导数的几何意义导学案

学习目标: 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系.

2. 理解曲线的切线的概念.

3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.

学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 学习难点：导数的几何意义.

一、知识回顾：

1.根据图像回忆函数平均变化率的几何意义是什么？__________________________________

2.平均变化率的表达式____________________

图3.1-1

二、学习过程

（1）、提出问题，展示目标

我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ （2）、合作探究

1.曲线的切线及切线的斜率

（1）如图

3.1-2,当

(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿

着曲线()f x 趋近于点

00(,())P x f x 时,割线n PP 的变

化趋势是什么？

（2）如何定义曲线在点P 处的切线？

(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？

(4)切线PT 的斜率k 为多少？

说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.

2.导数的几何意义

（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？

（2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？

3.导函数

（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？

图3.1-2

三、典例分析

例1 求曲线1)(2

+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.

变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.

例2.如图3.1-3,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min ) 变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 图3.1-3

例3. 如图3.1-4,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.

解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.

(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率 , 所以,在1t t =附近曲线下降,

即函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减.

(3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率

所以,在2t t =附近曲线下降,

即函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.

图3.1-4

课堂练习

1.求曲线3

)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.

2.

求曲线y =

在点(4,2)处的切线.

四、反思总结：

1.曲线的切线定义.

当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT

称

为曲线在点P 处的切线

2.导数的几何意义.

函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即

0000()()

()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆

3.求曲线在一点处的切线的一般步骤 ①求出P 点的坐标;

②求出函数在点0x 处的变化率0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆得到曲线在点

00(,())x f x 的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程

导数的几何意义 课后作业

1．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/

x f 的几何意义是（ ）

A 在点0x x =处的函数值

B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值

C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率

D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率 2．已知曲线3

x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（ ） A －1 B 1 C －2 D 2

3. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）

A. 4

B. 16

C. 8

D. 2

4.设)(0x f '=0，则曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线（ ） A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交

5.已知函数()x f ()10≤≤x 的图像是点()0,0和()0,1上的一段圆弧，若1021<<

()()2211x x f x x f A

< ()()2211x x f x x f B = ()()2

211x x f x x f C > D 都可能 6.若曲线p x x y +-=422

与直线1=y 相切，则实数p 的值是___________ 7.曲线x x y 43

-=在点()3,1处的切线倾斜角为________________

8. 已知曲线3

3

1x y =

，与直线084=++y x 垂直，并与该曲线相切的直线方程是______________ 9.已知曲线()x f 在点()()1,1f M 处的切线方程是22

1

+=x y ，则()()_________11=+'f f

10.曲线x x y +=

331在点⎪⎭

⎫

⎝⎛34,1处的切线与坐标轴围成的面积是_______________________ 11. 已知曲线331x y =上的一点)3

8

,2(P ，求（1）点P 处切线的斜率；

（2）点P 处的切线方程

12. 在曲线2

x y =上过哪一点的切线，

（1）平行于直线54-=x y ；

（2）垂直于直线0562=+-y x ；

（3）与x 轴成

135的倾斜角；

（4）求过点R （1，－3）与曲线相切的直线。