概率论与数理统计：c6_2 常用统计分布

Y ～ N (2, 22 )，样本为Y1， Y2，… Y n2，
样本均值和样本方差为 Y , S22 . 则有
(1)F
S12 S22
2 1
2 2
~ F (n1 1, n2 1)
其中()为Gama函数, 称随机变量X 服从
自由度为n 的2分布，记为 2 ~ 2(n)
Gama 函数
() x1exdx, 0 0
主要性质: (1) 1, (1) , () ( 1)( 1) 2
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4
数理统计常用分布
定理6.2.1 设 X1，X2，…，Xn 相互独立 且都服从标准正态分布，则
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数理统计常用分布
例 查表计算： t0.95(20) ? t0.95(80) ? 解 t0.95(20) t10.05(20) t0.05(20) 1.7247
t0.95(80) t0.05(80) u0.05 1.645
4. F 分布 F ～F ( n1 , n2 )
2 (n) n u 2n
其中u满足(u ) 1 .
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证明
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数理统计常用分布
2(n) 的上侧分位数( 0< <1 )：
P{ 2
2 (n)}
2 (n)
f 2 ( x)dx
阴影部 分面积
为
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数理统计常用分布
例 查表计算概率
3.自由度为 n的 t 分布 T～t(n)
数理统计常用分布
§6.2 常用统计分布 一、四种常用统计分布
1. 标准正态分布
f (x)
1
x2
e 2 ,xR
2
上侧分位数u ( 0< <1）满足
P百度文库 X
u
}
u
f
( x)dx
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1
数理统计常用分布
阴影部 分面积
为
上侧分
对于正态分布有：(u ) 1 位数u
P{X u } 1 P{X u } 1 (u )
P{F
F (n1, n2 )}
F (n1 ,n2 )
fF
( x)dx
推论2
若
F
~
F (n1, n2 )
F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
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数理统计常用分布
例 统计量的分布 (之二)
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数理统计常用分布
二、抽样分布定理
定理6.2.4
设 X1, X 2 ,..., X n是正态总体X ~ N (, 2 )
的样本, X , S 2分别是样本均值和样本方差，
则
(1)X与S 2相互独立;
(2) X ~ N (0,1); n
n1
(3) 2
S2
~
2(n
1);
(4) X ~ t(n 1)
Sn
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数理统计常用分布
证明(4) : 由(2) U X ~ N (0,1) n
由(3)
n
n
E(2 )
E
(
X
2 i
)
D( X i ) n,
i 1
i 1
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数理统计常用分布
n
D(χ2 )
D(
X
2 i
)
i 1
n
{E(
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2 }
2n.
i 1
性质2(可加性)设Y1、Y2相互独立,且Y1～2(n1) , Y1～2(n2)，则 Y1+Y2 ～ 2(n1+ n2) .
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2
数理统计常用分布
查表
如 ＝0.025 时， u＝？
(u0.025) 1 0.025 0.975
u0.025 1.96 上侧分位数例题
2. 2 (卡方)分布
1
x n1 x
f
(
x)
2(
n 2
)
(
2
)
2
e 2 ,x0 ,
0 , x 0
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数理统计常用分布
又称学生氏分布----第一个研究者以Student
作笔名发表文章.
f (x)
(n 1)
n
2 (
n
)
(1
x2 n
n1
) 2,
2
xR
t (n) 的上侧分位数 t (n) ( 0< <1 )：
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数理统计常用分布
P{T
t
(n)}
t (n)
fT
( x)dx
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数理统计常用分布
F
X Y
n1 n2
~
F (n1, n2 )
即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自 由度为n2 的F分布.
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推论1
数理统计常用分布
若
1 F ~ F (n1, n2 ) F ~ F (n2 , n1 )
F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0< <1 )：
定理6.2.2 设随机变量X, Y 相互独立, X ~N(0,1)，
Y～ 2(n)，则 T X ~ t(n) Yn
即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.
T 分布的特点：
1.关于纵轴对称： t1 (n) t (n)
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数理统计常用分布
2. n 较大时(n>30)， t (n) u
2
n
Xi2
~
2(n)
i 1
即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.
例 统计量的分布 (之一)
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数理统计常用分布
2分布的三条性质： 性质1.(数字特征) 设 2 ~ 2(n) ，则有
E( 2 ) = n ， D( 2 ) = 2n
证明:
2
n
X
2 i
i 1
且 X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，
V
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
由(1)可知U和V是相互独立的, 再由定理6.2.2
可得
U X V (n 1) n
(n
1)S
2
2
n
1
1
X ~ t(n 1)
Sn
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数理统计常用分布
定理6.2.5 设正态总体 X 与 Y 相互独立，
X ～N(1, 12) , 样本为X1， X2，… X n1,样 本均值和样本方差为 X , S12；
n1 n2
f
(
x)
n1
2
n2
2
Γ( n1 n2 ) 2
(n1 )(n2 )
x
n1 2
1
(n1
x
n2
)
n1
n2 2
,
22
x0
0,
x0
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数理统计常用分布
称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布.
定理6.2.3 设随机变量X，Y 相互独立，
X ~ 2(n1) ，Y～ 2(n2)，则
证明: 记
Y1
n1
X
2 i
,
i 1
Y2
n1 n2
X
2 i
i n1 1
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数理统计常用分布
则
Y1
Y2
n1 n2
X
2 i
i 1
且Xi , i=1,2,…,n1+n2 相互独立，Xi～N(0,1),
从而 Y1+Y2～ 2 (n1+n2).
性质3.(大样本分位数 2 ()n当) n 足够大(如 n > 45 )时，有