整除和同余

整除和同余

一、整除

1、整除的定义：一般地，如a ，b ，c 为整数，b 不为零，a ÷b=c ,即整数a 除以整数b （b 不为零），除得的商c 正好是整数而没有余数，或者说余数为零，那么就称，a 能被b 整除，或者说b 能整除a ，记作 a b 。否着就称a 不能被b 整除，或b 不能整除a ，记作a b 。

2、数的整除的性质

（1）如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除。

即：若果 a c ，b c ，那么b a c ±。

（2）如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。

即：如果 a bc ，那么 a b ，a c 。

（3）如果b 、c 都整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。

即：如果 a b ， a c ，且（b ，c)=1，那么 a bc 。

（4）如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。

即：如果 b c ， a b ， 那么 a c 。

（5）推论：如果 1a b ，2a b ，......， n a b ，那么 n n a c a c a c b +++ 2211 。

3、数的整除特征（一）

能被3整除的数的特征：

能被4（或25）整除的数的特征：

能被7（11或13）整除的数的特征：

能被8整除的数的特征：

能被9整除的数的特征：

能被11整除的数的特征：

4、带余除法定理：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b 不为零），那么一定存有另外两个整数q 和r ，r ≤0 ， r < b ，使得 r q b a +⨯= 。

5、辗转相除法： 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + (−2） × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。

举例：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

849219814911 =÷

283

28491981 =÷ 3283894=÷

∴（4811,1981）=283

二、同余

1、同余的定义：若两个整数 a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同 余，用式子表示为：b a ≡ )(mod m （*） ，可读作：a 同余于b ，模m 。 同余式（*）意味着（假设b a ≥）： mk b a =- ，k 是整数 ，即)(b a m - 。 若a 可被m 整除，可用同余式表示为：0≡a )(mod m 。

2、同余的性质：

（1）a a ≡)(mod m （反身性）

（2）若 b a ≡)(mod m ，那么a b ≡)(mod m （对称性）

（3）若 b a ≡)(mod m ，c b ≡)(mod m ， 那么 c a ≡)(mod m （传递性）

（4）若 b a ≡)(mod m ，b c ≡)(mod m ，那么 b c a ≡±)(mod m （可加减性）

（5）若 b a ≡)(mod m ，d c ≡)(mod m ，那么 bd ac ≡)(mod m （可乘性）

（6）若 b a ≡)(mod m ，那么 n

n b a ≡)(mod m （其中n 为自然数）

（7）若 bc ac ≡)(mod m ，1),(=m c ，那么b a ≡)(mod m

3、数的整除特征（二） 我们把所讨论的数N 记为：123a a a a N n =

能被n 2（或n 5）整除的数的特征：1a N ≡)2(mod 12a a N ≡)4(m o d 123a a a N ≡)8(mo d ......123a a a a N k ≡)2(mod k

能被9或3整除的数的特征：)(123a a a a N n ++++≡ )9(mod

能被11整除的数的特征：))

1((14321+-⋅++-+-≡n n a a a a a N )11(mod

能被7或11或13整除的数的特征：45123a a a a a a N n -≡)13(mod

能被17或59整除的数的特征：451233a a a a a a N n ⨯-≡)17(mod

能被19或53整除的数的特征：451237a a a a a a N n ⨯-≡)19(mod

能被23或29整除的数的特征：5612345a a a a a a a N n ⨯-≡)23(mod

能被31整除的数的特征：451238a a a a a a N n ⨯+≡)31(mod

能被37整除的数的特征：45123a a a a a a N n +≡)37(mod

推导举例：45123a a a a a a N n -≡)13(mod 123a a a a N n ==123451000a a a a a a n +⨯

=45123451001a a a a a a a a a n n -+⨯

=451234513117a a a a a a a a a n n -+⨯⨯⨯

例题：

例1、360共有多少个约数？

例2、求21672和11352的最小公倍数

例3、把三位数ab 3接连重复地写下去，共写1993个ab 3，所得的数ab ab ab 333 恰是91的倍数，试求 ab ？

例4、任意改变某一个三位数的各个位数字的顺序得到一个新数。试证：新数与原数之和不能等于999.

例5、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

方法一：

方法二：