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圆滚动时自转圈数的探究

圆滚动时自转圈数的探究
圆滚动是中学物理实验中常见的一种现象，它是一种动量守恒实验，圆盘从A点开始滚动，途径B滚过,C处滚出去依次连续循环，同时盘上有一个物体不停的自转.圆滚动的自转圈数对物理的发展有着十分重要的作用，但自转圈数的大小不定，如何用物理方法确定圆滚动自转圈数成为相关研究的一大难点.
为了确定圆滚动自转圈数，我们可以从牛顿第二定律和动量守恒定理出发，将圆滚动实验分为以下三步，使用数学分析和物理实验来解答：
第一，确定圆滚动运动轨迹上圆盘的质量以及滚动和自转的速度。

在滚动和自转过程中，有两个动量，一是滚动动量，另一个是自转动量。

动量守恒定理规定，滚动和自转动量的和应为常数。

所以，我们可以根据物体的质量和动量守恒定理求出该物体的滚动和自转速度。

第二，根据圆盘的质量和滚动和自转的速度，求出动量守恒定理下的动量关系式。

把物体的质量和滚动和自转的速度分别代入动量守恒定理的动量关系式，得到相应的动量与旋转周期之间的函数关系，从而计算出自转完一个周期所需时间.
第三，细分实验过程，计算滚动和自转运动完成一个周期的时间，从而确定自转的圈数，根据牛顿第二定律，在一定的时间内，物体的受力和加速度都是常数，结合圆滚动实验的运动轨迹，把实验过程细分为不同的时间单位，可以得到物体相应的受力和加速度，计算圆滚动一个周期之后，物体经历的加速度和力，从而得出物体转过的圈数.
以上便是确定圆滚动自转圈数的探究，它结合了动量守恒定理和牛顿第二定律，证明圆滚动自转圈数是固定的，它为进一步将动量守恒在教学活动中深入操作，提供了有力的理论依据。

小专题物体滚动中的圈数或者路线长

小专题(十三) 物体滚动中的圈数或者路线长类型1 直线上的滚动方法归纳：滚动中物体上某点走的路径长，实际上就是弧的长度．因此找准圆心角和半径是解决问题的关键．【例1】 (黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，求点A 经过的路线长．1．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于________．2．如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．(结果用含π的式子表示)3．(恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )＋12＋1 C ．π＋1 D ．π＋124．如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O′A′B′的位置，点O 到O′所经过的路线长为( )A ．π π π D ．2π5．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚．(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转________度时，A 落在点A 1位置；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长．类型2 折线上的滚动方法归纳：转动整数圈时，圆面上的所有点走的路程相同，通常将圆心所走的路程作为突破口解决问题．注意：拐角处，圆心走的路程分类讨论．拐角为钝角时，圆心走的路程是线段＋线段；拐角为锐角时，圆心走的路程为线段＋弧线＋线段．【例2】如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( )A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．圈6．如图，⊙P 的半径为r ，正方形ABCD 的边长为2πr ，⊙P 在正方形外部沿正方形的边无滑动地滚动．如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿正方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．7．如图，⊙P 的半径为r ，长方形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．8．如图，⊙P 的半径为r ，任意四边形ABCD 的周长为8πr ，如果⊙P 从点A 的正上方出发，沿长方形的边无滑动地滚动，⊙P 至少自转________周后再次回到点A 的正上方．9．(芜湖中考)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z ”字型平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB ＝60 cm ，CD ＝40 cm ，BC ＝40 cm ，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．参考答案【例1】图略，由A″C 1＝32＋42＝5，则AA′︵＝90π×3180＝32π，A′A″︵＝90π×4180＝2π，A″A 1︵＝90π×5180＝52π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为AA′︵＋A′A″︵＋A″A 1︵＝32π＋2π＋52π＝6π.1．5π π＋3π 5.(1)60 (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为：l ＝AA 1︵＋A 1A 2︵＝60π·2180＋60π·23180＝2（3＋1）π3. 【例2】 A 9.如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO 1，第二段：线段O 1O 2，第三段：O 2到O 3的一段圆弧，第四段：线段O 3O 4.由点O 1分别作O 1E ⊥AB ，O 1F ⊥BC ，可∠O 1BE ＝∠O 1BF ＝60°，在Rt △O 1BE 中，由勾股定理可得BE ＝1033(cm)．所以，OO 1＝AB －BE ＝60－1033(cm)；由BE ＝BF 得，O 1O 2＝BC －BF ＝40－1033(cm)；由∠O 2CO 3＝360°－120°－2×90°＝60°，可求得圆弧O 2O 3的长＝60π×10180＝103π(cm)；O 3O 4＝CD ＝40 cm.所以，圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的长度是(60－1033)＋(40－1033)＋103π＋40＝140－2033＋103π(cm)．。

“圆形滚动”的问题探究

一
的路径等于圆周滚过的路程．
２圆在多边形外侧滚动
问题２如图，个半径为ｒ的圆。在折线Ｚ上滚动一段路程，点为Ａ，起终点为Ｂ，圆心０经过的问路径是多少？探究结论：圆心０所
般结论：圆在长方形的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于正方形的周长再加上圆的１个周长．问题４如图，个半一径为ｒ的圆０在正 △ ＡＢＣ的外侧自Ｄ点开始滚动１圈回到点Ｄ，圆心Ｏ经问过的路径是多少？探究结论：圆心０所经历的路径Ｌｏ于等正 △ ＡＢＣ的周长３ＡＢ，加上圆心０在三个再顶点处旋转经过的弧长之和（好是一个周刚长）即Ｌ一３，ｏＡＢ＋２ｒ兀．探究发现：圆心在各个顶点处旋转经过的度数刚好是它的外角，过的度数之和就等于转多边形的外角之和３０．６。问题５一个半径为ｒ的圆０在任意多边形的外侧自Ｐ点开始滚动１圈回到点Ｐ，问圆心０经过的路径是多少？般结论：圆在任意多边形的外侧滚动１圈，心所经历的路径等于多边形的周长和圆圆的周长之和．
・
４・０
数学教育研究
２００６年第２期
Ｌ。是以Ｍ为圆心，（就以Ｒ＋ｒ为半径的大圆）周长，Ｌ＝２（即。７Ｒ＋ｒ．）般结论：圆在圆周的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于这两个圆的周长之和．继续探索：在这个过程中圆Ｏ自转了多少

关于圆的滚动问题的探讨

关于圆的滚动问题的探讨在北师大版九年级数学（下）《圆》一章有这样道题目：如图（1）：取两枚同样大小的硬币，将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？要明确的解决该问题，首先我们应从是下面这个简单问题入手：如图（2）：一枚直径为d的硬币沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：硬币在滚动的整个过程中，始终与直线相切，即：图示中的圆于直线相切，从而AM,BN分别与直线垂直，易知AM，BN互相平行且相等，所以四边形AMNB为矩形，因为MN是硬币滚动一周的长度，于是圆心经过的距离等于MN的长度，即：硬币的周长 d。

结论：圆心经过的路径是一条和桌面平行的一条线段，硬币沿直线滚动一周，圆心经过的路径等于硬币的周长；反之，若滚动过程中，圆心经过的路径长度等于硬币的周长，那么硬币恰好滚动一周。

需要说明的是，圆即便在曲线上滚动上述结论显然也是成立的。

明白了上面的结论，我们将会很轻松地计算出圆在滚动过程中，自身转动的圈数问题。

接下来，让我们来看一个更一般的问题：如图（3）：⊙A 半径为1r ，⊙B 半径为2r ，若⊙A 不动，⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周，⊙B 自身转动多少圈呢？我们可以这样来思考：该问题可以看作⊙B 在一曲线（⊙A 的圆周上）滚动，如图（5）所示。

当⊙B 绕⊙A 无滑动滚动一周时，其圆心经过的路径恰为以A 圆心，（1r +2r ）为半径的圆；那么，圆心B经过的路径长是2π（1r +2r ），有上面结论，⊙B 自身转动的总长度应与圆心B 经过的长度保持相等，设⊙B 转动了n 圈，应有下面式子成立：2π2r ·n=2π（1r +2r ）于是n=122r r r + 我们回到文章开头的引例，由于两枚硬币半径一样长，我们可得n=111r r r +=2,即滚动的硬币自身转动了两圈。

估计直到现在，有些读者可能心中仍然还存在疑惑，理论上我们已解决了文章开头提出的问题：当等大的硬币绕固定硬币的边缘滚动一周，滚动的硬币自身转动了2圈，用实物操作亦是如此，但心理上总是不能接受，因为，两枚硬币周长一样，当硬币B“吻”遍硬币A 一周时，硬币B也被硬币A “吻”遍了一周，硬币B不是转了一圈么？为何实际情况却是两圈呢？其实，我们应这样理解：⊙B行走的路径不是一条直线，而是一条曲线（圆），⊙B上各点同一时刻进行着两种运动：①绕点A转动，②绕点B转动。

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题

用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误．几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）．本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题．【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。

本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题。

我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。

动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了0360，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。

滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。

滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。

由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度S 和滚圆的半径R , 就可以按公式S /2R π求出滚圆自身滚动的圈数。

1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r 的动圆D 与半径为R 的定圆A 外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。

分析如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D 滚动圆1D ，半径PD 旋到1CD ，且1//CD PD ，记α=∠CAP ，显然⌒CmP 1= ⌒CP由于⌒CmP 1+ ⌒P 1C r π2=，得⌒CP + ⌒P 1C r π2= 即r r R παπαπ2180180=+得⌒D 1D =r π2 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数动圆周长动圆圆心移动路程=n 。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

初中数学论文：从一道课本练习题谈圆的“滚动

点燃思维的火种，燃起创造的欲望——从一道课本练习题谈圆的“滚动”数学课本是获取数学知识的主要源泉，课本中的例题、练习题都是由编者精心筛选，匠心独运而成的，具有丰富的内涵和背景，对强化双基、开发智力、培养能力，有着极大的潜在价值。

近几年，圆的“滚动”题已成为中考数学和各类数学竞赛题的热点之一。

这类考题有的直接取之课本，有的则是把课本中的例题、练习题的条件或结论进行适当加工，改造编拟而成。

所以在教学中要深入探求问题各种各样的变式，横、纵拓展，可以达到“做一题，通一类，会一片”。

这样既能加深学生对基础知识的理解，增强综合运用知识的能力，提高学习效率，又可以有效地培养学生的各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。

为此，本文以北师大版数学九年级下册120页随堂练习第2题为例，来谈谈圆的滚动问题。

一、圆沿着直线滚动原题如图：一枚直径为d 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？分析：这是一道属于圆沿直线滚动的问题。

硬币沿着直线从点A 滚动一周到点B ，滚动过程中圆与直线始终是相切的，圆心到直线的距离都等于半径，OO 1 BA 构成一个矩形，所以圆心经过的路径OO 1 =BA ，即圆心经过的距离等于硬币的周长。

变式1：（对题目的条件进行简单变换）小明自行车车轮的外半径为24cm ，他推着自行车前进，车轮向前滚动了10圈，他前进了多少m ？分析：小明前进的距离就是车轮所在的圆滚动10圈所经过的距离。

即等于圆的周长乘以圆转动的圈数，所以小明前进的距离为：22410480() 4.8()cm m πππ⨯⨯== O O 1 B A变式2：（对题目的条件和结论进行互换）反之，圆心经过的路程为一个圆周长，则圆自身转动了一圈。

推广：滚动圆的周长程滚动的圆心所经过的路圆自转的圈数=二、圆沿着圆滚动若把原题中的直线改成线段并且围成一个圆，那就属于圆沿着圆滚动的问题。

变式3：如图两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，滚动硬币的圆心移动多少距离？分析：无滑动地滚动指滚动过程中两硬币（两圆）始终外切，若固定硬币为 ⊙0，滚动硬币为⊙O ′,半径均为R ，OO ′=2R ，动圆的圆心O ′所经过的路径是一个半径为2R 的圆的周长即2π(R+R ）=4πR 。

圆在几何图形上滚动的数学(上)

圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。

不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。

这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r，桌面上的直线长6r厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r÷2r＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

圆在滚动中的数学

圆在滚动中的数学新华云山中学初三(12)班张可文在寒假中，我看书时看到了一个关于硬币滚动的数学研究，我想其中应该有一定的规律，所以选取其中的一个部分作了探讨。

在探讨中，用圆O 来代替硬币，硬币半径为r一、硬币在一个半径为r 的圆形轨道中滚动时，硬币圆心的轨迹如图1。

圆心所经过的路程的半径为：r+r=2r ，则圆心所经过的路程为4πr 。

由此可见当硬币在一个半径与硬币相等的圆形轨道上滚动时，设硬币圆心所经过的距离即为S 时，则 S=4πr但是当硬币在一个由两个半径为r 的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，硬币圆心所经过的距离为会有什么变化呢？图1二、硬币在一个由两个半径为r 、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，硬币圆心的轨迹如图2。

圆心O 所经过的距离为：∵AO 1=AO 2=O 1O 2=O 1B=O 2B=2r∴12211221AO O AO O BO O BO O ∠∠=∠=∠=＝∴12120AO B AO B ∠∠=＝ =2×2πr ·120360︒︒∴=2 ·2πr － 2 · 2πr · 120360︒︒=83πr 图2∴ 由此可见，当硬币在一个由两个半径为r 、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，设硬币圆心的运动距离为S 时，即S=83πr三、硬币在一个由n(n ≧1)个半径为r 、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨图3C从实验二可以发现，硬币圆心运动的距离是两个半径为2r、圆心分别为O1、O2的圆的周长减去这两个圆相交后产生的两个劣弧的长。

现有一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道（图3），设n个圆分别为O1、O2、O3……O n则半径为2r、圆心分别为O1、O2、O3……O n的圆的总周长为2nπr∵∴须减去的劣弧总长为2(n—1)·=2(n—1)·2πr·120360︒︒=43πr(n—1)所以设硬币在沿着一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道滚动时，硬币圆心运动的距离为S，即S＝πr(24 33 n+)。

到底滚了多少圈

到底滚了多少圈？江苏张冠平问题1：大⊙O 的半径为R ，小圆⊙O 1的半径为r ，⊙O 1在⊙O 的外壁上滚动，问⊙O 1转动多少圈后回到原来的位置？思路探究：我们把小圆⊙O 1在大圆⊙O 的正上方1A 处作为滚动的起点，当小圆⊙O 1滚动到点B 处时，大圆⊙O 上弧B A 1的长度与小圆⊙O 1上弧B A 2的长度相等，即 12A B A Bl l l ==．设211A O B n ∠=︒，1A O B n ∠=︒．则此时，小圆自转的角度等于21021012111A O A A O B A O B A O B A O B n n ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒．由弧长公式易知：1180l n r=π，180l n R=π．因此，小圆自转的圈数m 为：()()()1180180180180360360222n R r lln R R r R r l n n r R m Rr Rr rπ+π++++ππ=====πππ ．结论：小圆自转的圈数等于小圆的圆心转过的弧长除于小圆的周长．可以用公式表示为：'2lm r=π，其中'l 为圆心1O 转过的弧长．在本题中，圆心1O 转过的弧长等于()2R r π+，因此，小圆自转了()22R r R r rrπ++=π圈后回到原来的位置．问题2：大⊙O 的半径为R ，小圆⊙O 1的半径为r ，⊙O 1在⊙O 的内壁上滚动，问⊙O 1转动多少圈后回到原来的位置？分析：小圆在大圆的内壁上转动回到原来的位置，小圆的圆心转过的弧长为：()2R r π-，小圆的周长为：2r π．因此，小圆自转的圈数等于()22R r R r rrπ--=π．问题3：一个圆作滚动运动，它从A 位置开始，在与它相同的其它六个圆上滚过，到达B 位2A0A1A1O 1O OB O1A 0AB1O1O2A置，则该圆自滚了圈．思路探究：设圆的半径为r ，当动圆从位置A 滚到第一个圆与第二个圆之间时，动圆圆心经过的弧长为120241803rr ⨯π⨯π=．动圆自转了42233r r π÷π=圈．动圆从第一个圆与第二个圆之间滚到第二个圆与第三个圆之间时，动圆圆心经过的弧长为60221803rr ⨯π⨯π=，动圆自转了21233r r π÷π=圈，……．这样，动圆从位置A 开始，滚到位置B ，一共自滚了38431232=⨯+⨯圈．思考题：1．两枚同样大小的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的硬币自转的圈数为．（答案：2圈）2．如图，一个等边三角形的边长和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，问这个圆转了几圈？（答案：4圈）ABBAC。

圆绕图形无滑动滚动的问题

周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长，所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
三、曲直无别：圆在另一圆的内、外滚动 (1)外滚例 3、如图，在同一平面内，有两个大小相同的圆，其中圆 1 固定不动，圆 2 在其外围无滑
动滚动一周，则圆 2 自身转动了______周。
解答：设两小圆半径为 r。圆 2 滚动的距离就是圆 2 圆心经过的距离，即图中虚线的圆，这个圆的半径等于两圆半径的和，因此它的周长 2π(r＋r)＝4πr 也就是圆 2 圆心经过的路程。所以圆 2 转动了 4πr 除以圆的周长 2πr，转动了 2 周。
滚动圆问题
基本结论： 1、圆沿线（包括直线、曲线、折线）作无滑动滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为
一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。即在圆作无滑动滚动时，圆滚动经过路程长度与其圆心所经过的路线长度相等。 2、圆自身转动的圈数＝圆心经过的路程÷圆的周长一、由简入手：圆在直线上滚动例 1、如图，把圆放在一条长度等于其周长的线段 AB 上，从一个端点无滑动地滚动到另一个
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。二、拓广范围：圆在多边形外滚动例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆

如何求圆的滚动圈数

一
、
圆滚动的数量关系
：
原型１如图１把ｏ在一条长度等于其周长的线段上，，０放从
一
个端点无滑动地滚
圈．
动到另一端点，０将ｏ转动
分析：图１圆滚如，动一周，直线上经过在
转的数：．函为４
Ｚ１Ｔｒ
变式４在变式３，如将正三角中
图４
形改为正ｎ形（长不变）则圆０又将滚动几圈？边边，
分析：０由起点开始运动，回到起点，心０经过的路程为圆再圆
２ＴＸ３：６．ｏ的周长为２Ｔ１ｒｒ而１ｒ圆Ａ转动的圈数：变式２在变式１，两圆内切中将改为外切，图３圆Ａ又会滚动几圈？如，
分析：两圆外切，Ａ＝４＋ｒ因Ｏｒ＝
的路程为圆的周长
Ａ曰
图１
２，耵ｒ即ＡＢ＝２Ｔ，圆心经过的路程Ｏ＝２，在直线上滚动叮则ｒ０霄ｒ圆
一
圈，圆自身转动了一圈．即
圆在直线上滚动的规律：
圆动圈：转的数堕喾
二、识拓展与应用知
（１ ×２ｒ，以圆转的圈数为凡＋）所ａｒ
＿ ×
Ｚ１Ｔｒ
在圆的滚动过程中，其本质是圆通过自身

【素材2】到底滚了多少圈

到底滚了多少圈？问题1：大⊙O 的半径为R ，小圆⊙O 1的半径为r ，⊙O 1在⊙O 的外壁上滚动，问⊙O 1转动多少圈后回到原来的位置？思路探究：我们把小圆⊙O 1在大圆⊙O 的正上方1A 处作为滚动的起点，当小圆⊙O 1滚动到点B 处时，大圆⊙O 上弧B A 1的长度与小圆⊙O 1上弧B A 2的长度相等，即¼¼12A B A Bl l l ==．设211A O B n ∠=︒，1A OB n ∠=︒．则此时，小圆自转的角度等于21021012111A O A A O B A O B A O B AOB n n ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒．由弧长公式易知：1180l n r =π，180ln R=π．因此，小圆自转的圈数m 为： ()()()1180180180180360360222n R r l l n R R r R r l n n r R m Rr Rr rπ+π++++ππ=====πππg ．结论：小圆自转的圈数等于小圆的圆心转过的弧长除于小圆的周长．可以用公式表示为：'2l m r=π，其中'l 为圆心1O 转过的弧长．在本题中，圆心1O 转过的弧长等于()2R r π+，因此，小圆自转了()22R r R rr rπ++=π圈后回到原来的位置．问题2：大⊙O 的半径为R ，小圆⊙O 1的半径为r ，⊙O 1在⊙O 的内壁上滚动，问⊙O 1转动多少圈后回到原来的位置？分析：小圆在大圆的内壁上转动回到原来的位置，小圆的圆心转过的弧长为：()2R r π-，小圆的周长为：2r π．因此，小圆自转的圈数等于()22R r R rr rπ--=π．问题3：一个圆作滚动运动，它从A 位置开始，在与它相同的其它六个圆上滚过，到达B 位置，则该圆自滚了圈．2A0A1A1O1OOB O1A0AB1O1O2A思路探究：设圆的半径为r ，当动圆从位置A 滚到第一个圆与第二个圆之间时，动圆圆心经过的弧长为120241803r r ⨯π⨯π=．动圆自转了42233r r π÷π=圈．动圆从第一个圆与第二个圆之间滚到第二个圆与第三个圆之间时，动圆圆心经过的弧长为60221803r r⨯π⨯π=，动圆自转了21233r r π÷π=圈，……．这样，动圆从位置A 开始，滚到位置B ，一共自滚了38431232=⨯+⨯圈．思考题：1．两枚同样大小的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的硬币自转的圈数为．（答案：2圈）2．如图，一个等边三角形的边长和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，问这个圆转了几圈？（答案：4圈）A BBAC。

小圆绕大圆滚动的圈数

小圆绕大圆滚动的圈数
假设有一个小圆和一个大圆，它们的半径分别为r和R(R>r)。

现在让小圆绕着大圆滚动，问小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数是多少？
答案是：小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数是R/r。

也就是说，小圆每绕一圈，大圆就绕了R/r圈。

这个结论很容易理解，因为小圆绕大圆一周的路程是2πR，而小圆自己的周长是2πr，所以小圆绕大圆滚动一周后，它围绕大圆完整滚动的圈数就是2πR/2πr=R/r圈。

不仅如此，我们还可以得出另一个有趣的结论：当小圆绕大圆滚动时，它的轨迹是一个螺旋线。

这个结论可以用极坐标方程r=a+bθ来表示，其中a和b是常数，θ是极角。

具体的推导过程可以参考数学专业书籍。

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小圆在大圆上的滚动问题

小圆在大圆上的滚动问题
在许多读物或者试题里，常见一些小圆在大圖上的滚动问題。

如何让小学生把握住这类问题，需要多观察、多操作，然后加以理解。

一般问题：已知大圆的半径是小圆的4倍，问小圆在大圆外做无滑动的滚动时，从超点出发再回到起点.小圆一共转了多少圈？
换个问法：如下图1,已知大圆的半径是笑脸（小圆）的4倍，当笑脸在大圆上做无滑动的滚动时，从起点A出发到回到起点，请画出笑脸在上边、左边.下边位置时脸部的准确位置。

若能准确画出位置，则可发现滚动到上边时，笑脸转了360+90度，再滚动到左边时，又转了360+90度，再滚动到下边时，又转了360+90度，再滚动回到起点时，又转了360+90 度，总计转了4X360+4X90度，即5圈。

为了让小学生理解的更淸建些，可再换个问法：一个正方形的边长刚好是一个圆的周长，当圆在正方形外做无滑动的滚动时，从是点滚动一周回到是点处.圆一共转了多少團？
画图观察（图2）,明显可见：当圆从A点滚动到B点时，刚好一圈。

但要到BC边做滚动时，直径需要先在顶点B外转90度，同样道理，当从起点A滚动一周回到是点A处，每边上各滚动一圈，四个顶点处各转90厦，所以共转了5圈。

举一反三，如果把正方形换成三角形、五边形、六边形，或者换成圆.椭國、其他规则与不规则图形，结论就如祈面所论，应该用周长除以小圆周长后再加上（公转）的一圈。

滚动中的数学

用你明亮的慧眼, 发现身边的数学; 用你聪明的才智, 解决面对的问题; 用你勤劳的双手, 创造美好的未来!
想一想:还能推广吗?
（3）猜想：如果正多边形内接于半径为 R的圆，把这个正多边形沿直线翻滚一周时，其外心O所经过的路程是多少？与正多边形的边数有关吗？
想一想:还能再推广吗?
（4）如果多边形内接于半径为R的圆，把这个多边形沿直线翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程也是 2πR 吗？
练习1 ：

例1 某工厂生产各种不同大小的球型弹珠，这种弹珠的最后一道生产工序是让成品沿长方形四周滚动一周，把它加工成光滑的弹珠。已知弹珠自身转了50圈，设弹珠的半径为xcm，长方形的周长为ycm. （1）则y关于x的函数关系式是 y= 98πx(x>0) 。 __________________ （2）若弹珠的直径为2cm，则长方形 98π 的周长是______________cm.
练习１：
一个圆沿边长为π的正六边形外沿滚动一周，圆自转了31圈，则该圆的半径 ___________ 0.1
练习２：朱先生买了一套住房，并对房屋进行装修。工人师傅用半径为10cm圆形地板打磨机打磨地板。如图所示，图中黑色部分表示一个墙角打磨不到的区域，那么一个矩形房间的地板打磨不到的区域面积为 2.(π取3) ______cm 100
如图，把Rt△ABC放在定直线l上，按顺时针方向在l上滚动一周，使它转到 △A”B”C”的位置。设BC=1,∠A=30° (1)求斜边AB的中点O运动的路程；
(2)求点B运动的路程。
A O B B’ C’ l A”
C
A’
B”
C”
练习2 ：
已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A A’’’），求顶点A所经过的路线长。