“至少或至多”型排列组合应用题的解法
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
行测判断推理：逻辑判断中的“至多”与“至少”问题
行测判断推理：逻辑判断中的“至多”与“至少”问题有时候大家碰到“至多”“至少”之类题目就不知道怎么做，小编为大家提供行测判断推理：逻辑判断中的“至多”与“至少”问题，一起来学习一下吧！行测判断推理：逻辑判断中的“至多”与“至少”问题在行测逻辑判断题目中，题目经常会出现“至多”“至少”之类的词，不少考生面对这种表述的时候就会非常纠结，不能准确理解其含义。
其实，对于这种表述，我们可以找到对应的翻译方式。
如果是“至少有一个”，那么用逻辑语言“或”表示即可，但是如果表述比较复杂，不容易翻译成逻辑语言，我们也无需从言语理解的角度去绞尽脑汁，有一个非常简单的方法就是利用基础的数学知识，把“至多”“至少”都用不等式表示出来，其含义也就一目了然了。
比如“甲、乙、丙、丁四人中，至少有2个人参加会议，如果这句话为假，我们可以得到的结论是什么?”对于这种表述，我们可以首先把“至少2人”用不等号表示为“≥2”，这句话为假，说明其矛盾为真，说明参加会议的人是“﹤2”，即只有1人。
下面小编通过一个具体的题目来强化这一方法的训练。
例：副校长：我主张王老师和邱老师中至多有一人可以被推荐为国家级教学名师候选人。
校长：我不同意。
以下哪项最准确地表达了校长的意见?( )A.王老师和邱老师都不可以被推荐为国家级教学名师候选人B.王老师和邱老师中至少有一人可以被推荐为国家级教学名师候选人C.王老师和邱老师都可以被推荐为国家级教学名师候选人D.如果王老师可以被推荐为国家级教学名师候选人，则邱老师也可以【答案】C。
解析：这道题目中出现了“至多有一人”，可以用不等号表示成“≤1”，而校长说“我不同意”，说明校长的观点与上述不等式矛盾，即“>1”，由于一共就两个人(王老师和邱老师)，因此两个人都被推荐为国家级教学名师候选人。
对于这道题目，其实也是矛盾的一种典型的考察方式——已知真求假。
通过校长的“我不同意”这句话，我们需要准确判断出需要通过求矛盾来解答题目。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
（完整版）解排列组合应用题的解法技巧（可编辑修改word版）
（完整版）解排列组合应用题的解法技巧（可编辑修改word版）n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六. 机会均等法七. 转化法八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
排列组合应用题的类型及解题策略.
排列组合应用题的类型及解题策略排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排位置中再排4个舞蹈节目有47A A种法为4676例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040A A＝3600，故选B解：不同排法的种数为5256说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
公考数量关系一点通-排列组合中的至少分配模型
排列组合中的至少分配模型华图在线杨洁“至少分配1个/n个”是排列组合问题中的一种常见模型，解决这类问题的方法是隔板法。
由于这种模型有固定的套路，考生应该优先掌握这种模型。
隔板法适用的特征是：有若干个相同的元素要分成若干组；最基本的问法是：将M个相同的元素分给N个对象，每个对象至少分得一个的方式有多少种？处理这种形式，在M个元素形成的M－1个空里，挑选N－1个空各插入一个板，就可以将M个元素分成N组，且每组不少于一个；即有N-1M-1C种分法。
【例1】（2014河南）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？A. 14B.18C.20D.22【答案】C【解析】要满足7个相同桔子分给4个小朋友，每人至少一个，可以将7个桔子摆一排，在中间的6个空中插3个板，则共有36C＝20（种）。
因此，选择C选项。
隔板法有很多种变形，目前常考的基本上是变形类考法，即“至少1个”变形为“至少n个”，这种情况要先转化为“至少1个”，再使用隔板法。
如上题可改为以下三种形式：（1）将7个大小相同的桔子分给3个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？（2）将7个大小相同的桔子分给3个小朋友，要求每个小朋友至少得到2个桔子，一共有几种分配方法？（3）将7个大小相同的桔子分给3个小朋友，一共有几种分配方法？第（1）种形式，直接使用公式，即分法有26C=15（种）。
第（2）种形式，先给每个小朋友都分一个，转化为有4个桔子分给3个小朋友，每个小朋友至少1个，则可以直接使用公式，即分法有23C=3（种）。
第（3）种形式，先从每个小朋友那里“借”来一个，转化为有10个桔子分给3个小朋友，每个小朋友至少1个，则可以直接使用公式，即分法有29C=36（种）。
可以看出，这三种形式是有联系的，至少0个、至少1个、至少2个，空隙分别是9、6、3。
有了这种转化，就可以轻松应对变形类的隔板法题目。
排列组合问题的解题技巧
排列组合问题的解题技巧陕西武功梁小宁排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:1、相邻问题捆绑法例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。
A、720B、360C、240D、120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人有种排法，与其余四人进行全排列有种排法，由乘法原理可知，共有 =240种不同排法，故选（C）。
点评：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。
对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。
训练： 3名男教师，3名女教师，6名学生站成一排，要求男教师和女教师必须站在一起，且教师不站在两端，则一共有多少种站法？2、相隔问题插空法例2排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？解:(1)先排歌唱节目有种，歌唱节目及两端有6个空位，从这6个空位中选4个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种。
(3)先排舞蹈节目有种排法，在舞蹈节目和两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有种。
训练：若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”，求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？点评：从解题过程可以看出，“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。
在具体操作时，可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置，从而保证它们不相邻。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)
n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。
n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。
(完整word版)排列组合的二十种解法总结,推荐文档
超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高考数学排列组合解题方法汇总
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解析：完成此事共分 5 步，第一步；将第一位同学报名课外活动小组有 2 种 第二步：将第二位同学报名课外活动小组也有 2 种，依次类推，由分步计数原理知共有
2 5 32 种不同报名方法。故选 D
17.数的大小排列问题查字典法：对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的 方法，从高位到低为位依次确定。 例 17．在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （ ） A．56 个 B．57 个 C．58 个 D．60 个 解析：① 查首位： 3 型有 A4 种 ； ② 查前两位： 42 型和 41 型共有 2 A3
排列组合应用问题的解题二十一法
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元 素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。 （即注意“松绑” ） 例 1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ A、720 种 B、360 种 C、240 种 D、120 种
4 3 2
18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18．马路上有编号为 1，2，3„，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 字作答） 解析： 把此问题当作一个排对模型， 在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法, 所以满足条件的关灯方案有 10 种.。故应填 10 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例： 19 将标号为 1，2，„，10 的 10 个球放入标号为 1，2，„，10 的 10 个盒子里，每个 盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不 一致的放入方法种数为（ ） ． A．120 B．240
高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。
四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法：②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
高中数学必修3《排列组合问题经典题型与通用方法》
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
解排列组合应用题的21种策略
凭祥高中复习资料高三2011届解排列组合应用题的21种策略2011.3.15排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中排列组合问题解法大全(新版)
解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种。
二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
结论2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例7六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 + + =90(种)。再考虑排列，即再乘以 。所以一共有540种不同的分法。
十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 .
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
种.
九.对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例19. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是
高三复习：排列组合问题的解题方法
排列组合问题的解题方法一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑.例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有44A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有24A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24A =192(个)．二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列.例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55种，甲、乙二人的排列有A 22种，共有A 22·A 55=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可.例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个.解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A 种.四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？解：6个人的全排列有A 66种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 33种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 33=240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列.例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.解：6个人中选3个人排在前排有A C 3336种，剩下3人排在后排有A 33种，故共有A C 3336A 33=A 66=720种.六、分组与分配问题的解法例6、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=CC C 分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=•！！CC C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=A C C C 分法；⑸共有60332516=C C C 分法.【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.七、综合问题的解法：对排列组合的综合问题，由于限制条件较多而使问题较为复杂.解此类问题时，应注意解题的基本策略与方法，抓住问题的本质，采用恰当方法求解.1、分类分步法：解排列组合的综合问题，应遵循“按元素的性质进行分类，按事情的发展过程进行分步”的原则，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例7、6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？解：按元素甲分类：①甲在排尾，此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起，有A 55种排法；②甲不在排尾，而甲又不在排头，则甲有A 14种排法，乙不在排尾也有A 14种排法，其它4人有A 44种排法，共有A 55＋A 14A 14A44=504种.2、排除法：对含有否定词的问题，也可从总体中把不符合条件的排法除去，此时应注意不能多除，也不能少除.例如：在例8中，6个人的全排列有A 66种，甲在排头的排法有A 55种，乙在排尾的排法有A 55种，甲在排头且乙在排尾的排法有A 44种，故共有A 66－A 55－A 55＋A 44=504种. 3、集合思想例8、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百位，数字5不在个位，共有多少个这样的五位数？解：设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排法}，B={3在百位上的排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有：card （M ）－card （A ）－card （B ）－card （C ）＋card （A ∩B ）＋card （B ∩C ）＋card （C ∩A ）－card （A ∩B ∩C ）=16083324354657=-+-A A A A 个. 4、图示（表）法：对于某些综合问题，如暂无思路求解，可考虑回归课本，用树图、框图或图表法求解.例9、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？解：（树图法）如图，共有9种不同的选法. 例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.解：⑴男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有2A 33·A 33=72种； ⑵甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，××甲××乙，因甲乙可交换位置，故共有3×A 22×44A =144种. 例11、9人组成的蓝球队中，有7人会打卫，3人会打锋，现选5人，按3卫2锋组队出场，有多少种不同的组队方法？解：9个人中7人会卫3人会锋，故有1人既会卫也会锋，则只会卫的有6人，只会锋的有2人，见下表：故共有A A 2236＋A A C 223326＋A C A 221236=900种方法. 5、至多、至少问题间接法：对于含有 “至多”、“至少”的组合问题，分类讨论十分麻烦，若用间接法处理，可使问题简化.例12、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这10个名额的不同分配方法有多少种？②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机各一台的不同选法有 种？解：①（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它们视作排成一排的10相同的球，要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔方法都对应一种名额的分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进5块隔板，共有C 59=126种放法，故共有126种分配方法. ②（排除法）在被取出的3台中，不含甲型或不含乙型的取法分别为34C 与35C 种，故符合题意的取法有39C －34C －35C =70种.6、角色转换法：对元素可重复的排列组合问题，若将元素与位置互换，则可化为相异元素的问题求解.例13、有2个A ，3个B ，4个C 共9个字母排成一排，有多少种排法？解：将字母作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有1260443729 CC C 种不同的排法.7、分组与分配问题的解法例14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=C C C 分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=•！！C C C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=A C C C 分法；⑸共有60332516=C C C 分法. 【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.8、方程思想例15、球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分。
“至少型”排列组合问题的求解策略
数 学篇
１
’和 和 扣 ＋ ＋ ＋ 扣 和 扣 ｃ 叶 叶叶
和 ＋ 扣 ■ ■ 和 扣 如 ■ 和 扣 扣 和 ■ 扣 和 和 扣 扣 扣 扣 和 扣 和 和 扣 和 ｘ 叶
呻 呻
至 少 型 ＂排 列 组 合 问 题 的 求 解 策 略辜
３台 ， 中至 少要 甲 型与 乙型 电视 机 各 一 台 ， 不 同 其 则 的取法 有— — 种．
辆车抽 自一个车队 ， Ｃ 种方法 ； 有 ； ３辆车抽 自两个车
队， ２ 种 方法 ； 辆 车抽 自三个车 队 ， 有 ３ 有 种方法．
分析 为保 证 至 少 甲型 与 乙型机 各一 台 ， 用 可
Ａ ＝２０ 它也是错解． ４． 这里对甲既与乙相邻 ， 又与 丙相邻 的情况 减去 了两次 ， 补 上。 要特别 注 意 ， 应 还 这
用， 应适 时使用 ， 可等 闲观之 ， 不 防本末 倒置
如 “ 室 内有 ８盏 灯 ， 教 问有 多少 种 不 同 的开 灯 照
里 补上 的不 是 “ 、 、 相 邻 ” 而 是 “ 甲丙 ”或 甲 乙 丙 ， 乙
是说 ， 一般 的排 列与组 合 问题 通 常采用分 类 分步 或排
除即能解 决．
体 视为一 个元 素 ， 再对 三个 元素做 全排 列即可．
故总的放映方法为 ｃＬ ；＝１ （ ． ４２ ８ 种） ０
六、 隔板 法
例 ８ 某班要 将 ２ ０个笔 记本分 配给 １ ５名学 生 ，
３ ３ ３ ３ ４， ； ， ， ； ， ， ； ２ ２ 显 然共 有 ｌ ， ， ； ， ２ ４ ２ ３ ４ ３ ２ ５， ，． Ｏ种 分配 方 法． 二 、 类法 分