第十章能量法I
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第10章 能量法
2．扭转圆轴
1)应变能
U W
1 2
M
e
U T 2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me
l
a)分段变化
U
n
U
i1
i
in12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
0ldU
0l
T2 2GI
(
p
x) (x
dx )
2)比能
u
dU dV
0.5(A)(
dV
d
x)
A
2 G 2
2 2G 2
dx
dx
§10-2 弹性应变能的计算
1．广义力和广义位移 1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
d2
F2
d3 F3
2．弹性应变能 1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
§10-2 弹性应变能的计算
u
1
2
1
1
非线性
U W
d 0
1
Fdd
非线性
u
1
0
d
余能：线弹性 U*U 12F1d1 余比能：线弹性 u*u 12 11
非线性
U
*
F1 0
d
dF
非线性
u*
0
1
d
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
U1 W1 12F1d11 12F2d 22 F1d12
第10章 能量法(2016-1版)
U2
=
1 2
F2δ
22
+
1 2
F1δ
11
+ F2δ 21
A
§10.3 互等定理
F1
F2
1
2
δ 11
δ 21
B
δ 12
δ 22
F1
F2
1
2
δ 12
δ 22
B
δ 11
δ 21
应变能只决定于力与位移的最终值， 与加载次序无关
∴
U1 = U2
即：
F1δ 12 = F2δ 21
功的互等定理
一、功的互等定理
1.先在1点作用F1
一、功的互等定理
以图示梁为例证明如下：
F1
A
1
δ 11
A
1
δ 12
2
δ 21
F2
2
δ 22
§10.3 互等定理
B B
δij ——当j点作用力时在i点所产生的位移
§10.3 互等定理
一、功的互等定理
F1
1.先在1点作用F1
外力功：1
2
F1δ
11
F1
A
1
δ 11
δ 12
F2 2
δ 21 δ 22
B
再在2点作用F2
i
1 2
Fiδ
i
+ dFiδ i
总应变能： U2
=
U
′
2
+
U
′′
2
=
1 2
dFidδ i
+
U
+
dFiδ i
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导
第10章 能量法
l 1q d x w q2l 4
02
48 EI
l ( x 2 x3 x4 )dx q2 l5
0l
l3 l4
240 EI
方法2：利用 Vε
M 2(x)d x l 2EI
梁的弯矩方程为：M x ql x 1 l 2EI 2EI
(F1 F2 )2 a 2EA
② 当杆件受到一组引起不同基本变形的外力作用时，在小变形时， 杆的应变能等于各力单独作用时的应变能之和，即可用叠加法。
Me F2
Vε Vε (F1 ) Vε (F2 ) Vε ( Me )
F1
③ 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
先加Me, 再加F
Me
A,Me
Mel 3EI
A
C
EI
B
,
wC,M e
Me l2 16 EI
Me
A
,
A,F
Fl2
16 EI
F
EI
B
C
Fl3 wC,F 48EI
Vε
1 2
Me
A,Me
1 2
F
wC,F
Me
A,F
M e2l F 2l 3 FM el 2 6EI 96 EI 16 EI
l/2
BC 段： M (y1)=−FA l
M ( y1 ) l FA
D B
y1
FA (FA=F )
xA
CD 段： M (y2)=−FA l −F y2
M ( y2 ) l FA
F
Ay
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
能量法
第十章能量法承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。
据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。
但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。
应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。
本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。
能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。
§10.1 杆件的应变能计算前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。
但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。
在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。
通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。
若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能Vε，即Vε=W。
在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下拉伸（压缩）时2122NPF lV F lEAε=∆=此处F N=F P（10-1）圆轴扭转时 2122x P PM l V M GI εϕ== 此处M x =M P （10-2）平面弯曲时 2122P M lV M EIεθ== 此处M =M P （10-3）综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为12V W F εδ==(10-4) 式中 F ——在拉伸（压缩）时表示拉力（压力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F 称为广义力；δ——在广义力作用处与广义力F 相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移l ∆，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角θ（如图2所示）。
第十章能量法I-资料
外，故只需计算积分
M(x)Mi (x)dx
l
直杆 Mi (图x)必定是直线或折线。
Mi(x)xtg M(x)
M(x)Mi (x)dx
l
tanxM(x)dx
l
xM(x)dx
Mi ( x)
l
xCM
MC
M (x )M i(x )d x x C tan M M CM
3.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用卡氏第
二定理计算自由端B处挠度时，有（ ）。
A.弯矩方程不分段。
A
l
F l
B
F
B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能
要对 F 求导。
C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为FB ，F用卡
氏第二定理，应变能要对 求F导B 。
D.以上均错。
4.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。
11q2ll 32
EI
q3l 6EI
练习题
1.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小 为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。
F
A
B
l
F
A
B
l
Pl
wB
12P2l32l EI
P3l
(↓)
3EI
M
A l
1
l
B
M
F
A
B
l
Pl
B
1 2
P2l1
P2l
EI 2EI
T2dx 2GIp l
M2dx 2EI
二、卡氏第二定理
对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的F i偏导 数，等于该荷载的相应位移Δi。
第10章 能量法
M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
第10章 能量法
一、定理推导 二、杆件计算中的应用
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导 1)问题：求Fi作用力方向的位移 i a)加DFi后应变能的增量：
D2
F2
2
1 DF D n F D DU i i i i 2 i 1
Fi D i
i 1 n
F1
1
3
D 3 D i
F3
M ( x)
dx
§10.2 弹性应变能的计算
(三)弯曲 3. 剪切应变能 1)dx段应变能： 2 2 FQ dx 1 d xd A d U dA d x 2GA 2 2G 2)l段应变能： 2 FQ l l U 0dU 0 dx 2GA
FQ—横截面剪力，A—横截面面积
U
2 EA
j 1
n
F lj
j
2 Nj
n F l F U Nj j Nj i Fi F i j 1 EA j
3、弯曲梁：
M ( x) U dx l 2 EI
2
M ( x ) M ( x ) i l ( )dx EI Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用
Fi
DFi
D 1
i
b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组力，由 功能互等定理有： n U DU DFi 0 Fi D i DFi i DU i DFi i F i i 1
一、定理推导 2)卡氏第二定理公式及含义：
U i Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用 1、组合变形2
U
l
FN ( x ) M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx dx l l 2GI 2 EA 2 EI p
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导 1)问题：求Fi作用力方向的位移 i a)加DFi后应变能的增量：
D2
F2
2
1 DF D n F D DU i i i i 2 i 1
Fi D i
i 1 n
F1
1
3
D 3 D i
F3
M ( x)
dx
§10.2 弹性应变能的计算
(三)弯曲 3. 剪切应变能 1)dx段应变能： 2 2 FQ dx 1 d xd A d U dA d x 2GA 2 2G 2)l段应变能： 2 FQ l l U 0dU 0 dx 2GA
FQ—横截面剪力，A—横截面面积
U
2 EA
j 1
n
F lj
j
2 Nj
n F l F U Nj j Nj i Fi F i j 1 EA j
3、弯曲梁：
M ( x) U dx l 2 EI
2
M ( x ) M ( x ) i l ( )dx EI Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用
Fi
DFi
D 1
i
b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组力，由 功能互等定理有： n U DU DFi 0 Fi D i DFi i DU i DFi i F i i 1
一、定理推导 2)卡氏第二定理公式及含义：
U i Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用 1、组合变形2
U
l
FN ( x ) M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx dx l l 2GI 2 EA 2 EI p
能量法及其应用
a
A
fC
F
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B
例2: 使用功量守恒原理，计算图示简支梁C点的挠度。 解： 思考：当简支梁上作用载荷位均布载荷时，能否使用这种方法计算C点挠度。 q a
利用虚力原理计算结构的位移时，因为力是虚设的，为方便计算一般在所要计算位移的位置和方向施加数值为1的广义力，即单位载荷，称为单位载荷法。
Pl/4
MP
例4：求梁C点的竖向位移。
解题步骤：
1. 取虚力状态；
2. 绘出 及MP 图写出表达式；
3. 代公式进行计算
P=1
l/4
（↓）
A
B
C
P
l/2
l/2
EI
A
B
C
10.3 单位载荷法
ql2/2
MP
P=1
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A
B
例5：求梁B点竖向线位移。
3l/4
m=1
P1=1
1
2
第一状态
P2=1
1
2
第二状态
定理：第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。
有:
即位移互等可以是线位移互等、角位移互等，也可是线位移与角位移互等。
注意：∵P1 、P2是广义力，∴δ12、δ21是广义位移。
10.4 .2 位移互等定理
由虚功互等定理
1
0
2
3
第一状态
r11
r21
r31
0
1
2
3
第二状态
r12
r22
r32
【材料力学】第十章能量法
即 D 11 后的最终值，所
以是常数。
其中 是与荷载无关的常数。
设各外荷载按相同的比例l，从零开始缓慢增加到最终
值。即加载过程中任一时刻各荷载的大小为：
F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中l 从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
材料力学
中南大学土木工程学院
球形滚珠外表作用均匀的法向压力q时，其内部 任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩， 即s1= s2= s3 =－q。根据广义胡克定理有
(Dd )q
1 E
[1
( 2
3)]d
q E
(1 2 )d
所以
(DV )F
F E
(1 2 )d
材料力学
中南大学土木工程学院
F q
23
五、 (线弹性体)位移互等定理
解：工件解除C处的约束简化为悬
F
臂梁，F、FC作为第一组力。悬 臂梁在C处加单位力1作为第二组 力。 悬臂梁在单位力作用下，分
别求C、B处的挠度。
得
wC
l3 3EI
wB
a3 3EI
(l a)a2 2EI
3l a a2
6EI
A
B
C
a
l FC
1
A
a
B wB
C
wC
l
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组 力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上 所作的功为零（C为铰支位移为零）。
（1）考虑物理方程得
F F3l F12l F22l F32l
EA EAcos EAcos EA
（2）、（3）代入上式并化简得F3cos2a =F1
能量法
* *
n +1
七,
卡氏定理
1.卡氏第一定理
设图中材料为非线性弹性,
由于应变能只与最终 载荷及最终位移有关, 而与加载顺序无关.不 妨按比例方式加载.设 各载荷从零增加到最终 值,从而有
1 2 3 n
B
1 2 3 n
U = W = ∑ ∫ F i d i 0
i i =1
n
假设与第i个载荷相应的位移有一微小增量di ,则应变能 的变化为:
(载荷与位移的关系非线性)
f
F
l
O
相应位移 δ : 0 → F在d上所作微功为 dW = F d F作的总功为:
d
F
载 荷
f:0→F
A
δ
F
W = ∫ dW = ∫ F d
0 0
外力作的功即为 F-曲线(载荷--位移曲线)下的曲边三角形的面积
应变能U = W =
∫
0
F d
f
(b) 线弹性固体
(载荷与弹性位移的关系是线性的) F
(三)利用功能原理求位移
1 U = W = P δ Cy 2 P 2l3 P 2l3 P + = δ Cy, 3EI 2G I P 2
δ Cy
Pl3 2Pl3 = + GIP 3EI
六, 余功,余能及余能密
设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆,拉杆的F-曲线如图b .
F
F1
(a) (b) dF
O
1
定义"余功W * " 为: W =
a
l ∫0
b
2 M 2 ( x ) dx l ( Px + M 0 ) dx Uc = = ∫0 2 EI 2 EI 1 l 2 ( P 2 x 2 2 PxM 0 + M 0 ) dx = ∫0 2 EI 2 P 2 l 3 PM 0 l 2 M 0 l = + 6 EI 2 EI 2 EI l ∫0
n +1
七,
卡氏定理
1.卡氏第一定理
设图中材料为非线性弹性,
由于应变能只与最终 载荷及最终位移有关, 而与加载顺序无关.不 妨按比例方式加载.设 各载荷从零增加到最终 值,从而有
1 2 3 n
B
1 2 3 n
U = W = ∑ ∫ F i d i 0
i i =1
n
假设与第i个载荷相应的位移有一微小增量di ,则应变能 的变化为:
(载荷与位移的关系非线性)
f
F
l
O
相应位移 δ : 0 → F在d上所作微功为 dW = F d F作的总功为:
d
F
载 荷
f:0→F
A
δ
F
W = ∫ dW = ∫ F d
0 0
外力作的功即为 F-曲线(载荷--位移曲线)下的曲边三角形的面积
应变能U = W =
∫
0
F d
f
(b) 线弹性固体
(载荷与弹性位移的关系是线性的) F
(三)利用功能原理求位移
1 U = W = P δ Cy 2 P 2l3 P 2l3 P + = δ Cy, 3EI 2G I P 2
δ Cy
Pl3 2Pl3 = + GIP 3EI
六, 余功,余能及余能密
设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆,拉杆的F-曲线如图b .
F
F1
(a) (b) dF
O
1
定义"余功W * " 为: W =
a
l ∫0
b
2 M 2 ( x ) dx l ( Px + M 0 ) dx Uc = = ∫0 2 EI 2 EI 1 l 2 ( P 2 x 2 2 PxM 0 + M 0 ) dx = ∫0 2 EI 2 P 2 l 3 PM 0 l 2 M 0 l = + 6 EI 2 EI 2 EI l ∫0
第十章能量法
材料力学 中南大学土木建筑学院
1 + Fn D n 2
16
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。 加载过程中 ，任一时刻的位移为： D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
(2) 静载作功
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。 对于一般弹性体
W F dD
0
D
F
F
F dD
F—D图下方面积
D
D
材料力学
中南大学土木建筑学院
1
对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
F F
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
3、Di 是Fi 对应的位移，Fi为集中力，Di则为线位
移，Fi为集中力偶，Di则为角位移； 4、Fi Di 为正时，表明Fi作正功，Di 与Fi 方向 （或转向）相同；为负则表示Di 与Fi 方向 （或转向）相反。
材料力学 中南大学土木建筑学院
19
组合变形
据Clapeyron原理， 微段dx上
1 1 1 dVe dW FN d ( Dl ) Md Tdj 2 2 2 2 FN dx M 2 dx T 2 dx 2 EA 2 EI 2GI P
7
1 + Fn D n 2
16
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。 加载过程中 ，任一时刻的位移为： D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
(2) 静载作功
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。 对于一般弹性体
W F dD
0
D
F
F
F dD
F—D图下方面积
D
D
材料力学
中南大学土木建筑学院
1
对于线弹性体 1 W FD 2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
F F
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
3、Di 是Fi 对应的位移，Fi为集中力，Di则为线位
移，Fi为集中力偶，Di则为角位移； 4、Fi Di 为正时，表明Fi作正功，Di 与Fi 方向 （或转向）相同；为负则表示Di 与Fi 方向 （或转向）相反。
材料力学 中南大学土木建筑学院
19
组合变形
据Clapeyron原理， 微段dx上
1 1 1 dVe dW FN d ( Dl ) Md Tdj 2 2 2 2 FN dx M 2 dx T 2 dx 2 EA 2 EI 2GI P
7
10 能量法-1课件
全杆的应变能
M T FN
dx
V
W
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
（三）弹性应变能的性质
V
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
1. Vε ＞ 0 （正定）； 2. Vε是载荷的二次函数，叠加原理不成立。
Vε
l
FN2 d x 2EA
d M d x
EI
dV
dW
1 M d
2
M 2 xd x
2EI
V
W
l
M 2x
dx 2EI
忽略剪力影响——
如矩形截面，当l /h=10时，剪力影响只占弯矩的 3﹪.
（二）组合变形
微段dx上： 据Clabeyron原理
dV
dW
1 2
FN
dl
1 M d
2
1T d
2
FN2 d x M 2 d x T 2 d x 2EA 2EI 2GIp
1. 轴向拉压
F F
F
l
△l
O△lLeabharlann ⊿l FNl EA
V
W
1 Fl 2
FN 2 l 2EA
FN为变量时
V
l
FN2 x d x
2EA
2. 扭转
Me
Me T
φ
φ
φ
Tl
GIp
V
W
1 2
M e
T 2l 2GIP
T 是变量时
T 2x
V l 2GIP d x
3. 平面弯曲
d
10章 能量法及其应用
10.3 单位载荷法
位移计算一般公式的说明
∆ = ∑∫ F N du +∑∫ FQdv + ∑∫ Mdϕ − ∑Rc
１）式中 F N , FQ , M, R ──由于虚加 ──由于虚加 P1 i
∆ik 位移状态
单位力P 引起的反力及内力。 单位力Pi=1引起的反力及内力。 式中ε dx、 dx、 ──由 ２）式中εkdx、γkdx、dθk──由 于某种原因k引起的变形。 于某种原因k引起的变形。
10.2 杆件变形能计算
使用功量守恒原理，计算图示简支梁C点的挠度。 例2: 使用功量守恒原理，计算图示简支梁C点的挠度。
F A a fC C a B
解：
1 W = FfC 2
Vε =Vc = ∫
L
M 2 (x) dx 2EI
V = 2∫
a
0
1 F 2 F2a3 ( x) dx = 2EI 2 12EI
x x
GIP
总应变能： 总应变能： 应变能密度： 应变能密度：
l Mx2l 1 U = ∫ Mxdϕ = 20 2GIP
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功：W = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
Fp i Fp n ∆i
V1 +V +δFpi ⋅ ∆i
由δFpi产生的应变能增量
1 δFpi ⋅ d∆i +δFpi ⋅ ∆i 2
10.1 基本概念
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能Vε对于杆件上某位 卡氏第一定理：弹性杆件的应变能 对于杆件上某位 移之变化，等于与该位移相应的荷载。 移之变化，等于与该位移相应的荷载。
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l
M ( x)Mi ( x) dx EI
l
T ( x)Ti ( x) dx GIP
l
FN ( x)FN i ( x) dx EA
对于平面桁架
Δi
n j 1
FNj FN j l j EA
FN j 对应于去掉原结构中外力,只在i 处加相应单位力后的弯矩方程
例3.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大 小为F ,计算自由端B处挠度和转角。
l Fx dx Fl 2 ( )
0 EI
2EI
M(x) x F
B
M ( x)
1
x
B
*四、图形互乘法
在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列
形式的积分：
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号
外，故只需计算积分
M (x)Mi (x)dx
l
直杆 Mi (图x)必定是直线或折线。
MC M 图中对应于C下纵坐标
注意: M分段必须为直线段
M分段为直线段时,也可以
Δi
MCM
EI
★在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标
★找纵坐标的图必须为直线段
在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算
Δi
MCM
EI
FNj FN j l j EA
★参考用图
顶点
顶点
2lh
3
二次抛物线
对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨
比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽
略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。
长梁应变能：V
组合变形应变能：
l
M 2dx 2EI
V
l
FN 2dx 2EA
l
T 2dx 2GI p
l
M 2dx 2EI
二、卡氏第二定理
对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的Fi偏导 数，等于该荷载的相应位移Δi。
能量法I-静定结构变形计算
能量法I-静定结构变形计算
一、杆件的应变能 二、卡氏第二定理 三、单位力法 四、图形互乘法
一、杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能 (又称变形能)。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
5.已知杆拉伸刚度为EA , 应变能大小为 V,则 V
F
代表的意义为（
)。
F
F
l
l
6.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI ,忽略剪 切应变能，总应变能大小为（ ）。
F F
l
7.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI , 设自由端
单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时位
移为v，忽略剪切对变形影响，总应变能大小为
A
Cy
a 0
M ( x1) EI
M ( x1) P
dx1
a 0
FN ( x1) EA
FN ( x1) P
dx1
a
0
M ( x2 ) EI
M ( x2 ) P
dx2
a 0
FN ( x2 ) EA
FN ( x2 ) P
dx2
Cy
a 0
Px12 EI
dx1
a 0
Pa2 EI
dx2
a 0
EPAdx1
4Pl 3 Pa
()
3EI EA
2.计算C处水平位移
Cx
Pl 3 2EI
(
)
*三、单位力法（单位载荷法）
对于梁,弯矩应用完全叠加法表示
M ( x) F1M1( x) Fi Mi ( x) Fn Mn ( x)
应变能
V
M 2 ( x)dx l 2EI
应用卡氏第二定理
M (x) M (x)
F
A
B
l
F
A
B
l
Pl
wB
1 2
Pl
2
2 3
l
EI
Pl 3 3EI
(↓)
M
A l
1
l
B
M
F
A
B
l
Pl
B
1 2
Pl 2 1 EI
Pl 2 2EI
M
A l
1
1
B
M
2.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用 图乘法计算自由端B处挠度和转角。
A
l
F
B
lF
wB
Fl 2
3 2
l
1 2
EI
Fl 2
2 3
1lh
3
例4.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布 力集度为q ,计算自由端B处转角。
q
A
B
l
解：1.画M图
A
(请同学画出)
q
B
2.画 M图 (请同学画出)
3. 图乘
B
MC wM EI
1 1 ql 2 32
EI
l
ql 3 6EI
练习题
1.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小 为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。
Mi ( x) x tg
M(x)
M (x)Mi (x)dx
l
tan xM (x)dx
l
xM (x)dx
Mi ( x)
l
xCM
MC
M ( x)Mi (x)dx xC tan M MC M
l
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
Δi
MCM
EI
M M图分段面积 C M 图形心
2
1 m ml 2 EI
m2l M 2l
2EI 2EI
一般地
V
l
M 2dx 2EI
横力弯曲时剪力影响：
Fs Sz
Izd
V1
W 1 V
2
dV 2G
k Fs2 dx l 2GA
k A ( sz )2 dA Iz A d
•
一般地
V
k Fs2dx l 2GA
l
M 2dx 2EI
Δi
l
. EI
Fi
dx
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
Mi (x)
对应于去掉原结构中外力,只在i 处加相应单位力后的弯矩方程
●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1
●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M ( x) 对应于原结构的弯矩方程。
对于组合变形时,推广为
Δi
Δi
V Fi
用卡氏第二定理求结构某处的位移时，
该处需要有与所求位移相应的荷载。
如需计算某处的位移，而该处并无与位 移对应的荷载，则可采取附加力法。
卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度
M 2dx
V
l
2EI
Δi
V Fi
计算梁截面转角Δi
l
M M .
EI Mi
dx
计算梁的截面挠度
Δi
l
M . M EI Fi
（ ）。
A. 1 Ff 1 Fv 22
B. Ff Fv C. Ff Fv
F F
l
D.以上均错误
7.已知梁弯曲刚度为EI ,m1=m2， 设自由端单独 力偶作用时转角为θ2,中部单独力偶作用时，转 角为θ1 ，则总应变能大小为（ ）。
A.
1 2
m11
1 2
m2
2
B. m11 m22
m1
m2
dx
例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中
力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为
EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅
垂位移。
a
P
B
C
a
A
解：1.计算C处铅垂位移
任意截面弯矩方程,轴力方程为
M ( x1) Px1 FN ( x1) 0
x2 B
P
x1
C
M ( x2 ) Pa FN ( x2 ) P
A
l
F
B
l
F
B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能
要对 F 求导。
C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为FB ，F 用卡
氏第二定理，应变能要对 求F导B 。
D.以上均错。
4.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。
A. 5Fl 2
2EA
B. Fl 2
EA
C. 0
F
F
l
l
D. Fl 2
2EA
V W
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 P l 2
P 2l FN 2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN 2dx 2EA
P
P l
l
2、扭转
V W
1 m
2
1 m ml 2 GIp
T 2l
2GI p
一般地
m m
V
T 2dx l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲：
V W 1 m
C.0
l
l
D.以上均错误
8.已知杆拉伸刚度为EA, F1 ，F先2 作用 ，再F1作用 则 F做2 的功F大1 小为（ ）。
F2
F1
l
l
l
11Fl 3 6EI
F
A
B
l
l