第十章能量法I

Δi
l
. EI
Fi
dx
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
Mi (x)
对应于去掉原结构中外力,只在i 处加相应单位力后的弯矩方程
●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1
●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M ( x) 对应于原结构的弯矩方程。
对于组合变形时,推广为
Δi
对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨
比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽
略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。
长梁应变能：V
组合变形应变能：
l
M 2dx 2EI
V
l
FN 2dx 2EA
l
T 2dx 2GI p
l
M 2dx 2EI
二、卡氏第二定理
对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的Fi偏导 数，等于该荷载的相应位移Δi。
C.0
l
l
D.以上均错误
8.已知杆拉伸刚度为EA, F1 ，F先2 作用 ，再F1作用 则 F做2 的功F大1 小为（ ）。
F2
F1
l
l
F
A
B
l
解：1.计算B处挠度
M(x) Fx
A
M ( x)
F
x
B
M (x) x
A
wB
l 0
M ( x)M ( x) EI
dx
M(x) x 1
B
l Fx2 dx Fl 3 ( )
0 EI
3EI
2.计算B处转角
A
M(x) Fx
M ( x) 1
A
B
l 0
M ( x)M ( x) EI
dx
MC M 图中对应于C下纵坐标
注意: M分段必须为直线段
M分段为直线段时,也可以
Δi
MCM
EI
★在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标
★找纵坐标的图必须为直线段
在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算
Δi
MCM
EI
FNj FN j l j EA
★参考用图
顶点
顶点
2lh
3
二次抛物线
l Fx dx Fl 2 ( )
0 EI
2EI
M(x) x F
B
M ( x)
1
x
B
*四、图形互乘法
在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列
形式的积分：
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号
外，故只需计算积分
M (x)Mi (x)dx
l
直杆 Mi (图x)必定是直线或折线。
F
A
B
l
F
A
B
l
Pl
wB
1 2
Pl
2
2 3
l
EI
Pl 3 3EI
(↓)
M
A l
1
l
B
M
F
A
B
l
Pl
B
1 2
Pl 2 1 EI
Pl 2 2EI
M
A l
1
1
B
M
2.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用 图乘法计算自由端B处挠度和转角。
A
l
F
B
lF
wB
Fl 2
3 2
l
1 2
EI
Fl 2
2 3
（ ）。
A. 1 Ff 1 Fv 22
B. Ff Fv C. Ff Fv
F F
l
D.以上均错误
7.已知梁弯曲刚度为EI ,m1=m2， 设自由端单独 力偶作用时转角为θ2,中部单独力偶作用时，转 角为θ1 ，则总应变能大小为（ ）。
A.
1 2
m11
1 2
m2
2
B. m11 m22
m1
m2
Δi
V Fi
用卡氏第二定理求结构某处的位移时，
该处需要有与所求位移相应的荷载。
如需计算某处的位移，而该处并无与位 移对应的荷载，则可采取附加力法。
卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度
M 2dx
V
l
2EI
Δi
V Fi
计算梁截面转角Δi
l
M M .
EI Mi
dx
计算梁的截面挠度
Δi
l
M . M EI Fi
V W
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 P l 2
P 2l FN 2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN 2dx 2EA
P
P l
l
2、扭转
V W
1 m
2
1 m ml 2 GIp
T 2l
2GI p
一般地
m m
V
T 2dx l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲：
V W 1 m
5.已知杆拉伸刚度为EA , 应变能大小为 V,则 V
F
代表的意义为（
)。
F
F
l
l
6.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI ,忽略剪 切应变能，总应变能大小为（ ）。
F F
l
7.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI , 设自由端
单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时位
移为v，忽略剪切对变形影响，总应变能大小为
1lh
3
例4.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布 力集度为q ,计算自由端B处转角。
q
A
B
l
解：1.画M图
A
(请同学画出)
q
B
2.画 M图 (请同学画出)
3. 图乘
B
MC wM EI
1 1 ql 2 32
EI
l
ql 3 6EI
练习题
1.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小 为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。
能量法I-静定结构变形计算
能量法I-静定结构变形计算
一、杆件的应变能 二、卡氏第二定理 三、单位力法 四、图形互乘法
一、杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能 (又称变形能)。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
A
Cy
a 0
M ( x1) EI
M ( x1) P
dx1
a 0
FN ( x1) EA
FN ( x1) P
dx1
a
0
M ( x2 ) EI
M ( x2 ) P
dx2
a 0
FN ( x2 ) EA
FN ( x2 ) P
dx2
Cy
a 0
Px12 EI
dx1
a 0
Pa2 EI
dx2
a 0
EPAdx1
4Pl 3 Pa
()
3EI EA
2.计算C处水平位移
Cx
Pl 3 2EI
(
)
*三、单位力法（单位载荷法）
对于梁,弯矩应用完全叠加法表示
M ( x) F1M1( x) Fi Mi ( x) Fn Mn ( x)
应变能
V
M 2 ( x)dx l 2EI
应用卡氏第二定理
M (x) M (x)
l
11Fl 3 6EI
F
A
B
l
l
FM
Fl
A
l
M
B
l
1
2l
叠加法
A
l
F
B
l
F
A
l
B
l
F
A
l
F
B
l
F (2l )3 Fl 3 Fl 2
11Fl 3
wB
3EI
l
3EI 2EI
6EI
3.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用卡氏第
二定理计算自由端B处挠度时，有（ ）。
A.弯矩方程不分段。
2
1 m ml 2 EI
m2l M 2l
2EI 2EI
一般地
V
l
M 2dx 2EI
横力弯曲时剪力影响：
Fs Sz
Izd
V1
W 1 V
2
dV 2G
k Fs2 dx l 2GA
k A ( sz )2 dA Iz A d
•
一般地
V
k Fs2dx l 2GA
l
M 2dx 2EI
A
l
F
B
l
F
B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能
要对 F 求导。
C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为FB ，F 用卡
氏第二定理，应变能要对 求F导B 。
D.以上均错。
4.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。
A. 5Fl 2
2EA
B. Fl 2
EA
C. 0
F
F
l
l
D. Fl 2
2EA
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
l
T ( x)Ti ( x) dx GIP
l
FN ( x)FN i ( x) dx EA
对于平面桁架
Δi
n j 1
FNj FN j l j EA
FN j 对应于去掉原结构中外力,只在i 处加相应单位力后的弯矩方程
例3.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大 小为F ,计算自由端B处挠度和转角。
Mi ( x) x tg
M(x)
M (x)Mi (x)dx
l
tan xM (x)dx
l
xM (x)dx
Mi ( x)
l
xCM
MC
M ( x)Mi (x)dx xC tan M MC M
l
Δi
Baidu Nhomakorabea
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
Δi
MCM
EI
M M图分段面积 C M 图形心
dx
例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中
力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为
EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅
垂位移。
a
P
B
C
a
A
解：1.计算C处铅垂位移
任意截面弯矩方程,轴力方程为
M ( x1) Px1 FN ( x1) 0
x2 B
P
x1
C
M ( x2 ) Pa FN ( x2 ) P