整除和同余

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数论的整除性与同余定理

数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。

其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。

本文将围绕这两个概念展开详细讲解。

整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。

如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。

整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。

数的整除性有很多有趣的性质。

首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。

即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。

2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。

3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。

这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。

比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。

这个结论有时被称为“整除与传递”。

它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。

在数论中，同余定理是另一个重要的概念。

同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。

如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。

同余关系也具有一些有趣的性质。

同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。

下面分别进行详细介绍。

1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。

也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。

2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。

也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。

3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。

初中数学竞赛：数的整除(同余)

初中数学竞赛：数的整除（同余）【内容提要】一. 同余的概念两个整数a 和b 被同一个正整数m 除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m 同余.记作a ≡b(mod m).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1，∴2003≡1 (mod 7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）∴－7≡6（mod 13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）∴35≡0（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若a ≡b(mod m)，则m|(a －b).即a －b ≡0(mod m)⇔m|(a －b).例如：11≡25(mod 7)⇔7|(25－11)；或 7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，∴5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1. 传递性： )(m o d )(m o d )(m o d m c a m c b m b a ≡⇒⎭⎬⎫≡≡. 2. 可加可乘性：⎩⎨⎧≡+≡+⇒⎭⎬⎫≡≡).(mod )(mod ).(mod )(mod m bd ac m d b c a m d c m b a ；，推论可移性：a ≡b+c (mod m)⇒(a －b)≡c(mod m).可倍性：a ≡b(mod m)⇒ka ≡kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a ≡b(mod m)⇒ a n ≡b n (mod m) (n 为正整数).3. 当d 是a, b, m 的正公因数时， a ≡b(mod m)⇒d b d a ≡(mod dm ). 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1310≡⇒(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m 同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a,b,c,d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.【例题】例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(mod n)，90≡125(mod n).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).∴n=7例2.求388除以5的余数.解：∵38≡3 (mod 5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)例3.求997的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1 ( mod 4)，∴99≡19 ≡1(mod 4).∴997与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3 ，5555=7×793+4.∴2222≡3 ( mod 7)；5555≡4 (mod 7).∴22225≡35≡5(mod 7)；55552≡42≡2 (mod 7).∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).即22225≡－55552 (mod 7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).∴22225555+55552222≡0 (mod 7).∴7|(22225555+55552222).例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1 (mod 5) ，∴(32)n≡(－1)n (mod 5).32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n (mod 10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,b的末位数是同一类，那么a3b－ab3≡ab－ab≡0 (mod 10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0 (mod 10).∴10| (a3b－ab3)【练习】1.三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2. 求777的个位数字.3. 求379245除以19的余数； 41989除以9的余数.4. 求19891990÷1990的余数.5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数n>2 . 求证：31111≡ 个n (mod 4).8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9. 求使2n +1能被3整除的一切自然数n.10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N ，81同余于() （A ）3. （B ）4. （C ）5. （D ）7. （E ）8.【答案】1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 777≡(－1)77(mod 4)……仿例33. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358.∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194，余数是120或除数为97，余数是236. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).7. 个个211111111-=n n 00+11≡11≡3 (mod 4).8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n ≡(－1)n (mod 3)2n +1≡(－1)n +1 (mod 3)当且仅当n奇数时, (－1)n+1≡0∴能被3整除的一切正整数n是奇数10. (B).。

大学整除与同余教案设计

教学目标：1. 理解整除与同余的概念，掌握整除与同余的基本性质。

2. 学会利用整除与同余的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

教学重点：1. 整除与同余的概念及基本性质。

2. 应用整除与同余的性质解决实际问题。

教学难点：1. 理解整除与同余的性质，并能灵活运用。

2. 将实际问题转化为整除与同余问题。

教学用具：1. 多媒体课件2. 白板或黑板3. 练习题教学过程：一、导入1. 复习初中阶段学习的整除概念，引导学生回顾整除的定义和性质。

2. 提出问题：如何判断一个数能否被另一个数整除？3. 引入整除与同余的概念，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲授1. 整除与同余的概念（1）整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数，且没有余数，那么我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

（2）同余：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的余数是整数c，那么我们就说a与b同余，记作a≡c（mod b）。

2. 整除与同余的性质（1）性质1：如果a能被b整除，那么a与b同余。

（2）性质2：如果a≡c（mod b），那么a-b能被b整除。

（3）性质3：如果a≡c（mod b），那么a+b≡c+b（mod b）。

3. 应用整除与同余的性质解决实际问题（1）判断一个数能否被另一个数整除。

（2）求解同余方程。

（3）解决实际问题，如日期、时间、密码等。

三、课堂练习1. 填空题：判断下列各数能否被3整除。

2. 选择题：下列哪个数与8同余？3. 应用题：求2008年2月29日到2010年2月28日共经过了多少天？四、课堂小结1. 回顾整除与同余的概念、性质及应用。

2. 强调整除与同余在解决实际问题中的重要性。

五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解整除与同余在其他领域的应用。

教学反思：本节课通过引入实际问题，引导学生理解整除与同余的概念，并掌握其基本性质。

在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

整除性和同余性的定义和性质

整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。

它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。

本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。

一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。

通常记为b|a。

1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。

②如果b|a，且c|b，则c|a。

③如果b|a，且a|c，则b|c。

④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。

⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。

1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。

以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。

对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。

而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。

二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。

2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。

② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。

⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。

2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。

由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。

同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。

数论选讲

解：又
(m + n)m ≥ mm + nm ⇒ mn ≤ 1413 。
44 = 256,53 = 3125 > 1413 ⇒ m ≤ 4 。显然 m 为奇数。当 m = 1时，对任何正整数 n ，不可能有 (m + n)m = n +1 = nm +1413 = n +1413 。
当 m = 3 时，由 (3 + n)3 = n3 +1413 可得 n2 + 3n −154 = 0 ，即
（1）必有自然数 k ，使得 Ak+1 = Ak 。 (2) 若 A = 1986 ，问上述的 Ak 等于多少？并说明理
由。
证明：（1）n = 0 时，对任意 k ，有 Ak = A 。当 n = 1 时，显然 A ≥ f ( A) 。当 n ≥ 2 时，
f ( A) = 2n a0 + 2n−1 a1 +" + 2an−1 + an ≤ (2n + " + 2 + 1) ⋅ 9 = (2n+1 −1) ⋅ 9 ， A ≥ 10n an ≥ 10n = 10 ⋅10n−1 > 9 ⋅10n−1 > 9 ⋅ 23 ⋅10n−2 ≥ 9 ⋅ 23 ⋅ 2n−2 = 9 ⋅ 2n+1 > 9(2n+1 −1) ≥ f ( A)
一、基本知识
（一）整除与同余
1. 设 n 为正整数，则任意 n 个连续整数中有且仅有一个是 n 的倍数。 2. 若 p 为素数， n 为任意正整数，且 p a1 a2 "an ，则至少存在一个 ai ，使得 p ai 。
3. 若 ai ≡ bi (mod n),i = 1,2,", m ，则对任意的整数 ci (i = 1, 2,", m) ，均有

整除同余与不定方程

整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。

同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。

而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。

本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。

首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。

整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。

例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。

同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。

例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。

不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。

例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。

然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。

整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。

整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。

同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。

求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。

整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。

同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。

总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

除法运算中的整除与余数知识点总结

除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。

在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。

本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。

一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。

例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。

整除的应用非常广泛。

在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。

在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。

二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。

余数常常用符号“%”来表示。

例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。

例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。

余数的应用也非常广泛。

在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。

在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。

三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。

这是整除关系的传递性质。

2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。

这是整除关系的反对称性质。

3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。

这是整除关系的线性性质。

4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。

这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。

五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。

1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。

数论中的整除与同余概念

数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。

整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。

同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。

这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。

首先，我们来讨论整除的概念。

设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。

即b能够被 a 整除而没有余数。

整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。

例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。

这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。

那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。

正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。

整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。

质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。

这个思想就是质数检验的基础。

接下来，我们来深入讨论同余的概念。

给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。

2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。

3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。

同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。

例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。

那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。

数学奥林匹克小丛书小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程课程讲解

数学奥林匹克小丛书小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程课程讲解引言概述：数学奥林匹克小丛书《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》是一本专门针对初中生的数学竞赛教材。

本书主要讲解了整除、同余与不定方程等数学概念和方法。

本文将从六个大点出发，详细阐述这本小丛书的内容。

正文内容：1. 整除的基本概念1.1 整除的定义及性质1.2 整除与最大公约数的关系1.3 整除与最小公倍数的关系2. 同余的应用2.1 同余的定义及性质2.2 同余与模运算的关系2.3 同余的应用：同余方程、同余定理3. 不定方程的解法3.1 一次不定方程的解法3.2 二次不定方程的解法3.3 高次不定方程的解法4. 整除与同余的关系4.1 整除与同余的定义4.2 整除与同余的性质4.3 整除与同余的应用：同余方程的解法5. 不定方程的应用5.1 不定方程的应用：数的分拆5.2 不定方程的应用：数的表示5.3 不定方程的应用：数的性质6. 综合应用题6.1 综合应用题的解题思路6.2 综合应用题的解题方法6.3 综合应用题的实例分析总结：通过对《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》的课程讲解，我们了解到整除、同余与不定方程在数学竞赛中的重要性。

整除与最大公约数、最小公倍数的关系，同余与模运算的关系以及不定方程的解法等都是我们需要掌握的数学知识。

同时，整除与同余的关系以及不定方程的应用也是我们在解题过程中需要灵活运用的技巧。

通过综合应用题的训练，我们可以提高自己的数学思维能力和解题能力。

因此，掌握《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》中的知识对我们参加数学竞赛是非常有帮助的。

整除同余与不定方程

整除同余与不定方程
摘要：
一、整除与同余的概念
1.整除
2.同余
二、同余方程和不定方程
1.同余方程
2.不定方程
三、整除同余与不定方程的应用
1.整除同余在数论中的应用
2.不定方程在数学和物理中的应用
正文：
整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学研究中有广泛的应用。

首先，我们需要了解整除和同余的概念。

整除是指一个数可以被另一个数整除，即余数为零。

例如，8 可以被2 整除，因为8 除以2 的余数为0。

同余是指两个整数除以一个正整数的余数相同。

例如，11 和17 除以3 的余数都是1，因此11 和17 同余。

同余方程和不定方程是整除同余的进一步发展。

同余方程是指一个关于同余的方程，例如a mod n = b，其中a、b、n 都是整数。

而不定方程是指一个没有明确给出解的方程，例如x^2 + 2 = 6，其中x 是未知数。

整除同余与不定方程在数学和物理中有广泛的应用。

在数论中，整除同余被用来研究素数和整数之间的关系。

例如，欧拉定理表明，如果a 和n 是互质的正整数，那么a 的欧拉函数值和n 互质的数a^k mod n 的结果是循环的，循环节长度为n-1。

不定方程也在数学和物理中有重要的应用。

例如，在量子力学中，薛定谔方程就是一个关于波函数的不定方程，它描述了量子系统的状态。

在密码学中，不定方程也被用来设计加密和解密算法，例如RSA 算法就是基于大整数分解的不定方程。

总的来说，整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学和物理中有广泛的应用。

小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题

1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。

数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。

备课讲解数论中的整除与同余

备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。

在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。

本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。

一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。

具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。

反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。

1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。

这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。

2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。

3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。

例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。

二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。

具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。

1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。

2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。

整除问题及余数与同余问题

整除问题及余数与同余问题整除问题及余数与同余问题姓名得分⼀、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是⼏？2、各位数字都是5，能被21整除的最⼩⾃然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是⼏？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么⽅框⾥的数字有⼏种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最⼩四位数是多少？7、在⾃然数5537的前后各填⼀个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是⼏？8、有⼀个⾃然数，它是⼀个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最⼤的两位数是多少？9、三个均⼩于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在⼩于5000的⾃然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知⾃然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个⾃然数的乘积是1224，其中第⼀个⾃然数与第⼆个⾃然数的和等于第三个⾃然数，求第三个⾃然数是多少？14、两个数的最⼤公因数是6，最⼩公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续⾃然数的最⼩公倍数是360，这三个⾃然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。

17、有⼀列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由⼩到⼤的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？⼆、整除问题竞赛提⾼题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。

2、⼀个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最⼤的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。

整除问题和余数与同余问题

整除问题及余数与同余问题姓名得分一、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。

17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？二、整除问题竞赛提高题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。

2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。

同余理论在整除问题中的应用

第34卷第2期江西电力职业技术学院学报V 〇1.34N 〇.22021 年 2 月Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of Electricity Feb.2021同余理论在整除问题中的应用简艺(广东茂名幼儿师范专科学校，广东高州525200)摘要：列举了同余式的重要性质，并通过具体例子说明了如何利用同余性质证明整除问题的方法，为整除问题的证明提供借鉴关键词：同余整除；整除特征；问题中图分类号：0156.1 文献标识码：B文章编号：丨673-0097(2021)02-0030-020引言所谓同余，是指对于整数fl 力及正整数％有丨(0 备 /*|<m )，办+r2(0 矣 r2<m )，当/时，贝lj 称a 与ft 对模数w 同余。

记作：a = f>(m od m )11'21。

简而言之，〃与6同余就是a 与b 被正整数m 除所得的余数相同。

a = A(m od w )的充分且必要条件是w | (a -办)。

根据这个条件，可把整除问题转化为同余问题来证明[3<。

如人教版高中《代数》下册116页的例2:用数学归纳法证明;e 7V )能被jc +y 整除。

数学归纳法固然可以证明，但过程烦琐。

若用同余性质，可证明如下：由少三 0[ m o d (x ty )]，得jc 三-少[111〇(1(1+>〇 ]，故Ze (-yfEmcxKxfy )]，即x 2"-/"三〇[ mod (x +少)],故_丨可见，上述证明简单明了，实用性强。

那么同余有什么性质？利用同余性质可证明哪些整除问题？如何灵活利用这些性质证明整除问题？下面将作一些简单的探讨，旨在抛砖引玉。

1同余与整除有关的性质同余的性质很多，其中与整除有关的性质有：(1) 若：a 三办(mod w ),贝lj : a "二 ft"(m od m )〇(2)在同余式中，任一项可改变符号移到同余号的另一边去。

数的整除性及性质

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

整除同余与不定方程

整除同余与不定方程摘要：一、引言1.整除与同余的概念2.不定方程的定义及背景二、整除与同余1.整除的定义与性质2.同余的定义与性质3.整除与同余的关系三、不定方程1.不定方程的概念与例子2.不定方程的解法与性质3.不定方程在数学中的应用四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系2.利用整除同余解决不定方程的案例五、总结1.整除同余与不定方程的重要性2.研究整除同余与不定方程的意义与价值正文：一、引言整除与同余是代数学中的基本概念，而不定方程作为代数学中的一个重要分支，也具有广泛的应用。

本文将围绕这三个主题展开讨论，分析它们之间的关系及其在数学中的应用。

二、整除与同余1.整除的定义与性质整除是指一个整数除以另一个整数后，余数为零。

例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。

整除具有传递性、可交换性和结合性等性质。

2.同余的定义与性质同余是指两个整数除以某个整数后，余数相同。

例如，11 和17 同余，因为它们除以3 的余数都是1。

同余具有自反性、对称性和传递性等性质。

3.整除与同余的关系整除是同余的特殊情况，即当除数为1 时，同余就是整除。

另外，同余可以转化为整除，方法是将同余问题转化为整除问题，然后再用整除的性质解决问题。

三、不定方程1.不定方程的概念与例子不定方程是指含有未知数的等式，其中未知数的次数大于等于1。

例如，x^2 + 2x + 1 = 0 是一个二次不定方程。

2.不定方程的解法与性质求解不定方程的方法有多种，如因式分解法、代数余数定理等。

而不定方程的性质包括有解性、无解性、有唯一解、有无穷多解等。

3.不定方程在数学中的应用不定方程在数学中有着广泛的应用，如在密码学、计算机科学、组合数学等领域都有重要的应用价值。

四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系整除同余与不定方程之间存在密切的联系。

例如，求解不定方程时，有时需要利用整除同余的性质将问题进行转化。

整除同余与不定方程

整除同余与不定方程1.引言整除同余和不定方程是数论中的基础概念和重要研究领域。

它们在代数数论、数论几何以及密码学中都有广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍整除同余和不定方程的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

2.整除同余2.1 整除的定义在整数集中，如果某个整数a可以除尽另一个整数b，则称a整除b，记作a | b。

4整除12，我们可以表示为4 | 12。

2.2 同余的定义在整数集中，如果两个整数a和b除以一个正整数m得到的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。

12被5除的余数为2，7被5除的余数也为2，所以我们可以表示为12 ≡ 7 (mod 5)。

2.3 重要性质整除同余关系具有以下重要性质： - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有a + km ≡b (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有ak ≡ bk (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，且c ≡d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则a的n次幂与b的n次幂对模m同余。

3.不定方程3.1 不定方程的概念不定方程是指方程中有未知数，并且要求寻找整数解的方程。

ax + by = c就是一个不定方程，其中a、b和c是给定的整数，而x和y是未知数。

3.2 整数解与不定方程对于不定方程ax + by = c，如果存在整数解(x0, y0)，则称该不定方程有整数解。

3.3 整数解的存在性根据欧几里得算法和裴蜀定理，不定方程ax + by = c有整数解的充分必要条件是：gcd(a, b) | c，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。

4.应用与拓展整除同余和不定方程在数论中有着广泛的应用，并且在实际应用中有很多拓展。

4.1 应用1：代数数论整除同余和不定方程在代数数论中是非常重要的。

数论基础知识

一些基本的数论知识：1、整除与同余a∣b,b∣a⇒a=bp∣a⇔a≡0(mod p)带余除法a=bp+r(0≤r<b)⇔a≡r(mod p)2、完全平方数（以下a∈Z+）a2≡0or1(mod4)a2≡0or1or4(mod8)a2≡0or1(mod3)a2≡0or±1(mod5)3、完全立方数a3≡0or±1(mod7)a3≡0or±1(mod9)整数集合可以按模n的余数来分类，每一个这样的类称为模n的同余类，若该同余类中的数与n互素，则称这样的同余类为模n的缩同余类。

4、完全剩余系在n个同余类中各任取一个数作为代表，这样的n个数称为模n 的一个完全剩余系（完系）c1,c2,…,cn是模n的一个完系⇔c1,c2,…,cn模n互不同余若c1,c2,…,cn是模n的一个完系，(a,n)=1，b∈Z，则ac1+b,ac2+b,…,acn+b也是模n的一个完系5、欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数(a,b)=1⇒φ(ab)=φ(a)φ(b)（积性函数）p为素数⇒φ(pl)=pl−pl−16、简约剩余系在模n的φ(n)个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的φ(n)个数称为模n的一个简约剩余系（缩系）c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系⇔c1,c2,…,cφ(n)模n互不同余且均与n互素若c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系，(a,n)=1，则ac1,ac2,…,ac φ(n)也是模n的一个缩系7、最大公约数与最小公倍数(a,b)[a,b]=ab(a,b)=d⇒(ad,bd)=1（将非互素情况转为互素情况）d∣a,d∣b⇒d∣(a,b)d∣ab,(d,b)=1⇒d∣a8、裴蜀定理：a,b不全为0，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)a,b互素⇔存在整数x,y，使得ax+by=19、唯一分解定理每个大于1的正整数n可唯一表示成n=p1α1p2α2…pkαk，其中p1,p2,…,pk是互不相同的素数，α1,α2…,αk是正整数，这称为n的标准分解正约数个数τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)正约数之和σ(n)=1−p1α1+11−p1⋅1−p2α2+11−p2⋅ (1)pkαk+11−pkn的标准分解中p的幂次vp(n)=∑l=1∞[npl]=[np]+[np2]+…10、升幂定理（LTE引理）（1）n为正整数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x−y，则vp(xn−yn)=vp(x−y)+vp(n)（2）n为正奇数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x+y，则vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n)（3）n为正整数，x,y为奇整数，4∣x−y，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(n)（4）n为正偶数，x,y为奇整数，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(x+y)+v2(n)−111、威尔逊定理：p为素数⇔(p−1)!≡−1(mod p)12、欧拉定理：设n>1为整数，a是与n互素的任一整数，则aφ(n)≡1(mod n)13、费马小定理：设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap−1≡1(mod p)14、中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，b1,b2,…,bk为任意整数，则同余方程组{x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)……x≡bk(mod mk)在模m1m2…mk意义下有唯一解x。

整除和同余

数论的整除性与同余定理

初中数学竞赛：数的整除(同余)

大学整除与同余教案设计

整除性和同余性的定义和性质

数论选讲

整除同余与不定方程

除法运算中的整除与余数知识点总结

数论中的整除与同余概念

数学奥林匹克小丛书 小蓝本 初中卷 6 整除、同余与不定方程 课程讲解

整除同余与不定方程

小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题

备课讲解数论中的整除与同余

整除问题及余数与同余问题

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数的整除性及性质

整除同余与不定方程

整除同余与不定方程

数论基础知识

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