一线三等角典型例题
三角函数一线三等角-答案
三角函数一线三等角 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分 一、单选题1．在ABC 中，若tanA=1，cosB=22，则下列判断最确切的是（ ） A ．ABC 是等腰三角形B ．ABC 是等腰直角三角形 C ．ABC 是直角三角形D ．ABC 是一般锐角三角形2．在Rt ABC 中，390,2,2C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值是（ ）． A ．34 B ．43 C ．74D ．4773．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定 4．下列计算错误的有（ ）①sin60sin30sin30︒-︒=︒；②22sin 45cos 451︒+︒=；③213tan 603︒=；④cos304tan 30sin 30︒︒=︒． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 评卷人得分二、填空题 6．如图，在Rt ABC 中，30B ∠=︒，6BC =，点D 是BC 的中点，DEF 是等腰直角三角形，3DE DF ==，线段EF 与线段AB 相交于点Q ，将DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合的过程中，线段DQ 的长度的取值范围______．7．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则图中阴影部分面积为 ___．8．如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点 M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③AB 2=3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有 ____评卷人得分三、解答题 9．计算：（1）3tan 230°360°－2sin 245°； （2）(2019－π)0－4cos 30°＋212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋|13． 10．[模型建立](一线三等角)（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；[模型应用]（2）如图2，直线14:43l y x =+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．11．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC ⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∠1=∠D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ≌DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．参考答案：1．B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B 的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B 是ABC 的内角，且tan 1A =，cos B =， 45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．2．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后根据正弦的定义即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：AC =，∴sin B ＝AC AB ＝22= 故选：C ．【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC 的长，正确理解正弦的定义是解题关键． 3．A【解析】【分析】根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，又∵动力臂1cos L L α=⋅，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A ．【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．4．C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；【详解】解：①1sin 60sin 302︒-︒=，1sin302︒=，故左右不相等，错误；②222211sin 45cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，正确；③22tan 603︒==，错误；④cos3024tan 301sin 302︒︒===︒错误的有3个，故选择：C【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵α∠为锐角，且1sin 2α=， ∴30α∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．6．3232DQ ≤≤ 【解析】【分析】由旋转的性质可得DE =CD =3，由点Q 在EF 上运动，可得当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵BC =6，点D 是BC 的中点，∴CD =BD =3，∵将△DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合，∴DE =CD =3，∵线段EF 与线段AB 相交于点Q ，∴点Q 在EF 上运动，∴当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，如图，连接DQ ，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，∵△DEF 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠E =45°，sin DQ E DE ∴==DQ DE ∴==∴DQ3,DQ ≤≤3,DQ ≤≤ 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．7．1 【解析】【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE =∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′=60°，然后求出∠DAE =30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD 的面积-四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【详解】解：如图，设B C ''与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt AB E '和Rt ADE △中，AE AE AB AD '=⎧⎨=⎩， ()Rt AB E Rt ADE HL ∴'≌，B AE DAE ∴∠'=∠，∵旋转角为30°，60DAB ∴∠'=︒，160302DAE ∴∠=⨯︒=︒，33tan 133DE AD DAE ∴=⋅∠=⨯=， ∴阴影部分的面积=133211211233ADE ABCD S S ⎛⎫-=⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭△正方形， 故答案为：313-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE =∠B ′AE ，从而求出∠DAE =30°是解题的关键，也是本题的难点． 8．②③④【解析】【分析】根据题给条件，证不出①CM DM =；BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，故BN BC =，又点F 为BC 的中点，可知：1sin 2BF BNF BN ∠==，求出30BNF ∠=︒，继而可求出②30ABN ∠=︒；在Rt BCM ∆中，30CBM ∠=︒，继而可知3BC CM =，可以证出③223AB CM =；求出60NPM NMP ∠=∠=︒，继而可证出④PMN ∆是等边三角形．【详解】解：如图示，BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，BN BC ∴=，又点F 为BC 的中点，在Rt BNF △中，1sin 2BF BNF BN ∠==， 30BNF ∴∠=︒，60FBN ∠=︒，9030ABN FBN ∴∠=︒-∠=︒，故②正确；在Rt BCM △中，1302CBM FBN ∠=∠=︒，tan tan 30CM CBM BC ∴∠=︒==BC ∴=，223AB CM =故③正确；9060NPM BPF MBC ∠=∠=︒-∠=︒，9060NMP MBN ∠=︒-∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM DM =，故①错误．故答案是：②③④．【点睛】本题考查翻折变换，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．9．（1）3；（2）4【解析】【分析】（1）根据特殊三角函数值可直接进行求解；（2）根据特殊三角函数值及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=22321313⨯⨯=+-=⎝⎭⎝⎭；（2）原式=14414-++=． 【点睛】 本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．10．（1）答案见解析；（2）直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --；（3）点D 的坐标为2238,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：△BEC≌△CDA；（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明△BOA≌△AED，求出点D 的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；（3）分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，③如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．【详解】（1）如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△CDA和△BEC中，ADC CEBDAC ECB AC BC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）如图2，在l2上取D点，使AD=AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，∵直线y=43x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∴A （-3，0），B （0，4），∴OA=3，OB=4，由（1）得△BOA ≌△AED ，∴DE=OA=3，AE=OB=4，∴OE=7，∴D （-7，3）设l 2的解析式为y=kx+b ，∴3703k b k b-+⎧⎨-+⎩＝＝ 解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --； （3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫- ⎪⎝⎭， 分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，过P 作MH ∥x 轴，过D 作DH ∥y 轴，MH 和DH 交于H ，∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，∴CP=PD，同理得△CMP≌△PHD（AAS），∴DH=PM=6，PH=CM，设PH=a，则D（6+a，a-8-6），∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∴a-8-6=-2（6+a）+2，解得：a=43，∴D（2238,33）；②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE⊥y轴于E，∵△CPD是等腰直角三角形，同理得△AOC≌△CED，∴OA=CE=6，OC=DE=8，∴D（8，-14）；③如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∥x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，∵△CDP是等腰直角三角形，同理得△PQD≌△DMC，∴PQ=DM，DQ=CM，设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，∴D（6-b，-8-b），∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，∴-8-b=-2（6-b）+2，解得：b=23，∴D（1626,33-）；综上，点D的坐标为223833⎛⎫-⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫-⎪⎝⎭，【点睛】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．11．(1)21522CD x x =-+ (2)3(3)()3,1或()1,3-【解析】(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∴A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠，∴A CPD ∠=∠，又∵ABP PDC ∠=∠，∴ABP △∽PDC △，∴AB BP PD CD =， 即25x CD x=-， ∴21522CD x x =-+． (2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠，∴ACD △∽ADE ，∴90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∴点D 为BC 的中点，∴116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∴90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ，∴132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∴3CD =．(3)解：分两种情况：①如图6所示，过A 作AC ⊥y 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∴AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∠OBA ＝90°，∴∠OBE +∠ABC ＝90°，∵∠ABC +∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△BOE （AAS ），∴AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∴AC ＝BE ＝x －2，∴CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∴x ＝3，x －2＝1，∴点B 的坐标是（3，1）；②如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．。
初中数学精品试题：几何模型之一线三等角模型
几何模型：一线三等角模型一：一线三直角之全等模型介绍：图示已知结论已知，∠C=∠D=∠EBA=90O，且EB=AB△ABC ≌ △BED如图，∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA△ACE≌△BAF例题示范：例1.如图,直线1l ，2l ,3l 相互平行,且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为 2 。
等腰直角△ABC 的顶点分别在三条平行线上，AB=AC ， ∠BAC=90°，则等腰△ABC 的腰长是 。
例2.如图，点B （3,3）在函数x k y =（x ＞0）的图像上,点C 在函数 xy 4-= （x ＜0)的图像上，点A 在x 轴正半轴上，且△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90° . （1） 直接写出k 的值 ： k = （2） 求点A 的坐标 。
例3. 如图：已知直线l:y=-34x+4与x 、y 轴分别交于A 、B ，直线m 过点B 且与直线l 的夹角等于45°；求直线m 的解析式。
巩固训练：1.如图，点D 在BC 上，AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，AD ⊥DE ，且AD=DE ，AB=3，EC=5，则BC 的长为___8__．2. 如图，AB ⊥AC ，且AB=AC ，BN ⊥AN ，CM ⊥AN ，若BN=3，CM=5，则 MN=__2___．3. 如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_8____.4. 如图，在平面直角坐标系中，点A （ 4，0 ) , 点B 是y 轴上的动点,将线段BA 绕点B 逆时针旋转90° ， 得到线段BC , 连接CO , CA , 则 CO ＋ CA 的最小值为 .5.如图，在正方形ABCO 中，点A 的坐标为 （4 ，3) ， 则点C 的坐标是 ， 点B 的坐标是 。
6.如图，已知A （ 1 ， 1 ） , B 两点都在双曲线xky（k ＞0，x ＞0）上，并且点B 在点A 的右下方,点C 在点x 轴上，若△ABC 是以∠B 为直角的等腰直角三角形, 则点B 的坐标为 。
全等模型(2)一线三等角 练习题(带答案
全等模型（2）一线三等角题集1.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为．【答案】【解析】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【标注】【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型2.如图，，，点在第一象限内．若、，则点的坐标为．【答案】【解析】做轴，轴，由三垂直模型可知，≌，∴设，则，∴，∴，∴．【标注】【知识点】辅助线综合运用3.如图，，，于，于，，，则的面积等于 ．【答案】【解析】∵，∴，∵于，∴，∴，又，，∴≌，∴，，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）4.如图，已知点是直线上的一个动点，在点运动的过程中，始终保持，并且于，于，．如图的位置时，请你判断线段、、之间的数量关系，并且证明你的结论．（2）（3）当直线绕点旋转到如图的位置时（），请你判断线段、、之间的数量关系是否有变化？并且证明你的结论．当直线绕点旋转到图的位置时（），试问：、、有怎样的数量关系？请直接写出这个数量关系．【答案】（1）（2）（3），证明见解析．有变化，，证明见解析．．【解析】（1）．∵，，∴，∴，∵，∴，（2）（3）∴．在和中，，∴≌（），∴，∴．．同（）可证明≌，∴，，∴．∴线段、、之间的数量关系有变化，．．同（）可证明≌，∴，，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）12（2）5.如图，，，于点，于点，其中．求证：≌．若，．求的长．连接，交于点，若，求的面积．【答案】（1）12（2）证明见解析．．．【解析】（1）12（2）∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在与中，，∴≌．∵≌，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型6.在中，直线经过点，且于，于，且，．（1）12（2）证明是等腰直角三角形．若，，，请你利用四边形的面积证明“”．若，、均为整数，试求出所有满足条件的值．【答案】（1）12（2）证明见解析．证明见解析．或．【解析】（1）1（2）∵于点，于点∴，∴，，与中有∴≌（），∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形．，，，∴2．四边形面积，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∵，、为整数，∴，且与均为整数，∴或或或解得：或故满足条件的值为或．【标注】【知识点】三垂直模型四边形（1）（2）7.解答下列各题：如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：．图（3）拓展：如图②，将（）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．图应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴，，（2）（3）∴．成立，仍为，理由如下：∵，在中，，，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，设的底边的高为，则的底边的高也为，∴，，∵，∴，∵，∴与的面积之和为．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角【知识点】三角形内角和的应用（1）8.解答下列问题．如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥直线，垂足分别为点、．证明：．图图（2）（3）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求证：．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）∵直线，直线，∴，又∵，11（2）（3）∴，，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∵，∴．∵，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．易证≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴．【标注】【知识点】一线三等角模型。
一线三等角大题练习-答案
一线三等角大题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，23AB =，求点C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE的值． 2．【问题背景】（1）过等腰直角△ABC 的两个锐角顶点，分别向直角顶点C 所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D ，E ．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC =∠CEB =90°，AC =CB ，又由∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，得到∠ACD =∠CBE ，所以△ACD ≌△CBE ，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS ，SAS ，ASA ，AAS 或HL ）．图1【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A （-2，4），B （3，1），在直线AB 的上方，以AB 为边作等腰直角△ABM ，写出所有符合条件的点M 坐标：________．图23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝ ，BC ＝ ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； （2）【模型应用】①如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内任一点，点B 的坐标为（4，1）．若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标为 ．5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.参考答案：1．(1)见解析 (2)3(3)35 【解析】 【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求． (1)证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒， ∴90BCE ACD ∠+∠=︒． ∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒， ∴ACD EBC ∠=∠． 又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌． (2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴132AF BF AB === ∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒． ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠． 在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴()CAE ADF AAS ≌，∴3CE AF ==，即点C 到AB 边的距离为3． (3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠． ∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠， ∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽， ∴63105EF BE DE DM ===． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2． AAS （1，9），（6，6），（2，5） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC =∠CEB =90°，根据余角的性质得到∠ACD =∠BCE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）当∠M 1AB =90°，△ABM 1是等腰直角三角形，当∠M 3BA =90°，△ABM 3是等腰直角三角形，当∠AM 2B =90°，△ABM 2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD和△CBE中，ADC CEBACD EBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE（AAS），故答案为：AAS；（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，∴∠AEM1=∠AFB=90°，∵∠BAM1=90°，∴∠EAM1+∠F AB=∠F AB+∠ABF=90°，∴∠EAM1=∠ABF，∵AM1=AB，∴△AEM1≌△BF A（AAS），∴AE=BF，AF=EM1，∵点A（-2，4），B（3，1），∴AE=BF=5，AF=EM1=3，∴M1（1，9），当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，同理，M3（6，6）；当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，∴M11M2=BM2，∴M2是线段BM1的中点，∴M2（2，5），综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP =∠CPD ， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ； ②BC =12，点P 为BC 中点， ∴BP =PC =6， ·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BPPC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，△ABP ≌△PCD ， ∴PC =AB =10， ∴BP =BC -PC =12-10=2； 当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ， ∵∠APD =∠B =∠C ， ∴∠ADP =∠C ，不合题意， ∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ， ∵∠C =∠C ， ∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②3(2，5)2或5(2，3)2【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，根据余角的性质得到1B ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AH DM =，同理AH EN =，由此可得EN DM =，再由此证明DMG ENG △≌△，由全等三角形的性质得到DG EG =，于是得到点G 是DE 的中点；②分两种情况讨论，如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，根据余角的性质得到BAC AOD ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，于是得到结论，如图4，同理可得答案．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△． ∴AC DE =，BC AE =； 故答案为：DE ，AE ；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，BC AH ⊥，90BHA AMD ∴∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，12290B ∴∠+∠=∠+∠=︒，1B ∴∠=∠，在ABH 与DAM △中， 1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABH DAM AAS ∴△≌△，AH DM ∴=， BC AH ⊥，90CHA ANE ∴∠=∠=︒，90CAE ∠=︒，90CAH EAN CAH C ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAN C ∴∠=∠，在ACH 与EAN 中，CHA ANE C EAN AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACH EAN AAS ∴△≌△，AH EN ∴=，又∵AH DM =，EN DM ∴=，DM AH ⊥，EN AH ⊥，90GMD GNE ∴∠=∠=︒，在DMG △与ENG △中，DMG ENG MGD NGE DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DMG ENG AAS ∴△≌△，DG EG ∴=，∴点G 是DE 的中点；②如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===+，14AD AC x x OE ∴+=++==， 32x ∴=，512x +=， ∴点A 的坐标3(2，5)2； 如图4，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与BE 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===-，14AD AC x x OE ∴+=+-==，52x ∴=，312x -=， 又∵此时点A 在第四象限，∴点A 的坐标5(2，3)2， 综上所述，点A 的坐标为3(2，5)2或5(2，3)2， 故答案为：3(2，5)2或5(2，3)2． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．【详解】解：（1）AC=DE ，BC=AE ；故答案为：DE ，AE（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，∴1B ∠=∠，在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），∴AF DM =，同理AF EN =，∴EN DM =，∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，∴90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG ∆=（AAS ），∴DG EG =，∴点G 是DE 的中点；②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，∴∠M=90°，∵∠OBA=90°，∴∠ABM+∠OBN=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠OBN=∠BAM ，在△OBN 与△BAM 中，M ONB OBN BAM OB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBN ≌△BAM （AAS ），∴AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，∴ON= x+2，∴MB+NB=x+x+2=MN=4，∴x=1，x+2=3，∴点B 的坐标（3,1）；如图同理可得，点B 的坐标（-1,3），综上所述，点B 的坐标为()3,1，()1,3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
一线三等角典型例题
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK =∠ACD1．作D1M ⊥ KH，D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．( 2) 拓展延伸1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1= ∠BH2K2=∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．2 如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。
一线三等角和45,60°处理方法专题
D EAC B图1一线三等角、45和60°处理方法专题一、一线三等角1、直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．2、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB 的垂线BE.（1）求证：AD=DE ；BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA∠BCA α∠=∠ABC EF DDABCEFAD F CEB图1 图2图3EBD A C C A D BE图2图3CADB EEBDACCADBE图4图5图6（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.3、如图，已知AC=BC ，点D 是BC 上一点,∠ADE=∠C.(1)如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°，求证：①∠EDB=∠CAD,②DA=DE ； (2)如图2，若∠C=40°，DA=DE,求∠DBE 的度数；(3)如图3，请直接写出∠DBE 与∠C 之间满足什么数量关系时，总有DA=DE 成立.4、已知，AB=AC ，D 、A 、E 三点在同一直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=120° （1） 如图1，求证：BD=AE（2） 如图2，AF 平分∠BAC ，且AF=AB ，连接FD ，FE ，试判断△FDE 的形状，并说明你的结论。
一线三等角问题
ABCDE相似三角形模型之“一线三等角型”一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景引例：如图，等边△ABC 中，D是BC 上一点，F 为AC 边上一点，且∠A DF =60°，BD=3，CF=2.求△ABC 边长。
例1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式例2、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AP ＝1，AB ＝DC ＝2．P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求AD 的长．C DB FACCBECDCADBEF例3、正方形ABCD 的边长为4（如下图），点P 、Q 分别在线段CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长。
相关练习：1、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长3、在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在线段CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长BCABCDABCQ4、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交CD 于点F ，那么当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式。
全等之一线三等角模型(含答案)
全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则 ．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则 ； （填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案【模型说明】 C D E BA应用：通过证明全等实现边角关系的转化 便于解决对应的几何问题；【例题精讲】例1．（基本“K ”型）如图 一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°） 若OA ＝50cm OB ＝28cm 则点C 离地面的距离是____ cm ．【答案】28【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D 如图∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB 90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．例2.（特殊“K ”型）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1 当90α=︒时 猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2 当0180α<<︒时 问题（1）中结论是否仍然成立？如成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由；(3)应用：如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC =,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和． 【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立 理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】（1）解：DE ＝BD +CE 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90° ∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90° ∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴AD ＝CE BD ＝AE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴BD ＝AE AD ＝CE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴S △ABD ＝S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC ＝12BC •h ＝12 S △ABF ＝12BF •h∵BC ＝3BF∴S △ABF ＝4∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．例3.（“K ”型培优）已知：ABC 中 90ACB ∠=︒ AC CB = D 为直线BC 上一动点 连接AD 在直线AC 右侧作AE AD ⊥ 且AE AD =．（1）如图1 当点D 在线段BC 上时 过点E 作EH AC ⊥于H 连接DE ．求证：EH AC =； （2）如图2 当点D 在线段BC 的延长线上时 连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时 连接BE 交直线AC 于M 若25AC CM = 请求出ADB AEMS S △△的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【详解】证明（1）∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAH CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAH ADC ∴∠=∠在AHE 与DCA △中 90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHE DCA AAS ∴△≌△ EH AC ∴=； （2）如图2 过点E 作EN AC ⊥ 交CA 延长线于N∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS 则BM EM =； （3）如图 当点D 在线段BC 上时∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =由（1）得：AHE DCA △≌△ 则AH CD = 5===EH AC BC a由∠90EHM BCM ∠=∠=︒ BMC EMH ∠=∠ ∠MHE MCB △≌△（AAS ） ∠CM HM = 即2HM CM a == ∠522AH AC CM HM a a a a =--=--= ∠3AM AH HM a CD AH a ==5EH AC a == 4BD BC CD a =-= 11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EH a a ； 如图 点D 在CB 延长线上时 过点E 作EN AC ⊥ 交AC 延长线于N∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =∠EN AC ⊥ AE AD ⊥ ∠90ANE EAD ACB ∠=∠=∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= AN CD = 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ∠2==CM NM a 5NE BC AC a === ∠9AN AC CM MN a =++=7AM AC CM a =+= 9AN CD a == ∠4BD a = 11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a 点D 在BC 延长线上 由图2得：AC CM < ∠25AC CM =不可能 故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【变式训练1】如图 90,ABC FA AB ∠=⊥于点A 点D 在直线AB 上,AD BC AF BD ==．(1)如图1 若点D 在线段AB 上 判断DF 与DC 的数量关系和位置关系 并说明理由；(2)如图2 若点D 在线段AB 的延长线上 其他条件不变 试判断（1）中结论是否成立 并说明理由．【答案】(1)DF =DC DF ∠DC ；理由见解析；(2)成立 理由见解析【解析】（1）解：∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90ABC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．（2）∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90DBC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．【变式训练2】在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时．∠请说明ADC CEB △≌△的理由；∠请说明DE AD BE =+的理由；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出等量关系 并予以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)∠理由见解析；∠理由见解析(2)DE AD BE =- 证明见解析(3)DE BE AD =-【解析】(1)解：∠∠AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90ACB ∠=︒ ∠90ACD BCE ∠+∠=︒90ACD DAC ∠+∠=︒ ∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DC CE DE += ∠AD EB DE +=(2)结论：DE AD BE =-∠BE EC ⊥ AD CE ⊥∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90EBC BCE ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ACE BCE ∠+∠=︒∠ACD EBC ∠=∠∠ADC CEB △≌△∠AD EC = CD BE =∠DE EC CD AD EB =-=-(3)结论：DE BE AD =-∠90ACB ∠=︒∠90ACD BCE ∠+∠=︒∠BE MN ⊥ AD MN ⊥∠90ADC DEC ∠=∠=︒∠90ACD DAC ∠+∠=︒∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DE CD EC EB AD =-=-．【变式训练3】（1）如图1 在∠ABC 中 ∠BAC ＝90° AB ＝AC 直线m 经过点A BD ∠直线m CE ∠直线m 垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2 将（1）中的条件改为：在∠ABC 中 AB ＝AC D 、A 、E 三点都在直线m 上 并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α 其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立 请给出证明；若不成立 请说明理由．（3）拓展应用：如图3 D E 是D A E 三点所在直线m 上的两动点（D A E 三点互不重合） 点F 为∠BAC 平分线上的一点 且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形 连接BD CE 若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC 求证：∠DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立 理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：BD ⊥直线m CE ⊥直线m 90BDA CEA ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒ 90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立 理由如下：α∠=∠=BDA BAC180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒ ∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒ ∠CAE ABD ∠=∠∠()ADB CEA AAS ∆∆≌ ∠AE BD =∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∠FBD FAE ∠=∠∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ） ∠,FD FE BFD AFE =∠=∠∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∠∠DFE 是等边三角形．【课后作业】1．如图是高空秋千的示意图 小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低点B 最终荡到最高点C 处 若90AOC ∠=︒ 点A 与点B 的高度差AD ＝1米 水平距离BD ＝4米 则点C 与点B 的高度差CE 为（ ）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】B【详解】解：作AF∠BO于F CG∠BO于G∠∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ∠AOF+∠OAF=90° ∠∠COG=∠OAF在∠AOF与∠OCG中AFO OGCOAF COGAO OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOF∠∠OCG（AAS） ∠OG=AF=BD=4米设AO=x米在Rt∠AFO中 AF2+OF2=AO2即42+（x-1）2=x2解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．2．如图 ∠ABC＝∠ACD＝90° BC＝2 AC＝CD则△BCD的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图作DE垂直于BC的延长线垂足为E∠90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒ ∠BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中 ∠90BAC DCE ABC CED AC CD ∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∠()ABC CED AAS ≌ ∠2BC DE == ∠122BCD S BC DE =⨯⨯= 故答案为：2．3．如图 ABC 为等边三角形 D 是BC 边上一点 在AC 上取一点F 使=CF BD 在AB 边上取一点E 使BE DC = 则EDF ∠的度数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．70【答案】C 【详解】∠ABC 是等边三角形 ∠∠B=∠C=60°在∠EDB 和∠DFC 中 60BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠EDB ∠∠DFC ∠∠BED=∠CDF ∠∠B=60° ∠∠BED+∠BDE= 120° ∠∠CDF+∠BDE= 120°∠∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE ）=180°-120°=60°.故选C.4．已知∠ABC 中 ∠ACB =90° AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直 且垂足分别为D E ．学习完第十二章后 张老师首先让同学们完成问题1：如图1 若AD =2.5cm DE =1.7cm 求BE 的长；然后 张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部 BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变 如图2 猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系 并给予证明．【答案】BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【详解】解：如图1 ∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE =2.5cm BE =CD∠DE =1.7cm ∠BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ∠BE 的长为0.8cm ；如图2 DE =AD +BE 理由如下：∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90° ∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE BE =CD ∠DE =AD +BE ．5．如图 在ABC 中 AB BC =．（1）如图∠所示 直线NM 过点B AM MN ⊥于点M ⊥CN MN 于点N 且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示 直线MN 过点B AM 交MN 于点M CN 交MN 于点N 且AMB ABC BNC ∠=∠=∠ 则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由见解析【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥ ⊥CN MN∠90AMB BNC ∠=∠=︒ ∠90ABM BAM ∠+∠=︒∠90ABC ∠=︒ ∠90ABM CBN ∠+∠=︒ ∠BAM CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = BM CN = ∠BN MB MN += ∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∠AMB ABC ∠=∠ ∠MAB CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = NC MB =∠MN MB BN =+ ∠MN AM CN =+．6．如图 在∠ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线l 经过顶点C 过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时∠求证：∠EAC ＝∠BCF ．∠猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转 使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合） 请你探究直线l EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）∠证明见解析 ∠EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【详解】（1）证明：∠∵AE ⊥EF BF ⊥EF ∠ACB ＝90°∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°∴∠EAC +∠ECA ＝90° ∠ECA +∠FCB ＝90° ∴∠EAC ＝∠FCB∠EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中 AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△FCB （AAS ）∴CE ＝BF AE ＝CF∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF即EF ＝AE +BF ；（2）∠当AD ＞BD 时 如图①∵∠ACB ＝90° AE ⊥l 直线同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）又∵AC ＝BC BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE CE ＝BF∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF∴AE ＝BF +EF ；∠当AD ＜BD 时 如图②∵∠ACB ＝90° BF ⊥l 直线同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）又∵AC ＝BC BE ⊥l 直线 即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE BF ＝CE∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ∴BF ＝AE +EF ．7．（1）某学习小组在探究三角形全等时 发现了下面这种典型的基本图形．如图1 已知：在ABC 中 90BAC ∠=︒ AB AC = 直线l 经过点A BD ⊥直线l CE ⊥直线l 垂足分别为点D E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想 如果三个角不是直角 那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在ABC 中 AB AC = D A E 三点都在直线l 上 并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠= 其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神 并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3 过ABC 的边AB AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△ 则AEI S =△______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立 理由见解析；（3）3.5【详解】解：（1）证明：如图1中 ∠BD ∠直线l CE ∠直线l∠∠BDA =∠CEA =90°∠∠BAC =90°∠∠BAD +∠CAE =90°∠∠BAD +∠ABD =90°∠∠CAE =∠ABD在∠ADB 和∠CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中∠∠BDA =∠BAC =α∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α∠∠DBA =∠CAE在∠ADB 和∠CEA 中BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3 过E 作EM ∠HI 于M GN ∠HI 的延长线于N ．∠∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∠EM =GN在∠EMI 和∠GNI 中GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠EMI ∠∠GNI （AAS ）∠EI =GI∠I 是EG 的中点．∠S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．8．如图 在∠ABC 中 AB ＝AC ＝2 ∠B ＝∠C ＝40° 点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合） 连接AD 作∠ADE ＝40° DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时 ∠EDC ＝ ° ∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时 ∠BDA 逐渐变 ．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时 ∠ABD ∠∠DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中 ∠ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以 请直接写出∠BDA 的度数；若不可以 请说明理由．【答案】（1）35105︒︒， 小；（2）2 理由见解析；（3）110︒或80°【详解】（1）40B C ∠=∠=︒ 40ADE ∠=︒1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒BAD EDC ∴∠=∠ ADB DEC ∠=∠∴当∠BDA ＝105°时∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时 BAD ∠逐渐变大 180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 则∠BDA 逐渐变小故答案为：35105︒︒，小； （2）BAD EDC ∠=∠ ADB DEC ∠=∠当DC AB =2=时 ABD DCE ∴≌（AAS ） 2DC ∴=（3）∠ADE 的形状可以是等腰三角形 BDA ∠=110︒或80︒40B C ∠=∠=︒ 1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒∠当DA DE =时 ()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒ 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；∠当EA ED =时 ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠当AE AD =时 ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒100BAC ∠=︒∴此时D 点与B 点重合由题意可知点D 不与点B 、C 重合∴此种情况不存在综上所述当∠ADE是等腰三角形时BDA∠=110︒或80︒．9．如图线段AB=6 射线BG∠AB P为射线BG上一点以AP为边做正方形APCD且点C、D与点B在AP两侧在线段DP上取一点E使得∠EAP=∠BAP直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：△AEP∠∠CEP；（2）判断CF与AB的位置关系并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值若是请求出这个定值若不是请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）CF∠AB理由见解析；（3）是为16．【详解】解：（1）证明：∠四边形APCD 正方形 ∠DP平分∠APC PC=P A ∠APC=90°∠∠APE=∠CPE=45°在∠AEP与∠CEP中AP CPAPE CPEPE PE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AEP∠∠CEP（SAS）；（2）CF∠AB理由如下：∠∠AEP∠∠CEP ∠∠EAP=∠ECP∠∠EAP=∠BAP ∠∠BAP=∠FCP ∠∠APC=90° ∠∠FCP+∠CMP=90° ∠∠AMF=∠CMP ∠∠AMF+∠P AB=90° ∠∠AFM=90° ∠CF∠AB；（3）过点C作CN∠PB．∠CF∠AB BG∠AB ∠∠PNC=∠B=90° FC∠BN∠∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠P AB又AP=CP ∠∠PCN∠∠APB（AAS） ∠CN=PB=BF PN=AB∠∠AEP∠∠CEP ∠AE=CE∠∠AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．故∠AEF的周长是否为定值为16．。
(完整版)一线三等角专题训练
一线三等角问题一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。
求证：△ABC ∽△CEDB EADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）AB DCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．FD CD (备用图)（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。
变式练习1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。
变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ⋅=；FE CBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，42BC =，∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .\第18题EFDCBA例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为()1,3-（1） 求点B 的坐标；（2） 若抛物线c bx ax y ++=2经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。
一线三等角模型综合题解
【例 1 】已知正方形 AB CD 和等腰R t△BEF， BE=EF，∠ B E F =90°，按图① 放置，使点 F 在B C 上，取 DF 的中点 G，连接 E G、 CG．( 1 ) 探索 E G、 CG 的数量关系和位置关系并证明；(2) 将图① 中△ BEF 绕 B 点顺时针旋转45°，再连接 DF，取 DF 中点 G (如图② )，问 1 ) 中的结论是否仍然成立．证明你的结论；((3) 将图① 中△ BEF 绕 B 点转动任意角度 (旋转角在0°到90° 之间) ，再连接 DF，取DF 的中点 G ( 如图③ ) ，问 ( 1 ) 中的结论是否仍然成立，证明你的结论．【例 2】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作∠EMF=∠B，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF 交腰 CD 于点 F，连接 EF．(1)求证：△MEF∽△BEM；(2)若△BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；(3)若 EF⊥CD，求 BE 的长．【例 3】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点 P 由 B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 t(s)(0＜t＜5)．解答下列问题：(1)当 t 为何值时，PE∥AB；(2)设△PEQ 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式；2(3)是否存在某一时刻 t，使 S△PEQ= S△BCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；25(4)连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．【例 4】在直角梯形 OABC 中，CB ∥OA，∠COA=90°，CB=3， OA=6， BA= 3 5 ．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求点 B 的坐标；(2)已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD=5，OE=2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F，求直线 DE 的解析式；(3)点 M 是(2)中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．【问题情境】如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点，AE 平分∠DAM．【探究展示】(1)证明：AM=AD+MC；(2)AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．阅读理解：如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合)，分别连接 ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点．解决问题：(1)如图 1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E；拓展探究：(3)如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处．若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系．。
一线三等角模型经典例题
一线三等角模型经典例题英文回答：The one-to-one correspondence between three lines and three angles is a fundamental concept in geometry. In aone-to-one correspondence, each line corresponds to a unique angle, and vice versa. This concept is often illustrated using the classic example of an equilateral triangle.In an equilateral triangle, all three sides are equalin length, and all three angles are equal in measure. Let's call each angle A, B, and C. According to the one-to-one correspondence, line AB corresponds to angle C, line BC corresponds to angle A, and line AC corresponds to angle B.To further understand this concept, let's consider an example. Imagine you have an equilateral triangle with side length 5 units. According to the one-to-one correspondence, each angle will measure 60 degrees. So, angle A, angle B,and angle C will all be 60 degrees.Now, let's say we want to find the measure of angle A. According to the one-to-one correspondence, angle A corresponds to line BC. Since all sides of the equilateral triangle are equal, line BC will also have a length of 5 units. We can use the formula for the measure of an anglein a triangle to find the measure of angle A. The formula is: angle measure = (side length opposite to the angle / length of the side) 180 degrees. Plugging in the values, we get: angle A = (5 / 5) 180 = 180 degrees.Similarly, we can find the measures of angle B and angle C using the one-to-one correspondence. Angle B corresponds to line AC, and angle C corresponds to line AB. By plugging in the values into the formula, we find that both angle B and angle C also measure 180 degrees.In conclusion, the one-to-one correspondence between three lines and three angles in a one-line three-angle model is a fundamental concept in geometry. It allows us to determine the measure of an angle by corresponding it to aline in the model. This concept is often illustrated using the example of an equilateral triangle. Understanding this concept is crucial for solving geometry problems involving angles.中文回答：一线三等角模型中的一一对应关系是几何学中的基本概念。
一线三等角例题
一线三等角例题《神奇的“一线三等角”》嘿！同学们，你们知道“一线三等角”吗？这玩意儿可有意思啦！那天上数学课，数学老师像往常一样拿着三角板走进教室。
他一脸神秘地在黑板上画了一条线，然后又在线的同一侧画了三个角。
我当时就懵了，这是啥呀？老师笑着问我们：“同学们，猜猜看，这三个角之间有啥关系？”大家都皱着眉头，苦思冥想。
我同桌小声嘟囔着：“这能有啥关系？这不就是随便画的嘛！”我白了他一眼说：“你可别瞎说，老师能随便画吗？肯定有玄机！”老师看着我们疑惑的样子，开始给我们讲解。
“同学们，你们看，这三个角就像是三个好朋友，虽然长得不太一样，但是它们之间有着紧密的联系哟！”老师一边说，一边用手指着黑板上的图形。
我努力地听着，眼睛紧紧盯着黑板，生怕错过一点细节。
突然，我好像有点明白了，“哎呀，老师，是不是这样……”我迫不及待地举手发言。
老师点了点头，说：“不错，有点意思了！但是还不完全对。
”我有点沮丧，心里想：这也太难了吧！旁边的学习委员这时站起来说：“老师，我觉得应该是这样……”老师高兴地说：“太棒了，就是这样！”我心里那个羡慕呀，暗下决心：我一定要把这个“一线三等角”搞明白！接下来，老师又给我们出了几道例题，让我们自己去琢磨。
我和同桌一起讨论，“你说这道题该咋做？”“我觉得应该先这样……”我们俩争得面红耳赤。
经过一番努力，我们终于做出了几道题，那种成就感，简直无法形容！这“一线三等角”就像是一个神秘的宝藏，等着我们去挖掘。
它看起来复杂，但是只要我们用心去探索，就一定能找到其中的奥秘。
你们说，数学是不是很神奇？就像一个充满惊喜的大迷宫，每一个角落都藏着有趣的问题和答案。
“一线三等角”不就是这样吗？它让我们在思考中成长，在探索中收获快乐！所以呀，我觉得只要我们勇于挑战，不怕困难，数学的世界里就有无数的精彩等着我们！。
中考数学几何专题——一线三等角模型
一线三等角模型模型识别:条件：左图：N ABC=N ACE=N CDE=90°中图：N ABC=N ACE=N CDE=60°右图：N ABC=N ACE=N CDE=45° 结论：所有图形都存在的结论①△ABCFCDE；② AB X DE=BC X CD另外：一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
题型一：三直角1、如下左图，a ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A,N D=N E=90°,则下列结论正确的是_______ .① CD=AE；②N1=N2；③N3=N4；④ AD=BE2、如上右图，AB±BC, CD L BC,垂足分别为B、C, AB=BC, E为BC的中点，且AE±BD 于F,若CD=4cm,则U AB的长度为.3、如下左图，已知图中4条直线互相平行，相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos =.4、如上右图，AE X AB且AE=AB, BC±CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围城的面积S是_____ .5、如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为____ .6、如图，^ABC中，N ABC=90°, AB=BC,m角形的顶点在相互平行的三条直线11, 12> 13 上，且11,12之间的距离为1,12、13之间的距离为3(1)求AC的长(2)点B到AC的距离7、如图，在^ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt A ABE和等腰Rt^ACF,连接EF,过点A作AD L BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M,证明：EM=FM.8、在^ABC 中 N C=90°, AC=4, BC=3, O 是AB 上的一点，且A0 = 2,点P 是AC 上的一AB 5个动点，PQ X OP交线段BC于点Q,(不与点B、C重合)，设AP=x, CQ=y，试求y关于x 函数关系式。
专题相似复习一线三等角
（3）QＣ＝ＱP时 ，△BPC∽ △BCA
A
C Q
P
B
例3、如图，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原 点，边OA，OC分别在x轴、y轴的1 正半轴上， OA∥BC，D是BC上一点，BD= O4 A= ，2 AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、 AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°． （1）直接写出D点的坐标；
A
E E
B D
C
B
D
C
当α为锐角时：
小
A
结
D
一
E
线
三
B
P
C
等
当α为直角时：
角
D
E
类
型
B
P
C
当α为钝角时：
E
F
B
P
C
A
E
B P
C
例题讲解
例1：等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°， P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板， 使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、 F时．求证：△BPE～△CFP；
3、如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P在 斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以点P为顶点作 ∠CPQ=45°，射线PQ交BC边与点Q，△CPQ能否是等腰三角 形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试说明理由。
分类讨论（１）ＣＰ＝ＣＱ 时， ∠CQP>∠B, ∴不可能
1、如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°， ∠B=90°，∠DEC=90°，试说明AD，AE，BE， BC之间的关系。
中考数学几何模型专题4一线三等角模型(老师版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时．（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BPD ．（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BPD ．2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时．如图，则有△ACP ∽△BPD ．3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时．如图，则有△ACP ∽△BPD ．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE =BD +CE ．321DB P A C3C DB P A 321CP DB A 321CD BA P（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7，则S△AEI=______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知△BAD+△CAE=180°-α，且△DBA+△BAD=180°-α，可得△DBA=△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI△△GNI，可得出结论I是EG的中点．【详解】解：（1）证明：如图1中，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA=△CEA=90°，△△BAC=90°，△△BAD+△CAE=90°，△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC，△△ADB△△CEA（AAS），△AE=BD，AD=CE，△DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中，△△BDA=△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°-α，△△DBA=△CAE，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAEAB=AC，△△ADB△△CEA（AAS），△AE=BD，AD=CE，△DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3，过E作EM△HI于M，GN△HI的延长线于N．△△EMI=△GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN△EM=GN在△EMI和△GNI中，{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI，△△EMI△△GNI（AAS），△EI=GI，△I是EG的中点．△S△AEI=12S△AEG=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0<α<180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE 的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，。
专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)
专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。
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“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用
一、“一线三等角”模型的提炼
例1、（2015 年山东·德州卷）
(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.
变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究
如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1
和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作
D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．
( 2) 拓展延伸
1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1
，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．
2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
二、添加辅助线后运用基本图形
例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC 上，若CE=5，求CD的长。
例2、( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．
例3、如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。
三、应用举例
1、等腰三角形底边上的一线三等角
例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似
的三角形。
(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重
合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。
(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的
长。
例2、如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．
( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;
( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;
( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应
x 的值; 若不能，请说明理由．
【例3】（2012四川·成都卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）
6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、
F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
2、四边形中的一线三等角
例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，
且始终保持AM ⊥ MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值
例2
例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，BC = 4AD = 4 2，∠B = 45°，点 E、F 分别在边BC、CD 上移
动，且∠AEF = 45°，则点E 移动过程中，线段AF 长 的最小值是（ ）
例4．如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段
AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =． ⑴ 求y 与x 的函数表达式；
⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
例4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，
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tan =
∠CAD ，CA =CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y .
（1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.
F C
B
D
A
E
Ａ Ｅ Ｄ Ｆ
Ｃ Ｂ
3、函数问题中的一线三等角．
例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结OA，过点O 作OB ⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB 为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为－1/2时，求点B 的坐标．
例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = － 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3，6) ．若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ，点D( m，0 ) 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE = ∠BED = ∠AOD．试探究: m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个?。