动态规划 (矩阵连乘)概述
动态规划-(矩阵连乘)
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4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵连乘问题（动态规划算法）
矩阵连乘问题（动态规划算法）动态规划算法思想简介：将⼀个问题分解为多个⼦问题，这点和分治法类似，但是每个⼦问题不是独⽴的⽽是相互联系的，所以我们在求解每个⼦问题的时候可能需要重复计算到其他的⼦问题，所以我们将计算过的⼦问题的解放进⼀个表中，这样就能避免了重复计算带来的耗费，这就是动态规划的基本思想；⼀般地，动态规划思想⼀般⽤来解最优化问题，主要分为以下四个步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值；（3）以⾃底向上的⽅式计算出最优值；（4）根据计算得到的最优值时得到的信息，构造最优解；同时，问题的最优⼦结构性质也是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征，这⾥的最优⼦结构性质即指：问题的最优解也即代表着它的⼦问题有了最优解；问题描述：分析过程如下：（1）分析最优⼦结构的性质：（2）分析递归关系，以及利⽤⾃底向上的⽅式进⾏计算：（3）获取最优值和最优解：代码如下：#ifndef MATRIX_CHAIN_H#define MATRIX_CHAIN_Hvoid matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s);void traceback(int i, int j, int **s);#endif#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;//利⽤动态规划算法获取最优值void matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s) //p:各个矩阵的列数，n：矩阵个数，m：m[i:j]矩阵i到j的相乘次数，s:对应的分开位置{for (int i = 0; i < n; i++){m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++){for (int i = 0; i < n - r + 1; i++){int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}//利⽤s[i][j]获取最优解void traceback(int i, int j, int **s){if (i == j)return;traceback(i, s[i][j], s);traceback(s[i][j] + 1, j, s);cout << "Multiply A" << i << " , " << s[i][j];cout << "and A" << (s[i][j] + 1) << " , " << j << endl;}#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;int main(void){int matrix_num = 0; //矩阵个数cout << "请输⼊矩阵个数：" << endl;cin >> matrix_num;int **m = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)m[i] = new int[matrix_num];int **s = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)s[i] = new int[matrix_num];int *p = new int[matrix_num];cout << "请输⼊各矩阵的列数：" << endl;for (int i = 0; i < matrix_num; i++){cin >> p[i];}matrix_chain(p, matrix_num, m, s);traceback(0, matrix_num - 1, s);system("pause");return1;}可结合我的另⼀篇关于贪⼼算法的博客进⾏⽐较，了解这两者的区别；。
矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题引言矩阵链乘法问题是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到矩阵的乘法操作。
在很多实际的应用中，我们需要对多个矩阵进行乘法运算，这时候就需要考虑乘法的顺序。
矩阵的乘法运算是一个复杂的计算过程，不同的乘法顺序可能会导致不同的计算量和时间复杂度。
因此，矩阵链乘法问题就是要找到一种最优的乘法顺序，使得计算的总时间最短。
动态规划解法矩阵链乘法问题可以使用动态规划的方法来解决。
动态规划是一种将复杂问题分解成若干个子问题进行求解的方法。
在矩阵链乘法问题中，我们可以定义一个二维数组dp来存储最优的乘法顺序和对应的最小计算量。
状态定义我们可以将整个矩阵链划分成子问题，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵乘到第j个矩阵所需要的最小计算量。
那么当i=j时，dp[i][j]=0，因为矩阵自己和自己相乘的计算量为0。
当i<j时，dp[i][j]的值需要通过求解子问题来获得。
状态转移方程对于dp[i][j]，我们可以选择一个中间位置的括号将矩阵链划分成两部分，然后分别计算这两部分的最小计算量。
假设括号在第k个位置，那么可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = min{dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]}其中p是矩阵链的维度，假设矩阵链的维度为n，那么p的长度为n+1，p[i]表示第i个矩阵的行数，同时也是第i+1个矩阵的列数。
算法实现根据上述的状态转移方程，我们可以编写算法来解决矩阵链乘法问题。
1.初始化二维数组dp，将所有元素初始化为0。
2.对于链长len从2到n，依次计算dp[i][j]的值。
3.对于每一对(i, j)，利用状态转移方程计算dp[i][j]的最小值。
4.最后，dp[1][n]即为所求的最小计算量。
算法分析对于给定的矩阵链，动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵链的长度。
这是因为对于每一个子问题，都需要计算一次状态转移方程，总共有n^2个子问题，而每个子问题的计算量为O(n)。
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）⼀、问题描述引出问题之前我们先来复习⼀下矩阵乘积的标准算法。
int ra,ca;//矩阵A的⾏数和列数int rb,cb;//矩阵B的⾏数和列数void matrixMultiply(){for(int i=0;i<ra;i++){for(int j=0;j<cb;j++){int sun=0;for(int k=0;k<=ca;k++){sum+=a[i][k]*b[k][j];}c[i][j]=sum;}}}给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。
加括号的⽅式对计算量有很⼤的影响，于是⾃然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵，如何确定矩阵连乘的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
⼆、问题分析矩阵连乘也是Catalan数的⼀个常⽤的例⼦，关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。
下⾯考虑使⽤动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
1、分析最优解的结构问题的最优⼦结构性质是该问题可以⽤动态规划求解的显著特征！！！2、建⽴递归关系3、计算最优值public static void matrixChain(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}4、构造最优解public static void traceback(int i, int j) {if (i == j) {System.out.printf("A%d", i); // 输出是第⼏个数据return;}System.out.printf("(");traceback(i, s[i][j]);// 递归下⼀个数据System.out.printf(" x ");traceback(s[i][j] + 1, j);System.out.printf(")");}三、总结。
动态规划矩阵链相乘
A2(A[3:4]): 计算A[3:4]的计算量+计算A2乘 (A[3:4])的计算量：240+10 ☓4 ☓10=640
A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10
50 ☓5 ☓ 100 +50 ☓100 ☓ 10 =75000 按A(BC）计算，所需乘法次数为：
5 ☓100 ☓ 10 + 50☓5 ☓10=7500 可见如何结合十分影响计算的效率，自然提 出了矩阵链相乘的最优计算次序问题
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的；
两个矩阵相乘
若A是一个p*q矩阵，B是一个q*r矩阵，则 其乘积C=AB是一个p*r矩阵。
for(i=1;i<=p;i++) for(j=1;j<=r;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=q;k++)c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; } 总共需要pqr次数乘。
（A1A2A3）乘A4的计算量：320+5 ☓6 ☓10=620
(A1A2)(A3A4): 200+240+5 ☓4 ☓10=640
A1(A2A3A4 ): 640 &#来存储 计算A[i:j]的最少数乘次数 例7.1：A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10 请给出计算A[1：4]的最优计算次序 1、计算规模为2的子问题 计算A[1：2] 所需乘法次数：5☓10 ☓4=200 计算A[2：3] 所需乘法次数：10☓4 ☓6=240 计算A[3：4]所需乘法次数： 4☓6☓10=240
矩阵链乘法（动态规划）
矩阵链乘法（动态规划）
⼀题意描述：
给定由n个要相乘的矩阵构成的序列（链）<A1,A2,A3,····A n>。
由于矩阵满⾜结合律（加括号⽅式表⽰结合⽅式），不同的计算⽅式导致的求出最终计算结果的代价相异，有的花的时间很少，有的⽅式所花时间很多，那么下⾯的任务就是求出算出结果所需要的最少时间及⼀个最优解。
⼆思路分析：
设p(n)表⽰⼀串n个矩阵可能的加全部括号⽅案数。
当n=1时，只有⼀个矩阵，此时p(1)=1。
当n>=2时，⼀个加全部括号的矩阵乘积等于两个加全部括号的⼦矩阵乘积的乘积，⽽且这两个⼦乘积之间的分裂可能发⽣在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k=1，2，····，n-1;因此可以求得递归式：
1.找局部最优解：把问题：转化成两个最优⼦问题：及
2.构造递归解：
⾸先定义m[i,j]为解决⼦问题A[i....j]的最⼩计算次数，那么解决整个问题A[1,n]所花的最⼩时间为m[1,n]。
那么递归⽅程可以写成如下形式：
为了跟踪如何构造⼀个最优解我们可以定义s[i,j]为这样的⼀个k值，在该处分裂乘积后可得⼀个最优解。
3.构造函数进⾏求解
输出最优路径的函数⾃⼰编写，经过调⽤数组s[i][j]即可。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
动态规划之矩阵链相乘问题（算法导论）
动态规划之矩阵链相乘问题（算法导论）问题描述：给定n个矩阵序列，(A1,A2,A3,A4,...,An). 计算他们的乘积：A1A2A3...An.由于矩阵的乘法运算符合结合律，因⽽可以通过调整计算顺序，从⽽降低计算量。
样例分析：⽐如有三个矩阵分别为：A1: 10*100,A2: 100*5,A3: 5*50假如现在按照(A1A2)A3的顺序计算需要的计算量为：10*100*5+10*5*50=7500次运算。
若按照A1(A2A3)的顺序计算，需要的计算量为：100*5*50+10*100*50=75000次运算。
上⾯两种不同的运算顺序所有的计算量相差⼗倍。
因⽽，⼀种最优的计算顺序将能很⼤程度的减少矩阵连乘的运算量。
问题解析：此问题的⽬的是寻找⼀种最优的括号化⽅案。
下⾯⽤动态规划的思想来进⾏分析：1、动态规划的第⼀步：寻找最优⼦结构。
为⽅便起见，使⽤Ai..j表⽰AiAi+1...Aj的乘积结果矩阵。
对于k(i<=k<j), 计算Ai..j所需要的计算量为：Ai..k 和 Ak+1..j 以及⼆者相乘的代价和。
2、设m[i][j]为Ai..j的最优计算顺序所要花费的代价。
则其求解公式为：if i == j, m[i][j] = 0; //因为只有⼀个矩阵时计算代码为0，即不需要计算。
m[i][j]=min{m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj} i<=k<j3、为了能够输出求解顺序，需要保存区间中的⼀些分割点。
假如Ai..j中的最优分割点为k，则我们使⽤s[i][j]=k。
即在Ai..j 中，分别计算Ai..k 和 Ak+1..j 所⽤的计算开销最⼩。
4、采⽤⾃底向上的表格法。
依次求解矩阵长度为2,3,...,n的最优计算顺序。
算法思想：1、对m[i][i]全部初始化为0.2、在矩阵链A1..n中，依次计算长度len为2,3,...,n的m[i][j]⼤⼩。
C语言矩阵连乘（动态规划）详解
C语⾔矩阵连乘（动态规划）详解动态规划法题⽬描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的⽅式相乘，使得相乘的次数最少!以矩阵链ABCD为例按照矩阵链长度递增计算最优值矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值动归⽅程：分析:k为矩阵链断开的位置d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为⾸，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0m数组内存放矩阵链的⾏列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的⾏和列（i = 1、2、3...）c语⾔实现代码：#include <stdio.h>#define N 20void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){int i,j,t,k;int r; //记录相乘的矩阵个数变量for(i=1;i<=n;i++){m[i][i]=0; //当⼀个矩阵相乘时，相乘次数为 0}//矩阵个数从两个开始⼀次递增for(r=2;r<=n;r++){//从某个矩阵开始for(i=1;i<=n-r+1;i++){//到某个矩阵的结束j=i+r-1;//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//拿到矩阵连乘断开的位置s[i][j]=i;//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最⼩值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组for(k=i+1;k<j;k++){t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}}}int main(void){int n,n1,m1,i,j=2;int p[N]={0}; //存储矩阵的⾏和列数组int m[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘的最⼩次数int s[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘断开的位置printf("请输⼊矩阵个数:\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输⼊第%d个矩阵的⾏和列(n1*m1 格式):",i);scanf("%d*%d",&n1,&m1);if(i==1){p[0]=n1;p[1]=m1;}else{p[j++]=m1;}}printf("\n记录矩阵⾏和列:\n");for(i=0;i<=n;i++){printf("%d ",p[i]);}printf("\n");MatrixChain(p,n,m,s);printf("\n矩阵相乘的最⼩次数矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",m[i][j]);}printf("\n");}printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",s[i][j]);}printf("\n");}printf("矩阵最⼩相乘次数为:%d\n",m[1][n]);return 0;}感谢阅读，希望能帮助到⼤家，谢谢⼤家对本站的⽀持！。
n个矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是一个经典的优化问题，其目标是在给定一组矩阵和它们之间的乘法顺序下，找出最少的括号方案数，使得乘法操作可以按照给定的顺序进行。
假设有n个矩阵A1, A2, ..., An，我们需要计算它们的连乘积。
每个矩阵Ai都有m×m的元素。
矩阵连乘问题可以转化为以下动态规划问题：
1. 定义dp[i][j]为计算矩阵Ai到Aj的连乘积所需的最少括号方案数。
2. 初始化dp[i][i]=0，表示单个矩阵不需要任何括号。
3. 对于i<j，计算dp[i][j]的递推关系：
dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]，其中k=i,...,j-1。
其中p是任意一个正整数，表示矩阵的维度m。
4. 最终答案为dp[1][n]。
以下是Python代码实现：
计算结果为：最少需要15个括号方案数。
动态规划之矩阵连乘
动态规划之矩阵连乘【问题描述】给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。
分析：矩阵链乘法问题描述：给定由n个矩阵构成的序列｛A1，A2，...，An}，对乘积A1A2...An，找到最⼩化乘法次数的加括号⽅法。
1）寻找最优⼦结构此问题最难的地⽅在于找到最优⼦结构。
对乘积A1A2...An的任意加括号⽅法都会将序列在某个地⽅分成两部分，也就是最后⼀次乘法计算的地⽅，我们将这个位置记为k，也就是说⾸先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。
最优⼦结构如下：假设A1A2...An的⼀个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀⼦链A1...Ak的加括号⽅式必定为A1...Ak的⼀个最优加括号，后缀⼦链同理。
⼀开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。
2）构造递归解设m[i,j]为矩阵链Ai...Aj的最优解的代价，则3）构建辅助表，解决重叠⼦问题从第⼆步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠⼦问题，可以⽤⼀个nXn维的辅助表m[n][n] s[n][n]分别表⽰最优乘积代价及其分割位置k 。
辅助表s[n][n]可以由2种⽅法构造，⼀种是⾃底向上填表构建，该⽅法要求按照递增的⽅式逐步填写⼦问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n；另⼀种是⾃顶向下填表的备忘录法，该⽅法将表的每个元素初始化为某特殊值(本问题中可以将最优乘积代价设置为⼀极⼤值)，以表⽰待计算，在递归的过程中逐个填⼊遇到的⼦问题的解。
矩阵连乘问题(动态规划)
矩阵连乘问题（动态规划）一、实验目的与要求1、明确矩阵连乘的概念。
2、利用动态规划解决矩阵连乘问题。
二、实验题：问题描述：给定n个矩阵｛A1,A2,...,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。
确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
三、实验代码#include<iostream>using namespace std;const int MAX = 100;//p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明//m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解//s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];int n;//矩阵个数int matrixChain(){for(int i=0;i<=n;i++)m[i][i]=0;for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环for(int i=0;i<=n-r;i++){//行循环int j = r+i-1;//列的控制//找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=im[i][j]=m[i+1][j]+p[i+1]*p[i]*p[j +1];s[i][j]=i;//k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值for(int k = i+1;k<j;k++){int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];if(temp<m[i][j]){m[i][j]=temp;//s[][]用来记录在子序列i-j段中，在k位置处//断开能得到最优解s[i][j]=k;}}}return m[0][n-1];//最终结果}//根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出void traceback(int i,int j){if(i==j){cout<<'A'<<i;return ;}if(i<s[i][j])cout<<'(';traceback(i,s[i][j]);if(i<s[i][j])cout<<')';if(s[i][j]+1<j)cout<<'(';traceback(s[i][j]+1,j);if(s[i][j]+1<j)cout<<')';}void traceback(){cout<<'(';traceback(0,n-1);cout<<')';cout<<endl;}int main(){cout<<"请输入矩阵的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"输入矩阵（形如a*b,中间用空格隔开）:"<<endl;for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i];//测试数据可以设为六个矩阵分别为//A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25] //则p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}cout<<"输出结果如下："<<endl;matrixChain();traceback(0,n-1);//最终解值为m[0][n-1];cout<<endl;return 0;}四、实验结果。
典型的动态规划举例矩阵连乘问题
二、 LITTLE SHOP OF FLOWERS
PROBLEM
You want to arrange the window of your flower shop in a most pleasant way. You have F bunches of flowers, each being of a different kind, and at least as many vases ordered in a row. The vases are glued onto the shelf and are numbered consecutively 1 through V, where V is the number of vases, from left to right so that the vase 1 is the leftmost, and the vase V is the rightmost vase. The bunches are moveable and are uniquely identified by integers between 1 and F. These id-numbers have a significance: They determine the required order of appearance of the flower bunches in the row of vases so that the bunch i must be in a vase to the left of the vase containing bunch j whenever i < j. Suppose, for example, you have a bunch of azaleas (id-number=1), a bunch of begonias (id-number=2) and a bunch of carnations (id-number=3). Now, all the bunches must be put into the vases keeping their id-numbers in order. The bunch of azaleas must be in a vase to the left of begonias, and the bunch of begonias must be in a vase to the left of carnations. If there are more vases than bunches of flowers then the excess will be left empty. A vase can hold only one bunch of flowers. Each vase has a distinct characteristic (just like flowers do). Hence, putting a bunch of flowers in a vase results in a certain aesthetic value, expressed by an integer. The aesthetic values are presented in a table as shown below. Leaving a vase empty has an aesthetic value of 0.
动态规划矩阵连乘算法
号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以
得到关于P(n)的递推式如下:
丨I]科=]3/3
卩何=工甲)-灼冲>尸弘
以上递推关系说明，
举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上
递归代码实现：
〃3d1-1重叠子问题的递归最优解
个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号， 则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准 算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
(1)单个矩阵是完全加括号的；
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括 号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#i nclude "stdafx.h"
#in clude viostream>
g n amespace std;
const int L = 7;
10*100 ,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数
(Ai*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30*35;A:35*15;A:15*5;A4：5*10; A5：
{
if(i==j) return;
动态规划实现矩阵链乘法问题
动态规划实现矩阵链乘法问题矩阵链乘法问题( matrix-chain multiplication problem ) (1)问题描述 给定n个矩阵的链<A 1 ,A 2 ,…,A n >，其中i=1,2,…,n，矩阵A i的维数为p i-1 ×p i。
求⼀个完全“括号化⽅案”，使得计算乘积A 1 A 2 …A n 所需的标量乘法次数最⼩ (2)最优括号化⽅案的结构特征 ⽤记号 A i,j表⽰ A i A i+1 …A j通过加括号后得到的⼀个最优计算模式，且恰好在A k与A k+1之间分开。
则“前缀”⼦链A i A i+1 …A k必是⼀个最优的括号化⼦⽅案，记为A i,k；同理“后缀”⼦链A k+1 A k+2 …A j也必是⼀个最优的括号化⼦⽅案，记为A k+1,j。
(3)⼀个递归求解的⽅案 对于矩阵链乘法问题，我们将所有对于1≤i≤j≤n确定A i A i+1 …A j的最⼩代价括号⽅案作为⼦问题。
令m[i,j]表⽰计算矩阵A i,j所需要的标量乘法的次数最⼩值，则最优解就是计算A i...n所需的最低代价就是m[1,n] 递归定义m[i，j]。
①对于i=j的情况下，显然有m=0，不需要做任何标量乘法运算。
所以，对于所有的i=1、2......n，m[i，i] = 0. ②当i < j的情况，就按照最优括号化⽅案的结构特征进⾏计算m[i,j]。
假设最优括号化⽅案的分割点在矩阵A k和A k+1之间，那么m的值就是A i...k和A k+1...j的代价加上两者量程的代价的最⼩值。
即。
该公式的假设是最优分割点是已知的，但是实际上不知道。
然⽽，k只有j-i中情况取值。
由于最优分割点k必定在i~j内取得，只需要检查所有可能的情况，找到最优解即可。
可以得出⼀个递归公式 m只是给出了⼦问题最优解的代价，但是并未给出构造最优解的⾜够信息(即分割点的位置信息)。
所以，在此基础之上，我们使⽤⼀个⼆维数组s[i,j]来保存 A i A i+1 …A j 的分割点位置k。
动态规划-矩阵链相乘
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应用场景
稀疏矩阵的矩阵链相乘问题在科学计算、工程仿真等领域有广泛的应用。例如，在计算流体动力学中， 需要将多个稀疏矩阵相乘来模拟流体流动；在电磁场分析中，需要将多个稀疏矩阵相乘来计算电磁场的 分布。
矩阵链相乘问题的近似算法
定义
求解方法
矩阵链相乘问题的近似算法是指在保 证计算精度的情况下，通过牺牲一定 程度的计算量来加速计算过程的方法 。
标量乘法次数最少。
02
矩阵链相乘的动态规划算法
动态规划的基本概念
最优化原理
将原问题分解为若干个子问题 ，并从最优子问题的解逐步构
造出原问题的最优解。
状态
描述问题的中间状态，通常用 变量表示。
决策
在状态之间进行选择，通常用 函数表示。
状态转移方程
描述状态之间的依赖关系。
矩阵链相乘问题的动态规划解决方案
矩阵链相乘问题的最优解
最优解的求解过程
确定矩阵链
首先需要确定要相乘的矩阵链，即确定矩阵的顺 序。
构建状态转移方程
根据确定的矩阵链，构建状态转移方程，描述子 问题的最优解与原问题的最优解之间的关系。
求解状态转移方程
通过迭代求解状态转移方程，得到每个子问题的 最优解，进而得到原问题的最优解。
最优解的验证
验证解的有效性
通过检查每个子问题的最优解是否满 足状态转移方程，验证求解过程的有 效性。
验证解的正确性
通过将最优解代入原问题，验证其是 否能够得到正确的结果。
最优解的应用场景
矩阵运算优化
在科学计算、机器学习等领域中，经常需要进行大规模的矩 阵运算，矩阵链相乘问题的最优解可以用于优化这些运算过 程。
矩阵连乘算法
矩阵连乘算法
矩阵连乘是指将多个矩阵相乘的计算过程。
例如，对于三个矩阵A，B，C，其连乘结果可以表示为：A x B x C。
矩阵连乘算法是一个动态规划算法，用于寻找最优的矩阵连乘顺序，从而实现最小化矩阵乘法的操作次数。
该算法的基本思想是从最小的子问题开始逐步递推，找到最佳的矩阵连乘顺序。
具体实现过程如下：
1. 定义一个二维数组m[][]，其中m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小操作次数。
2. 对于每个长度为1的子序列，即i=j的情况，m[i][j]=0。
3. 对于每个长度大于1的子序列，即i<j的情况，计算m[i][j]的值，其中k是一个中间点，它将序列分为两个子序列：i到k和k+1到j。
用以下公式更新
m[i][j]的值：
m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}
其中p[]为矩阵的维数，p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[i]表示第i个矩阵的列
数，p[j]表示第j个矩阵的列数。
4. 最后，m[1][n]的值即为矩阵连乘的最小操作次数。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为矩阵的个数。
矩阵链式乘法应用
矩阵链式乘法应用1. 引言矩阵链式乘法是一种重要的数学运算方法，广泛应用于计算机科学和工程领域。
本文将介绍矩阵链式乘法的概念和应用，并探讨其在实际问题中的价值和意义。
2. 矩阵链式乘法的概念矩阵链式乘法是指将多个矩阵相乘的过程。
给定n个矩阵A1, A2, ..., An，其中Ai的维度为pi-1×pi，那么将这n个矩阵相乘的顺序可以用一组括号来表示。
例如，对于4个矩阵A1, A2, A3, A4，其相乘顺序可以表示为(A1(A2(A3A4)))或((A1A2)(A3A4))等。
3. 动态规划求解矩阵链式乘法矩阵链式乘法问题可以通过动态规划的方法来求解。
通过定义一个二维数组m[i][j]，其中m[i][j]表示将矩阵Ai到Aj相乘所需的最少乘法次数。
同时，还需要定义一个辅助数组s[i][j]，用于记录最优划分位置。
通过填充数组m和s，可以得到最终的最优乘法次序。
4. 矩阵链式乘法的应用矩阵链式乘法在实际问题中有着广泛的应用。
以下将介绍几个典型的应用场景。
4.1 矩阵相乘矩阵链式乘法最直接的应用就是矩阵相乘。
在线性代数和计算几何中，矩阵相乘是一个基本的运算，常用于求解线性方程组、计算变换矩阵等。
通过矩阵链式乘法，可以高效地计算多个矩阵相乘的结果。
4.2 图像处理在图像处理领域，矩阵链式乘法常用于图像变换和滤波操作。
例如，对于一个图像，可以通过一系列的矩阵相乘操作来进行旋转、缩放、平移等操作。
通过矩阵链式乘法，可以将这些操作进行优化，提高图像处理的效率。
4.3 机器学习在机器学习中，矩阵链式乘法常用于计算神经网络的前向传播过程。
神经网络中的每一层都可以表示为一个矩阵乘法操作，通过多次矩阵相乘，可以得到最终的输出结果。
通过矩阵链式乘法，可以高效地计算神经网络的输出，加快模型训练的速度。
4.4 金融领域在金融领域，矩阵链式乘法常用于计算投资组合的收益率和风险。
投资组合可以表示为多个资产的线性组合，可以通过矩阵相乘来计算投资组合的预期收益率和风险。
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——矩阵连乘问题
1
动态规划的应用：矩阵连乘
问题：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，
2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵 连乘积需要的数乘次数最少。
例:A1A2相乘，设这2个矩阵的维数分别为10*5，5*3运 算次数10*5*3=150。
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
①计算次序（如图）
8
3、计算最优值
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
②计算m[i][j]数乘次数 Ⅰ计算A1、A2、A3、A4、A5、A6 Ⅱ计算(A1A2)(A2A3)(A3A4)(A4A5)(A5A6) Ⅲ计算(A1A2A3)(A2A3A4)(A3A4A5)(A4A5A6) Ⅳ计算(A1A2A3A4)(A2A3A4A5)(A3A4A5A6) Ⅴ计算(A1A2A3A4A5)(A2A3A4A5A6) Ⅵ计算(A1A2A3A4A5A6)
m[2][5]=m[2][2]+m[3][3]+m[4][5]+p2p3p5+p1p2p5
2. A2 ((A3 A4) A5)
m[2][5]=m[2][2]+m[3][4]+m[5][5]+p2p4p5+p1p2p5
(A2 A3)(A4 A5) (A2 A3A4) A5
10
3、计算最优值
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
③计算s[i][j]（断点K的位置）
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000 m[2][3]+m[4][5]+p1p3p5=7125 m[2][4]+m[5][5]+p1p4p5=11375 最小值为7125，断点的位置为3
9
3、计算最优值
矩阵 A1
0 i j m[i][ j ] min{m[i][k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i j ik j
A3 A4 A5 A6
A2
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
( A((BC)D)) ( A( B(CD ))) (( AB)(CD )) (((AB)C )D) (( A( BC))D)
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
5
矩阵连乘问题
将矩阵连乘积
Ai Ai 1...Aj 简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全 加括号方式为 ( Ai Ai 1...Ak )( Ak 1 Ak 2 ...Aj ) 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000 m[2][3]+m[4][5]+p1p3p5=7125 m[2][4]+m[5][5]+p1p4p5=11375 最小值为7125，断点的位置为3 A2 (A3 A4 A5)中的两种情况： 1. A2(A3(A4A5)):
2
动态规划的应用：矩阵连乘
Ai 与 Ai 1 是可乘 假设：给定n个矩阵{A1, A2 ,...,An } ， 其中
的， i 1,2,...,n 1 。考察这n个矩阵的连乘积
A1 A2 ...An
矩阵乘法满足结合律，计算矩阵的连乘可以有许多不同的计 算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已 完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算 法计算出矩阵连乘积
这里 Ai 的维数为 pi 1 pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
0 i j m[i][ j ] min{m[i][k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i j ik j k（断点）的位置只有 j i 种可能
7
3、计算最优值
6
2、建立递归关系
①设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i][j]，
则原问题的最优值为m[1][n]
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n m[i][ j] m[i][k ] m[k 1][ j] pi 1 pk p j ③当i<j时，
3
矩阵连乘
① ②
完全加括号的矩阵连乘积可递归定义为：
单个矩阵是完全加括号的 矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完 全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即 A=(BC)
4
矩阵连乘
例如：表格中有四个矩阵及相应维数
矩阵 维数
A 50×10
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
10×40 40×30 30×5
总共有五种完全加括号的方式
11
3、计算最优值
int MatrixChain::MChain() { //求A[0:n-1]的最优解值 for (int i=0;i<n; i++) m[i][i]=0; for (int r=2; r<=n; r++) for (int i=0; i<=n-r; i++) { int j=i+r-1; m[i][j]=m[i+1][j]+p[i]*p[i+1]*p[j+1]; //m[i][j] 的初值 s[i][j]=i; for (int k=i+1; k<j; k++) { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<m[i][j]) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;} } } return m[0][n-1]; }