平行线几何证明专题训练复习学案
初中数学平行线的有关证明复习学案
第八章平行线的有关证明复习学案【学习目标】掌握定义、命题、公理和定理等概念,知道命题的结构，会判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题,进一步理解平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤. 并能灵活运用进行计算和证明.【重点难点】平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤. 并能灵活运用进行计算和证明.忆一忆(知识回顾)什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？1.证明题的基本步骤是什么？3.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？4.三角形内角和定理是什么？5.与三角形的外角相关有哪些性质？网络构建考点一、知识点归纳关于命题、定理公理证明1. 一般的，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做。
特征……叫做2. 判断一件事情的句子，叫做。
3. 每个命题都由和两部分组成。
4. 正确的命题称为，不正确的命题称为。
想要判定一个命题是假命题只需要 ,而要说明一个命题是真命题则需 .5. 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的命题叫做___________（书P428条公理）（等量代换）6. 推理的过程称为。
7. 经过证明的真命题称为。
同步练习1.下列语句属于定义的是（）.A.明天是晴天B.等角的补角相等C.长方形的四个角是直角D.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.下列语句是命题的有（）（1）相等的角是对顶角.（2）同位角相等，两直线平行.（3）过点O作直线AB的平行线.（4）若x2=y2，则x=y.（5）老师今天表扬你了吗？3.将下列命题改写成"如果...那么..."的形式.(1).同角的余角相等.(2).直角都相等.(3).对角线相等的平行四边形是长方形.4.（2019常州）判断命题“如果n＜1，那么n²-1＜0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以是（）A ﹣2B ﹣0.5C 0D 0.55.下列命题属于公理的是（）A.同角的补角相等.B.邻补角的平分线互相垂直.C.两点之间,线段最短.D.三角形任意两边之和大于第三边考点二平行线的性质及判定判定：（1）同位角相等，两直线平行。
平行线证明专题教案
教学主题：相交线与平行线证明专题教学重难点：使学生形成知识结构，并运用所学的知识进行简单的推理证明。
教学过程：1.导入复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和性质进行简单的推理或计算；能用直尺、三角板、量角器画垂线和平行线；提示两条易错概念,平行注意是过直线外一点,垂直注意是在同一平面内.2.呈现例1．已知：如图5，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。
如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。
例2.已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。
我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
例3.已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
数学北师大版七年级下册平行线复习课教案设计
善
整
合
请大家再次回顾反思主要知识点、方法以及知识结构，看你是否真正达到了本节课所要达到的目标.
教师提出要求，找2—3名同学回顾反思，教师和全体同学完善补充.
平行线复习课教案设计
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1．进一步熟悉同位角、内错角及同旁内角的定义和位置；
2．进一步理解和应用平行线的判定定理
3.进一步理解和应用平行线的性质定理；
4.能进行平行线的综合应用
过程
方法
3．熟练掌握三线八角（同位角、内错角、同旁内角），两直线平行的判定及其应用；
4．熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用；
矫
正
补
偿
1．对平行线的判定定理，除了以上三种方法外，还可以使用平行线的传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
2．还应将平行线的判定方法和性质定理放在一起，让学生自己去比较他们的相同点和不同点，这样印象更深刻
教师出示题目．
学生根据刚才复习的知识，独立完成，教师深入学生中进一步了解完成情况，对于出现问题的同学及时的指导，对问题比较集中的统一讲解分析.
、
了解学生完成情况，及时反馈通报、交流出现的各种情况.对于部分题目，根据学生完成情况简要讲评.
综
合
应
用
1．平行线的判定定理证明题的应用
2．平行线的性质定理证明题的应用
3．将两种定理在大题中综合进行应用和训练．
教师出示题目．
学生先思考，然后小组讨论，看看自己的结果是否正确．
教师巡视.
教师找部分学生展示自己的成果，及时点评和总结.
知
识
回
第9课时 《平行线及其判定》复习学案
第9课时《平行线及其判定》复习学案1、平行线：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
2、在同一平面内，两条直线的位关系： .3、判断正误并改错：①、两条直线不相交就平行，不平行就相交；②、在同一平面内，两条线段不相交就平行；③、两条直线的位置关系有：相交、垂直、平行.4、平行公理：经过直线有且只有与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和平行，那么这两条直线。
简写为：5、同位角的图形特征，可用字母“”来体现；内错角的图形特征，可用字母“”来体现；同旁内角的图形特征，可用字母“”来体现；指出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
同位角有：内错角有：同旁内角有：6、平行线的判定公理及定理（1），两直线平行；格式：（2），两直线平行；格式：（3），两直线平行；格式：（4），两直线平行；格式：（5），两直线平行；格式：解题指导第2、3题，要想到“在同一平面内”与“空间内”两种情况下直线的位置关系图形特征必须熟记，在复杂图形中时要学会分离出题中涉及到的角、直线等，从而得到最基本的简单图形格式要与公理或定理相一致。
AB C DEA 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、如图，判断DE ∥AC 的条件有哪些？依据是什么？解：由 = ，可得DE ∥AC ，理由是： 由 = ，可得DE ∥AC ，理由是：由 + =1800，可得DE ∥AC ， 理由是：由 + =1800，可得DE ∥AC ， 理由是：8、如图，下列推理中正确的有〔 〕① ∵∠1＝∠2，∴BC ∥AD ；② ∵∠2＝∠3，∴AB ∥CD ；③ ∵∠BCD+∠ADC=1800,∴BC ∥AD ；④∵∠BCD+∠ADC=1800,∴A B ∥CD.9、如图，已知AC ⊥AE,BD ⊥BF, ∠1＝∠2,AE 与BF 平行吗？为什么？首先分解出DE 、AC ，这是两条平行线，要判定两线平行，再分解出一条与它们相交的线，从而找出相对应的同位角、内错角、同旁内角。
平行线复习课教案
平行线（复习课）教案瑶林初级中学严林军 教学目标：1、复习巩固平行线的判定和性质，能应用判定和性质进行简单的推理或计算。
2、使学生进一步学会识图，学会添辅助线将复杂图形分解为基本图形，进行图形、符号语言、几何语言间的转化。
3、通过复习使学生了解分析问题的方法（分析法、综合法），初步领会化未知为已知的化归思想。
教学重点：掌握平行线的判定和性质，并能用它们进行简单的推理或计算，初步掌握分析问题和解决问题的方法。
教学难点：推理过程较为复杂，将知识条理化，系统化比较困难。
教学过程： 一. 知识回顾1. 三线八角的位置关系以及它们的基本特征（图形）2. 如何判定两直线平行？根据问题，学生回顾两直线平行的判定方法 3. 如果两直线平行，你又能得到什么结论？根据学生回答，回顾平行线的性质4. 分析平行线的“判定”和“性质”之间的互逆关系。
讲解课前练习1.如图，已知∠１＝∠２＝40o ，∠ 4=70o ，则∠ 3 的度数 ______2.AB ∥ CD ， BC ∥DE ，则∠ B+ ∠ D=______3.如图， a//b,且∠ 2 是∠ 1 的两倍， 那么∠ 2 等于（ ）A.60 °B.90 ° C120 °D150°4.如图 , AB ∥ CD,EG ⊥ AB, 若∠ 1=58°二 . 问题探讨例 1：如图，已知 AB// CD,AG 交 AB, CD 于 A 、C ，AE 、CF 分别平分∠ BAC, ∠ DCG 你.能说明 AE//CF的理由吗？变式 1：AB// CD,AG 交 AB, CD 于 A 、C ，AE 、CF 分别平分∠ BAC, ∠ＡＣＨ . AE 和 CF 还平行吗？请说明理由。
变式 2：若 AB// CD, 且ＡＥ与ＣＥ是一对同旁内角的平分线，那么ＡＥ与ＣＥ又会有怎样的位置关系？变式 3: 已知 : 如图 ,AE CE,AC 交 AB, CD 于 A 、 C ， AE 、 CE 分别平分∠ BAC 、 ∠DCA. 请说明 AB//CD 的理由。
【教学学案】《平行线的有关证明》复习学案
FBC DE 初二数学《平行线的有关证明》复习学案一、构建网络（一）补全本章知识点：1.定义： 命题通常由 和 两部分组成；叫做真命题， 叫做假命题 2. 叫做公理， 叫做定理； 3.平行线的判定定理：两直线平行4.平行线的性质定理：5.三角形内角和定理1： 外角定理1： 外角定理2： (二)自主构建网络图：二、巩固网络1．下列句子中，不属于命题的是( )A ．三角形的内角和等于180°B ．同位角相等C ．过直线外一点作已知直线的平行线D ．三角形的外角等于任意两个内角的和 2．可以用来说明命题“质数都是奇数”是假命题的反例是( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．63．将命题“等腰三角形的两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式为（第4题图） （第5题图）4．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB 与道路CD 平行，道路AB 与道路AE 的夹角为45°．城市规划部门想新修一条道路CE ，要求∠C=∠E ，则∠C= ． 5．如图：在△ABC 中，∠DBF 是它的一个外角，E 为边AC 上的一点，延长BC 到点D ，连结DE ，（1）∠DBF ∠D （填“＞”或“＜”）（2）∠DBF 与∠D 、∠DEC 、∠A 三角之间的数量关系为 反思：1、上面这些题目都用到了哪些知识点？2、需注意什么问题？ 三、范例尝试：例1.已知：如图，直线AB ∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD. （思考还有哪些方法）（方法一）（方法二）（方法三）（方法四）反思：1.你所添加的各种辅助线，是为了构造2.各种方法都运用了哪些知识？变式一：2. 已知：如图所示,若将AB∥ED改成相交与点A.求证：(1)∠BC D>∠A；(2)∠BC D=∠A+∠B+∠D. （思考还有哪些方法）（方法一）（方法二）反思：1.你所添加的各种辅助线，是为了构造2.各种方法都运用了哪些知识？变式二：(快手园地)3.已知：如图，直线AB∥ED，B F和DF分别平分∠ABC 和∠CDE ，试猜想∠F和∠BCD之间的大小关系和数量关系，并证明你的猜想。
部编人教版八年级上册《平行线的证明》复习教案
第七章平行线的证明回顾与思考一、学生情况分析学生的技能基础：学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步．学生活动经验基础：学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础二、教学目标是：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；数学能力：（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力；（2）掌握证明的步骤与格式．三、教学过程设计第一环节基础知识夯实过1.为什么要证明？要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。
2.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？证明题的基本步骤是什么？对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 .判断一件事情的句子,叫做命题.命题由条件和结论组成。
3.平行线的性质定理是什么？4.平行线的判定定理是什么？第二环节基础题型一遍过1.下列语句是命题的有（ 135 ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（5）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！（1）同角的补角相等；（真）（2）同位角相等，两直线平行；（真）（3）若|a|=|b|，则a=b；（假）3.阅读下列解题过程，在括号内填出理由：已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°（1）∵∠1=∠ABC(已知)∴AD∥ BC (同位角相等，两直线平行)(2)∵∠3=∠5(已知)∴AB∥ DC ( 内错角相等，两直线平行)(3)∵∠2=∠4(已知)∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)(4)∵∠1=∠ADC(已知)∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行)(5)∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）∴AB∥DC(同旁内角互补，两直线平行)4.已知：如图，∠1+∠2=180° .求证：∠3=∠4.54321BC DA证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）∠1+∠2=180°（已知）∴∠1+∠5=180°（等量代换）∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°，则∠BED=__________.第三环节综合提升探索过6.已知：如图，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD. 证法一：如图，过点C作CF∥AB.∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥ED（已知）∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）即：∠BCD=∠ABC+∠CDE证法二：如图，延长BC交DE于点G∵AB∥DE（已知）∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义）∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1）∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．7.已知：如图，直线AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
第八章 平行线的有关证明复习学案
第八章平行线的有关证明复习学案【学习目标】掌握定义、命题、公理和定理等概念,知道命题的结构，会判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题,进一步理解平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤.并能灵活运用进行计算和证明.【重点难点】平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤. 并能灵活运用进行计算和证明.一、知识点归纳（一）关于命题、定理及公理1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的。
2. 判断一件事情的句子，叫做。
3. 每个命题都由和两部分组成。
4. 正确的命题称为，不正确的命题称为。
想要判定一个命题是假命题只需要 ,而要说明一个命题是真命题则需 .5. 公认的真命题称为___________（书P428条公理）（等量代换）6. 推理的过程称为。
7. 经过证明的真命题称为。
8．由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的同步练习1. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”形式为___________ ___ _ _。
2. 请给出命题：“如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”是（真命题或假命题），理由：______________________________________。
3. 下列语句不是命题的是（）A. 2008年奥运会的举办城是北京B. 如果一个三角形三边a，b，c满足a2＝b2＋c2，则这个三角形是直角三角形C. 同角的补角相等D. 过点P作直线l的垂线4. 下列命题是真命题的是（）A.-a一定是负数B.a>0C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 有一角为80°的等腰三角形的另两个角都为50°5．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题. （二）平行线的性质及判定判定：（1）同位角相等，两直线平行。
（公理）（2）同旁内角互补，两直线平行。
（3）内错角相等，两直线平行。
性质：（1）两直线平行，同位角相等。
第七章平行线的证明期末复习学案北师大版八年级上数学
第七章 平行线的证明教学目标： 知识与技能：（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念； （3）进一步体会证明的必要性； 数学能力：（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力； （2）掌握证明的步骤与格式． 三、教学过程 第一环节 知识回顾 活动内容：2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
5. 如图所示，△ABC 中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB=6. △ABC 的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____.7. 已知，如图，AB ∥CD ，若∠ABE =130°, ∠CDE =152°，则∠ BED =__________.1 ABCDEF23ABCDA BC DEF第3题图第5题图第7题图第三环节想一想活动内容：1、已知，如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。
求证：∠1+∠2=180°第1小题图第2小题图2、已知，如图，∠1+∠2=180°,求证：∠3=∠4.第四环节试一试活动内容：3、已知，如图，直线AB∥ED.求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.（1）（2）本题有多种证法.4、将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？第五环节 反馈练习 活动内容：1、如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB ,则∠DEC 等于 【 】 （A ）63°(B) 62° (C) 55°（D ）118°（A ）垂直 (B)两条直线 (C)同一条直线 （D ）两条直线垂 直于同一条直线 3．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则 【 】 （A ）AB ∥CD (B) AD ∥BC (C) AD=BC （D ）AB=CD4．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】 （A ）锐角三角形(B)钝角三角形 (C)直角三角形（D ）无法确定5．锐角三角形中，最大角α的取值范围是 【 】 （A ）0º＜α＜90º (B) 60º＜α＜90º (C) 60º＜α＜180º （D ）60º≤α＜90º6、如图：∠A=65º ，∠ABD=∠BCE=30º，且CE 平分∠ACB,求∠BEC.7、如图，AB ，CD 相交于O ，且∠C ＝∠1。
平行线的有关证明复习课导学案
（∠1 图2
，AB
是等腰三角形。
F E D C B A
2、下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2. （3）一个角的余角一定小于这个角的补角。
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3、如图1所示，AD 平分∠CAE ， ∠B=30°，∠CAD=65°，∠ACD=（ ）
4、如图2所示，AB//CD ，_________2,1403,1151=∠︒=∠︒=∠。
5、如图3所示，︒=∠=∠⊥⊥301,,F EF CD EF AB ，那么与∠FCD 相等的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6、如图4，将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为 .
7、如图5所示，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_____．
8、如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于（ ）
9、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、无法确定 10、已知，如图，∠
1+
∠2=180°,求证：∠3=∠4.
F E
D C B A。
平行线几何证明专题训练复习学案
平行线几何证明专题训练 教学目标 通过对证明题的讲解与练习，使学生明白如何做证明题、如何写证明题的步骤 教学重难点 证明题的步骤一、知识点的讲解1.平行线的判定方法：判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么着两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么着两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
2.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补性质4：平行于同一条直线的两条直线平行性质5：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
3.两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度二、典型例题 例1：推理填空：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°将求∠AGD 的过程填写完整：G FE DCB A 321∵EF ∥AD ，∴ ∠2 = 。
（ ）∵∠1 = ∠2，∴ ∠1 = ∠3。
（ ）∴AB ∥ 。
（ ）∴∠BAC + = 180°。
（ ） 又∵∠BAC = 70°，∴∠AGD = °。
（ ）例2：如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.例3：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．例4：已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠CDA ，BF 平分∠CBA ，且∠=∠A D EAED 。
求证：DE FB //例5：已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，。
求证：∠=∠E FD F C AE B A B 1 EF 2 C P D三、课堂练习1. 如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ）又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ）∴∠E ＝∠____（ ）∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．2.如图，CD ⊥AB 于D ，E 是BC 上一点，EF ⊥AB 于F ，∠1=∠2.试说明∠BDG+∠B=180°.A B C DE FG123变式训练：如图，CD ⊥AB 于D ，FG ⊥AB 于G ，ED ∥BC,试说明21∠=∠.3、如图，已知AB ∥CD ，EF 交AB,CD 于G 、H, GM 、HN 分别平分∠AGF ，∠EHD ，试说明GM ∥HN.4.已知AD 与AB 、CD 交于A 、D 两点,EC 、BF 与AB 、CD 交于E 、C 、B 、F,且∠1=∠2,∠B=∠C ．试判断∠A 与∠D 的数量关系并说明原因。
北师大版第六章 平行线的证明复习课教学设计
第六章平行线的证明复习课教学设计学情分析：在本章的学习中，学生已经掌握了几何的推理论证的基本理念，对于简单的几何证明有了一定的认识，但不能从更深层次进行思考，对于如何分析命题中的条件与结论则存在一定的困难，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用分解目标：1．进一步理解命题、定理等概念，熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角；2．在解题中能够熟练利用平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角进行相关证明；3．培养学生的逻辑思维能力，进一步规范学生的证明格式．目标叙写：1．学生通过自查回顾本章主要内容，体会各知识点之间的联系；2．学生通过梳理共同完成本章思维导图，建构知识网络结构；3．学生通过练析、变练进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等；4．学生通过评价练习，进一步巩固本章相关知识，并体会证明的必要性．教学重难点：重点：能熟练利用平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等；难点：能熟练利用平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质，并进一步规范证明格式．教学过程：一自查1．下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例．（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b ． 2．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________.3. 如图所示，△ABC 中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB= . 4．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB ,则∠DEC 等于( ) A 63° B 118° C 55°D 62°ABCD5．如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB . 二 梳理目的：利用梳理，师生一起回顾本章主要内容，体会各知识点之间的联系，构建知识网络结构． 三 练析例1：已知，如图，直线AB ∥ED .求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD .（1） （2）证明：本题有多种证法.证法一：（如图（1））过点C 作CF ∥AB .DABCE第3题图第4题图第5题图平行线的证明易错点 知识点数学思想∴∠ABC =∠BCF （两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥ED （已知）∴ED ∥CF （两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行） ∴∠EDC =∠FCD （两直线平行，内错角相等） ∴∠BCF +∠FCD =∠EDC +∠ABC （等式性质） 即：∠BCD =∠ABC +∠CDE证法二：（如图（2）），延长BC 交DE 于F 点 ∵AB ∥DE （已知）∴∠ABC =∠CFD （两直线平行，内错角相等） ∵∠BCD 是△CDF 的一个外角（已知）∴∠BCD =∠CFD +∠CDE （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠BCD =∠ABC +∠CDE （等量代换）．目的：学生在进行了一些必要的知识准备之后，有必要对学生进行简单几何证明题的训练，从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力． 四 变练将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图的连法最短（即用线段AE 、DE 、EF 、CF 、BF 把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE =∠ADE =30°,∠AEF =∠BFE =120°,你能证明此时AB ∥EF 吗？目的：通过螺旋式上升的练习，使得学生逐步提高学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力，提高分析问题的能力． 五 评价1．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则 （ ） A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD=BC D ．AB=CD2．如图：∠A=65º，∠ABD=∠BCE=30º，且CE 平分∠ACB,第1题A求∠BEC．3．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.课堂小结：1．本节课哪些已经遗忘的知识得到了巩固？2．那些知识有了新的认识？3．本章主要涵盖了那些数学思想方法？4．你还有那些疑惑？目的：师生共同总结本节课的收获．作业布置：ABGCE132。
北师大版八年级上册数学 第七章 平行线的证明 复习 学案
期末复习(七) 平行线的证明【知识结构】平行线的证明⎩⎪⎨⎪⎧证明的必要性定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧定义与命题定理与证明平行线⎩⎪⎨⎪⎧判定性质三角形内角和⎩⎪⎨⎪⎧内角和定理的证明三角形的外角性质【典型例题】【例1】下列命题是真命题的有 ．(填序号)①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④点P(1，2)关于x 轴的对称点的坐标是(－1，－2)．【例2】如图，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HN 分别平分∠AGF 、∠EHD.证明：GM ∥HN.【例3】如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角平分线，若∠ABP ＝20°，∠ACP ＝50°，那么∠A ＋∠P ＝( )A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【例4】如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．【跟踪强化】 一、选择题1．下列命题，是真命题的是( )A ．同位角相等B ．全等的两个三角形一定轴对称C ．不相等的角不是内错角D ．同旁内角互补，两直线平行 2．如图，已知∠AOB ＝70°，OC 平分∠AOB ，DC ∥OB ，则∠C 为( ) A ．20°B ．35°C ．45°D ．70° 3．如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于( )ABC D E1 F2A．23°B．16°C．20°D．26°4．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A．10°B．20° C．25°D．30°5.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD交于点F，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )A．118°B．119° C．120° D.121°第2题图第3题图第4题图第5题图6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是( )A．50°B．65°C．25°D．65°或25°二、填空题1．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是，结论是．2.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD ＝．3．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°.则∠1＝( )A．60°B．50° C．45° D．25°第2题图第3题图第4题图第5题图4．如图，三条直线两两相交，则∠1＋∠2＋∠3＝．5．如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝度．6．如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝度．三、解答题1．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2为多少度？2.如图，AB∥CD，∠BAE=300,∠ECD=600,那么∠AEC度数为多少？A B【当堂检测】1．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于（）（A）63°(B) 62°(C) 55°（D）118°2．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）（A）锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形（D）无法确定3．如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则（）（A）AB∥CD (B) AD∥BC (C) AD=BC （D）AB=CD4.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于 .5、如图：∠A=65º，∠ABD=∠BCE=30º，且CE平分∠ACB,求∠BEC.6.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1＋∠2＝100°，求∠A的度数．AB CDEF1DABE第1题第3题第4题7.如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点D、C，在直线CD上有一点P.(1)如果点P在点C、D之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的关系？如果点P运动，它们的关系是否发生变化？(2)如果点P不在点C、D之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系是怎样的？。
北师大版初中数学八年级上册 第七章 平行线的证明复习、回顾与思考 教案
第七章平行线的证明回顾与思考教学目标1.复习本章的知识点，了解各知识点之间的关系，巩固所学的知识，并能用这些知识解决一些问题。
2.经历知识的总结过程，回顾知识点，发展形成知识结构的能力。
教学重点进一步理解和掌握本章的公理及定理，掌握证明的步骤与格式，在证明过程中发展初步的演绎推理能力。
教学难点掌握证明的方法及应用定理解决问题。
教学方法自主反思，归纳总结.教学教具直尺，三角板，量角器教学过程本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．第一环节知识回顾活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备． 注意事项：由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做 活动内容：1.下列语句是命题的有（ ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
第七章平行线的证明-复习回顾教案
1.提升学生的几何直观与空间想象能力，使其能够运用平行线的性质和判定方法分析解决实际问题；
2.培养学生逻辑推理与数学论证能力，通过平行线证明的过程，学会严密的逻辑思维和推理方法；
3.强化学生的问题解决能力，能够运用平行线相关知识发现、提出和解决问题；
4.增强学生的数学抽象和数学建模素养，将实际问题转化为数学模型，运用平行线相关知识进行求解；
-重点2：平行线的判定方法，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三种情况。
-举例：通过练习题，让学生熟练掌握并运用这些判定方法来判断实际图形中的直线是否平行。
-重点3：平行线之间的距离概念及其应用。
-举例：解释平行线之间距离的意义，并通过实际问题，让学生学会如何计算平行线之间的距离。
2.教学难点
第七章平行线的证明-复习回顾教案
一、教学内容
《第七章平行线的证明》复习回顾教案：
1.回顾平行线的定义及性质；
-性质1：同位角相等，两直线平行；
-性质2：内错角相等，两直线平行；
-性质3：同旁内角互补，两直线平行。
2.复习平行线的判定方法；
-判定1：同位角相等，两直线平行；
-判定2：内错角相等，两直线平行；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行线的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如平行线证明的逻辑推理，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用直尺和量角器，学生们将实际操作来验证平行线的性质。
在实践活动方面，我觉得可以增加一些动手操作的环节，让学生亲自动手画图、测量角度，从而更直观地理解平行线的性质。同时，通过实验操作，学生可以加深对几何图形的印象，提高空间想象力。
七年级数学《平行线的有关证明》复习学案
第八章平行线的有关证明总复习习题课（4）目标导航1.知识与能力：归纳、整理平行线的相关知识，进一步体会证明的必要性2.过程与方法：经历探索过程，体会平行线的应用，培养数学应用能力。
3.情感态度价值观：通过活动，培养学生的合作意识，体会数学与生活的联系。
学习过程：第一环节回顾与思考1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？探索思考1-----课本复习题12探索思考2-----课本复习题10第二环节练一练1.下列语句是命题的有（）（1）两点之间线段最短；（2）同位角相等（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（5）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反假！（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b；3. 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4.已知：如图D.E.F分别是BC, CA ,AB上的点,DE ∥BA,DF∥CA,求证：∠FDE=∠A证明：∵DE∥BA（）∴∠FDE=∠BFD （）∵DF∥CA,（）∴∠BFD=∠A （）∴∠FDE=∠A （）5.已知：如图，直线a,b被直线c所截，a∥b求证：∠1+∠2=180°6.已知：如图，∠1+∠2=180°求证：∠3=∠4. .第三环节例题赏析例1 已知: 如图所示.求证: (1)∠BDC>∠A;(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.DFACEBBAD例题2：例题3：第四环节拓展提升--辅助线的添加方法例题4.已知：如图，直线AB∥ED.求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.变式训练：有一天小虎同学用“几何画板”画图,他先画了两条平行线AB,CD,然后在平行线间画了一点E,连接BE,DE后(如图1),他用鼠标左键点住点E,拖动后,分别得到如图2,图3,图4等图形,这时他突然一想,∠B,∠D与∠E之间的度数有没有某种联系呢?接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系.(1)你能探讨出图1至图4各图中的∠B,∠D与∠E之间关系吗?(2)请从所得的四个关系中,选一个说明它成立的理由.第五环节当堂检测1.如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于【】（A）63° (B) 62° (C) 55°（D）118°2．命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的条件是【】（A）垂直 (B)两条直线(C)同一条直线（D）两条直线垂直于同一条直线3．如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则【】（A）AB∥CD (B) AD∥BC (C) AD=BC （D）AB=CD4. 如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是( )(A)∠A>∠1>∠2 (B)∠2>∠1>∠A(C)∠A>∠2>∠1 (D)∠2>∠A>∠15. 如图,点D,E在△ABC的边上,CD与BE相交于点F.则∠1,∠2,∠3,∠4应满足的关系是( )(A)∠1+∠4=∠2+∠3 (B)∠1+∠2=∠3+∠4(C)∠1+∠2=∠4-∠3 (D)∠2-∠1=∠3+∠46、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.7如图，BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，D 、F 分别为垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG ＝∠CA BCD G EF 128. 如图,若AB ∥CD,∠1=∠2,求证:∠E=∠F.第六环节 布置作业 1.第八章复习题 2.完成课后巩固练习。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
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平行线几何证明专题训练
一、知识点的讲解
1.平行线的判定方法：
判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么着两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么着两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
2.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等
性质2：两直线平行，内错角相等
性质3：两直线平行，同旁内角互补
性质4：平行于同一条直线的两条直线平行
性质5：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
3.两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度
二、典型例题
例1：推理填空：
如图，∥，∠1 =∠2，∠ = 70°
将求∠的过程填写完整：
∵∥，
∴∠2 = 。
（）
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠3。
（）
∴∥。
（）
∴∠ + = 180°。
（）又∵∠ = 70°，
∴∠ = °。
（）
例2：如图，已知，于D，为上一点，于F，交于G.求证.
例3：如图，已知∥，∠1＝∠2，试说明∥．
例4：已知：如图，，平分，平分，且。
求证：。
5
例
：已知：如图，
求证：
三、课堂练习
1.如图，∥，试问∠B、∠E、∠有什么关系．
解：∠B＋∠E＝∠
过点C作∥，
则（）
又∵∥，∥，
∴（）
∴∠E＝∠（）
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠．
2.如图，⊥于D，E是上一点，⊥于F，∠1=∠2.试说明∠∠180°.
变式训练：如图，⊥于D，⊥于G，∥,试说明.
3、如图，已知∥，交于G、H, 、分别平分∠，∠，试说明∥.
4.已知与、交于A、D两点、与、交于E、C、B、F,且∠1=∠2,∠∠C．试判断
∠A与∠D的数量关系并说明原因。
5.如图，是∠的平分线，∥，∠B = 30°，你能算出∠、∠、
∠C的度数吗？
四、课外练习
1.已知：如图，。
求证：
2.已知：如图∠1=∠2，∠∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由．
3.如图（6），⊥，∥，∠35°，求∠的度数。
4.已知∠∠，∠1=∠2，则∠F与∠G相等吗？为什么？
5.如图（7），已知∠∠∠C，试说明：∥。
6.如图,∠1+∠2=180°,∠∠平分∠.
(1)与会平行吗?说明理由；
(2)与的位置关系如何?为什么?
(3)平分∠吗?为什么？。