中国计量大学 过程控制专业实验考试资料1

单容温度对象的数学模型
• 假设周围空气的温度不变，则ΔT2＝0，有
dT1 T1 RQ1 dt 取T RC，K R则 RC T dT1 T1 KQ1 dt
Q2 Kr A(T1 T2 )
式中：Kr―传热系数 A ―散热表面积 T2―周围空气的温度 Kr A 反映了加热器散热程度的大小。 定义R为热阻： • 取L变换，有：
W (s)
W (s )
K Ts 1
K s e Ts 1 K W (s) (T1s 1)(T2 s 1)
K e s (T1s 1)(T2 s 1)
矩形脉冲信号：x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x 0 (t ) x0 (t a)
• 把ΔQ2代入，有
Q1、Q2单位：焦/小时 C单位：焦/度
C
dT1 Q1 T2 / R T1 / R dt dT1 RC T1 RQ1 T2 dt
单容温度对象的数学模型
• 从动态平衡过程可知，被加热的液 体或水要不断地通过保温材料向四 周空气散发热量Q2 ， Q2与T1是有关 系的。可以表示为：
2016/6/13
单容温度对象的数学模型
电加热器为一典型单容温度过程
它由电炉和加热容器组成。容器内盛 水，水的温度为T1。 生产过程中要求T1保持不变，所以 T1为被控参数。即温度过程的输出量。 而温度过程的输入量是电炉给水的 供热量Q1。在工作过程中电炉不断给 水供热Q1，而水又不断地通过保温材 料向四周散热Q2 当 Q 1＝Q2时，则水从电炉得到的热量与 水向空气散出的热量相等，水温T1保持 不变。（静态平衡）
R2
2 q2
2
Q2
例2-1 单容自衡液位对象数学模型
单容液位对象的传递函数
T0 R2C , K 0 R2
Q1(s) + － Q2(s)
1 CS 1 R 2
纯滞后(τ0) 有纯滞后单容微分方程：
H(s)
T0
dh T0 h K 0 q1 dt
dh h K 0 q1' (t ) K 0 q1 (t 0 ) dt
y * (t ) y (t ) y (t a )
y * (t ) ： 矩形脉冲响应曲线 y (t ) ： 正阶跃响应曲线 y (t a ) ：负阶跃响应曲线
参数辨识方法： （1）计算法 阶跃信号幅值： x0
稳态值：y ( ) 取幅值分别为稳态值的0.87， 0.632，0.33的时间为：
q1
( q1 q2 )dt dv A dh C dh
设进口阀开度变化Δ，则 Δ Δq1、Δq2、Δh
(q1 q2 )dt C dh
其中，q h / R 2 2 1
Q1
τ0
q1‘
l h
R2C 因此，
d h h R2 q1 dt
A
A h
R2
T1 ( S ) K Q1 ( S ) TS 1 1 K R，R热阻 ；T RC ，C热容 G c（比热） p Kr A
0 h(t) b
t
b：液位最终稳态值与原 稳态值之差。
• 压力对象
W (S )
P(S ) K Q1 ( S ) TS 1
V KR （出口气阻） , T R2 C (C 容量系数) 2 R0T0
f(t)
给定 调节器 执行器 被控对象
x(t)
e(t)
u(t)
q(t)
y(t)输出
测量变送
（二）矩形脉冲响应曲线法
**实际系统中，当阶跃信号的幅度较大实际系统不允许时， 可用矩形脉冲输入代替阶跃输入，即阶跃输入施加一小 段时间后切除。得到矩形脉冲响应曲线。
h2(t)
可用作图法求等效τc。 • 再通过矩形脉冲响应曲线计算求得阶跃响应曲线。 在响应曲线的拐点作 切线，则：
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时间常数T0
以单容水槽为例， T0=RC=RA。
q1
q来自百度文库(t) 1
输入为单位阶跃信号，且 且K=1时， t
0 t

h(t ) 1 e
T0
h(t)
h(t ) K 0 a (1 e t / T0 )
q2
1
0.632%
对h(t)求导数，得：
0
T0
t
dh(t ) 1 T0 1 e (t 0 ) dt T0 T0
0 h(t) b
A1
t
A2
0
t
两个不同截面积A1 ， A2水槽，若A2>A1, 即T0越大，则需要 更多时间到达液位 设定值。
t 5T0
滞后时间τ
滞后分为纯滞后，容量滞后和传输滞后。 • 纯滞后τ0 由于物料的传输需要一定时间而产生的滞后。
• T0是标志系统动态过程响应快慢的参数。 • 对控制通道， T0大，则系统响应平稳，系统较稳定， 但调节时间长； T0小一点对控制有利。 • 对扰动通道，时间常数Tf越大，对控制越有利。
W (s)
T1 ( s) K Q1 (s ) Ts 1 1 Kr A
K R，R热阻
R
1 Kr A
T RC，C热容 G c（比热） p
为一阶惯性环节。
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例2-1 单容自衡液位对象数学模型
列写单容液位控制对象的微分方程:
纯滞后(τ0)
纯滞后(τ0)：由于物料传输需要一定的时间，使得 控制量的作用要落后一定时间长度。
t3 , t1 , t 2
1 由阶跃响应确定一阶环节的特性参数
• 求阶跃响应曲线为：
y (t ) y * (t ) y (t a )
• 那么，通过递推，有：
1）静态放大系数 K0
K0 y () x0
t 0, y (0) y * (0) t a, y (a) y * (a ) y (0) t ka, y (ka) y * (ka) y(k 1)a 举例：
单容温度对象的数学模型
保温材料传热系数Kr 愈小，则热阻愈 大，散热表面积A愈小，则热阻愈大。 热阻R反映了加热器保温性能（即阻止 热量流失的性能）
Q2 (T1 T2 ) / R
热阻R，
R
热容C，C＝Gcp
1 Kr A
单容温度对象的数学模型
• 动态平衡关系
在单位时间内进入加热器的热量与单位时间 内流出加热器热量之差，应等于加热器热 量贮存的变化率。
q1 (t )
无纯滞后
有纯滞后
q1
a
o
t
q2
h
K0 a
o
T0
t
典型单容过程数学模型小结
• 液位对象
H (s ) K G ( s) Q1 ( s ) Ts 1 K R（出口液阻），T RC （液容C A）
q1(t) a
a：输入流量变化量，即 阶跃扰动幅度。
• 温度对象
W (S )
把（0.632，t1 ), (0.33, t 2 )代入 T0 t ，可以得到 ln[ 1 y * (t )]
h(t ) K 0 X 0 (1 e t / T0 )
o
e 0 s
Q'1(s) + － Q2(s)
1 CS
H(s)
T0
t
1 R 2
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**有纯滞后与无纯滞后单容阶跃响应的比较
放大系数K
以水槽为例，在输入流量 q１等于输出流量q２，液位 h处于某个稳态时，使q１有一个阶跃变化，幅度为 a。
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令： 0 • 带纯滞后的一阶系统可分 解为一个独立的一阶环节 和一个独立的滞后环节。 • 带纯滞后的一阶系统的响 应曲线与无纯滞后的一阶 系统的响应曲线，形状完 全一致，仅相差纯滞后时 间τ0。
q1(t) a 0 h(t) b 0 τ０ t t0 t1 t2 t t h2(t)
K0 X 0 T0 s 1 s
P(t )
X0
H ( s) W0 (s ) Q1 ( s)
o
h
K0 X 0
t
1 1 K0 X 0 ( ) s s 1 / T0
**通常，可将纯滞后视作一个独立的环节处理，即 纯滞后环节，它与被控对象相串联。
Q1(s)
由拉氏反变换得到：
W (s)
（二）矩形脉冲响应曲线法
矩形脉冲信号：x (t ) x 0 (t ) x0 (t a)
• 若对象为线性，满足叠加特性，则：
1 由阶跃响应确定一阶环节的特性参数
* * 对于在开始时间上升斜 率最大， 后来减小并达到稳定的 曲线， 可以选模型结构为： W ( s) K0 T0 s 1
单容控制对象的阶跃响应：
设
纯滞后
L变换后，其传递函数：
W0 ( s)
' K0 H ( s ) H ( s ) Q1 ( s ) e 0 s Q1 ( s) Q ' (s) Q ( s) T0 s 1 1
1
τ0 l
q1‘
A h
R2
2 q2
q1 X 0
则
Q1 ( s) X 0 / s
t0 t1
t2
t
c t1 t0
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（二）矩形脉冲响应曲线法
• 通过矩形脉冲响应得到阶跃响应方法： • 原理：矩形脉冲信号可视为两个阶跃信号的叠加。 • 设 x 0 (t为一阶跃信号。 )
x(t) x0 0 a x2 x1 t
数学模型的结构（1）
• 大多数工业过程自衡对象可用一阶、二阶、一阶加 滞后、二阶加滞后来近似描述。
t
q1(t) a
h(t ) K 0 a (1 e t / T0 )
T0=RC=RA
•当 •当 •当
1 t T0时， h(T0 ) 1 e 0.632
t 3T0
时， 时，
h(3T0 ) 1 e 3 0.95 h(5T0 ) 1 e 5 0.993
q1
两边进行L变换：
属于一阶惯性环节（一阶系统）
τ0
q1‘
T0 s H ( s ) H ( s ) K 0Q1 ( s )
W0 ( s ) H (s) K0 Q1 ( s ) T0 s 1
l 液阻R2形成了事实上的液位反馈， 是液位平衡的关键因素。 A h
R2
2 q2
q1
例2-1 单容自衡液位对象数学模型
定义：Ｋ0为放大系数， 则Ｋ0可表示为：
0 t
K0 b h a q1
• RC电路
W (S )
U c (S ) K U r ( S ) TS 1
K 1，T RC
讨论：过程特性参数 K、T、τ
• K0的物理意义是把系统的输入变化量放大Ｋ0倍。 • 数学模型的过程特性参数K，T，τ。 • 三个参数有什么样的物理意义？ • 在系统中所起的作用如何？ • 若同时有几个输入变量作用于被控变量，则应选 择放大系数较大的作为控制变量。 • 对扰动通道，对应Ｋf越大，则扰动对输出变量的 影响越大。 • Ｋ0越大，表明该信号通道输入信号对输出的作用 越强。
2）时间常数 T0
一阶惯性环节时域归一化响应：

y * (t ) y (t ) / y ( ) 1 e
可得： ln[ 1 y * (t )]
t T0
T0
t
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1 由阶跃响应确定一阶环节的特性参数
T0 t ln[ 1 y * (t )]
(1) 切线法
• 假设输入阶跃幅度x0,K0求法 与前面相同。 • 通过拐点D作切线，交时间 轴于B,交稳定线于A，A时间 为C。 • 滞后时间 τ=OB • 时间常数 T0=BC • 缺点：D点选择随意性大， 造成参数准确性差。
c
t 2 t1
则： T
在模型精度要求不高情 况下，可将类似系统近似 为一个纯滞后环节和一个 一阶环节近似表示：
W (s) K e 0s (Ts 1)
• 实际控制系统中，滞后时间τ表现为信号传输滞后， 容量滞后等形式； • 容量滞后τc 由于系统中物料或能量的 传递需要克服一定的阻力而产 生的滞后。 表现为输入变化后，输出 的变化相当缓慢，在一段时间 后，才逐渐显著变化。 • 测量仪表中的测量传输滞后，使得变量的变化不 能及时得到反馈信号； • 调节器中的控制传输滞后，使得控制作用不能及 时调节控制变量； • 滞后时间τ对控制是不利的。
单容温度对象的数学模型
• 建立微分方程
Q1 Q2 C dT1 dt
Q1 Q2 C
式中：
dT1 dT1 Gcp dt dt
• Q2与温度关系
Q2 (T1 T2 ) / R
C —热容，C等于T1每升高1℃所需储蓄的热量， 它与液位对象中的C相似： C＝Gcp G —加热器内水的总重量 cp —水比热，在常压下cp＝1