2018年海南数学(理科)高考试题及答案

参考答案:

一、选择题

1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B

8.C

9.C 10.A 11.C 12.D

二、填空题

13.14.915.16.2y x =12-三、解答题

17. (12分)

解：（1）设的公差为d ，由题意得.

{}n a 13315a d +=-由得d =2.

17a =-所以的通项公式为.

{}n a 29n a n =-（2）由（1）得.

228(4)16n S n n n =-=--所以当n =4时,取得最小值,最小值为−16.

n S 18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).ˆ30.413.519226.1y

=-+⨯=利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).ˆ9917.59256.5y

=+⨯=（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.30.413.5y t =-+这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016

年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋ˆ9917.5y

t =+势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解：（1）由题意得，l 的方程为.

(1,0)F (1)(0)y k x k =->设，

1221(,),(,)A y x y x B 由得.

2(1),4y k x y x

=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=，故.2

16160k ∆=+>122224k x k x ++=所以.122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k

x +=+=+++=由题设知，解得（舍去），.22448k k

+=1k =-1k =因此l 的方程为.

1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为，所以AB 的垂直平分线方程为，即.(3,2)2(3)y x -=--5y x =-+设所求圆的圆心坐标为，则

00(,)x y 解得或00220005,(1)(1)16.2

y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩003,2x y =⎧⎨=⎩0011,6.x y =⎧⎨=-⎩因此所求圆的方程为或.22(3)

(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=20.(12分)

解：（1）因为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ==

=O AC OP AC

⊥OP =连结.因为，所以为等腰直角三角形，

OB AB BC AC ==ABC △

且，.OB AC ⊥122

OB AC ==由知.

222OP OB PB +=PO OB ⊥由知平面.

,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

O OB u u u r

x O xyz

-由已知得取平面

的法

(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r

PAC 向量.

(2,0,0)OB =u u u r

设，则.

(,2,0)(02)M a a a -<≤(,4,0)AM a a =-u u u r

设平面的法向量为.

PAM (,,)x y z =n 由得，可取，0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n

n 20(4)0

y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪

⎩,)a a =--n 所以.由已知得

.cos ,OB =u u u r

n |cos ,|OB =u u u r n

.解得（舍去），

.4a

=-43a

=所以.又，所以.

4(3=-n (0,2,

PC =-u u u r cos ,PC =

u u u r n 所以与平面.PC PAM 21．（12分）

【解析】（1）当时，等价于．

1a =()1f x ≥2(1)e 10x x -+-≤

设函数，则．2()(1)e 1x g x x -=+-22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--当时，，所以在单调递减．

1x ≠()0g'x <()g x (0,)+∞而，故当时，，即．

(0)0g =0x ≥()0g x ≤()1f x ≥（2）设函数．

2()1e x h x ax -=-在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

()f x (0,)+∞()h x (0,)+∞（i ）当时，，没有零点；

0a ≤()0h x >()h x （ii ）当时，．

0a >()(2)e x h'x ax x -=-当时，；当时，．

(0,2)x ∈()0h'x <(2,)x ∈+∞()0h'x >所以在单调递减，在单调递增．

()h x (0,2)(2,)+∞故是在的最小值．2

4(2)1e a h =-()h x [0,)+∞①若，即，在没有零点；(2)0h >2e 4

a <()h x (0,)+∞②若，即，在只有一个零点；(2)0h =2e 4

a =()h x (0,)+∞③若，即，由于，所以在有一个零点，(2)0h <2e 4

a >(0)1h =()h x (0,2)由（1）知，当时，，所以．0x >2e x x >33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-=->故在有一个零点，因此在有两个零点．

()h x (2,4)a ()h x (0,)+∞综上，在只有一个零点时，．()f x (0,)+∞2e 4

a =22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．C 22

1416

x y +=当时，的直角坐标方程为，cos 0α

≠l tan 2tan y x αα=⋅+-当时，的直角坐标方程为．

cos 0α=l 1x =（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

l C t ．①

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=