经典控制理论——第七章3..

相互关系。
s 域到 z 域的映射: 复变量s和z的相互关系为 z=esT ，式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 s j ，映射到z域 则为
ze
（ j）T
e e
T
jT
于是，s域到z域的基本映射关系式为
z e ，z T
T
若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω， 对应的复变量 z e jT 。后者是Z平面上的一个向量， 其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω 而改变。
D( z ) z (0.368k 1.368) z (0.264k 0.368) 0
D( w) 0.632kw (1.264 0.528k ) w (2.736 0.104k ) 0
2
由劳斯判据KC=2.4 T=0.5s 时 W域： 2 D( w) 0.197kw (0.786 0.18k ) w
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数， z eT 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为 正数，z eT 大于1。s平面的左、右半平面在z平 面上的映像为单位圆的内、外部区域。
线性采样系统稳定的充要条件
图7-20：线性采样系统结构图
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平
面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图7-21。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图7-21：Z平面和W平面的对应关系 离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH （z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转 换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半 W平面。
取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反变换得到 c(kT)，见图7-24
K [( e T T 1) z (1e T Te T )]
图7-24 不同T时的响应
二 采样系统的稳态误差
线性连续系统计算稳态误差的方法都可以推广 到采样系统中来。 下面仅介绍稳态误差系数的计算。 设单位反馈采样系统如图7-25所示：
|a0|< an， |b0|>|bn-1|， |c0|>|cn-2| |d0|>|dn－3|，· · · · · · ， |q0|>|q2|
只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳 定的， 否则系统不稳定。
例7-18：已知离散系统闭环特征方程为
D（z） z 4 1.368z 3 0.4 z 2 0.08z 0.002
图7-25 单位反馈采样系统
系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样 时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2…∞)与输入信号相 比较外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。
G( z) Y ( z ) ( z ) R( z ) , ( z ) 1 G( z) G( z) E ( z ) R( z ) Y ( z ) R( z ) R( z ) 1 G( z) 1 R( z ) e ( z ) R( z ) 1 G( z )
利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
( z 1) R( z ) e() lim e (t ) lim ( z 1) E ( z ) lim t z 1 z 1 1 G ( z )
*
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于z e sT 的关系，原线性连续系 统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分 系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传 递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型 别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。
例7-17 设闭环离散系统如图7-22所示，其中采样 周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。
图7-22：例7-17闭环系统图
k k k 解：求出G(s)的z变换 G( s) s(1 0.1s) s s 1
kz kz 0.632kz G( z) 2 z 1 z 0.368 z 1.368 z 0.368
相加的形式，即
z x jy
2 2
w u jv
x jy 1 x y 1 2y w j 2 2 x jy 1 ( x 1) y ( x 1) 2 y 2
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足：
x y 1
2 2
x2 y 2 1 u 0 2 2 ( x 1) y
(3.214 0.017k ) 0
由劳斯判据KC=4.37
G( z ) ( z ) 1 G( z )
z 2 [ K (eT T 1)(1eT )] z [ K (1eT Te T )eT ]
z 且由 R( z ) ，可求得C(z)表达式 z 1
z 1
对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,
从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个
或一个以上 z=1的极点），则 Kp=∞，从而e(∞)=0。
因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在
采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，
在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。
化简后，得W域特征方程
0.632kw 1.264w (2.736 0.632k ) 0
2
列出劳斯表
w2 w w
1 0
0.632k 1.264 2.736 0.632k
2.736 0.632k 0 0
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统
稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。
图7-23 例7-19离散系统
G ( z ) (1 z 1 ) Z

k S (S 1)
2
T 1s 时 D( z ) 1 G( z ) 0
2
(e T T 1) z (1 e T Te t ) k ( z 1)( z e T )
k=0,1,…,n－3
q1 p0 p3 p2 p1
q2 p0 p3 p1 p2
bn k 1
cnk 2 ck
bn 1 bk
……………
q0 p0 p3 p3 p0
朱利稳定判据 特征方程D(z)=0的根，全部位于z 平面上单位圆内的充分必要条件是 D(1)>0，D(－1) >0， 当n为偶数时； D(1)>0， D(－1)<0， 当n为奇数时； 以及下列(n－1)个约束条件成立
试用朱利判据判断系统的稳定性。
解 由于n=4, 2n－3=5, 故朱利阵列有5行5列。根
据给定的D(z)知：
a0=0.002, a1=0.08, a2=0.4, a3=－1.368, a4=1
计算朱利阵列中的元素bk和ck：
b0 a0 a4 a4 a0 1
b1
b3
a0 a4
a0 a4
G( z ) 闭环系统脉冲传递函数为 ( z ) 1 G( z )
故闭环系统特征方程为
1 G( z ) z 2 (0.632k 1.368) z 0.368 0 w 1 令z 代入上式，得 w 1
w 1 2 w 1 ( ) (0.632k 1.368)( ) 0.368 0 w 1 w 1
应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样， 用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定 性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的 判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就
是劳斯判据。
2
劳斯稳定判据
对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析
系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接 应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
( z 1) Tz e() lim ( z 1) E ( z ) lim z 1 z 1 1 G ( z ) ( z 1) 2 T T lim [( z 1)G ( z )] kv
z 1
式中 k v lim [( z 1)G ( z )] 称为静态速度误差系数。
3
朱利稳定判据
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类 似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数， 判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断 该离散系统的稳定性。 设离散系统的闭环特征方程可写为
D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0
an >0
特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3) 行、(n+1)列朱利阵列，见下表：
表 朱利阵列
在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各 元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如 下：
Leabharlann Baidubk
ck
dk
a0
a nk ak
an
b0
c0 cn2
k=0,1,…,n－1 k=0,1,…,n－2
|a0|=0.002, a4=1, 满足|a0|<a4
|b0|=1, |b3|=0.082, 满足|b0|>|b3| |c0|=0.993, |c2|=0.511, 满足|c0|>|c2|
故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。
4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
例7-19 设有零阶保持器的离散系统如图7-23所示， 试求： （1）当采样周期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临 界开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时， 系统的输出响应c(kT)。
特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单
位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的
坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
z 1 w 1 z 或 w z 1 w 1
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
a3 a1
a1 a3
1.368
0.082
b2
a0 a4
a2 a2
0.399
c0 c2
b0 b3 b0 b3
b3 b0 b1 b2
0.993 0.511
c1
b0 b2
b2 b1
1.401
作出如下朱利阵列：
因为D(1)=0.114>0, D(－1)=2.69>0
线性采样系统如图7-20所示。
其特征方程为
D（z） 1 GH（z） 0
显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即 是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统 稳定充要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1， 相应的线性定常系统是稳定的。
下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。 (1)单位阶跃输入时的稳态误差
( z 1) z e() lim ( z 1) E ( z ) lim z 1 z 1 1 G ( z ) z 1 1 1 lim [1 G ( z )] k p
z 1
式中 k p lim [1 G ( z )] 称为静态位置误差系数。
z 1
因为0型系统的kv=0， I型系统的kv为有限值， II型和II型以上系统的kv=∞ ，所以有如下结论：0型 离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统 在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以 上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。
（3）单位加速度输入时的稳态误差
( z 1) T 2 z ( z 1) e() lim ( z 1) E ( z ) lim z 1 z 1 1 G ( z ) 2( z 1)3 T2 T2 2 lim [( z 1) G ( z )] k a
７-５离散系统的稳定性与稳态误差
一 离散系统的稳定性
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根
据特征方程的根在 s 平面的位置。若系统特征方 程的所有根都在 s 平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z 变换以后，对系统的分 析要采用 Z 平面，因此需要弄清这两个复平面的
1 采样系统的稳定条件