经典控制理论——第七章3..
第七章--最优控制
Optimal Control Theory
同济大学汽车学院：赵治国 教授 Prof. Zhiguo Zhao School of Automotive Studies, Tongji University Tel：69589117(O) E-mail: Zhiguozhao@
*
x(t ) x* (t )上的变分等于零，即 J [ x* (t )] 0
§7－3 泛函与变分的基本概念
证明：对于任意给定的
x(t ) 来说，J [ x* (t ) x(t )]是实变量 的 * * J [ x ( t )] 函数。泛函 在 x (t ) 达到极值，即函数 J [ x (t ) x(t )] 在 0 时达到极值，所以它的导数在 0 时应为零，即
二. 最优控制问题的一般提法 用数学语言描述最优控制问题，应包括以下几个方面的内容： 1. 受控系统的数学模型 用状态方程描述：x (t ) f [ x(t ), u (t ), t ] 2. 受控系统的始端和终端条件，即状态方程的边界条件 对最优控制问题始端条件通常是已知的：x(t0 ) x0 终端条件可以用一个目标集表示：
J J [ x()] J [ x(t ) x(t )] 中的 x(t ) 应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 的
dx(t ) J ( x (t ) t )dt 0 dt 1 5 2 J (t t )dt 0 6 2 1 e J (e 2t tet )dt 1 0 2
1 2
若 x (t ) t 有
t x ( t ) e 若 有
§7－3 泛函与变分的基本概念
2.泛函自变量的变分 泛函 J [ x (t )] 的自变量函数 x (t ) 与标称函数 x* (t )之间的差值函数
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
现代控制理论-第7章 最优控制
(3)控制规律：
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件：P(tf)=Q0
PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例：求解使：J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下，使系统各状态在受 到外界干扰作用下，维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统：可控系统
2.性能指标： 说明：(1) J
x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到：
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例：求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解：
x 0 0x 1u,
J
1
(xT
x uTu)dt
误差最小，这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点，控制
作用应使它很快回复到平衡点，调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中，消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定，Q2正定，用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律，使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求，在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统：可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx
2.性能指标：J
1 2
[(y
0
第七章 控制
三、控制的作用
3.控制是管理创新的催化剂 在具有良好反馈机制的控制系统中，通过反馈，施控者不仅可以
及时掌握计划的执行情况，纠正所发生的偏差，还可以从反馈中受到 启发，激发管理方法、手段的创新。
三、控制的作用
4.控制是使组织适应环境的重要保障 一个组织只有不断适应变化着的环境，才能更好地生存和发展。
情景导入——为什么又没有做好?
就在陈立君认为一切都已经安排就绪，这一次一定能很好地完成大 赛，从而大大提高社团的影响力时，各种问题开始不断出现：实践部部 长是个急性子，办事风风火火，在许多具体的比赛规则还没有通过集体 讨论、向学工部汇报的情况下，就擅自拍板将比赛规则发送给了各参赛 队；外联部邀请企业家遇到了困难，却一直没有及时向上反映，导致宣 传海报迟迟不能定稿；而办公室，对各个部门花钱根本没加以控制，预 算完全成了一张废纸。
2.外部控制 外部控制是一种强制性控制，它是通过行政权力系统实现的， 要求严格执行各种标准和各种规章制度。
（二）按时间划分
控制活动可以按控制点处于事物发展进程的哪一阶段，而划分 为前馈控制、过程控制和反馈控制三种类型。
（三）按控制对象划分
1.产出控制
产出控制是为了监督产出或业绩。管理者用来监督产出的重要 手段有业绩的财务标准、组织目标和运营预算等。
（二）控制与其他管理职能的关系
3.控制与领导的关系 领导职能的发挥影响到组织控制系统的建立和控制工作的质量。
同时，控制职能的发挥又有利于改进领导者的领导工作，提高领导 者的工作效率。
二、控制的特点
1.整体性 从控制主体看，完成计划和实现目标是组织全体成员的共同责
7-3 线性定常系统的状态反馈与状态观测器
式中
0
1
0
0
0
0
1
0
A bk
0
0
0
1
a0 k0 a1 k1 a2 k2 an1 kn1
显见 (A b k ,b ) 仍为可控标准型，故引入状态 反馈后，系统可控性不变。其闭环特征方程为
增广系统的可控性矩阵S为
表示受控系统不可控时，用状态反馈不能配置极点，因 而是不能采用的。
二、输出反馈与极点配置
输出反馈有两种形式： 一为将输出量反馈至状态微分处； 一为将输出量反馈至参考输入。
以多输入—单输出受控对象为例。 1.输出量反馈至状态微分
设受控对象动态方程为 x Ax Bu, y Cx
输出反馈系统动态方程为 x Ax Bu hy, y Cx 故 x (Ax hC)x Bu, y Cx
0
A PAP1 ,
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
10
C
CP 1
20
11 1,n1
21
2,n1
q
0
q1
q , n 1
为利用状态进行反馈，必须用传感器来测 量状态变量，但不是所有状态变量在物理 上都可测量，于是提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，状态反馈与状态 观测器的设计便构成了现代系统综合设计 的主要内容。
一、状态反馈与极点配置
周三多管理学第七章 控制
控 制教学目的：明确控制职能的地位，了解控制类型与过程，掌握控制的方法。
教学要求：阐明控制基本原理与原则，明确控制的要求。
教学内容：控制概述、控制原则与程序。
教学重点：控制类型与程序教学课时：4第一节 控制内涵一．控制的含义一般意义的控制就是指引导一个动态系统达成预定状态。
例：空调器对室内温度的控制。
管理学中的控制是指按照既定目标和标准，对组织活动进行监督、测量，发现偏差并分析原因，采取措施使组织活动符合既定要求的过程。
二．控制的必要性控制是管理工作的最重要职能之一，是保证组织计划与实际运作动态相适应的管理职能。
管理控制的必要性是由以下原因决定的：（1）环境的变化（2）管理权力的分散（3）工作能力的差异三．控制原理控制理论中有下列基本原理：（1）任何系统都是由因果关系链接在一起的元素的集合。
元素之间的这种关系就叫耦合。
（2）为了控制耦合系统的运行，必须确定系统的控制标准Z 。
控制标准Z 的值是不断变化的某个参数S 的函数，即Z=f(S)。
（3）可以通过对系统的调节来纠正系统输出与标准值Z 之间的偏差，从而实现对系统的控制。
四．控制的类型1．事前控制、现场控制、事后控制事前控制——是指组织活动开始之前进行的控制，其目的是防止问题的发生而不是当问题出现时再补救。
防患于未然。
现场控制——是指组织活动开始以后，对活动中的人和事进行指导和监督。
事后控制——是指在同一个时期的组织活动已经结束以后，对本期的资源利用情况及其结果进行总结。
管理的投入 管理的过程 管理的产出 事前控制 现场控制 事后控制信息流向纠正措施2．集中控制与分散控制集中控制——对组织的重大项目与事务成立专门的控制机构，进行重点控制。
分散控制——对日常的一般性、常规性事务则由各部门、各岗位及全体员工自行控制。
3．战略控制与战术控制战略控制——即对战略规划的控制。
战术控制——即对经营战术活动的控制。
4．程序控制与跟踪控制程序控制——又叫计划控制，是一种将预先编制好的内容和步骤作为受控系统的输入，从而对整个管理过程予以控制的方式。
自动控制理论第七章精品文档
第七章 离散化控制系统
5
自动控制理论
第二节 信号的采样与复现
一、采样过程 把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采
样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。
f (kT)
图7-５
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第七章 离散化控制系统
6
自动控制理论
图7-６
式中： f*(t)f(t)T(t)
若F (s)含有 S P 的一阶极点时，对应的留数为： Rls ipm [s(p)F(s)zzeTS]
若F (s)含有 S P 的q阶重极点时，对应的留数为：
R(q11)!limddqsq11[(sp)qF(s)zzeTS] sp
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第七章 离散化控制系统
f *(t) (t kT)
（7-1） ，KT —脉冲出现时刻
k
f*(t)f(kT)(tkT)
（7-2）
k
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第七章 离散化控制系统
7
自动控制理论
图7-7
考虑当t<0时，f(t)=0，则有
f*(t)f(kT)(tkT) k0
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k
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第七章 离散化控制系统
12
自动控制理论 图7-10
图7-11
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第七章 离散化控制系统
13
自动控制理论
图7-８可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是
s 2max
香农采样定理
s 2max
s
图-12
香农定理的物理意义是：采样角频率 s 若满足s 2max，则
25
自动控制理论
《机械工程控制基础》课后答案
目录第一章自动控制系统的基本原理第一节控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节典型控制信号第四节控制理论的内容和方法第二章控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节液压系统的数学模型第三节电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式第三章拉氏变换第一节傅氏变换第二节拉普拉斯变换第三节拉普拉斯变换的基本定理第四节拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节概述第二节单位脉冲输入的时间响应第三节单位阶跃输入的时间响应第四节高阶系统时间响应第六章频率响应分析第一节谐和输入系统的定态响应第二节频率特性极坐标图第三节频率特性的对数坐标图第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章控制系统的稳定性第一节稳定性概念第二节劳斯判据第三节乃奎斯特判据第四节对数坐标图的稳定性判据第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念第二节输入引起的定态偏差第三节输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节希望对数幅频特性曲线的绘制第三节校正方法与校正环节第四节 控制系统的增益调整 第五节 控制系统的串联校正 第六节 控制系统的局部反馈校正 第七节 控制系统的顺馈校正第一章 自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。
第一节 控制系统的工作原理和基本要求 一、 控制系统举例与结构方框图例1． 一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C °,利用 表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。
图1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。
煤炭给定的温度100 C手和锹眼睛实际的炉水温度比较图2例2． 图示为液面高度控制系统原理图。
试画出控制系统方块图 和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。
自动控制理论 第七章
x a( x ， x)x b( x ， x)x 0
相轨迹的斜率方程为
x)x b( x ， x)x 令 dx dx a( x ， dx x dx
2016/11/12
上式可改写成
a ( x ， x ) x b ( x ， x ) x x b ( x ， x ) x x a( x ， x)
0.5
0
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1
0.7 0.4
x ( x2 1)x x 0
2 0 1
x 0 2 5 6
3
x
3
0
5 2 0
2016/11/12
6
1 0 2
2016/11/12
j
s1
x
j
s1
x
0
0
x
0
0
x
s2
稳定焦点
s2
不稳定焦点
j
x
j
x
s2
s1
0
0
x
0
s1
s2
0
x
稳定节点
不稳定节点
2016/11/12
j
s1
x
0
0
x
s2
中心点
j
斜率 k s 2
x
s1
0 s2
0
x
斜率 k s 1
2016/11/12
鞍点
§7.3
x
解：原方程可写为：dx ( x x) ， dx ( x x)
dx
x
dx
得等倾线方程为：
经典控制理论
典型信号（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
============================================================================设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：)()()()()()()()(1111011110t r b t r dt db t r dt d b t r dt d b tc a t c dt da t c dtd a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------系统传递函数为：)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==----传递函数与微分方程之间有关系)()()(s R s C s G =如果将dtdS ⇔置换 微分方程传递函数⇔ ============================================================================传递函数的极点和零点对输出的影响)()()()()(11*jnj imi P S Z S K s N s M s G --==∏∏== i Z ),,2,1(m i ⋅⋅⋅= 为传递函数的零点j P ),,2,1(n j ⋅⋅⋅= 为传递函数的极点 极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
经典控制理论——第七章3
下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。
(1)单位阶跃输入时的稳态误差
e() lim (z 1)E(z) lim (z 1) z
z1
z1 1 G(z) z 1
1
1
lim [1 G(z)]
z1
kp
式中 k p
lim [1 G(z)] z1
称为静态位置误差系数。
3 朱利稳定判据
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类 似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数， 判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断 该离散系统的稳定性。
设离散系统的闭环特征方程可写为
D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0 an >0
例7-17 设闭环离散系统如图7-22所示，其中采样 周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。
图7-22：例7-17闭环系统图
解：求出G(s)的z变换 G(s)
k s(1 0.1s)
k s
s
k 1
kz
kz
0.632kz
G(z)
z
1
z
0.368
z2
1.368z
0.368
0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数 作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下 存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系 统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时 的稳态位置误差。
7-6 离散系统的动态性能分析
零、极点分布的关系
在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点 在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。 与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递 函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。
自动控制原理第七章
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例
经典控制理论
经典控制理论在20世纪30到40年代，奈奎斯特、伯德、维纳等人的著作为自动控制理论的初步形成奠定了基础；二次大战以后，又经过众多学者的努力，在总结了以往的实践和关于反馈理论、频率响应理论并加以发展的基础上，形成了较为完整的自动控制系统设计的频率法理论。
1948年又提出了根轨迹法。
至此，自动控制理论发展的第一阶段基本完成。
这种建立在频率法和根轨迹法基础上的理论，通常被称为经典控制理论。
经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入－单输出的线性定常系统为主要的研究对象。
将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。
通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。
经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。
当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，这是因为它的以下几个特点所决定。
1．经典控制理论只限于研究线性定常系统，即使对最简单的非线性系统也是无法处理的；2．经典控制理论只限于分析和设计单变量系统，采用系统的输入－输出描述方式，这就从本质上忽略了系统结构的内在特性，也不能处理输入和输出皆大于1的系统。
实际上，大多数工程对象都是多输入－多输出系统，尽管人们做了很多尝试，但是，用经典控制理论设计这类系统都没有得到满意的结果；3．经典控制理论采用试探法设计系统。
即根据经验选用合适的、简单的、工程上易于实现的控制器，然后对系统进行分析，直至找到满意的结果为止。
虽然这种设计方法具有实用等很多优点，但是，在推理上却是不能令人满意的，效果也不是最佳的，人们自然提出这样一个问题，即对一个特定的应用课题，能否找到最佳的设计。
综上所述，经典控制理论的最主要的特点是：线性定常对象，单输入单输出，完成镇定任务。
即便对这些极简单的对象、对象描述及控制任务，理论上也尚不完整，从而促使现代控制理论的发展：对经典理的精确化、数学化及理论化。
经典控制理论——第七章2
Z [ f (t )] Z [ f * (t )] F ( z ) f (kT ) z k
k 0
Z变换方法
求离散函数z变换的方法有很多，我们介绍 其中三种。 1) 级数求和法 由离散函数
f * (t ) f (t ) (t kT ) f (kT ) (t kT )
k 0 k 0
及其拉氏变换， F * ( s ) f (kT )e kTs
k 0
根据z变换的定义有：
F ( z ) f (kT ) z f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
k 1 2 k k 0
4）复数微分定理
dX ( z ) 若 Z[x(t)]=X(z)，则 Z [tx(t )] Tz dz 5）初值定理
若Z[x(t)]=X(z) ，且当t<0时， x(t)＝0 则
x(0) lim X ( z )
z
6）终值定理
若Z[x(t)]=X(z) ，且(z－1)X(z)的全部极点位 于Z平面的单位圆内，则
F ( z)
i 1
n
Z Ai piT Z e
利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续 时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式 函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或
查表）给出每一项相应的z变换。
1 例7-3：求 F ( s) 的Z变换 。 s( s 1)
解：将F ( s )按它的极点展开为部分分式 1 1 1 F ( s) s ( s 1) s s 1 1 z 查z变换表得： 的z变换为 ; s z 1 1 z 的z变换为 s 1 z e T z z z (1 e T ) 于是z变换为F ( z ) T z 1 z e ( z 1)( z e T )
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|a0|=0.002, a4=1, 满足|a0|<a4
|b0|=1, |b3|=0.082, 满足|b0|>|b3| |c0|=0.993, |c2|=0.511, 满足|c0|>|c2|
故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。
4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
例7-19 设有零阶保持器的离散系统如图7-23所示， 试求： （1）当采样周期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临 界开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时， 系统的输出响应c(kT)。
G( z ) 闭环系统脉冲传递函数为 ( z ) 1 G( z )
故闭环系统特征方程为
1 G( z ) z 2 (0.632k 1.368) z 0.368 0 w 1 令z 代入上式，得 w 1
w 1 2 w 1 ( ) (0.632k 1.368)( ) 0.368 0 w 1 w 1
化简后，得W域特征方程
0.632kw 1.264w (2.736 0.632k ) 0
2
列出劳斯表
w2 w w
1 0
0.632k 1.264 2.736 0.632k
2.736 0.632k 0 0
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统
稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平
面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图7-21。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图7-21：Z平面和W平面的对应关系 离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH （z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转 换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半 W平面。
特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单
位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的
坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
z 1 w 1 z 或 w z 1 w 1
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。 (1)单位阶跃输入时的稳态误差
( z 1) z e() lim ( z 1) E ( z ) lim z 1 z 1 1 G ( z ) z 1 1 1 lim [1 G ( z )] k p
z 1
式中 k p lim [1 G ( z )] 称为静态位置误差系数。
z 1
对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,
从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个
或一个以上 z=1的极点），则 Kp=∞，从而e(∞)=0。
因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在
采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，
在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。
取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反变换得到 c(kT)，见图7-24
K [( e T T 1) z (1e T Te T )]
图7-24 不同T时的响应
二 采样系统的稳态误差
线性连续系统计算稳态误差的方法都可以推广 到采样系统中来。 下面仅介绍稳态误差系数的计算。 设单位反馈采样系统如图7-25所示：
D( z ) z (0.368k 1.368) z (0.264k 0.368) 0
D( w) 0.632kw (1.264 0.528k ) w (2.736 0.104k ) 0
2
由劳斯判据KC=2.4 T=0.5s 时 W域： 2 D( w) 0.197kw (0.786 0.18k ) w
利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
( z 1) R( z ) e() lim e (t ) lim ( z 1) E ( z ) lim t z 1 z 1 1 G ( z )
*
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于z e sT 的关系，原线性连续系 统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分 系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传 递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型 别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。
图7-25 单位反馈采样系统
系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样 时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2…∞)与输入信号相 比较外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。
G( z) Y ( z ) ( z ) R( z ) , ( z ) 1 G( z) G( z) E ( z ) R( z ) Y ( z ) R( z ) R( z ) 1 G( z) 1 R( z ) e ( z ) R( z ) 1 G( z )
k=0,1,…,n－3
q1 p0 p3 p2 p1
q2 p0 p3 p1 p2
bn k 1
cnk 2 ck
bn 1 bk
……………
q0 p0 p3 p3 p0
朱利稳定判据 特征方程D(z)=0的根，全部位于z 平面上单位圆内的充分必要条件是 D(1)>0，D(－1) >0， 当n为偶数时； D(1)>0， D(－1)<0， 当n为奇数时； 以及下列(n－1)个约束条件成立
a3 a1
a1 a3
1.368
0.082
b2
a0 a4
a2 a2
0.399
c0 c2
b0 b3 b0 b3
b3 b0 b1 b2
0.993 0.511
c1
b0 b2
b2 b1
1.401
作出如下朱利阵列：
因为D(1)=0.114>0, D(－1)=2.69>0
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数， z eT 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为 正数，z eT 大于1。s平面的左、右半平面在z平 面上的映像为单位圆的内、外部区域。
线性采样系统稳定的充要条件
图7-20：线性采样系统结构图
图7-23 例7-19离散系统
G ( z ) (1 z 1 ) Z
k S (S 1)
2
T 1s 时 D( z ) 1 G( z ) 0
2
(e T T 1) z (1 e T Te t ) k ( z 1)( z e T )
相加的形式，即
z x jy
2 2
w u jv
x jy 1 x y 1 2y w j 2 2 x jy 1 ( x 1) y ( x 1) 2 y 2
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足：
x y 1
2 2
x2 y 2 1 u 0 2 2 ( x 1) y
(3.214 0.017k ) 0
由劳斯判据KC=4.37
G( z ) ( z ) 1 G( z )
z 2 [ K (eT T 1)(1eT )] z [ K (1eT Te T )eT ]
z 且由 R( z ) ，可求得C(z)表达式 z 1
试用朱利判据判断系统的稳定性。
解 由于n=4, 2n－3=5, 故朱利阵列有5行5列。根
据给定的D(z)知：
a0=0.002, a1=0.08, a2=0.4, a3=－1.368, a4=1
计算朱利阵列中的元素bk和ck：
b0 a0 a4 a4 a0 1
b1
b3
a0 a4
a0 a4
例7-17 设闭环离散系统如图7-22所示，其中采样 周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。
图7-22：例7-17闭环系统图
k k k 解：求出G(s)的z变换 G( s) s(1 0.1s) s s 1
kz kz 0.632kz G( z) 2 z 1 z 0.368 z 1.368 z 0.368
|a0|< an， |b0|>|bn-1|， |c0|>|cn-2| |d0|>|dn－3|，· · · · · · ， |q0|>|q2|
只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳 定的， 否则系统不稳定。
例7-18：已知离散系统闭环特征方程为
D（z） z 4 1.368z 3 0.4 z 2 0.08z 0.002
an >0
特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3) 行、(n+1)列朱利阵列，见下表：
表 朱利阵列
在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各 元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如 下：
bk
ck
dk
a0
a nk ak
an
b0
c0 cn2
k=0,1,…,n－1 k=0,1,…,n－2
７-５离散系统的稳定性与稳态误差
一 离散系统的稳定性
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根
据特征方程的根在 s 平面的位置。若系统特征方 程的所有根都在 s 平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z 变换以后，对系统的分 析要采用 Z 平面，因此需要弄清这两个复平面的
1 采样系统的稳定条件