最速降线方程的推导
最速降线方程公式
最速降线方程公式人类探索自然规律的脚步永不停歇，而最速降线方程公式则是其中一道解谜的关键。
这个公式可以帮助我们理解物体在重力作用下的运动轨迹，揭示了自然界中诸多现象的背后原理。
让我们来看看最速降线方程公式的基本形式：y = f(x)。
这里，y代表物体的高度，x代表时间或者水平方向的位移。
通过这个公式，我们可以追踪物体在某个时刻的位置，进而推断出它在整个运动过程中的轨迹。
然而，最速降线方程公式的美妙之处并不仅限于此。
它还能帮助我们研究自由落体、抛体运动等多种物理现象。
通过改变方程中的各个参数，我们可以模拟出不同条件下的运动轨迹，从而更好地理解自然世界的运动规律。
例如，在最速降线方程公式中加入一个参数a，我们可以研究物体在斜坡上滑动的情况。
当a大于0时，物体将滑下斜坡；当a等于0时，物体将保持静止；而当a小于0时，物体将向上滑动。
通过调整a的数值，我们可以观察到物体在不同斜度的斜坡上的运动方式有何不同。
除此之外，最速降线方程公式还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，当我们需要计算一个物体从山顶滑下到山脚所需的时间时，可以利用最速降线方程公式来得出准确的结果。
这个公式成为了我们解决实际问题的得力工具。
最速降线方程公式的研究还有助于培养我们的科学思维能力。
通过观察、实验和推理，我们能够更深入地理解这个公式背后的物理原理，进而探索更多有趣的现象和问题。
最速降线方程公式是人类智慧的结晶，它揭示了自然界中物体运动的奥秘。
通过研究和应用这个公式，我们能够更好地理解自然规律，解决实际问题，并培养自己的科学思维能力。
让我们继续探索，揭开更多自然规律的面纱，为人类的进步贡献一份力量。
最速降线变分法的推导
最速降线变分法的推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最速降线变分法是一种数学方法，用于解决最优化问题。
在这种方法中，我们试图找到一个函数，使得它的导数满足一定的条件，并且能够最小化或最大化该函数。
最速降线变分法在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
我们来看看最速降线变分法的基本思想。
假设我们有一个函数y=f(x)，我们希望找到这个函数的一个变分函数y=f*(x)，使得该函数能够最小化或最大化某种性质。
为了实现这一目标，我们定义一个泛函I[f]，它可以表示为：I[f]=∫L(x, y, y')dxL(x, y, y')是一个关于x、y和y'的函数，它被称为拉格朗日密度函数。
泛函I[f]表示了函数f的一个性质，并且我们希望找到一个函数f*，使得该泛函的值最小或最大。
为了找到最优解，我们引入变分函数的概念。
我们定义一个函数y=f*(x)+ϵη(x)，其中ϵ是一个小的实数，η(x)是一个任意函数。
然后我们计算I[f*(x)+ϵη(x)]对ϵ的导数。
根据泰勒展开，我们可以得到：I[f*(x)+ϵη(x)]=I[f*(x)]+ϵ∫[∂L/∂y - d/dx(∂L/∂y')]η(x)dx∂L/∂y和∂L/∂y'分别为L对y和y'的偏导数。
接下来，我们对这个方程的右边进行积分部分，消除边界项。
我们得到一个形式为：这个式子被称为最速降线方程，它描述了使得泛函I[f]是最大或最小的函数的性质。
通过求解最速降线方程，我们可以找到一个函数，使得该函数使得泛函I[f]最优。
这种方法在统计力学、量子场论、优化问题等领域有着重要的应用。
通过变分法，我们可以得到一些非常重要的物理方程，比如欧拉-拉格朗日方程、金-高斯方程等。
第二篇示例：最速降线变分法是一种求解极值问题的数学方法，它常常被用来解决最优化问题。
在实际应用中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，而最速降线变分法则是一种有效的方法来解决这类问题。
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验作者：徐雷来源：《教育教学论坛》2018年第04期摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。
本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。
关键词：最速下降曲线；变分法；摆线中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：三、实验设计验证重力作用下的最速下降曲线。
非线性方程组-最速下降法（梯度法）
⾮线性⽅程组-最速下降法（梯度法）梯度法（⼜名,最速下降法）(该法总可以收敛，但是，在接近真解时收敛的速度会放慢。
) 梯度法⼜称为最速下降法，⽤于求解实系数⾮线性⽅程组12(,,,)0,1,2,,i n f x x x i n== （7－15）的⼀组根。
梯度法⾸先是定义⼀个⽬标函数212121(,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x =Φ=∑（7－16）使⽬标函数21nii f =Φ=∑达到最⼩的12,,,n x x x 是我们寻找的⼀组解，这是⾮线性最⼩⼆乘法问题。
如果第(0,1,2,)k k = 步求得⼀组解12,,,nk k k x x x ，使得12(,,,)n k k kx x x εΦ< （7－17）则认为12,,,nk k k x x x 是原⽅程组满⾜⼀定精度的()ε要求的⼀组解。
梯度法的计算过程是：（1）先给定⼀组不全为零的初值12000,,,nx x x ，第k 步的⼀组根为12,,,nk k kx x x ；（2）计算⽬标函数12(,,,)nk k k x x x Φ的值；(单独⼦程序:fn =TargetFunction)（3）若12(,,,)nk k k x x x εΦ< ，则认为12,,,nk k k x x x 是满⾜⼀定精度()ε的⼀组解，否则，作如下修正计算1α+=?Φ=-?iki ik k ki ix x x x x （7－18）其中121212*********1111222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)*,1,2,,α==?Φ=Φ ? ?Φ+-Φ?Φ=??Φ+-Φ?Φ=Φ+-Φ?Φ===∑ n kj jn n n n n n k k kkn j j x x k k k k k kk k k k k k k k k k k kn n nki i x x x x x h x x x x x x h x x h x x x x x h x x x h x x x x h h H x i n（7－19）H 为控制收敛的常数，通常选为（10－5～10－6），收敛精度ε选为（10－6～10－8）。
完整word版最速下降法求解线性代数方程组
最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组一、最速下降法数学理论PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。
X)Xminf(kk。
现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。
因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X).kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))，kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1）k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。
当1k极小点。
二、最速下降法的基本思想和迭代步骤???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0.，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2）（3）最速下降法算法流程图如图所示.X结束三、最速下降法的matlab实现function [x,n]=twostep(A,b,x0,eps,varargin) %两步迭代法求线性方程组Ax=b的解if nargin==3eps= 1.0e-6;M = 200;elseif nargin<3errorreturnelseif nargin ==5M = varargin{1};endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B1=(D-L)\U;B2=(D-U)\L;f1=(D-L)\b;f2=(D-U)\b;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0 =x;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=n+1;if(n>=M)'); 迭代次数太多，可能不收敛！ disp('Warning: return;endend的解最速下降法求线性方程组Ax=bfunction [x,n]= fastdown(A,b,x0,eps) %if(nargin == 3)eps = 1.0e-6;endx=x0;n=0;tol=1;以下过程 % while(tol>eps)可参考算法流程 r = b-A*x0;d = dot(r,r)/dot(A*r,r);x = x0+d*r;tol = norm(x-x0);x0 = x;n = n + 1;end四、最速下降法的算例实现A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';eps=1.0e-6;x =-0.87507.1875-5.5000 k =60。
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线原理
最速降线原理最速降线原理，又称费马原理，是数学中的一个重要原理，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨最速降线原理的相关概念、应用以及其在实际生活中的意义。
首先，我们来了解一下最速降线原理的基本概念。
最速降线原理指的是，两点之间的最短路径是一条曲线，其切线方向与两点之间的连线方向相同。
这条曲线被称为最速降线，因为在重力场中，物体沿着这条曲线下落的时间最短。
费马原理可以通过变分法来证明，它是微积分中的一个重要定理。
最速降线原理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在光的传播中，光线在两点之间传播的路径也是一条最速降线，这就解释了光的折射定律。
在天体运动中，行星绕太阳运动的轨迹也是一条最速降线，这就是开普勒定律的基础。
此外，在工程学中，最速降线原理也被应用于优化问题的求解中，比如最短路径问题、最优控制问题等。
最速降线原理在实际生活中也有着重要的意义。
我们在日常生活中常常需要求解最短路径问题，比如规划最佳的出行路线、设计最有效的物流配送方案等。
而最速降线原理提供了一个重要的数学工具，帮助我们解决这些实际问题。
另外，最速降线原理也启发了人们对于优化问题的思考，促进了科学技术的发展。
总的来说，最速降线原理是数学中的一个重要概念，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用，并在实际生活中发挥着重要的作用。
通过对最速降线原理的深入理解，我们可以更好地应用它解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对读者对最速降线原理有所帮助，谢谢阅读。
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验收稿日期：2017-05-22一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A 、B 两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A 点下滑到B 点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A 点滑到B 点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli 采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli （Jo-hann Bernoulli 的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli 所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler 提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A 点滑到B 点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y （x ），质点的质量为m ，重力加速度为g ，质点的下滑的速度为v （t ），其中t 为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P （x ，y ）都有：12mv 2（t ）=mgy （x ）由此可以得到速度v （t ）=2gy √。
设质点下滑路程为s （t ），则速度可以表示为：v （t ）=ds dt =dx 2+dy 2√dt =1+y ′2√dx dt 所以dt=1+y ′2√dx v （t ）=1+y ′2√2gy √dx因此质点从A 点下滑B 点所用的时间为：T ［y （x ）］=∫T 0dt=∫a01+y ′2 √2gy （x ） √dx这这是一个泛函极值问题，要使泛函在y=y ~（x ）处达到极小值，即变分为零δT ［y ~（x ）］=0，可令F （y ，y ′）=1+y ′2√2gy （x ）√，由变分法可知极值曲线满足欧拉方程∂F ∂y y'-f=c 由此可以解得方程的解为：y （1+y ′2）=c考虑到初始条件y （0）=0，可以得到，x=a （θ-sin θ）y=a （1-cos θ）{其中a=c/2为摆线发生圆的半径，θ=2φ，φ为P 点徐雷（新疆大学物理科学与技术学院，乌鲁木齐830046）摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
牛顿对最速降线的推导
牛顿对最速降线的推导在近代物理学发展的过程中，新物理思潮正以势不可挡的步伐向前推进着。
其中，牛顿力学、艾斯特罗宾逊力学是随着科学发展而显得格外重要的理论。
牛顿力学在研究空间物体运动方面发挥了异常重要的作用，尤其是牛顿推导的“最速降线”理论，具有十分重大的价值。
1687年，英国著名科学家牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中首次提出了“牛顿力学”理论，指出物体形成直线行进的轨迹是由力的作用决定的。
为了解释物体的直线运动，牛顿提出了“最速降线”的假设，即：物体坠落时，每一小段路程的运动时间都是最短的，而且这一时间独立于路程的长短，这意味着物体的加速度是恒定的，从而实现最小的运动时间。
1897年，英国物理学家马萨利-阿斯特罗宾逊重新提出“最速降线”理论，在此前牛顿提出的“最速降线”原理的基础上，结合相对论，把最速降线理论从绝对视图转变为相对视图，并从理论上精准地分析出物体运动的路程与时间之间的关系，即同一路程中，运动时间越短，物体的加速度越大。
18秒定律的提出，使科学家们更加深入地考察了物体的坠落运动，而最速降线理论的发展则将物理学的研究范围圈定在物体的运动时间与路程之间的关系上。
摩擦力、空气阻力等因素都可以在最速降线理论中得到考虑，从而给我们带来了相应的动力学思维方法，即“每一段路程的运动时间都是最短的”这一原理，是研究物体运动的重要基础。
牛顿对最速降线的推导是物理学发展史上的一个重要里程碑，它是大量物理实验的基础，为今天的物理研究建立了坚实的基础，使我们更深入地探究了物体的运动状态。
牛顿用“最速降线”理论解释了物体运动的路程与时间之间的关系，为众多物理研究者提供了理论指导，确立了坠落时运动时间的“最小”原则，极大地推动了物理学的发展，也提高了科学家物理学研究的质量，具有重要的历史意义。
综上所述，牛顿推导的“最速降线”理论对科学发展具有重要意义，它不仅为科学研究提供了重要指导，而且也极大地推动了科学进步，对科学发展产生了深远的影响。
解非线性函数方程的最速下降法
解非線性函數方程的最速下降法
最速下降法是一種用於求解非線性函數方程的最優化算法，它可以有效地搜索全域最小值。
它的基本思想是：每次迭代都將函數沿着梯度的反方向更新，使其朝著最小值的方向前進，直到收斂為止。
最速下降法的步驟如下：
1. 初始化起始點：設定起始點x_0，並將其設置為最小值的初始估計值。
2. 計算梯度：計算在該點的梯度g，梯度是函數在該點的偏導數向量。
3. 更新點：沿著梯度的反方向更新點，更新公式為x_i+1=x_i-αg，α是步長，用於控
制步驟大小。
4. 重複2-3步，直到收斂為止。
最速降线的详细原理
最速降线的详细原理最速降线（brachistochrone）是一个典型的物理问题，涉及到在决定两个点之间最快下降的时间和路线的问题。
这个问题被认为是微积分史上的重大里程碑之一，在光学、流体力学和射线追踪等多个领域得到广泛应用。
最速降线的基本原理是：两点之间的最快下降线是一个钟形曲线。
假设一滑块沿着两点之间的任意路径从高处（A点）向低处（B点）移动。
无论它在从A点到B点的路径中做多少个弯，只要路径的形状相同，滑块的下降时间将会是一样的。
然而，一个滑块沿任何路径下降时，其下降方向和地心引力的方向并不一致。
如果下降过程中滑块的一部分沿着地心引力的方向滑行，那么速度将会更快，应保证整个下降过程的时间最短。
钟形曲线的形状能够满足这个条件，因为钟形曲线中的任意两点之间的切线总是指向滑块的下降方向，并且代表着滑块在该点下降时的最大速度。
如果将两个钟形曲线分别连接A、B两点，沿这条路径下降的时间将是最短的。
最速降线的一个重要应用是建设过山车和滑雪坡道。
相比于直线路径，钟形曲线能够让滑行器的下降速度更快，体验更刺激。
钟形曲线的优势在于只有部分路径是直的，这就可以让滑行器在下降的过程中承受更大的向心力，加速后续的转弯。
如果整个路径都是直线，滑行器在高速下降的同时将不可避免地受到过强的力量，容易失控。
总之，钟形曲线在物理、工程学和娱乐设施中的广泛应用表明了它作为最速下降路径的确切性和优越性。
该问题的解决方法还涉及了微积分等数学技术，使得我们能够优化各种运动过程，并在实际应用中创造更为安全、有趣和高效的流程。
最速降线问题
a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
解释最速降线简单原理
解释最速降线简单原理
最速降线是一种在优化问题中常用的方法，其基本原理是从一个起点开始，沿着某个方向一直走，让每一步都减小到最小值，直到达到全局最小值为止。
最速降线是一种对目标函数的梯度下降方法，其对目标函数进行了一步步的优化，通过找到局部最优解的方向，逐步减少目标函数值，直到找到全局最优解。
最速降线方法的主要目标是确定每一步的方向及步长，以使得目标函数值能够尽量地减少。
在实际应用中，最速降线方法通常结合梯度下降算法使用，其主要步骤如下：
1.选定起始点：首先，需要确定起始点，即从哪里开始进行优化。
这里可以采用随机或者手动指定的方法来确定起始点。
2.计算梯度：为了确定下一步的方向和步长，需要计算当前位置的梯度。
梯度是指目标函数在当前位置处的方向导数，其方向指向函数在该点上升最快的方向。
3.确定步长：在确定下一步的方向后，需要确定每一步的长度。
一般而言，步长可以通过预测当前位置到达全局最小值所需要的步数来确定。
4.更新位置：将步长和方向相乘，以更新当前位置。
也就是说，当前位置移动到下一个位置。
5.重复操作：一旦到达下一个位置，就需要重新计算梯度和确定步长，以便于尽可能地接近最优解。
不断重复这个过程，直到达到全局最优解时为止。
最速降线方法在优化问题中得到了广泛应用，比如在机器学习、神经网络和数据挖掘等领域。
其优点是简单易懂，容易实现，并且在很多情况下可以找到全局最优解，但缺点就是可能遇到局部最优解，无法达到全局最优解的情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况对最速降线方法进行调整和改进。
最速降线变分法的推导
最速降线变分法的推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最速降线变分法是一种变分法的应用，用于求解泛函的最优解。
在数学领域中，泛函是函数的集合，它将函数映射到一个实数。
泛函最优化问题是指寻找一个函数，使得它所代表的泛函在某种意义下达到最小值或最大值。
最速降线问题是一个著名的泛函最优化问题，它在物理学和工程学中都有重要应用。
问题描述如下：在一个平面上有两点A、B，要求一条曲线从A点到B点，使得曲线的长度最短。
这个问题的数学描述就是要求出一条函数y(x)使得泛函\[I(y)=\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'^2} dx\]最小，其中y(x)是我们要求解的函数，y'(x)是y(x)的导数，x1和x2分别是A、B点的横坐标。
为了求解这个问题，我们可以利用最速降线变分法。
我们需要引入一个辅助泛函J(y,ε)，其中ε是一个小量。
J(y,ε)表示当y(x)稍微发生变化ε时，泛函I的改变量。
根据泛函微积分的方法，我们有其中η(x)是一个任意的可微函数。
接下来，我们需要考虑J(y,ε)的变化量：其中δ表示变分算子，表示对函数y的微小变化。
我们可以对δJ(y,0)/δy做一些计算：\[\frac{δJ(y,0)}{δy} = \frac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{(y'+εη)η}{\sqrt{1+(y'+εη)^2}}\right)\]化简上式得到由此，进一步的计算可以得到带入到J(y,ε) - J(y,0)的表达式中，我们可以得到利用分部积分的方法，我们可以进一步得到由于边界条件η(x1)=η(x2)=0，我们可以进一步简化上式，最终得到根据变分法的基本原理，当J(y,ε) - J(y,0)的值取极小值时，对任意的η(x)，都有上式为0，即由此，我们得到了最速降线问题的欧拉-拉格朗日方程，通过求解这个微分方程，就可以得到最速降线曲线y(x)。
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线一、引言在物理学和工程学中，我们经常需要研究物体在重力场中的运动规律。
而在研究物体在重力场中的运动问题时，经常需要求解最速降线的问题。
那么，如何使用拉格朗日乘数法来计算最速降线呢？接下来，我们将通过深入的探讨和分析，来揭示这一问题的解决方法。
二、什么是最速降线？最速降线是指在给定两点之间，一条曲线上一点到另一点的时间最短。
在重力场中，物体遵循最速降线原理，也就是物体在重力场中自由运动时，路径为最速降线。
对于给定两点之间的最速降线问题，我们需要找到一条曲线，使得物体从起点到终点所需的时间达到最小值。
三、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点。
在最速降线问题中，我们需要将最速降线的约束条件转化为拉格朗日乘数形式，然后应用拉格朗日乘数法来求解。
四、使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤1. 建立参数方程我们需要建立最速降线的参数方程。
设最速降线为y=f(x)，起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)，则我们可以建立参数方程：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b其中，参数t的范围为[a,b]。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们需要构建拉格朗日函数。
根据最速降线的约束条件，即起点和终点确定，我们可以建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-k)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x,y)为约束条件函数，k为约束条件的常数值。
3. 求解拉格朗日函数的偏导数我们需要求解拉格朗日函数关于x、y和λ的偏导数，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0通过求解上述方程组，我们可以得到参数方程x=x(t)，y=y(t)的解。
4. 求解最速降线方程通过将参数方程带入原函数f(x,y)，我们可以求解出最速降线的方程，从而得到最速降线的数学表达式。
牛顿对最速降线的推导
牛顿对最速降线的推导牛顿对最速降线的推导：一、概念1.牛顿对最速降线的推导是指用牛顿的第二定律，根据分数降低的函数展开表达式，得出函数的最速降线，一般用于优化问题的性能测试．2.牛顿的第二定律（牛顿动量定律）是指分子受到等比例力时，对应的动量也是等比比例变化的，即牛顿发现了力和动量之间的恒定关系，可用来解决优化问题。
二、牛顿对最速降线的推导过程1. 首先，如果要使函数尽可能降低，则需要根据动量定律求得函数的阶导数，具体的计算公式如下：$$ f'(x) = \frac{df}{dx}$$2. 根据阶导数的定义，首先需要将函数拆分为两部分：函数的变化量和变化量的变化量，即：$$f'(x) = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} - \frac{(\Delta{f(x + \Delta{x})}) - (\Delta{f(x)})}{\Delta{x}}$$3. 根据牛顿的第二定律，函数尽可能地降低，则 $\Delta{f(x + \Delta{x})} <\Delta{f(x)}$，即变化量的变化量是负值，所以可以将上面的式子简化为：$$ f'(x) = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} + \lambda$$4. 要使得函数尽可能降低，最后的结果应该小于$\lambda$，即$f'(x) < \lambda$。
根据这个结果，可以得出当$\Delta{x}$满足$\frac{f(x - \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} < \lambda$时，函数就会朝着最速降线的方向变化，也就是所谓的牛顿对最速降线的推导。
三、运用1. 在一些优化问题中，如果要求系统尽可能的提高性能，可以考虑使用牛顿对最速降线的推导．2. 根据牛顿对最速降线的推导，可以给出要最大限度降低函数值所需要满足的条件，即$\Delta{x}$必须满足：$\frac{f(x - \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} < \lambda$，而这个条件可以帮助搜索优化系统尽可能降低函数值．3. 另外，通过牛顿对最速降线的推导，有利于我们分析函数的准确性，也可以用牛顿的方法来分析局部函数的最大值，或者最小值，只要函数的梯度大于或小于偏移量，该函数就有最大值或最小值．。
最速降线方程的推导
寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。
A 、B 、C 同时静止释放，同时下滑到最低点O 。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置Ｏ。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
设曲线方程为，且最低点位于y 轴上。
那么当质量为m 的物体运动到曲线上的点（x ，ｆ（ｘ））时，所受下滑力F = -mg·sin θ其中是（x ，ｆ（ｘ））处的切线的倾角。
由于所以物体从点（x ，ｆ（ｘ））下滑到最低点（０，ｆ（０））所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。
．．．．．．①．．．．．．②简谐运动的回复力Ｆ与位移Ｓ之间满足Ｆ ＝ －ｋＳ（ｋ ＞ ０）将①、②代入上式得设∈[0,1)z （），则，上式化为等号两边对x 求导得ββy=f(x)即等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin α，α∈（0，π/2），得到由于当x=0时，回复力所以当x=0时，z=0。
将x = 0，z = 0代入③得，C = 0所以．．．．．．③令θ＝２α，代入上式得由若能求出y 与 θ的关系ｙ＝ｙ（θ），便能得到曲线的参数方程上式为ｘ与θ的关系，⎩⎨⎧y x =x(θ)=y(θ)可知。
根据复合函数求导法则：．．．．．．④由④得．．．．．．⑤．．．．．．⑥⑥代入⑤得上式等号两边积分得若曲线经过原点，则积分常数，此时。
所以所求曲线的参数方程为θ，∈[0,π/2]。
利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。
牛顿对最速降线的推导
牛顿对最速降线的推导艾伦牛顿（1643年1月4日至1727年3月31日），英国科学家，是近代物理学和数学的开拓者，也被誉为科学史上最伟大的物理学家、天文学家和数学家之一。
他被称为“物理学之父”和“数学之父”，是现代科学的奠基者，他的理论于17世纪末的英国开始流行，影响至今。
他的主要成就有牛顿第一定律（物体恒定运动或静止，直到受到外力的作用时才开始发生变化），牛顿第二定律（物体受到的外力的大小及方向和物体的质量和加速度是成正比的），牛顿第三定律（相互作用的力之间是相等的），形成数学物理学的基本原理；物理学中最为重要的重力定律；关于光的几何性质的研究；牛顿运动定律和三体运动；发明了望远镜；发现了椭圆运动。
第二部分：牛顿对最速降线的推导牛顿在工程学中发现了一种有用的线性曲线称为最速降线，他提出了一种可以求解此类曲线的数学方法。
牛顿推导过程如下：首先，设定一个代表函数y=f(x)，其中x,y均为连续变量，f(x)为对应于x的函数值；其次，将函数f(x)的导数记作f’(x)，它代表着函数f(x)的变化率；然后，牛顿认为，当函数f(x)的变化率（f’(x)）与x之间的正比为0时，函数f(x)即处于最小变化率状态，此时f(x)即为最速降线；最后,牛顿求得f’’(x)（二阶导数也称加速度导数），与f’(x)的正比关系：f’’(x)=kf’(x)，其中k为常数，当k>0时，最速降线即为函数f(x)的极小值；综上，最速降线的求解可以如下表达：设f’(x)=y，则f’’(x)=ky，当ky=0时，y=0，求得f’(x)=0即可得极值点，也就是最速降线。
综上，牛顿提出的最速降线求解方程，使得函数研究者可以通过求解函数f’（x）和f’’（x）的关系得到最速降线，从而使得函数更好的表达。
第三部分：牛顿的最速降线在工程学上的应用最速降线的理论应用广泛，其应用领域有很多，如测绘学、工程学、地质学等，在工程学中最常用的就是建造建筑物时的滑动控制。
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寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。
A 、
B 、
C 同时静止释放，同时下滑到最低点O 。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置Ｏ。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
设曲线方程为，且最低点位于y 轴上。
那么当质量为m 的物体运动到曲线上的点（x ，ｆ（ｘ））时，所受下滑力
F = -mg·sin θ
其中
是（x ，ｆ（ｘ））处的切线的倾角。
由于所以
物体从点（x ，
ｆ（ｘ））下滑到最低点（０，ｆ（０））所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。
．．．．．．①
．．．．．．②
简谐运动的回复力Ｆ与位移Ｓ之间满足Ｆ ＝ －ｋＳ
（ｋ ＞ ０）
将①、②代入上式得
设
∈[0,1)z （），则，上式化为
等号两边对x 求导得
β
β
y=f(x)
即
等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin α，α∈（0，π/2），得到
由于当x=0时，回复力
所以当x=0时，z=0。
将x = 0，z = 0代入③得，
C = 0
所以
．．．．．．③
令θ
＝２α，代入上式得由
若能求出y 与 θ
的关系ｙ＝ｙ（θ），便能得到曲线的参数方程上式为ｘ与θ的关系，⎩⎨⎧y x =x(θ)=y(θ)可知。
根据复合函数求导法则：．．．．．．④
由④得．．．．．．⑤．．．．．．⑥
⑥代入⑤得
上式等号两边积分得
若曲线经过原点，则积分常数，此时。
所以所求曲线的参数方程为
θ
，∈[0,π/2]。
利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。