66是整个数列中的第 66个数， 66 5 13LL 1，即是第 14个周期的 第 1 个数，在第 14 行第 1 列；9 11L L 1 ，即是第 12 个周 2 个数，即整个数列中的第10 ，即是第 10 个周期的最后3 个数，即整个数列中的第 14 ，即是第 14 个周期的最后2 个数，即整个数列中的第 6 16L L 4 ，即是第 17 个周 5 个数，即整个数列中的第8 19L L 5 ，即是第 20 个周6 个数，即整个数列中的第（2）一行 5 个数一周期，第33 行第 4 列是第33 个周期的第 4 个数，即整个数列中的第32 5 4 164 个数，即为164．12. 作业2答案：第 3 行第23 列；175简答：（1）一列 4 个数一周期，91 是整个数列中的第91 个数，91 4 22L L 3 ，即是第23 个周期的第 3 个数，在第 3 行第23 列；（2）一列 4 个数一周期，第 3 行第44 列是第44 个周期的第 3 个数，即整个数列中的第43 4 3 175 个数，即为175．13. 作业3答案：497；第5行第15 列简答：（1）两列10 个数一周期，第 4 行第100 列是第50 个周期的第7 个数，即整个数列中的第49 10 7 497 个数，即为497；（2）两列10 个数一周期，75 是整个数列中的第75 个数，75 10 7L L 5 ，即是第8 个周期的第 5 个数，在第 5 行第15 列．14. 作业4答案：第 3 行第20 列；594简答：（1）两列10个数一周期，196是整个数列中的第98个数，98 10 9L L 8，即是第10个周期的第8 个数，在第 3 行第20 列；（2）两列10 个数一周期，第 4 行第60 列是第30 个周期的第7 个数，即整个数列中的第29 107 297 个数，即为297 2 594．15. 作业5答案：第20 行第2列；89简答：（1）两行10个数一周期，97是整个数列中的第97个数，97 10 9LL 7，即是第10个周期的第7 个数，在第20行第2列；（2）两行10 个数一周期，第18 行第 4 列是第9 个周期的第9 个数，即整个数列中的第8 10 9 89 个数，即为89．。
（完整版）四年级奥数详解答案第7讲定义新运算
（完整版）四年级奥数详解答案第7讲定义新运算四年级奥数详解答案第7讲第七讲定义新运算一、知识概要1. 定义新运算定义新运算是指用某些特殊的符号(如△⊙※○—等)来表示一种特定的运算过程或运算顺序，从而解答某些特殊算式的一种运算。
因为它有别于我们日常学习的运算法则当然也有联系性，故称之为定义新运算。
2. 基本要求解答定义新运算问题，一定要严格按照新定义的运算法则进行计算，推理或证明，不得随便改变运算顺序。
二、典型题目精讲1. a、b是自然数，定义a?b = (a+b)÷2,(1)计算23?9 (2)计算17?(8?10)分析：本是所定义的a与b的运算规划是求a与b的和的一半。
在(1)题中，a是23，b 是9，把它们分别代入(a+b)÷2的式子中，就可求出27?9的值。
(2)题同这样的运算规划先求出8?10的值，然后用同样的运算规则再把17与算出来的值进行运算。
解：(1) 23?9= (23+9)÷2 =16(2) 17?(8?10) = 17?【(8+10)÷2】= 17?9= (17+9)÷2= 132. 定义运算?为：a?b = 5×a×b－(a+b), 求11?12.分析：定义新运算和我们日常的运算法制和顺序，即有区别又有联系。
比如说：先乘除后加、减；有括号的一定要先算括号中的运算等运算法制，在定义新运算中仍然适用。
按理说，这道题有四步计算过程：①(11+12)=23 ②5×11=55 ③55×12=660④660-23=637 这里②、③步是同时运算，所以②、③和①步可同时运算。
解：11?12 = 5×11×12-(11+12)= 660-23= 6373. 已知1○—３＝１×２×３，６○—５＝６×７×８×９×１０，计算4○—５-5○—4。
(完整版)四年级奥数第四讲_等差数列含答案[1]
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第四讲等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数二、典例剖析：例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案: 第48项是286，508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998)999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案: 1000例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶
第十二讲乘法原理进阶在之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲，即分类相加与分步相乘的思想．如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数——这就是乘法原理．要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面两个要求：1.2.那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法呢？A B C其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：当染色顺序为A→B→C时，那么A有3种染法，B不能和A一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（C→B→A同理）当染色顺序为B→A→C时，那么B有3种染法，A不能和B一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（B→C→A同理）当染色顺序为A→C→B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法——如果C和A同色，则B有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法——此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“33?⨯⨯”就不再适用了．（C→A→B同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘法原理，还必须满足第三个要求：3.——简称“前不影响后．．．．．原则”染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对A、B、C 三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”．例题1如图，把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？「分析」分五步染色，先染哪一块呢？能否按照A 、B 、C 、D 、E 的顺序染呢？ 练习1如图，把A 、B 、C 、D 这四部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？例题2某市实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其它．现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一．（1）要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？ （2）要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？「分析」如果我们先染废纸垃圾桶：当它染红色时，回收易拉罐的垃圾桶可以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色（蓝色）时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色（绿色）．因此先染废纸垃圾桶时，会影响易拉罐垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了．那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配．一天它和3位同学来餐厅吃东西，一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有．这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉，鱼丸油面，猪肉米线和牛肉拉面各一份，请问它们四只猪各点一份，有几种点法？在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的——易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，即不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶，则不会出现该问题，所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步．．分析计算的时候，首先要考虑这些特殊的对象．例题3卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委．有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任．（1）有多少种可能的选举结果？（2）如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？（3）如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？（4）如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？「分析」可以按照职位一一确定，第（2）问中，班长只能由卡莉娅来担任，那么先确定哪一个职位的人选呢？其他小问呢？练习3甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委．有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：请问：（1）一共有多少种可能的选举结果？（2）如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？（3）如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？例题4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲不住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？「分析」本题中甲和丙有特殊要求，我们应该先考虑甲还是丙呢？练习4甲、乙、丙、丁四个人要住进A 、B 、C 、D 四间房间，每个房间住一个人．其中甲只住A 或B 房间，丙只住A 、B 或C 房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？例题5甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A 、B 、C 、D 、E 这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情况下，分别共有多少种不同的安排方案： （1）只有甲能开汽车A ，乙不会开汽车B ；（2）会开A 的只有甲和乙，会开E 的只有甲、乙、丙．「分析」第（1）问中，甲和丙两人有特殊要求，我们应该先考虑哪一个人呢？第（2）问中，A 和E 两车有特殊要求，我们应该先考虑哪辆车呢?接下来我们分析一下“放相同棋子”的问题．如右图，将2枚相同的棋子放入2×2的方格内，每个格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共会有几种方法呢？其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个格子即可，然后每个格子里放一枚棋子．一共有两行，所以必定会是每行一枚，所以我们完全可以分行选格子，第一行有两种选法，第一行选好后，第二行就只有一种选法了，所以一共有2×1=2种．例题6右图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我们可以把放五枚棋子的过程分成五步：一行一行或一列一列的放．课堂内外四色定理四色定理与费马大定理、哥德巴赫猜想并称为近代数学三大难题．四色定理的内容是：对于任何一张地图，只用四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同的颜色．四色问题的提出来自英国．1852年，在大学读书的格斯里向他的老师——著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径．“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度．就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它．说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功．下一节课他又去试，还是没有成功．过了几个星期，仍无进展．有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋．他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题．”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一．l00多年中，“四色问题”使数学家们深为困扰．没有人能证明它，也没有人推翻它．电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程．就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界．作业1. 五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置．这五个人有多少种坐法？2. 如图，把A 、B 、C 这三部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问，这幅图共有多少种不同的染色方法？3. 把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．这幅图共有多少种不同的染色方法？4. 甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法？5. 在的方格中放入两枚相同的棋子，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少种放法？24 ABCD E第十二讲乘法原理进阶1.例题1答案：96详解：分步，分别给E、B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2、2种染法，所以一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种染色方法．2.例题2答案：48；32方法；（2）分步，先染易拉罐垃圾桶，再分别给废纸、塑料、电池、其他这四个垃圾桶染色，五个垃圾桶分别有2、2、2、2、2种染法，所以一共有2222232⨯⨯⨯⨯=种染色方法．3.例题3答案：24；6；12；18种；（2）分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有1、3、2种选法，所以共有1326⨯⨯=种；（3）分别确定生活委员、学委、班长的人选，分别有2、3、2种选法，所以共有23212⨯⨯=种；（4）分别确定学委、班长、生活委员的人选，分别有3、3、2种选法，所以共有33218⨯⨯=种．4.例题4答案：4种选法．5.例题5答案：18；24详解：（1）先考虑甲，后考虑乙，再考虑其他三个人，分别有1、3、3、2、1种可能，共有⨯⨯⨯⨯=种；1332118（2）先考虑A，后考虑E，再考虑其他三辆车，分别有2、2、3、2、1种可能，所以共有⨯⨯⨯⨯=种．22321246.例题6答案：16详解：一共要选5个格子放棋子，一行一行选，每行1个，而且不能在同一列，从上往下，5行分别有2、2、2、2、1种选法，所以一共有2222116⨯⨯⨯⨯=种选法．7.练习1答案：48详解：分步，分别给B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2种染法，所以一共有⨯⨯⨯=种染色方法．4322488.练习2答案：6详解：先让麦兜点，只有鱼丸油面1种可选，然后让其他3位同学依次点，分别有3、2、1种选法，共分四步，乘法原理，所以共有13216⨯⨯⨯=中不同的选法．9.练习3答案：120；72；72⨯⨯⨯=5432120（2）先确定副班长，再依次确定其他，共有343272⨯⨯⨯=种；（3）先确定卫生委员，再依次确定其他，共有343272⨯⨯⨯=种．10.练习4答案：8种选法．11.作业1答案：96．简答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的顺序安排座位，有4432196⨯⨯⨯⨯=种．安排座位的顺序不唯一．12.作业2答案：24简答：可以按照A、B、C的顺序染色，43224⨯⨯=种．染色顺序不唯一．13.作业3答案：96简答：可以按照A、B、C、D、E的顺序染色，有4322296⨯⨯⨯⨯=种．染色顺序不唯一．14.作业4答案：8简答：按照乙、甲、丙、丁的顺序安排，有22218⨯⨯⨯=种排法．15.作业5答案：12简答：一行一行选位置，第一行有4个格子可选，即4种选法；第二行还有3个格子可选，即有3种选法．因此有4312⨯=种不同的放法．。
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高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形
第二十一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形）底底底底如图，已知平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图，E 是平行四边形ABCD 中的任意一点，已知△AED 与△EBC 的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB 、三角形P AB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是AB ；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．ADAD底AB如图，平行四边形ABCD 的底边AD 长20厘米，高CH 为9厘米；E 是底边BC 上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？ 练习2如图，平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE 和CDEF 都是长方形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？ 练习3如图，ABCD 和CDEF 都是平行四边形，四边形ABFE 面积为60平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进 而寻找同底等高．．．．、面积相等．．．．的三角形． BEFDEABD例题4如图，梯形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，已知DE 和AB 平行，那么与△ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线．．．．．去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化． 例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！ABCDEADBO如右图，梯形ABCD 中，对角线相交于O 点，由于AD 与BC 平行，那么就有△ABC 与△DBC 同底等高、面积相等，△ABD 与△ACD 同底等高、面积相等．那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC 与△BCD 都包含有△OBC ，而△ABC 与△BCD 面积相等，那么就有△ABO 与△CDO 面积相等．我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO 与△CDO 恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”．“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单． 例题6如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB =8，AD =15，四边形EFGO 的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly theorem ），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一． 这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开．这个定理最基本的叙述为：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD ，设AD 和BC 分别相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点．从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得．实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可．ABCDOA BC DOEGF这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”．混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论．混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国．作业1. 如图所示，梯形ABCE 是由正方形ABCD 和等腰直角三角形CDE 构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE 的面积是多少平方厘米？2. 如图，长方形ABCD 的面积为6，平行四边形BECF的面积为多少？ABCEDD3. 如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？4. 如图，长方形的长为16，宽为5．阴影三角形的面积和为多少？5. 如图，直角梯形ABCD 中，，，BD 和CD 垂直．那么三角形ABC 的面积是多少？40BD = 30CD =ABC第二十一讲等积变形1.例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米．2.例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米．3.例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米．4.例题4答案：△ABD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△ADC的面积等于△ABD；根据AB平行于DE，可以知道△ABD的面积等于△ABE．所以与△ADC 面积相等的三角形有△ABD和△ABE．5.例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．6. 例题6 答案：10详解：梯形ADCF 中，阴影CDG 与AFG 面积相等，所以阴影总面积可以转换为△ABD 与四边形OEFG ，其中△ABD 面积为长方形一半60，所以四边形OEFG 面积为706010-=． 7. 练习1答案：40平方厘米详解：平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：+=+上下左右． 8.练习2答案：50平方厘米详解：单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形．这个三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是50平方厘米． 9.练习3答案：30平方厘米简答：双层犬牙模型，可以把ABCD 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABCD 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形ABFE 面积的一半，即30平方厘米． 10. 练习4答案：共8个三角形；△ABC 与△DBC 、△ABD 与△ACD 、△ABO 与△CDO简答：这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据AD 平行于BC ，可以知道△ABC 的面积等于△BCD 的面积；△ABD 的面积等于△ACD 的面积．△ABD 和△ACD 有一个共同的△AOD ，所以△ABO 和△OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等． 11. 作业1答案：25平方厘米简答：根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方厘米和50平方厘米．方法一：△BCE 的面积是正方形面积的一半，所以△BCE 的面积是25平方厘米；方法二：连接BD ，△BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则△BCE 的面积也是25平方厘米． 12. 作业2答案：6简答：三角形BCF的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积就等于长方形的面积，为6．13.作业3答案：22平方厘米简答：红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为：2110922+-=平方厘米．14.作业4答案：40简答：“狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角形，面积为长方形的一半，面积为：165240⨯÷=．15.作业5答案：600简答：△ABC与△BCD同底等高，所以两个三角形面积相等，△BCD底CD长30、高BD长40，面积为30402600⨯÷=．。
四年级奥数第一讲-速算与巧算含答案
第一讲 速算与巧算一、 知识点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
二、典例剖析：例（1） 19199199919999199999++++分析：运用凑整法来解十分方便，也不容易出错误。
解：原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215--练一练：898998999899998999998+++++=答案：1111098例（2）10099989796321+-+-++-+分析：暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
解：原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+ 100491=++150=练一练：989796959493929190894321+--++--++---++答案：99例（3） 1111111111⨯分析：111,1111121,11111112321⨯=⨯=⨯= 解：1111111111123454321⨯=练一练：2222222222⨯答案：493817284例（4） 1234314243212413+++分析：数字1、2、3、4，在个位、十位、百位、千位上均各出现一次。
解：原式1111222233334444=+++ 1111(1234)=⨯+++ 111110=⨯ 11110=练一练：5678967895789568956795678++++答案：388885例（5） 339340341342343344345++++++分析：这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
高斯小学奥数四年级上册含答案第08讲_数列规律计算
第八讲数列规律计算【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18， (19)请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数．出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：①第一个月有一对刚诞生的兔子②第二个月他们可以生育③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子④兔子永不死去⑤每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…（二）神奇的自然现象百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．作业1.已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？2.1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列中有多少个1？（2）这个数列中所有数的总和是多少？3.2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？4.观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？该组的三个数之和是多少？5.观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：（1）数列中有多少个1？（2）数列中所有数的总和是多少？第八讲数列规律计算1.例题1答案：51项；1775详解：（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是5010500⨯=，偶数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是1505021275+=．500127517752.例题2答案：9项；699（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有50225详解：÷=项，所以奇数项也有25项，25381÷=L L，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是()250252650+⨯÷=，所⨯+++=，偶数项的和是()8123149以所有项的总和是49650699+=．3.例题3答案：37项；532详解：（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；119192190偶数项的最后一项是18236⨯=，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是236182342+=．1903425324.例题4答案：33；195详解：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是（10，11，12），三个数的和是11333⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前10组所有数的和是()L．323411195⨯++++=5.例题5答案：59项或40项详解：奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有60230÷=项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有60320÷=项，所以奇数项也有20项，共有40项．6.例题6答案：16；11次详解：（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为12341166L组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67 +++++=组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是12416L+=；（2）因为1231055++++=组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．7.练习1答案：31；585详解：（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是304120⨯=，奇数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是130302465+=．1204655858.练习2答案：7项；269详解：（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有30215÷=项，所以奇数项也有15项，15271÷=L L，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是()713129230152240+⨯÷=，所以所有项⨯++=，偶数项的和是()的总和是29240269+=．9.练习3答案：39项；610简答：（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有40220÷=项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；240202420偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是119192190+=．42019061010.练习4答案：48；690简答：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是（15，16，17），三个数的和是16348⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前20组所有数的和是()L．⨯++++=32342169011.作业1答案：20；175简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为()303102165+⨯÷=，所有数之和为175．12. 作业2答案：7；504简答：（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为24642462++++=L ，奇数项总和为()123742++⨯=，所有数之和为504．13. 作业3答案：22；330简答：（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是()222112132+⨯÷=，所有偶数项之和是()333112198+⨯÷=，所有数之和为330．14. 作业4答案：8；27简答：先看第一个问题，每组第1个数分别为1，2，3，…，第8组的三个数为（8，9，10），第9组的三个数为（9，10，11），10第一次出现在第8组．再看第二个问题，第8组三个数之和为27．15. 作业5答案：10；220简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有()3934110-÷+=项，所以奇数项也有10项，所以共有10个1；（2）奇数项之和是10，偶数项之和是()339102210+⨯÷=，所有数之和是220．。
四年级奥数教程答案
四年级奥数教程答案【篇一：四年级奥数教程】>例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：解：选基准数为450，则- 1 -累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，答：平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲速算与巧算（二） 69，84，75。
第3讲高斯求和求这10名同学的总分。
第4讲 4，8，9整除的数的特征分析与解：通常的做法是将这10个数第5讲弃九法直接相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲数的整除性（二）相加既繁且易错。
观察这些数不难发第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“ 80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
四年级奥数详解答案_第1讲_速算与巧算
四年级奥数详解答案_第1讲_速算与巧算四年级奥数详解答案第1讲速算与巧算(一)第一讲速算与巧算(一)一、知识概要1.同级运算性质a+b-c=a-c+b a÷b×c=a×c÷b2.去(添)括号性质a+(b-c)= a+b-c a×(b÷c)= a×b÷ca-(b-c) = a-b+c a÷(b×c)=a÷c÷ca-(b+c) = a-b-c a÷(b÷c)=a÷c×c这就是：在同一级运算中，如果括号前面是“+”或“×”，那么去(添)括号后，括号里的运算就不要变号；如果括号前面是“－”或“÷”，那么，去(添)括号后，括号里的运算就要变号。
3.乘除的分配性质(a+b)×c=ac+bc (a+b)÷c=+4.数列性质S=(an+a1)×n÷2 其中n=(an-a1)÷d+1S表示等差数列前n项的和，an表示末项，a1表示前项，n表示项数，d表示公差。
5.数的分解转化与组合如：85+3或10-2或2×4，或16÷2……1234+2341+3412+4124=1111+2222+3333+4444二、典型例题精讲例 1. (2002-1)+(2001-2)+2000-3)+…+(1003-1000)+(1002-1001)解：原式=2001+1999+1997+…+3+1 （等差数列）=(2001+1)×1001÷2 【运用n=(an-a1)÷d+1; S=(an+a1)×n ÷2】=2002÷2×1001 【运用a×c÷b = a÷b×c】=1001×1001=1002001例2.分析. 9×9+19=100 (数的组合规律)99×99+199=10000999×999+1999=1000000解：原式=例3. 477 477 477 477÷159 159 159 159解：原式=(159159159159×3)÷159159159159 (数的分解转化) =159159159159÷159159159159×3 (运用a×b÷c=a÷c×b)=1×3=3三、历届竞赛试题选讲例4. (第二届北大少年数学邀请赛第一试试题)(123456+234561+345612+456123+56123+612345)÷6解：原式=(111111×1+111111×2+111111×3+111111×4+111111×5+11 1111×6)÷6 =111111×(1+2+3+4+5+6)÷6 (数的分解、分配律) =111111×21÷6=111111×7×3÷6 (数的分解)=777777÷6×3=777777÷(6÷3) 【运用a÷b×c=a÷(b÷c)】=777777÷2=388888.5例5. (1999年铜川市…学数学知识竞赛试题)5×19.99+16×1.999+0.34×199.9解：原式=50×1.999+16×1.999+34×1.999 (数的组合规律)=(50+16+34)×1.999 (分配律)=100×1.999=199.9例6. (天津市1998～1999学年度…学数学学科竞赛决赛试题)1+3+5+7+…+29-2-4-6-…-28解：原式=1+(3-2)+(5-4)=(7-6)+…+(29-28) 【运用a+b-c= a+(b-c)】=1+=15解法二：原式=【(29+1)×15÷2】-【(28+2)×14÷2】【运用S=(an+a1)×n ÷2】=225-210=15四、练习巩固与拓展1.100+99-98+97-96+…+3-2+12.2772＋28+34965÷353.(1×6×9+2×12×18+3×18×27+…+100×600×900)÷(1×2×3 +2×4×6+3×6×9+…+100×200×300)4.6273+9999×9999+37265.(1000+123+234)×(123+234+345)-(1000+123+234+345)×(123+234)6.379000÷125÷87.0.125×0.25×0.5×648.7.5×46.7+17.9×2.59.6.6×78.5+7.85×3410.(199.2+19.92+1.992+0.1992)÷0.111111.1999+199+19+912.99999÷5+9999÷5+999÷5+99÷5+9÷513.9999×4444÷666614.(1998+1999+1995+1991+1992)÷515.1111111111×9999999999第一讲<练习巩固与拓展>答案1.原式=100+(99-98)+(97-96)+…+(3-2)+1 =100+ = 1502. 原式=(2800-28)÷28+(35000-35)÷35 =2800÷28-28÷28+35000÷35-35÷35=100-1+1000-1 =10983. 原式=【(1×6×9)×(13+23+33+…1003)】÷【(1×2×3)×(13+23+33+…1003)】=(1×6×9)÷(1×2×3)×(13+23+…1003)÷(13+23+…1003) = 9×1=94. 原式=9999+(6273+3726)×9999=9999+9999×9999 =9999×(1+9999) =999900005. 原式= 1000×(123+234+345)+(123+234)×(123+234+345)－1000×(123+234)－(123+234+345×(123+234)=1000×(123+234+345－123－234)=3450006. 原式=379000÷(125×8) = 379000÷1000=3797. 原式=(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2) =1×1×1×1=18. 原式=7.5×(28.8+17.9)+17.9×2.5=7.5×28+17.9×(7.5+2.5)=216+179=3959. 原式=78.5×(6.6+3.4)=78510. 原式=(200+20+2+0.2-0.8888) ÷0.1111=222.2÷0.1111-0.8888÷0.1111=2000-8 =199211. 原式=(1999+1)+(199+1)+(19+1)+(9+1)-4 =222612. 原式=(99999+9999+999+99+9)÷5 = (100000+10000+1000+100+10-5)÷5=(111110-5)÷5 = 111110÷5-5÷5 =22222-1 =2222113. 原式=9×1111×4×1111÷(6×1111)=9×1111×4×1111÷6÷1111=9×4÷6×1111 =6×1111 =666614. 原式=1995×5÷5 (1995为中项，S=中项×n)=199515. 原式=1111111111×(10000000000-1)=11111111110000000000-1111111111 =11111111108888888889。
小学四年级奥数举一反三第1讲至第20讲参考答案
⼩学四年级奥数举⼀反三第1讲⾄第20讲参考答案⼩学四年级奥数举⼀反三第1讲⾄第20讲参考答案⼩学四年级奥数举⼀反三参考答案第1讲练习1：（1）2，6，10，14，（18 ），22，26（2）3，6，9，12，（15），18，21（3）33，28，23，（18），13，（8 ），3（4）55，49，43，（37），31，（25 ），19（5）3，6，12，（24 ），48，（96），192（6）2，6，18，（54），162，（486 ）（7）128，64，32，（16 ），8，（ 4 ），2（8）19，3，17，3，15，3，（13），（3），11，3..练习2：（1）10，11，13，16，20，（25 ），31（2）1，4，9，16，25，（36 ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（9 ），（ 2 ），11，2（4）53，44，36，29，（23），18，（14），11，9，8（5）81，64，49，36，（25 ），16，（9），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（22 ），（ 1 ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（18 ），（ 2 ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（10 ），（12），13，14练习3：（1）1，6，5，10，9，14，13，（18 ），（17）（2）13，2，15，4，17，6，（19 ），（8 ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（13），（20 ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（15 ），（11 ）（5）32，20，29，18，26，16，（23 ），（14 ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（12），（162），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（16 ），（17）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（20 ），（81）练习4：（1）2，2，4，6，10，16，（26），（42）（2）34，21，13，8，5，（ 3 ），2，（ 1 ）前⼀个数减第⼆个数等于第三个数（3）0，1，3，8，21，（55），144.前⼀个数的2倍加前两个数的差。
四年级趣味奥数题答案 四年级奥数教程及训练 02趣味问题与数学方法
四年级趣味奥数题答案四年级奥数教程及训练02趣味问题与数学方法导读：就爱阅读网友为您分享以下“四年级奥数教程及训练02趣味问题与数学方法”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!002趣味问题与奥数方法第1页标准奥数教程(初级)【知识点与基本方法】在日常生活中，我们会遇到一些有趣的奥数问题，它们往往是不能用常规的方法来解决。
这类问题往往不能用学校课本所学知识来解决，本类型问题能帮助学生尽快了解奥数的题型以及常见的解题方法。
首先读懂题意（至少读3遍，第一遍快速，第二遍收集信息，第三遍寻找突破口），然后经过充分的分析和思考，运用基本知识以及自己的聪明智慧，巧妙地解决。
这类型题与上一讲内容的共同点都是不需要经过很多计算。
在本讲内容，你将初步接触到还原法，对应法，分组讨论等解决数学问题的常规方法，但鉴于目前同学们基础比较差，所以关于这些数学方法的应用，我们后面有专题进行详细讲解。
【例题精选】例1．有一杯牛奶，小强喝了半杯后，将它加满水，然后他又喝了半杯后，再加满水，最后全部喝完。
问：小强喝的牛奶多，还是喝的水多？分析：对于这类型题目，我们要记住不能硬性去计算，而是要多分析，题目问的是牛奶多还是水多，那么牛奶和水分别是多少呢，首先我们知道“有一杯牛奶”，然后知道加了两次半杯水，很显然牛奶和水是一样多的。
课堂练习题：1．一张长方形纸片有4个角，用剪刀沿直线剪掉1个角后，还剩下几个角？2．两瓶同样多的白酒和红酒，先用一个小杯在白酒瓶里取一小杯白酒，放入红酒瓶内。
然后再在已经掺了点白酒的红酒瓶里取一小杯倒入白酒瓶。
问是白酒里含的红酒多，还是红酒里含的白酒多？3.用三条直线，最多可以将一个圆盘分成几块？例2．池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经过24天就可长满整个池塘，问需要多少天，这些睡莲能长满半个池塘？分析：对于这道题，很多同学都会不假思索认为答案是12天，但正确的结果却是23天，为什么呢？同学们会有疑惑，那么借助于我们的还原法，我相信同学们会有很深的体会。
四年级奥数教程答案
四年级奥数教程答案一、整数运算1. 加法(1) 计算题：23 + 14 + 8 =(2) 解答：首先计算个位数，3 + 4 + 8 = 15，将个位数5写在答案的个位数位置上。
接下来计算十位数，2 + 1 + 0 = 3，将十位数3写在答案的十位数位置上。
所以，23 + 14 + 8 = 35。
2. 减法(1) 计算题：56 - 19 =(2) 解答：从个位数开始计算，6 - 9无法进行减法运算，需要向前借位。
将十位数的5变成4，加上10个单位，变成15。
然后进行减法计算，15 - 9 = 6，所以56 - 19 = 37。
二、分数计算1. 加法(1) 计算题：1/3 + 2/5 + 1/4 =(2) 解答：首先找到这三个分数的公共分母，3、5和4的最小公倍数是60。
然后将每个分数的分子乘以公共分母除以原来的分母，得到1/3 = 20/60，2/5 = 24/60，1/4 = 15/60。
将这三个分数相加，20/60 +24/60 + 15/60 = 59/60。
(1) 计算题：4/7 - 2/5 =(2) 解答：首先找到这两个分数的公共分母，7和5的最小公倍数是35。
然后将每个分数的分子乘以公共分母除以原来的分母，得到4/7 = 20/35，2/5 = 14/35。
将这两个分数相减，20/35 - 14/35 = 6/35。
三、面积计算1. 长方形面积(1) 计算题：长方形的长是8厘米，宽是5厘米，求面积。
(2) 解答：长方形的面积可以通过长度乘以宽度来计算。
所以，长方形的面积 = 8 cm × 5 cm = 40 平方厘米。
2. 正方形面积(1) 计算题：正方形的边长是6厘米，求面积。
(2) 解答：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
所以，正方形的面积 = 6 cm × 6 cm = 36 平方厘米。
四、几何形状1. 三角形(1) 计算题：已知三角形的底边长是5厘米，高是3厘米，求面积。
高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲_加法原理与乘法原理
（ （第五讲 加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅里有 4 种炒菜和 2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4 + 2 = 6 种点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有 2 种： 红烧鱼块，土豆炖牛肉）、 红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有 2 种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有4⨯2=8种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？“分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题 3从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路， 从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到 丙地共有多少条不同的路线？「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一． 甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习 3任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？甲 丁乙 丙甲乙丙通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题 1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步， ……，直到最后．．比如例题 2 中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类” 如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题 3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从 A 点沿箭头的方向爬到 B 点的不同路线有多少条．CE G BAD F H由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上 1，表示蚂蚁从 A 点出发到达 A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．C 1E G BA 1D 1 F 1 H 1容易看出，蚂蚁可以从 C 点或者 D 点到达 E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在 E 点处标上数字1 + 1 = 2（把 C 点与 D 点的数字相加），表示蚂蚁到达 E点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从 E 点或者 F 点到达 G 点，那么蚂蚁到达 G 点就有 2 +1= 3 条路线（把 E 点与 F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达 B点有4条路线，如下图所示．C1E2G3B4D1F1H1A1例题4B在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的A所有点，把它们的方法数加起来．练习4B 在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？A例题5老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？课堂内外加减乘除的由来加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成．法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“•”表示乘号，这样，“•”也得到了承认．除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．至此，四则运算符号齐备了．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？BA第五讲加法原理与乘法原理1.例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4+3+2=9种出行方式．2.例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有2⨯2⨯2⨯2=16种不同的染色方法．3.例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有2⨯4=8种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+8=17种走法．4.例题4答案：35种详解：标数法，如下图：1 1 1 A1432110631201041351551B5.例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有999-100+1=900个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有9⨯10⨯10=900个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是99-10+1=90个两位数，另一种是9⨯10=90个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有900⨯90=81000种不同的写法．1B（（6.例题6答案：30种；750种；275种详解：1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有15+10+5=30种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15⨯10⨯5=750种不同的取法；3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有15⨯10=150种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10⨯5=50种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15⨯5=75种不同的取法，三类是加法原理，共有150+50+75=275种不同的取法．7.练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有8+10=18种取法．8.练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2⨯2⨯2=8中不同的染法．9.练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+2=11种走法．10.练习4答案：10种简答：标数法：36101 A121314111.作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30⨯40⨯45=54000种．12.作业2答案：27种简答：乘法原理，3⨯3⨯3=27种．13.作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30+20+10=60种．（2）乘法原理，30⨯20⨯10=6000种．14.作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4⨯3=12种选法；油画、水彩，3⨯2=6种选法；水墨、水彩，4⨯2=8种选法，所以一共有12+6+8=26种选法．15.作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．1025B132631041551A11111。
四年级奥数基础教程答案与提示
四年级奥数基础教程答案与提示练习11.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。
6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。
练习21.4216。
2.9021。
3.2349。
4.3081。
5.2604。
6.366021。
7.420651。
8.24857225。
练习31.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。
2.1127。
提示：项数=（93-5）÷4+1=23。
3.2565。
提示：末项=13+5×（30-1）=158。
4.180次。
解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）。
5.1650。
解：2+5+8+…+98=1650。
6.45个。
提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个。
练习41.4，9，36。
2.10个。
提示：百位与十位的数字和为4或13。
3.9366；1362。
4.42972。
5.8232；2232。
提示：先由能被8整除判断出个位数是2。
6.16个。
提示：6320，3720，2360，2760，6032，3072，2736，7632，7320，6720，7360，3760，7032，6072，2376，3672。
7.11232。
8.5.11元。
提示：□679□应能被72整除。
练习51.（1）6；（2）8；（3）8；（4）6。
2.（1）3；（2）5；（3）5；（4）1。
3.（1）（2）可能正确，（3）（4）不正确。
4.9。
解：B≤9×2000=18000，C≤9×4=36，D≤2+9=11。
因为A能被9整除，根据能被9整除的数的特征，B，C，D都能被9整除，所以D=9。
练习61.4。
2.1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312。
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四年级奥数教程答案【篇一：四年级奥数教程】>例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：解：选基准数为450，则- 1 -累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，答：平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲速算与巧算（二） 69，84，75。
第3讲高斯求和求这10名同学的总分。
第4讲 4，8，9整除的数的特征分析与解：通常的做法是将这10个数第5讲弃九法直接相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲数的整除性（二）相加既繁且易错。
观察这些数不难发第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“ 80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。
求平均每块麦田的产量。
例3 求292和822的值。
解：292由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。
因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。
本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。
最后，还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。
例4 求9932和20042的值。
解：9932王梓梦：奥数基础教程用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练习11.求下面10个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。
求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。
他们共加工了多少个零件？4.计算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.计算下列各题：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）39721.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。
6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。
第2讲速算与巧算（二）- 2 -分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10，100，1000，?时，这两个数互为补数，简称互补。
如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
王梓梦：奥数基础教程在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。
例如，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。
又如，等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。
例如，等都是“补同”型。
1792＝？解：（1）（2）注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。
- 3 -练习2德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，?，100；（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：王梓梦：奥数基础教程加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：1.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
- 4 -4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？第四讲我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□王梓梦：奥数基础教程应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数能被72整除，问：a与b各代表什么数字？分析与解：已知能被72整既能被8整除，又能被9整除。