江苏省南通市海安高级中学2016-2017高一下期末数学试题

2016-2017学年末学业质量监测

高一数学

参考公式：锥体的体积1

3

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高.

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.函数sin 23y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的最小正周期为__________． 2.已知集合{}{}|11,1,0,2A x x B =-<<=-，则A B =___________．

3.函数y =___________．

4.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的大小为_________．

5.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm ，则该棱锥的体积为__________3cm .

6.设,a b 为单位向量，且,a b 的夹角为

23

π

，则()a b b +的值为_________. 7.已知方程24x x =-的根在区间()(),1k k k Z +∈上，则k 的值为_________． 8.

()10

1

2

3n

n =+∑的值为_________．

9.在正方体1111ABCD A B C D -中，与1A C 垂直的面对角线的条数是___________． 10.设函数()(),1x

f x ka k R a -=∈>的图象过点()()0,8,3,1A B ，则lo

g a k 的值为

__________．

11.如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为__________．

12.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.

13.已知sin cos 4cos sin 055

ππαα-=，则sin 53cos 10παπα⎛

⎫- ⎪

⎝⎭⎛⎫- ⎪

⎝

⎭的值为 ．

14.已知正数,x y 满足11410x y x y +

++=，则11

x y

+的最大值为 ． 二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别在棱11,BC B C 上（均异于端点），且

111,AD C D A E C D ⊥⊥.

（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ； （2）求证：1//A E 平面1ADC .

16.设,OA OB 不共线，且(),OC aOA bOB a b R =+∈. （1）若12

,33

a b =

=，求证：,,A B C 三点共线； （2）若,,A B C 三点共线，问：a b +是否为定值？并说明理由. 17. 已知ABC ∆的外接圆的半径为1，A 为锐角，且3

sin 5

A =. （1）若2AC =，求A

B 的长；

（2）若()1

tan 3

A B -=-

，求tan C 的值. 18. 某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1

万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）()20.4 4.20.8,059

14.7,53x x x P x x x ⎧-+-<≤⎪

=⎨->⎪

-⎩

. （1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润； （2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？

（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）

19. 设a 为实数，函数()()2,f x x x a a x R =---∈. （1）求证：()f x 不是R 上的奇函数；

（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；

（3）若函数()f x 在区间[]2,2-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围. 20.设等差数列{}n a 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n 项和为n S ，数列

{}n b 满足*1,n n n

S

b n N a =-∈.

（1）若255,40a S ==，求2b 的值； （2）若数列{}n b 为等差数列，求n b ；

（3）在（1）的条件下，求证：数列{}n a 中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.

试卷答案

一、填空题

1. π

2. {}0

3. []3,4-

4. 3π12 7. 1 8. 2076

9. 6 10. 3 11.

17 12. 8 13. 3

5

14. 9 二、解答题

15. 证明：

（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以

1CC AD ⊥．

又1AD C D ⊥，1

11CC C D C =，11,CC C D ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，

又AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；

（2）因为11A E C D ⊥，由（1）同理可得，1A E ⊥平面11BCC B ， 又由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A E AD ，

又1A E ⊄平面1ADC ，AD ⊂平面1ADC ， 所以1//A E 平面1ADC ． 16．证明：（1）当12,33a b ==时，12

33

OC OA OB =+， 所以

()()

21

33

OC OB OA OC -=-， 即2BC CA =， 所以//BC CA ，