2019-2020年高中数学 第三章 换底公式教案 北师大版必修1
2019-2020学年高中数学北师大版必修1课件：3.4.2 换底公式
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4.2 换底公式
探究一
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利用换底公式化简与求值
【例1】 (1)化简:(log227)·(log38)= . (2)化简:(log43+log83)(log32+log92)= .
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4.2 换底公式
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答案:A
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4.2 换底公式
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答案:C
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4.2 换底公式
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3.若log45·log5x=2,则x= .
答案:16
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答案:log38
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4.2 换底公式
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解析:结合换底公式的特征,可知选项D不正确.因为底数必须满 足大于0且不等于1.
答案:D
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4.2 换底公式
高中数学北师大版必修1 3.4 教学设计 《换底公式》(数学北师大必修一)
《换底公式》◆教材分析根据教材及学情特点，本课以探究式教学法为主，辅之以讨论法和自学辅导法．以问题为主线，力求创设有效的教学情境，引导学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华．通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性．同时注重信息技术与数学课程的整合，借助多媒体设备进行辅助教学．◆教学目标【知识与能力目标】对数换底公式的应用,理解对数换底公式的意义.【过程与方法目标】在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.【情感态度价值观目标】让学生了掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。
；培养学生观察问题、分析问题的能力.◆教学重难点◆【教学重点】对数换底公式的应用。
【教学难点】对数换底公式的推导。
教学课件、图表、清单。
从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．【设计意图】设置案例，引出新课题，引起学生的兴趣和思考。
新课讲授1．换底公式(1)log b N ＝log a Nlog a b (a 、b>0，a 、b≠1，N>0)(2) log a b.log b a ＝1 (a>0且a≠1，b>0且b≠1)(3) log a b.log b c.log c d ＝ (a ，b ，c ，d>0，且a ，b ，c≠1)2. 证明公式：log b N ＝log a Nlog a b (a 、b>0，a 、b≠1，N>0)证明：设x=log b N ，则b x =N ，两边取以a 为底的对数，得x ,即。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第2课时对数的运算性质及换底公式学案(含解析)北师大版必修1
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
分析(2)：换成常用对数
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ．
例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
两边同取常用对数得： b1log3=lg5，b2lg2=lg5．
在等式(*)中，从左到右，对数的底数变了，原对 数等于原真数的以10为底的对数除以原底数以10 为底数的对数所得的商，
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较下列两组值的大小：
生：第1题是“底”同“真”不同的两个对数值，可利 用对数函数
2019-2020年高中数学3.4.2《换底公式》教案北师大版必修1
2019-2020年高中数学342《换底公式》教案北师大版必修1［教学目的］使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。
［教学重点］对数换底公式的应用［教学难点］对数换底公式的推导一、新课引入：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771, 求log=?像log这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。
能不能将以5为底的对数,换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。
什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。
二、新课讲解：公式：证明：设，则，两边取以a为底的对数，得x, 即。
1、成立前提：b>0且b z 1,a>0,且a丰12、公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。
一般常换成以10为底。
3、自然对数lnN=log e=2.71828三、巩固新课：例1、求证：1:2:例2、求下列各式的值。
(1) 、log 98?log 3227(2) 、( log 43+log 83)? (log 32+log 92)(3) 、log 49?log 32(4) 、log 48?log 39(5) 、( log 2125+log 425+log 85)? (log s2+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用 a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。
法二、换成以3为底的对数。
法三、换成以10为底的对数。
练习：已知log 189=a,18 b=5,求log 3645。
例4、已知12x=3,12 y=2,求的值。
2 2练习：已知Iog8a log q b piog g b log q a =7，求a?b的值；例5、有一片树林，现有木材2xx方，如果每年比上一年增长 2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A方，则A=2xx （1+2.5%）15=2xx X 1.02515LgA=lg2xx+15 X Ig1.025=4.3424+15 X 0.0107=4.5029••• A=131840答：15年后约有木材131840方。
高中数学北师大版精品教案《换底公式》
换底公式【教学目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。
【教学重难点】1．能推导出对数的换底公式。
重点2．会用对数换底公式进行化简与求值。
难点、易混点【教学过程】一、问题引入换底公式：og b N＝错误!a，b＞0，a，b≠1，N＞0。
特别地，og a b·og b a＝1，og b a＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。
二、新知探究1．利用换底公式化简求值【例1】计算：og1627og8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。
[解]og1627og8132＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!。
【教师小结】（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底。
（2）换底公式的派生公式：og a b＝og a c·og c b；og an b m＝错误!og a B．2．用已知对数表示其他对数【例2】已知og189＝a，18b＝5，用a，b表示og3645．[解]法一：因为og189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以og3645＝og2×185×9＝og2×1818a＋b＝a＋b·og2×1818．又因为og2×1818＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!。
法二：∵18b＝5，∵og185＝b，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
法三：∵og189＝a，18b＝5，∵g 9＝a g 18，g 5＝b g 18，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
【教师小结】用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（3）注意一些派生公式的使用。
2019-2020学年北师大版数学必修一新素养同步讲义：第三章44.2换底公式 Word版含答案
姓名，年级：时间：4．2 换底公式，[学生用书P59]）1．对数换底公式log b N＝错误!（a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．2．常用推论（1）log a b·log b a＝1（其中a〉0且a≠1，b〉0且b≠1)．（2)log a b·log b c·log c a＝1（其中a，b，c均大于0且不等于1）．(3)log am b n＝错误!log a b(其中a>0且a≠1，b〉0)．1．判断正误(正确的打“√",错误的打“×”）（1)因为错误!＝错误!,所以lg 2可以写成ln 2.（）（2）log32不可以表示成log32＝错误!.（）(3）ln N＝错误!是对ln N通过换底公式以10为底得到的．（）(4)log am b n＝错误!log a b.( ）答案:(1)×(2)×（3)√(4)×2．log713等于（）A．log137 B.错误!C.错误!D.错误!解析:选B。
log713换为常用对数为错误!。
3.错误!＝________．解析：错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝1。
答案：14．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________．解析：因为log34·log48·log8m＝2，所以错误!·错误!·错误!＝2，化简得lg m＝2lg 3＝lg 9。
所以m＝9.答案：91．对换底公式的两点说明(1）条件：公式在左右两边对数式都有意义的情况下才能成立．(2)作用：换底公式可以将对数化成以10或e为底的对数，可以将不同底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建起了一座桥梁．2．对数换底公式常见的两种变形（1)log a b·log b a＝1，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．(2）log Nn M m＝错误!log N M,此公式表示底数变为原来的n次方,真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．利用换底公式求值［学生用书P59]计算:(1)log1627log8132；(2)(log43＋log83)（log32＋log92)．【解】(1）原式＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!。
对数的运算及换底公式 课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
例2例3
课本 练习题3
C组
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下
节
再
见
（3） =
对 点 练 习
5 8
（1）化简：
的结果
5 2
（2）化简下列各式
①27 81 ②10 25 × 5 8
典 例 剖 析
题型一 对数的运算性质以及换底公式的应用
例1、计算下列各式的值
（1）2 (64 × 521)
（2）0.0001
2 3
3 2
5
（3）3 81
例3、计算下列各式的值
（1）22 3 + 23 1 − 37 7 + 31
（2）22 4 + 32 1 − 3 ⋅ 3 2 − 5
（3） 5 2 + 2 ⋅ 5 + 2
（4）5 ⋅ 20 − 2 ⋅ 50 − 25
（4）已知2 3 = ，2 5 = ，用, 表示下列的值。
①2 30
5
②2
9
③2
3
15
20
2、不同底数的对数的运算公式（换底公式）
换底公式： =
（其中 > 且 ≠ , > > 且 ≠ ）
简单的证明过程：
= , = , − = ，则
= −
（3） = ，即正数幂的对数等于该幂底数的对数的对数的指数倍。
推导：设 = , = ,又因为 = ，所以 = ,又因为
的值
1
（4） (
高一数学北师大版必修1教学教案第三章4-2换底公式(4)
《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。
二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。
三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。
四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。
2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
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4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
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4.2 换底公式
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反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
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4.2 换底公式
4.2
换底公式
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4.2 换底公式
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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
3.4换底公式教案 秋学期高中数学北师大版必修一
3.4换底公式教案秋学期高中数学北师大版必修一3.4换底公式教案秋学期高中数学北师大版必修一变底公式●三维目标1．知识与技能（1）通过实例推导出底部变化公式。
（2）能够用底部变化公式进行简化和评估。
2.过程和方法通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力．在换底公式的应用的过程中，引导学生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力．3.情感、态度和价值观让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性．培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．● 重点和难点重点：对数的运算性质及换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教材注重从实际问题出发，有利于培养学生的思维品质，激发学生学习数学的兴趣和愿望。
在教材中，从特殊到一般，推导、证明和应用对数的变底公式，以培养学生分析问题和综合解决问题的能力。
在教学中，我们应该充分发挥这些材料的作用(教师用书独具)● 教学建议本课主要学习对数换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，授课时要激发学生的学习兴趣，多应用多媒体的教学手段．● 教学过程复习对数的定义及运算性质并引入新课题?根据教材中的问题，探究出解决的方法，得到换底公式?完成换底公式的证明，加深对换底公式的理解?利用换底公式化简求值，完成例1及其变式训练? 使用底部变化公式用已知对数表示其他对数，并完成示例2及其交互式探索？使用底部变化公式解决实际问题，完成示例3及其变体训练？总结整理，做一个课堂总结，对本课所学知识有一个全面的了解？在课堂上完成双基标准，巩固所学知识，并进行反馈和纠正(见学生用书第49页)课程标准解读【问题导思】已知对数log864，log264，log28，log464，log48.1．你能计算出它们各自的值吗？3[提示]log864=2，log264=6，log28=3，log464=3，log48=22．对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？log264[提示]log864=log28.3.对数log864的值与对数log464和log48的值之间的关系是什么？log464【提示】log864＝.log48logan底部变化公式：logbn=（a，b>0，a，b≠ 1，n>0）logab对数见底公式1能够推导出对数的变底公式。
北师大版高中数学必修一第3章 4.2 《换底公式》学案
4.2 换底公式一、学习目标1.掌握对数的换底公式及其变形公式2.能正确地利用对数的运算性质及其相关公式进行对数运算.二、重、难点分析1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式三、学习过程(一)自主预习复习回顾对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)=log a M+log a N；即积的对数等于对数的和.推广： log a(N1N2...N k)=log a N1+log a N2+....+log a N k(k∈N*)；②log a MN=log a M-log a N；即商的对数等于对数的差.③log a M n=nlog a M(n∈R).即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍.(二)合作探究1.换底公式及其变形公式首先规定，下列对数式中的字母都使对数式有意义：对数换底公式：log loglogaNaMMN由对数的换底公式可得：①log N M ·log M N=1； ②log log m n N N n M M m =； ③log log log log log a b N a b M M M N N ==； 由③可得：④log a M ·log b N=log a N ·log b M ； ⑤log log log log a a b b M N M N= 由④可得：log log log log a a M N b b NM =，由此可得： ⑥log log a a M N NM =2.对数式的化简和求值(1)对于同底的对数式的化简的常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对于常用对数式的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.(3)对于含多重对数符号对数式的化简，应从内向外逐层化简求值.(4)注意性质：log a 1=0，log a a=1，log a N aN =(a ＞0，a ≠1，N ＞0).四、同步练习1.已知：lg2=a ，lg3=b ，试用a ，b 表示下列各式的值：(1)lg6； (2)lg 29； (3)log 92．解析：(1)(2)(3)利用对数的换底公式及其运算性质即可得出． 答案：(1)∵lg2=a ，lg3=b ，∴lg6=lg2+lg3=a+b ；(2)lg29=lg2-2lg3=a-2b；(3)log92=lg22lg32ab=．2.利用对数的换底公式化简下列各式：(1)log a c·log c a；(2)log23·log34·log45·log52；(3)(log43+log83)(log32+log92).解析：根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可. 答案：(1)logac·logca=lgclga·lgalgc=1；(2)log23·log34·log45·log52=lg3lg4lg5lg2lg2lg3lg4lg5⋅⋅⋅=1；(3)(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2 lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭+=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎝+⎪⎭=5lg33lg2 6lg22lg3⋅=54.五、自我测评1.利用换底公式求log225·log34·log59的值．解析：利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．答案：原式=log252·log322·log532=2log25·2log32·2log53=8log25·log32·log53=lg5lg2lg3 8lg2lg3lg5⨯⨯⨯=8．2.利用对数换底公式化简：(log43+log83)(log32+log92). 解析：直接利用对数的换底公式化简求值．答案：(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2·lg4lg8lg3lg9++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3+⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3lg32lg32lg2lg2 6lg22lg3++⋅=5lg33lg256lg22lg34⋅=．六、小结1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式。
高一数学北师大版必修1教学教案第三章4-2换底公式(3)
必修一4.2换底公式教学目标：1. 知识与技能掌握换底公式，能够应用解决计算和证明问题。
2. 过程与方法由具体的对数运算，到换底公式，在这过程中进行猜想，得出规律，再进行证明，体现化归的思想。
3. 情感、态度与价值观对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质。
教学重点：换底公式的灵活运用教学难点：换底公式的证明和灵活运用教学过程：一、复习回顾、思考引入1.对数与指数的互化：ab＝N 化成对数式为b ＝log a N . (N >0，a >0，a ≠1)2.对数运算有哪三条基本性质？如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 3.对数运算有哪三个常用结论？ 4.能尝试解决计算log 48吗？学生思考回答，可能会有两种不同的解决方案，也可能没有办法解决从而引入新课（前三个课前以填空的形式给出） 二、讲授新知 1、探究换底公式教师出示思考题，学生独立思考完成。
教师提问了解学生完成情况计算对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48.问题1：对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 264＝6，log 28＝3, log 864＝log 264log 28.问题2：对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 464＝3, log 48＝32， log 864＝log 464log 48.问题3：经过问题1,2你能猜想得出什么结论？提示：log a b ＝log M blog M a(a ，M >0，a ，M ≠1，b >0)．2、换底公式再认识对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)．思考：(学生分小组讨论完成) 问题1.换底公式的作用是什么？更换对数的底数（统一底数）问题2.为什么要更换对数的底数呢?(1) 运算律要求底数相同（2）底数相同可以将问题转移到真数上，达到简化问题3.能尝试解决计算log 48吗？ 学生思考回答，有两种不同的解决方案问题4.换底公式对吗？可以证明吗？如何证明？ 学生先看课本84页证明过程，教师再针对性的讲解 证明： 设N x b log =,根据对数定义，有根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a 为底的对数，得因为b x b a x a log log = 所以b x N a a log log =由于,1≠b 则0log ≠b a ，解出x,得 因为N x b log =，所以问题5.能将log a b 用换底公式换为以b 为底的对数吗？能得到什么的数式？log a b ·log b a ＝1(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)； 3、换底公式的应用 （1）计算求值例1 计算：log 1627log 8132； 解析：log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516； 出题意图：本题主要是对于对数换底公式的基本应用，让学生了解换底公式的主要作用是统一底数，进而利用对数运算性质。
第三章4对数4.2换底公式课件(北师大版必修1)
提示：log864＝2，log464＝3, log48＝32， log864＝lloogg44684. 问题 3：经过问题 1,2 你能得出什么结论？ 提示：logab＝llooggMMba(a，M>0，a，M≠1，b>0)．
logaN 对数的换底公式：logbN＝ logab (a，b>0，a，b≠1，N>0)．
[精解详析] (1)依题意得 y＝a(1－110)x＝a(190)x， 其中 x≥1，x∈N； (2)依题意得 a(190)x≤a×12⇒ (190)x≤12 ⇒ x(2lg3－1)≤－lg2⇒ x≥1－02.×3001.4077 1≈6.572， ∴xmin＝7. 答：通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后，光线强度减弱 到原来强度的12以下．
又因为 log2×1818＝log181 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198 ＝1＋1－1log189＝2－1 a， 所以原式＝a2＋ －ba.
法二：∵18b＝5，∴log185＝b. ∴log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188 ＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189 ＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋ －ba.
6．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声 压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值 取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听 力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以 下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
解：由题意可设lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz＝7.1， 则lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4， 从而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)． ∴x＝4y. lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg26＝lg64， 从而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)．∴x＝64z. 故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震 强度的64倍．
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2019-2020年高中数学第三章换底公式教案北师大版必修1
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算，
求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.过程与方法
①让学生经历并推理出对数的换底公式.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3.情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与换底公式的应用
难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。
三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
教学用具：投影仪
四．教学过程
问题提出
我们使用的计算器中，“”通常是常用对数，如何使用科学计算器计算㏒215？
分析理解
设㏒215=x，
写成指数式得
2x=15
两边取常用对数得
Xlg2=lg15
所以x=
这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=≈3.9068906.
同理也可以使用科学计算器计算ln键算出㏒215=≈3.9068906.
由此我们有理由猜想
㏒b N= ( a,b>0,a,b≠1,N>0).
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.
证明设㏒b N=x,根据对数定义，有
N=b x
两边取以a为底的对数，得
㏒a N=㏒a b x
故 x㏒a b =㏒a N，
由于b≠1则㏒a b≠0，解得
x=
故㏒b N=
由换底公式易知㏒a b=
例题分析
例7 计算：
（1）㏒927；（2）㏒89㏒2732
注：由例7可以猜想并证明
例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
㏒248 ㏒310 ㏒8∏㏒550 ㏒1.0822
例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的
84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
练习p86 1，2，3，4。
作业习题3-4A组6 B组 4
课后反思：。