湖北省八校2017届高三上学期第一次联考试题(12月)解答

11-：

1.

2. 3. 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学孝感高中 襄阳四中 襄阳五中

2017届高三第一次联考

数学(理科)试题

命题学校：荆州中学 命题人：荣培元 审题人：邓海波 张云辉 马玮

第I 卷

.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

10i 复数z

(i 为虚数单位)的虚部为 3+i A. 1 B. 3 已知集合A 二

^x|2x '2 :::1 ?, B A x x 2 9■: C. 4 2

D. 4

2

x y _ 3

8. 若实数x, y 满足x - y _ 3 ,

x 2 y 岂 6

A. 2 ,0

B. .70

C. 8

D. 10

9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说 明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：

南山一棵竹， 竹尾风割断， 逐节多三分③，逐圈少分三④. 此民谣提出的问题的答案是 (注：①五寸即0.5尺.②一尺三即

则(x 亠1)2亠y 2的最小值为

节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？ 剩下三 1.3尺.③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于 0.013尺.)

C. 61.905尺

D. 73.995尺

3

T

'1 2

x 2

A. 72.705尺

B. 61.395尺 15

D.

4

-2x -3 0?，则(C R A) B =

C. [-2,-1)U(3,

D. (-2,-1)U(3,=)

C. -3

10.已知直线y = kx(k ?R)与函数f (x)=

A. ［ 2, 1)

B.(- 下列选项中，说法正确的是 A.若 a b 0 ,则 log 1 a log 1 b

2 2 向量a =(1,m),b =(m,2m -1) (m ?二R)共线的充要条件是 m =0 命题“ -n ?

N *,3n (n ?2)?

2n °”的否定是

,-2] g 0)

的图象恰有三个不同的公共点，则实数

(x 0)

B.

C. D. “ _n N *,3n _ (n 2) 2心” f (b^0，则 f(x)在区

k 的取值范围是

3 A.

2

11.已知x = 1是函数

是

A. ln a b-1

B.(」：，-2)U(2,=)

f (x)二 ax 3

- bx - ln

D.

(2,：：)

x ( a 0,b R )的一个极值点，贝U In a 与b-1的大小关系

4. 已知函数f (x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的， 则命题“若f (a) 间(

a, b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 实数a=0.33, b=log 3 0.3 , c = 30.3的大小关系是 B. In a ：： b-

1 1 12.已知 f(x) = sin x-cos x ( ■

4

不属于区间(2二，3二)，则」的取值范围是

3 11 | | 11 19 1 5 | | 5 3

A. [ , ]U [ , ]

B. ( ,

]U [,] 8 12 8 12 4 12 8 4

C. In a 二 b- 1

D.以上都不对

x R)，若f (x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都

c. [?Z]U 匚卫]D.(」,$U[￡ 卫]

8 12 8 12 4 4 8 12

A. 2 3 C. 6.3

B. 2 D. 6

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 3二 4 B. 4二 2 第U 卷

本卷包括必考题和选考题两部分 .第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第

22题至第23题为选考题，考生根据要求作答 .

二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不 清、模棱

两可均不得分.

13. 已知向量a , b 的夹角为一，且a ?(a- b) = 1, |a 卜2，则|b 卜 ____________ .

3

* 3

14. 已知数列｛a n ｝满足：印=1, a ?= 2, a+2=升厂a (有 N )函数f ( x)= ax+ btan x 若

f(a 4)= 9,则 f (aj f(a 2017 )的值是 _______________ .

15.定义四个数a,b,c, d 的二阶积和式

c d

=ad bc .九个数的三阶积和式可用如下方式化为二

n 2 -9 f(n)=n 1 n (n = N )，则 f(n)的最小值为 _____________________ .

|1 2 n

匚

J

16.如图所示，五面体 ABCDFE 中，AB//CD//EF ，四边形ABCD , ABEF ，CDFE 都是等腰梯形，并且平面 ABCD _平面ABEF ， AB =12,CD

=3,EF =4，梯形 ABCD 的高为 3，EF 到平面 ABCD 的距离为6，则此

五面体的体积为 __________________________ .

三.解答题：本题共 6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 20. (本小题满分12分)

一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产

A 、

B 两种奶制品，如用甲类设

备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A 制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电 8千瓦时，可得4千克B 制品.根据市场需求，生产的A 、B 两种奶制品能全部售出， 每千克A 获利a 元，每千克B 获利b 元.现在加工厂每天最多能得到 50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不 得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工 102千克A 制品，乙类设备的加工能力没有限制 . 其生产方案是：每天用 x 桶牛奶生产 A 制品，用y 桶牛奶生产B 制品(为了使问题研究简化， x,y

可以不为整数).

(I)若a = 24, b=16，试为工厂制定一个最佳生产方案(

记此最佳生产方案为 F 0)，即x, y 分别

为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；

(n )随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波

动.若a = 24(1 + 4h) , b=16(1+5k —5,)(这里0￡^c 1)，其它条件不变，试求 &的取值 范围，使工当且仅当.采取(I)中的生产方案 F 0时当天获利才能最大.

17. (本小题满分

12

分)

厂 .

ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知上色^匹

C cosB b

(I)求角B 的大小；

(n)点D 为边AB 上的一点，记 —BDC - v ，若一：：：：:::二

2

8 f 5 CD =2, AD = .5 , a ，求 sin 二与 b 的值.

5

18. (本小题满分12分)

已知函数f(x)=Asi n(co x +?) ( A > 0,⑷> 0, ? ￡二)的部分图象如图所示

2

(I)求f (x)的表达式;

(n)把函数 y = f(x)的图象向右平移 一个单位后得到函数 g(x)的图

4

、， 1

象，若函数h(x)二ax g(2x)「g(x)在(Y ； ?：：)单调递增， 2

求实数a 的取值范围.

19. (本小题满分12分)

已知两数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足b n =「3n a n (n ?N *), 3b 1 =10a 1，其中｛a .｝是公差大于零的等差 数列，且a 2, a 7, b 2 -1成等比数列. (I)求数列｛a n ｝的通项公式； (n)求数列｛b n ｝的前n 项和S n .

21. (本小题满分12分)

已知函数 f(x) ln(x 2a)-ax , a 0. (I)求f (x)的单调区间；

1

(n)记 f (x)的最大值为 M (a)，若 a 2 a 1 0 且 M (a j= M (a 2)，求证：a 1a 2

；

4

(川)若a 2,记集合｛x|f(x)=0｝中的最小元素为x 0,设函数g(x)=|f(x)「x ,求证：x 0是g(x) 的极小值点.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.

22. (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程

千 X = 1 cos ：

在直角坐标标系xoy 中，已知曲线C 1 :

2

9(二为参数，很5 R ),在以原点O 为极点，x y= sin a __

L 4

厂

轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)

，曲线C 2 :『sin(‘ —)

2

，曲线

4

2

C 3 = 2 cos^ .

(I)求曲线 C 1与C 2的交点M 的直角坐标；

(n)设A, B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求 AB 的最小值.

23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲

设函数 f (x)二 X - a , a ，R .

(I)当 a=2时，解不等式：f(x)^6—2x —5 ；

1 8

(n)若关于x 的不等式f(x)空4的解集为［-1,7］，且两正数s 和t 满足2s t =a ，求证：

6

阶积和式进行计算:

'ai a 2 a ?〕

b 2 b 31

th b s 丨

b 1

b 1 b 2 b 3

= a 1x

I +a 2 x

|

+ a^x |

.已知函数

C3

c 1 c 3

G C 2

C 2 c3

_

第ID 题图

A

J

. s t

2017届高三第一次联考

数学（理科）试题参考答案

19. (I)设｛a n｝的公差为d (d 0),'：3“ = 10a1” 3(1 3aJ = 10a1, a1 = 3.

又a2 = a1 d = 3 d , a7 = a1 6d = 3(1 2d) , b2 - 1 = 9a2 = 9(3 d),

13. 3 14. -18 15. -21 16. 57

由a2, a7, d -1 成等比数列，得9(1 ? 2d)2= 9(3 ? d)2，: d 0, 1 ? 2d = 3 ? d , d = 2 ,

.a n =3 (n -1) 2 =i2 / 1 ...6 分

17. (I)由已知

,3 sinC c f

，得

cosB b

.3sinC sinC

cosB sin B

:"si nC 0，

sin B

cos B

=tan B

(n)因为％=2n ? 1,所以b^ V (2n ? 1)3n,

曰

是,

\*0 :: B Y, B 二—

6

CD

(n)在BCD中，;上匕

sin B

S n = (1 3 3) (1 5 32) (1 (2n 1) 3n),

8 <5

2 5 .

—,.sin sin

30 sin v

.................... ...4 分

BC _ a

sin _ BDC sin v

令T=3 315 32亠亠i. 2n 1 3n① 则3T - 3 32 5 33-亠i. 2n 1 3n 1②

①-②，得—2T = 3 3+ 2 冬域2 *3?十汉2—Q 今n1 13

2、5

5

...8 分

2 n：；1

-- 2n 1 3n 1- -2n 3n 1, T = n 3 1-3 n-1 ADC为锐角, .cos/ADC 二cos(二- J)

n 3n1=n (1 3n1)....12 分

20.设工厂每天的获利为z元.由已知, 得z = 3ax 4by ,且

在ADC中，由余弦定理，得b2二AD2CD2-2AD CD cos^ =5 4-2、、5 2

5

=5，所以b = -.5 . ............ ...12 分

12x 8y E 480

x y _ 50 一

< ,作出可行域如图所示

3xE 102

（图中阴影区

域）

5兀兀2兀

18. (I)由图可知， A =1，最小正周期T = 2( )=2 ，-' = 1.

4 4 灼

H JI JI

又2k二(k Z),且| | , . f(x)=sin(x ) . ......... ...5分

4 2 2 4 4

JI .

(n) g(x)二f(x ) = sinx, .................... ...7分

4

丄1 丄1

贝U h(x)二ax g(2x) — g(x)二ax sin2x—sinx ,

2 2

”2 1 29

h (x) = a cos2x -cosx 二2cos x - cosx T a = 2(cosx ) a ,

4 8

9

Y h(x)在」：，?：：单调递增，.h(x)-0 恒成立，? h (x) min a-0,

8

9 9 —

a ，即a的取值范围为［一，=). ........... ...12分

x_ 0,y 一0

(I) z 二3ax 4by = 72 x 64 y，当

直线12x ? 8y= 480与x，y = 50的交点（20,30）时，z取最大值

3360.即最佳生产方案F。为x = 20, y = 30，工厂每天的最大获利

为3360元. ...6 分

（n ）为使z当且仅

当

12 3a d

1,

8 4b

4 a 8 所以2,-

3 b 9

3分

z=72x，64y对应的直线过

3a

x = 20, y = 30时取最大值，则直线z二3ax 4by的斜率满足

4b

..8分

1 亠4； 4 2

”行丁込，注意到「

5_5」0,

2

所以

40

'

-4 ' /

20 2 -8?

-i ：：：

0 k ，：(-4)2

-4 40 i ：：：0，. 40，-4， i 0 恒成立; 由 20 ?2 -8，-仁 0，得 丄：：「：：丄，；0< - :：: i ，. 0< ■-，

i0 2 2

工(a i)x-In(x 2a) (-2a ：：： x .

x 0)

.当一2a ：x ：：—— 2a 时，g(x)

i

，

a

In (x+2a)-(a-i)x %

0—). ‘2 ...12 分

是-2a ：：：

x ：：： x 0 时, i i g (x>(a ? i)-—— (a -1)-—— ,(所以，若能证明

x+2a

xo+2a

i X 。

2a ，便能证

a i

2i. (I) f (x)二 i (-a)(x 2a -丄) a

x 2a x 2a

殳，因为 x ? -2a , a 0，由 f (x) ? 0，得

(a i) 1

0)

x ° + 2a

.记 H(a) = f ( — - 2a^ 2a 2

— a+i

a+i

-i- In(a i)，则

i

i

-2a ：： x 2a ；由 f (x) ：： 0，得 x 2a ； a a

所以，f(x)的增区间为 (-2a 」-2a)，减区间为(--2a^：：).

a a

(a)

= (a i)2

a i

，■ H(a)在(2)内单调递

...3 分

(n)由(I )知,

M (a)二 f (- —2a) =2a 2

-i -1 na , a

...4 分

2

2a 〔…i - In a^ —

2a ?

-i -1n a ? ， . 2(a ? --a^

a 2

)=In a 2 - In a^i = In -,

ai

2 -

_ a 2 — a i a 2 ..2a i a 2 In ” 4a i a 2

a 2

2ln 2

2ln

冬2, . 4a i a 2 = a i

a i a

2

a i

a

i

a

2

a i

(邑-色)

i

i

2a 2a ， a i a i

i

5(-2a,—-2a))内单调递增，

?心(-2a,

2a) ，于是- 2a ：：： x ：：： x 0 时,

a

a+1

i

i

：：(a i)

(a i) 0, g(x)在(一2a,x 。)递减.

x ^+2a

丄-2a+2a a i

i

.

i

x ()：：： x 2a 时，相应的 g (x)

(a-i) ?

a - ，.H(a) H(2) =丝-In3 0，

3

g(x) = (a i

x 2a

a i a 2

i

i

设

-厂2|nt (

^i )，则 h ⑴“ + ^-t

i 2

= (i-?2

，

g(x)在(x °,」-2a)递增.

a

故x 0是g(x)的极小值点

所以，h(t)在(i,：：)上单调递增，h(t) h(i) = 0,

i a 2 即 t 2ln t 0，因—? i ,故 t

a i

■I - x = i cos-：〉

22. ( I )由 C i ：

2

9， y = sin :

I.

4

y 一？i-cos2：

4

a — a i

a — 2 L

2I n 2

a i a 2

a i

a ?

2In 2

曲线C i 的普通方程为y

a i

a i a 2

a 1a 2：：

：i .

4

…...8分

由 C 2 sin( )=

4

i f(x)在(_2a,

2a)

a+ i i

-i ------------- - (a-i) = i 0, (--2a) 2a a

￡—(x —i)2

, 4

5

2

丁 (x 」)2 (

。」乞2)，

...i2 分

-，得曲线C 2的直角坐标系普通方程为x…0.

2

i

(川)由(I )可知，f (x)在区间(-2a,

2a)单调递增，又x —? 2a 时，f(x)). a

i

2

易知，f (

2a) =M (a) =2a 2 -i - Ina 在(2,二)递增，M (a) M (2) = 7 - In 2 0，

a i i

-2a ：： x 0 2a ，且—2a ：：： x ：： x 0 时，f (x) ：

:： 0 ； 冷：：x 2a 时，f (x) 0 .

a a

5 2

,y

(x-i)

由

4

，

x y i = 0

所以点M 的直角坐标为 2

i

5 3

得 4x _i2x+5=0，二 x=— (x = _ 舍)，y=__

2 2 2

i 3

(

2-2

...5 分

(n)由C 3

= 2cos ，得，2 = 2 cos^， 曲线C 3的直角坐标系普通方程为

2 2

xy _ 2x 二 0，

2211+0+11 L 即（x-1） y =1，则曲线C3的圆心（1,0）到直线x?yT=0的距离d

2 ,

V2

的半径为1，所以|AB|mi n= J2—1. .................... ...10分

1 x ：：：

2 1

3 1或③. 由①，得x ;由②，得x：=：: ■;由③，得x_ —;

2 -x 5-2x _6

3 3

—1 13 —

所以，原不等式的解集为（」：，丄]1][ ....................... ...5分

3 3

（n）不等式f（x）_4 即—4_x—a_4 , . a—4_x_a4 , . a — 4--1 且a4=7. 圆C3

23. （I ）不等式即x —2 + 2x —5 Z 6 ,-I- . (5)

l x ——

■① 2

x -2 2x—5 _6 ②

x—2 5—2x_6

= 1（10 E 空）_1（10 2「16s）

=6.?…

3 s t 3 ■ s t 说明：各题评分时评分标准可根据情况适当细化

1 ^1（1 8）（2st）

st 3 s t

? ...10 分