高中数学难题100道教师版(1-10题)

高中数学难题100道（1-10题）

第1题（函数与求导题）

【湘南中学2019届高三试题】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若a>1,存在，使得（是自然对数的底数），

求实数的取值范围。

第2题（椭圆题）

1. 已知椭圆

x 2a

2

+y 2b 2

=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l

经过F 且与椭圆交于A ，B 两点． (1)给定椭圆的离心率为√2

2．

①若椭圆的右准线方程为x =2，求椭圆方程； ②若A 点为椭圆的下顶点，求AF

BF ；

(2)若椭圆上存在点P ，使得△ABP 的重心是坐标原点O ，求椭圆离心率e 的取值范围．

()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠()f x []12,1,1x x ∈-12()()1f x f x e -≥-e a

第3题（函数与求导题）

已知函数2211()()ln (1)124

f x x x x x a x =---++，a R ∈.

（1）试讨论函数()f x 极值点个数；

（2）当2ln 22a -<<-时，函数()f x 在[1+∞，）上最小值记为()g a ，求()g a 的取值范围.

第4题（函数与求导题）

已知()ln ,f x x ax a a R =-+∈ （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若2

1

()()(1)2g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.

第5题（函数与求导题）

已知函数

2

()()ln f x a x x x b =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为330x y --= （1）求,a b 的值；

（2）如果对任何0x >，都有()['()3]f x kx f x ≤⋅-，求所有k 的值；

第6题（函数与求导题）

(2018浙江)已知函数()ln f x x =

．

(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．

设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．

（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．

第8题（函数与求导题）

已知函数f(x)=2x+lnx−a(x2+x)．

(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=−3x平行，求实数a的值；

(2)若存在x∈(0,+∞)，使得不等式f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；

(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1−f(x)，q(x)=x3−mx+e(其中e为自然

，试确定函数h(x)的零点对数底数，m为参数).记函数h(x)=p(x)+q(x)+|p(x)−q(x)|

2

个数．

已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212

()()

2-<--f x f x a x x ．

第10题（函数与求导题） 已知函数2

()e =-x

f x ax ．

(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

高中数学难题100道（参考答案）

第1题（函数与求导题）

解：（Ⅰ）． 1分

因为当时，，在上是增函数， 因为当时，，在上也是增函数，

所以当或，总有在上是增函数， 3分 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的单调增区间为，单调减区间为． 6分 （Ⅱ）因为存在，使得成立，而当时，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值

，的最大值为和中的最大值． 8分

因为， 令，因为，

所以在上是增函数．

而，故当时，，即；所以，当时，，即，

函数在上是增函数，解得； 12分

()ln 2ln 2(1)ln x x

f x a a x a x a a '=-=-++1a >ln 0a >(

)

1ln x

a a -R 01a <

)

1ln x

a a -R 1a >01a <<()f x 'R (0)0f '=()0f x '>(0,)∞+()'0f x <(),0-∞()f x (0,)∞+(),0-∞12,[1,1]x x ∈-12()()e 1f x f x --≥[1,1]x ∈-12max min ()()()()f x f x f x f x --≤max min ()()e 1f x f x --≥x ()f x '()f x ()f x [1,0]-[0,1][1,1]x ∈-()f x ()()min 01f x f ==()f x ()max f x ()1f -()1f 11

(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a

a

--=--=-

-+++1()2ln (0)g a a a a a

=-->2

2121()1(1)0g a a a a '=-=->+1

()2ln g a a a a

=--()0,a ∈+∞(1)0g =1a >()0g a >(1)(1)f f >-1a >(1)(0)e 1f f --≥ln e 1a a --≥ln y a a =-(1,)a ∈+∞e a ≥