极值、函数图形描绘

函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得
极值的点称为极值点
提问：
f(a)和 f(b)是极值吗？
观察与思考：
观察极值与切线的关系
x1 x2 x3 x4 x5
v定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值
那么f (x0)0 >>> •驻点
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论：
x1 x2 x3 x4 x5
v定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(a x0)(x0 b)内可导 (1)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x) 在x0处没有极值
+
f (n) (x0 ) 0时, x0 是极大点 .
-
2) 当 n为奇数时, x0 不是极值点 .
二、最大值最小值问题
观察与思考：
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 怎样求函数的最大值和最小值
M
m x1 x2 x3 x4 x5
v极值与最值的关系
闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的 端点及区间内的极值点处取得
函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值 和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函 数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者
M
m x1 x2 x3 x4 x5
v最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
为x1 x2 xn (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) (3)判断: 最大者是函数f(x)在[a b]上的最大值 最小者是
第五节
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
v函数的极值
。设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果对于任意 xU(x0)有
f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)
f
(x)
5(x -1) 33 x +1
(2)令f (x)0 得驻点x1 x-1为f(x)的不可导点
(3)列表判断
x (- -1) -1 (-1 1) 1 (1 +)
f (x) + 不可导 -
0
+
f(x) ↗
0
↘ -33 4 ↗
(4)极大值为 f(-1)0 极小值为 f (1)-33 4
定理3 (第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 处具有 二阶导数 , 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0
(1) 若 f (x0 ) 0, 则 f (x)在点 x0 取极大值 ; (2)若 f (x0 ) 0, 则 f (x)在点 x0 取极小值 . +
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) - f (x0 ) x - x0
lim
x x0
f x
( x) - x0
由 f (x0 )
故当 x0 -
函数f(x)在[a b]上的最小值
M
m x1 x2 x3 x4 x5
例3 求函数f(x)|x2-3x+2|在[-3 4]上的最大值与最小值
解
f
(x)
-x2x-2
3x + + 3x
2 -
2
x[-3, 1][2, x(1, 2)
4]
f (x) -2x2-x3+3
0知, 存在 0, 当0
x x0 时，f (x) 0;
x-
x0Байду номын сангаас
时,
f (x) x - x0
+-
0
当x0 x x0 + 时，f (x) 0,
x0-
由第一判别法知 f (x) 在 x0 取极大值.
应注意的问题：
x0 x0+
如果f (x0)0 f (x0)0 则定理3不能应用 但不能由此说明f (x0) 不是f (x)的极值。
推论 (判别法的推广) 若函数 f (x) 在 x0 点有直到 n 阶导
数 , 且 f (x0 ) f (x0 ) f (n-1) (x0 ) 0, f (n) (x0 ) 0 ,
则: 1) 当 n为偶数时, x0 为极值点 , 且 f (n) (x0 ) 0时, x0 是极小点 ;
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x0是否是函数yx3的 驻点 是否是函数的极值点
x1 x2 x3 x4 x5
v定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值
那么f (x0)0 •驻点
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数 f(x)的驻点 观察与思考：
v确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
例1 求函数 f (x)(x -4)3 (x +1)2 的极值
解 (1)f(x)在(- +)内连续 除x-1外处处可导 且
例2 求函数f(x)(x2-1)3+1的极值 解 f (x)6x(x2-1)2 令f (x)0 求得驻点x1-1 x20 x31 f (x)6(x2-1)(5x2-1) 因为f (0)60 所以f (x)在x0处取得极小值 极小值为f(0)0 因为f (-1)f (1)0 所以用定理3无法判别 因为在-1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在-1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
(1)观察曲线的升降与极值
之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极
值之间的关系
x1 x2 x3 x4 x5
v定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续 且在(a x0)(x0 b)内可导 (1)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x) 在x0处没有极值