正交多项式回归系数表
正交多项式回归设计及参数设计
• 配一个4次多项式的回归方程
ˆ b0 b1x b2 x2 +b3 x3 +b4 x4 y
• 将x变为一组标准等距点x’（1，2，…，7） • 利用n=7做正交多项式，则回归方程变为
x 16 x 2
ˆ b0 b11 ( x) b22 ( x)+b33 ( x)+b44 ( x) y b0 b111 ( x) b22 2 ( x)+b333 ( x)+b44 4 ( x)
b0 y b11 ( x) b22 ( x) L bk k ( x)
• 为简化计算，同时令 （即正交性）
x 0, i 1, 2,L k x x 0, i j
t 1 i t j t t 1 n i t
n
• 求解偏回归系数和截距
y b0 b1x b2 x2 +L +bk xk
• 设ψ1（x）、 ψ2（x）、…、 ψk（x）分别为x的一、二、 及k次多项式，则可见
y b0 b11 ( x) b22 ( x)+L +bk k ( x)
Cont…
• k次线性回归方程的偏回归系数由正规方程组决定
lk1b1 lk 2b2 L lkk bk lky
• 每次多项式φi（x）的系数bi及相应的Bi只与yt及φi（x）有 关，而不随其他各次多项式的增减而变化；在整个回归中 多配一项φi（x）将使回归平方和增加一项biBi，故第i次多 项式φi（x）的效应为Pi=biBi=Bi² /si，而回归平方和则是各 次效应的和 • 方差分析表
Cont…
• 为考察甲醛浓度x与缩醛化度y之间的定量关系，对7种不 同甲醛浓度各进行了若干次试验，测出各种浓度的平均缩 醛化度
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
数值分析-第8讲(正交多项式最新)
＝ b j ( x ) k ( x ) j ( x )dx＝0
b j 0 a
k 1
Heut-lcf@
要证明： j， k ) (
b
a
( x ) j ( x ) k ( x )dx {
0， Ak 0,
jk jk
若对任意的 , k ( k , Qk 1 ) ( x ) k Qk 1 dx 0
2 k ( x ) 0
a
b
所以
{ k ( x )}在[a , b上]正交
Heut-lcf@
证毕
三、正交多项式系的主要特征
(1) n ( x )次数为n, 最高次项系数为 1
( 2)
{ 0 , 1 ,... n }线性无关
( 3)对Pn ( x ) H n 均可表为 0 ,... n的线性组合
若Ak 1, 则称之为标准正交函数 . 系
Heut-lcf@
例 如, 三角函数族
就是在区间 , 上的正交函数族 .
回忆傅氏级数的结论 三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,.......
{1, cos x, sin x, cos 2 x, sin2 x,cos nx , sinnx ,}
429351431051432311115正交多项式序列正交化构造出heutlcf163com勒让德多项式权函数正交化得到的多项式一般表达式五勒让德legendre正交多项式heutlcf163com的勒让德多项式为显然最高项系数为的系数于是得首项正交性性质勒让德多项式的重要性奇偶性性质为奇数时奇函数为偶数时偶函数递推关系性质个不同的实零点内有在区间性质303515706310531523勒让德多项式集的前请同学们写出35315693429正交化得到的正交多项由序列它可表示为多项式就是切比雪夫arccoscos六切比雪夫chebyshev正交多项式heutlcf163com切比雪夫多项式权函数正交化得到的多项式arccoscos一般表达式heutlcf163com性质切比雪夫多项式的重要奇偶性性质递推关系性质个实零点内有在区间性质201650400112012805121204325762563216025612856112641848321010heutlcf163com七拉盖尔laguerre正交多项式heutlcf163com函数的最佳平方逼近heutlcf163com的最佳平方逼近函数
3.3正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
数控铣削参数的回归分析及优化处理
要求 Ｙ 在一定范围 Ｙ≤ Ｙ≤ ｙ 内取值 ，应该把变量 。 ２
控制 在 什么范 围 内。
达到最小的值是最好的。 运 用数 学知 识 ， 不在 此 推导 ， 接应 用其 结果 直
事实上 ， 回归方程（ ） 用 １可知变量 取 ％时对应
Ｙ ＝口＋６ ０ ｏ
６等 ＝
口 Ｙ Ａ 一
加 工 过 程 进 行 控 制 和预 测 。用 一元 线 性 回归 处理 的
实验数据 ， 为生产提供参考经验公式 。
１ 用 一 元线 性 回归和 正 交 多项 式 分 析各 参
数 之 间的联 系
１１ 回归 方 程 的求解 ．
０２ ． ０ ４ ． ０６ ． ． ． ０ ３ ． ０ ５ ． ０ ７ ０ ８ Ｘ
度 高等特点 ， 对制 造业实现 自动化 、 集成化 、 智能化 即可 ， 没有什么具体参数供参考 ， 那么就研究跨度对 起着举足轻重的作用【 ｌ 】 。随着制造业与数控技术结合 加 工表 面 品质 的影 响 ，这 里 主要 分 析 表 面粗 糙 度 与
一
的 日益紧密 ， 机械制造设备 的数控化率 ， 已成为衡量 跨度之间的线性 回归关系。 个 国家制 造 技术 水平 的重要 标 志 。 测得 实 验数 据 如 表 １ 。 而在生产和科学研究 中， 常遇到不止一个变量 ， 而这些变量之间又存在复杂 的对应关系 、甚至是相
处理（ 为了方便表达 ， 麓代替 ’ 用 ） 。 据最小二乘法 ，求 回归系数归结为解线性方程
组
（ ｍｍ） ｄｉ
（
（／ ｉ ） （ ｍ （／ ｉ ） （ ｍ ｒ ｒ ｍａ ） ｒ ｒ ｍａ ）
ｌｌｌ １ｂ＋１ｂ＝ｚ ｆｂ＋１ ２ １ ３ ｌ ｌ ２ ３ ０
第四节 二次回归正交设计
第四节二次回归正交设计在应用一次回归正交设计时，如果经过假设检验，发现一次回归方程不合适，就需要用二次或更高次回归方程描述。
通常情况下，使用二次回归一般即可满足要求。
一、二次回归正交试验的组合设计方法二次回归设计就是采用二次多项式作为回归方程。
当变量数为P 时，二次回归模型的一般形式为(3-3-18) 在二次回归模型中，共有q个待估计参数因此，要建立有p个变量的二次回归方程，试验次数应大于q。
而且为了估计未知参数,每个变量所取得的水平不应小于3。
在三水平上做p个变量的全因素试验，试验次数为3p。
当p=4时，三水平的全因素试验次数数量是81次，比p=4时的二次回归系数要多4倍以上，以致剩余度过大。
为了有效地减少不必要的试验次数，提出一种组合设计法。
这种方法是在因素空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合成为一个试验计划，此计划应尽量减少试验次数，并且有正交性。
以p=2为例，在有两个变量x1,x2场合下，组合设计由以下9个试验点组成（见表3-3-13）：表3-3-13这9个试验点在平面图上的位置如图3-3-2所示。
图3-3-2当p=3，即有三个变量时，组合设计由15个试验点组成，见表2-14。
这15个试验点在空间的位置，如图3-3-3所示。
表3-3-14一般地，p个变量的组合设计由下列三类试验点组成：第一类点为二水平（-1和1）全因素试验的试验点，这类试验点共有2p个，如果采用1/2或1/4 实施法，则为2p-1或2p-2个试验点。
第二类点为分布在p个坐标轴上的星号点，这类试验点共有2p个，它们与中心点的距离为，称为星号臂。
是待定系数，可根据不同的要求确定值。
第三类试验点为中心点，即各变量都取零水平的试验点。
在中心点上的试验可以只做一次，也可以重复做若干次。
若以N0表示第一类试验点个数，以m0表示第三类试验点个数，则p个变量的组合设计试验点数N为：N=N0+2p+m0用组合设计安排的试验计划有一系列优点：首先，它的试验点比三水平的全因素试验少得多，但仍保持足够的剩余度。
数值分析5 5正交多项式
m, n 1,2,
cos
nx,
cos
mx
, m
0, m
n ,
n
m 0,1,2,
n 1,2,
➢ [a, b] 上带权 x的正交函数系必是线性无关的函数系,
而不论 x是什么函数.
因为, 若 c00x c11x cnnx 0, a x b, 则
0 (0, i) ( c00 c11 cnn, i ) ci(i , i ciai
事实上,可以证明k 次正交多项式有k 个单根. 证明见教材
➢ 性质4 设{kx} 是区间[a, b] 上带权 x的正交多项式
系, 则 k 1时, 有如下的递推关系式:
k 1 ( x)
ak 1 ak
(x
k
)k
(x)
ak 1ak 1 a2
k
k 1 k1(x)
其中, ak 是kx的最高次项系数, 且
(1) (x2 1)m (m1) (x2 1)n (n1) dx L L
1
1
(1)m (x2 1)m (mm) (x2 1)n (nm) dx
1
1
(1)m (2m)!
( x 2
1)n
(nm)
dx
mn
(1)m
(2m)! ( x 2
1)n
( n m 1)
1
1
1
知有表达式
1
1
Lm
( x) Ln
则称{nx}是[a, b] 上带权 x的正交函数系.
例 三角函数族 {1,cosx ,sinx,cosx2,sinx2,…} 是[ , ]上的正
交函数系.
证明：
1,1 2 sin nx,cos mx 0, m 0,1,2, n 1,2,
研究生数值分析(19)正交多项式
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
{k (x), k 0,1,}
其中 k (x) 是最高次项系数为1的k次多项式。
正交化方法如下：
0 (x) 1
k1(x) xk1
k
akj j (x),
j0
k 0,1,
其中
akj
(xk1, j ) ( j , j )
,
j 0,1,, k
(x)i
(x)
j
(x)dx
0, ai
0,
i j i j
则称 {i (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系。 特别地，若 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数 不为零的k次多项式，则称 {k (x)} 是[a，b]上带 权ρ(x)的正交多项式系。
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
证明必要性
k 1,2,
任何次数不高于k-1的多项式 q (x) （k≥1）
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
第8章 回归的正交设计
第8章 回归的正交设计教学目标：1. 掌握一次回归正交设计及统计分析方法2. 掌握二次回归正交组合设计及统计分析方法正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及其相应的回归方程。
如果使用传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而有必要引入把回归与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法──回归正交设计。
回归设计就是在因子空间选择适当的试验点，以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决生产中的最优化问题，这种试验设计方法称为回归设计。
随着生产与科学技术的发展，在工农业生产中为了实现以较少的生产投资，获得最大的经济效益，经常需要寻求某种产品、材料试验的最佳配方、试验条件与工艺参数以及建立生产过程的数学模型。
特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点，使得在每个试验点上能获得比较充分、有用的信息，减少试验次数，并使其数据分析能提供更为科学、充分、有用的信息。
解决上述问题比较理想的方法就是通过回归设计进行试验，建立相应的数学模型，寻求最佳生产条件和最优配方。
回归设计始于20世纪50年代初期，发展至今其内容已相当丰富，包括回归的正交设计、回归的旋转设计、回归的最优设计以及回归的混料设计等，本章只介绍回归的正交设计。
8.1一次回归正交设计与统计分析当试验研究的因变量（如加工罐头质量）与各自变量（如杀菌方式、产品配料等）之间呈线性关系时，可采用一次回归正交设计的方法。
8.1.1一次回归正交设计的一般方法一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似，主要是应用二水平正交表进行设计，如)2(34L ，)2(78L ，)2(1112L ，)2(1516L 等，其设计的一般步骤为：⑴ 确定试验因素的变化范围。
第四讲 多项式回归与正交多项式
b0 x b1 x 2 b2 x3 bp x p1 xy
b0
x
2
b1 x3
b2 x 4
bp
x p2
x2y
b0 x p b1 x p1 b2 x p2 bp x 2 p x k y
∑x1x2=∑x4=18066，
∑x2x3∑x5=158408，∑x1y=189，∑x2y=∑x2y=1293，∑x3y=∑x3y=9675
二级数据：
x1 4.75, x2 x2 33.75, x3 x3 286, y 4.25
l11 x12 （ x1）2 n =270－382／8=89.5
A(0)
89.5 861.5
861.5 8953.5
7882 86048
27.5 145.5
7882
86048
856018
563
0.017773 9.625698 88.067039 0.307263
A (1)
9.625698
660.960915
10178.2459
i(xt )
yt
n
同样，对于多元多项式回归，也可以化为多元线性回归来分析，例如，对于
多变量的任意多项式回归方程：
yˆ
b0
b1 z1
b2 z2
b3 z12
b4 z1z2
b5
z
2 2
只要令x1=z1， x2=z2 ，x3=
z12
第4篇试验设计与回归分析（可编辑）
第4篇试验设计与回归分析第4篇试验设计与回归分析回归分析的种类与简单回归分析第1节回归分析的任务和种类1.回归分析仅哪些问题当人们从一组对象上获得2个或多个指标的观测值时,往往需要回答下述几个问题:①如何实现预测,即如何由1个或多个指标自变量的值去推算另1个或多个指标因变量的值;②如何实现控制,即事先给锄品质量应达到的标准(因变量的取值范围),根据变量之间的数量关系去控制那些影响产品质量的因素(自变量)的变化区间;③如何实现修匀,由于所研究的指标带有变异性,当用散布图将变量之间的关系呈现出来时,散点所形成的轨迹并非像数学中初等函数那样有规律,需要用合适的数学方法(如用直线或某种光滑曲线)对资料进行修匀,使变量之间本质联系更清楚地呈现出来。
回归分析正是回答上述问题的一种最常用最有效的统计分析方法之一。
2.回归分析的种类如果因变量是非时间的连续变量(即一般定量资料),设自变量的个数为k,当k=1时,回归分析的种类有:①直线回归分析;②通过直线化实现的简单曲线回归分析(以下简称为曲线拟合);③非线性曲线拟合;④一般多项式曲线拟合;⑤正交多项式曲线拟合。
当k≥2时,称为多元回归分析(注:前面的④、⑤2种情况实质上是用多元回归分析仅只含1个自变量时较复杂的曲线拟合问题)。
当同时对多个因变量进行回归分析时,称之为多重回归分析。
在多元回归分析中,简单而又实用的则是多元线性回归分析(其中某些自变量可以是原观测指标经过某种初等变换的结果,如对数变换、开平根变换等,因为这里所说的线性是指∶函数fx相对于回归参数是线性的,并非相对于自变量而言)。
这是本篇中要论述的问题。
如果因变量是与时间有关的连续变量且未被离散化(如:生存时间、复发时间、死亡时间等),而自变量可以是定量的,也可以是定性的。
此时需用生存分析中的半参数或参数回归分析方法,将在本书第5篇中论述。
如果因变量是名义或有序变量,无论它取二个离散值(如:死与活、复发与未复发等)还是多个离散值(自变量可以是定性和定量的)时,都可选用logistic 回归分析;如果把列联表中每个格内的理论频数的对数当作因变量,把分组变量(包含影响因素和观测结果变量2类)当作自变量,可用对数线性模性分析。
数值分析-正交多项式
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,,n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2, ).
（6） Tn (x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
xk
cos
k
n
,
(k 0,1,2,
, n)
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
1
x
2dx
0, / 2,
m n, m n.
U0( x) 1, U1( x) 2x, Un1( x) 2xUn( x) Un1( x).
(2.14)
2. 拉盖尔多项式
区间[0,)上带权( x) e x的正交多项式
Ln (
x)
e
x
dn dxn
(2n)! (2n n!)2
/
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
第8章 正交多项式回归设计
利用正交多项式回归的实际计算可按下面的步骤进行。 利用正交多项式回归的实际计算可按下面的步骤进行。 (1)根据ｎ 因素的水平数),查相应的正交多项式表,设需配一个ｋ (1)根据ｎ(因素的水平数),查相应的正交多项式表,设需配一个ｋ次多项 ),查相应的正交多项式表 根据 一般ｋ 即可). 式(一般ｋ≤5即可). 因为ｎ个水平至多只能配ｎ－ 阶的多项式,故对于ｎ 只列出ｎ－ ｎ－1 ｎ－１ 因为ｎ个水平至多只能配ｎ－1阶的多项式,故对于ｎ≤5只列出ｎ－１ 阶正交多项式的数值, 阶正交多项式的数值, 例如ｎ＝ 只列出了Φ ｎ＝４ 例如ｎ＝４只列出了Φ１、Φ２、Φ３首先计算
x '− a x = h
' i
(8-1)
式中ｈ 式中ｈ——因素水平间的间距 因素水平间的间距 在数学分析中讲到,相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近 相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近,把这个思 在数学分析中讲到 相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近 把这个思 想用到回归分析上,就产生了多项式回归 就产生了多项式回归。 想用到回归分析上 就产生了多项式回归。 设对应于ｘ ＝ｔ的实验结果为 的实验结果为ｙ ，（ｔ＝１ ｎ）。对这 设对应于ｘｉ＝ｔ的实验结果为ｙｔ，（ｔ＝１，２……ｎ）。对这 ｎ）。 一组响应值(观测值 我们配一个ｋ次多项式。 观测值)我们配一个 一组响应值 观测值 我们配一个ｋ次多项式。 (8-2) y = a0 + a1x + a2ｘ２ + …. + akxk
− n +1 x= 2
由于Ψ （ｘ），ｉ＝１ 由于 ｉ（ｘ），ｉ＝１，２…ｎ的值不一定都为整数 因此为方便起 ｎ的值不一定都为整数,因此为方便起 通常引进适当的系数λ 见,通常引进适当的系数 ｉ，使 通常引进适当的系数
第四讲 多项式回归与正交多项式(安徽农大徐建新版)
ˆ y d 0 d11 ( x) d 22 ( x) d p p ( x)
（4—4）
这样就把xi 或Φi(x)看成是新的变量，（4—3）或（4—4）式便是一个p元的 线性回归方程，各偏回归系数di仍可按下列正规方程组求得。 d1l11 d 2 l12 d p l1 p l1 y d1l 21 d 2 l 22 d p l 2 p l 2 y （4—5） d l d l 2 p 2 d p l pp l py 1 p1
ˆ y b0 b1 x b2 x 2 bp x p
（4—2）
解上述方程组可得：b0，b1，b2… bp 。 若令x1=x，x2=x2，…xp=xp，或φ1(x)=x，φ2(x)=x2，…φp(x)=xp，则（4—1）可改 写成 ： ˆ （4—3） y d 0 d1 x1 d 2 x2 d p x p 或
A( 2)
0.151354 0.014563 60.160677 2.043292 0.014563 0.001513 15.399165 0.180354 60.160677 15.399165 5137.11465 23.16028
2、计算偏回归系数，列出回归方程，仍可用（1—16）式对下列增广矩阵作消 元变换，求得系数矩阵的逆及各偏回归系数。
A( 0)
7882 27.5 89.5 861.5 861.5 8953.5 86048 145.5 7882 86048 856018 563
t 1
t t t
n
t 1 n
t
t
t
t
t
t
同样，对于多元多项式回归，也可以化为多元线性回归来分析，例如，对于 多变量的任意多项式回归方程：
多项式回归
20
)
八章 多项式回归设计
代入后得：
ˆy 1939.155 42.517z1 0.063z12 1.244z2 0.016z1z2 0.051z3 0.017z4 0.374z5
八章 多项式回归设计
j 系数，使x j (z)取整数值
八章 多项式回归设计
注：（1） z取值与z起点及水平间隔无关
（2）z取等水平间隔，但（j z）不一定为整数， 故令：x j (z) j (z) 合理选取 j ,可使x j (z)取整数
例：z取等间隔＝1时，设N＝6
八章 多项式回归设计
由Fisher递推公式：
1、z
、z
1
做二次回归
2
b1 b2 2 1 3
z3做一次回归
b3 11 2
由此确定z及xj(z),见表8-3
八章 多项式回归设计
表8-3, z及xj(z)水平,
N 3
N 2
z1% z2 % z3 % x1(z1), x1(z2 ) x2 (z1), x2 (z2 ) x1(z3 )
33 3 0
3、方案设计
(1)第1列安排x0( z )
(2)将11，
2
，
2
33
2、3、4列，
得表8 -1
(3)安排零点试验m0 4 Se、S lf
不能进行整体设计
八章 多项式回归设计
八章 多项式回归设计
4、数据处理
（1）计算可在表上进行
（2）若不便做m0重复试验
SR Se
fR
fe
(3)用R
SR S
100%,估计失拟误差
10 3
3
1
4
3
1