信号与系统第二章
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统 第二章repeat
④
0
e2t
k
2 t 4 e d t 2 dt e d t 2 k dt 0
19
课堂练习：计算下列各式
sin 2t sin 2t dt 4d t ① 2d t dt 4 d t dt 4 t 2t
t 设齐次解: ht C1e U t C2d t
代入方程: C1etU t C1d t C2d t C1etU t C2d t 2d t 比较系数: C1 C2 0, C2 2, C1 2 所以:
ht 2etU t 2d t
25
课堂练习
1. 已知激励为零时刻加入，求该系统的零输入响应。(2.13)
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ),
yx (t ) (2et e2t )U (t )
y(0 ) 1, y(0 ) 0
2C1 C2 2C3 1 C1 C2 3C3 2C4 0 C3 3C4 0 C4 1, C3 3, ht 7e2tU t 3d t d t
f t d t t0 dt f t0 f t d ( n) t t0 dt (1)n f ( n) t0
（2）相乘性质：
f t d t f 0 d t f 0 d t
2. 已知 yt 3 yt 2 yt f t f t ,
3. 4.
求 ht .
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) f (t ) y(t ) 7 y(t ) 12 y(t ) f (t )
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
信号与系统第二章习题与答案
第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。
分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
《信号与系统》第二章总结
其中零状态响应rzs (t )由初始态为零时的方程求解而定 即rzs (t ) = rzsh (t ) + rzsp (t )
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
信号与系统第二章
1.3 复指数信号与正弦信号
（Exponential and Sinusoidal Signals ）
一. 连续时间复指数信号与正弦信号 连续时间正弦信号 (周期信号)
ω ω0 为频率，Φ为相位， 0=2π/T0
x(t)=Asin(ω0 t + Φ)
∃ T0 , s.t. x(t + T0 ) = x(t) Asin(ω0 (t + T0 ) + φ) = Asin(ω0t + φ) ∴ω0T0 =2π
离散时间信号的频率表示为 ω0 ，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，因此，离散 时间虚指数信号也不一定是关于n的周期信号。
3. 一般复指数信号：
x[n] = Cα n
令 C = C e jθ α = α e jω0 则
x[n] = C α en j(ω0n+θ )
= C ⋅ α n ⋅[cos(ω0n +θ) + j sin(ω0n +θ)] 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦 序列。
k =－∞
k =0
δ[n − k]
1
• • • •••• •• • k
n
δ [n]具有提取信号 x[n]中某一点的样值的作用。 x[n]δ [n] = x[0]δ [n] x[n]δ [n − n0 ] = x[n0 ]δ [n − n0 ]
5
二. 连续时间单位阶跃与单位冲激
1. 单位阶跃 u(t)
可见,只有当 2π/ Ω0为有理数时, sinΩ0n才是周期信号. 周期为？？
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
（Exponential and Sinusoidal Signals ）
一. 连续时间复指数信号与正弦信号 连续时间正弦信号 (周期信号)
ω ω0 为频率，Φ为相位， 0=2π/T0
x(t)=Asin(ω0 t + Φ)
∃ T0 , s.t. x(t + T0 ) = x(t) Asin(ω0 (t + T0 ) + φ) = Asin(ω0t + φ) ∴ω0T0 =2π
离散时间信号的频率表示为 ω0 ，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，因此，离散 时间虚指数信号也不一定是关于n的周期信号。
3. 一般复指数信号：
x[n] = Cα n
令 C = C e jθ α = α e jω0 则
x[n] = C α en j(ω0n+θ )
= C ⋅ α n ⋅[cos(ω0n +θ) + j sin(ω0n +θ)] 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦 序列。
k =－∞
k =0
δ[n − k]
1
• • • •••• •• • k
n
δ [n]具有提取信号 x[n]中某一点的样值的作用。 x[n]δ [n] = x[0]δ [n] x[n]δ [n − n0 ] = x[n0 ]δ [n − n0 ]
5
二. 连续时间单位阶跃与单位冲激
1. 单位阶跃 u(t)
可见,只有当 2π/ Ω0为有理数时, sinΩ0n才是周期信号. 周期为？？
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
信号与系统(第二章)
•但由于自变量 的系数不同， 但由于自变量t 的系数不同， 但由于自变量 则达到同样函数值2的时间不同。 则达到同样函数值 的时间不同。 的时间不同 •时间变量乘以一个系数等于改 时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。 变观察时间的标度。
1
O
f (2t ) 2 1
O
T 2
t
2T
t
, a > 1 压缩保持信号的时间缩短 f (t ) → f (at ) , 0 < a < 1 扩展保持信号的时间增长
13 页
τ < 0，左移 超前 超前) ，左移(超前
例：
f (t ) 1
−1 O t −1 O
f(t+1)的波形？ 的波形？ 的波形
ft) f ((t+ 1)
1 t
1
1
宗量相同，函数值相同， 宗量相同，函数值相同，求新坐标
t = 0 t +1 = 0 t = −1 f (t ) = 1 f (t +1) = 1 f (t +1) = 1
X
O
t
第
欧拉(Euler)公式
1 jωt −jωt sin(ωt ) = e − e 2j
1 jωt −jωt cos(ωt ) = e + e 2
7 页
(
)
(
)
e
jω t
= cos(ωt ) + jsin(ωt )
X
第
6．复指数信号
f (t ) = Kest = Keσ t cos(ω t ) + jKeσt sin(ω t ) (−∞< t < ∞)
宗量3t+5 宗量
信号与系统-第二章线性时不变系统
n
1
k
f1 (k )
f2 (0
k)
3,
k
f1 (k )
f2 (1 k)
3,
n0 n 1
k
f1 (k )
f2(2 k)
1,
0,
n2 n14 3
三. 卷积和的计算：(3)列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n与) 的h(所n)有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
(t)
1
/ 0
0t otherwise
则有：
(t
)
1 0
0t otherwise
21
第 个k 矩形可表示为： x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x，(t)
即： x (t) x(k) (t k) k 当 时0 ， k d
un 4 ak
an3
1un 4
k 0
a 1
9
例4： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
u(n) n k 1 n1 u(n)
例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
信号与系统第二章 总结
第二章 总结一﹑LTI 连续系统响应（一）微分方程经典解法=解开方式：全解y （t ）=通解）（特解）（t y t y p n + 1﹑通解（齐次解）：令右侧为零由特征方程n a +n λ1-n a +1-n λ…+0a a 01=+λ确定通解形式，再由n 个+0初始条件确定系数。
总结：齐次解模式由系统决定，系数由n 个初始条件决定，有时与f （t ）有关。
2﹑特解：函数形式与f （t ）有关，根据f （t ）形式选择特定形式后，代入原微分方程，球的系数。
3﹑全解：） y （t ）=）（）（t y t y p n + 响应。
）又称强迫响应或受迫（响应；）又称自由响应或固有（t y t y p n (二)初始条件与-00+（1）经典系统的响应应限于到正无穷范围。
+0（2）不能将{）（-n 0y }作为微分方程初始条件。
（3）{）（+0y n }由{）（-n 0y }导出，{）（+0y n }又称导出初始条件。
（三）零输入响应与零状态响应y （t ）=）（）（t y t y zs zi + 定义求解：（1）求解zi y ：微分方程→特征方程→特征根→zi y （t ）模式→数由{）（-n 0y }确定。
（2））（t y zs 求解：经典法﹑卷积积分法。
二﹑卷积积分卷积积分及其图解计算（1）定义： （2）图解计算：∑=n 1i i i t y a ）（）（∑=m 1j j j t f b ）（）（()()()τττd 21⎰∞∞--=t f f t f ττ ),()(.111积分变量改为f t f →)()()()(.22222τττ-−−→−-−−→−→t f f f t f 平移翻转τττd )(.)(.321-⎰∞∞-t f f 乘积的积分：总结：翻卷（翻转+平移）→乘积→积分三﹑卷积的性质：（一）卷积的代数性质：（1） 交换性：（2） 分配性：（3） 结合律： (二)延时特性：卷积的延迟量等于相卷积的两函数卷积之和（三）函数与冲激函数卷积)()()(t f t t f =*δ卷积奇偶性：同偶异奇（四）卷积的导数与积分：1﹑卷积导数：[）（）（t f t f 21*]´=）（）（t f t f 21*´=）（）（，t f t f 21* 推广：）（）（）（）（）（）（t f t f t f t f n 2n 121-*=* 2、卷积积分）（）（）（）（）（）（t f dx x f dx x f t f dx x f x f 2t 1t 212t 1*=*=*⎰⎰⎰∞-∞-∞- 若y （t ）=）（）（t f t f 21*，则）（）（）（）（）（）（t f t f t y j -i 2j 1i *= （五）相关函数dt t f t f dt t f t )()()(f R 212-112•+=-•=⎰⎰∞∞-∞∞τττ）（）（ dt t f t f dt t f t )()()(-f R 212-121τττ+•=•=⎰⎰∞∞-∞∞）（）（ )-(R 2112ττR =）（ ）（）（ττ-R R 1221=自相关函数：若）（）（）（t f t f t f 21==，则R （τ）称为自相关函数。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
信号与系统第二章
0
0
y '' zs ( t ) d t
0
0
y ' zs ( t ) d t
0
0
y zs ( t ) d t 2 6
0
0
(t ) d t
2.2
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)] 例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。
f ( )
f ( )
fˆ (t )
…
f(0)
“1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 0 1 2 … -1 △，用p(t - △)表示为： f(△) △ p(t - △) “-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为： f ( - △) △ p(t + △) 这些脉冲的和近似的等于f(t) ˆ f (t ) f (n)p (t n)
g
( j)
(0 ) 0, j 0,1, 2...n 1
由于等号右端只含ε(t)，故除g(n)(t)外，其他各阶导数均 ( j) ( j) 连续 g (0 ) g (0 ) 0, j 1, 2..., n 1 由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故 t g(t)= T [ε(t) ，{0}] g ( t ) h ( ) d
信号与系统 第二章 线性时不变系统的时域分析
r
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
《信号与系统》第二章讲
第二章 连续时间系统的时域分析2.1 系统模型为便于对系统进行分析，需要建立系统的模型，在模型的基础上可以运用数学工具对系统进行研究。
一. 模型：模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
由电路图可列出方程：dt t de C t i dt t di RC dtt i d LC t e t Ri dt t di L dt t i Ct)()()()()()()()(122=++=++⎰∞-即：这就是系统的数学模型。
二. 系统模型的建立是有一定条件的：1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。
（参考书中P29）2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到形式上完全相同的数学模型。
（参考书中P29）建立系统模型只是进行系统分析工作的第一步，为求得给定激励条件下系统的响应，还应当知道激励接入瞬间系统内部的能量储存情况。
如果系统数学模型、起始状态以及输入激励信号都已确定，即可运用数学方法求解其响应。
一般情况下我们对所求得结果可以作出物理解释赋予物理意义。
综上所述，系统分析的过程，是从实际物理问题抽象为数学模型，经过数学解释后再回到物理实际的过程。
也即：建立数学模型解数学模型对解加于物理解释三. 时域分析方法时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的函数。
（1）经典方法：求解微分方程（2）卷积积分法（重点内容）2.2 线性时不变系统微分方程的建立分析对象：线性的、时不变系统（非时变系统）教学目标：熟练掌握建立线性系统的微分方程的方法。
重点：电路系统建立微分方程的基本依据。
难点：用网孔电流法及节点电位法列状态方程。
一.一. 电路系统建立微分方程的基本依据1.元件特性约束（电路元件的伏安特性）（1）电阻器：-R由欧姆定律：)( )()(1)(tiRtutuRtiRRRR⋅==或若电阻特性参数与时间无关，即R与流过电阻器的电流或施加的电压大小无关，则此电阻称为时不变电阻或线性电阻。
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第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)
1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
t
f2 (t ) (t ) (t 2)
求 g (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1 0 1 2 f2(t-)
（1）、图解法
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
t d K f (t ) K f ( )d dt
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2 f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f
( 1) 2 t (t ) e ( ) d e d (t ) e 0 t t 0
f1( ) 1 f2(1-) 2 c
f1( ) 1 f2(2-) 2 c
f1( )
f2(3-)
2
-1
0
f1() f2(-)
0
1
0
1
0
f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0
0 1 c
g(t)
0
2
0
1
2
t
以上可以归纳为下列情况：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积 分限 t-2t，g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
f1 ( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t
c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t
f1( ) 1 f2(-) c 2 c 1
= ε(t)+(-t+2)ε(t-2)-(-t+3)ε(t-3)
2.2 卷积积分
2.2.1 卷积的定义
已知定义在区间(-∞，∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，
则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为
指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的 指数变化情况， 0时指数增长， 0 时 指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振 荡的角频率。
【例】：写出下图波形的 函数表示式 解：用基本信号表示为
f(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] +(-t+3)[ε(t-2)-ε(t-3)]
1 0 2 t
f 1(t)
解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
图2：门函数的波形
6、单位斜变信号
0, t 0 (t ) ( )d r (t ) t , t 0
1 t
其中：对一个信号积分记为：
f 1 (t )
f ( )d
t
7. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解: 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K Kf ( )d
K [ f (t )波形的净面积 ]
常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。
如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t )
t
t
f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]
t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
f1(t)
1 2 1
f2(t)
1 3
2.2.3 卷积性质
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn(t ) 2 (t ) 1
8.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其 表示式为: f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。上 式用欧拉公式展开后，有
f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
g (t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2
f1 ( ) f 2 (t )d
jwt jwt
3、指数信号 1）普通指数信号f(t)=a-t 2）复指数信号 f(t)=ejwt 注意复平面上的几个特殊点
欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt)
4、抽样信号 Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(πt)/(πt) =Sa(πt)
特点：
(–1)(t)
f 1(t) 1 0 2 t
(t ) (1 e t ) (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)
2.1 连续时间基本信号
1、奇异信号
阶跃函数ε(t) 和冲击函数δ(t)都是奇异信号。
2、正弦信号
f(t)=Asin(wt+φ) 其中 T=2π/w
A
f (t)
T
o
t
－A
图 2.1 – 1 正弦信号
【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉 公式
e e sin(wt ) 2j jwt jwt e e cos( wt ) 2
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) t 3. f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d ε(t) *ε(t) = tε(t)
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)
1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
t
f2 (t ) (t ) (t 2)
求 g (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1 0 1 2 f2(t-)
（1）、图解法
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
t d K f (t ) K f ( )d dt
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2 f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f
( 1) 2 t (t ) e ( ) d e d (t ) e 0 t t 0
f1( ) 1 f2(1-) 2 c
f1( ) 1 f2(2-) 2 c
f1( )
f2(3-)
2
-1
0
f1() f2(-)
0
1
0
1
0
f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0
0 1 c
g(t)
0
2
0
1
2
t
以上可以归纳为下列情况：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积 分限 t-2t，g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
f1 ( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t
c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t
f1( ) 1 f2(-) c 2 c 1
= ε(t)+(-t+2)ε(t-2)-(-t+3)ε(t-3)
2.2 卷积积分
2.2.1 卷积的定义
已知定义在区间(-∞，∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，
则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为
指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的 指数变化情况， 0时指数增长， 0 时 指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振 荡的角频率。
【例】：写出下图波形的 函数表示式 解：用基本信号表示为
f(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] +(-t+3)[ε(t-2)-ε(t-3)]
1 0 2 t
f 1(t)
解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
图2：门函数的波形
6、单位斜变信号
0, t 0 (t ) ( )d r (t ) t , t 0
1 t
其中：对一个信号积分记为：
f 1 (t )
f ( )d
t
7. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解: 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K Kf ( )d
K [ f (t )波形的净面积 ]
常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。
如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t )
t
t
f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]
t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
f1(t)
1 2 1
f2(t)
1 3
2.2.3 卷积性质
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn(t ) 2 (t ) 1
8.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其 表示式为: f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。上 式用欧拉公式展开后，有
f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
g (t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2
f1 ( ) f 2 (t )d
jwt jwt
3、指数信号 1）普通指数信号f(t)=a-t 2）复指数信号 f(t)=ejwt 注意复平面上的几个特殊点
欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt)
4、抽样信号 Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(πt)/(πt) =Sa(πt)
特点：
(–1)(t)
f 1(t) 1 0 2 t
(t ) (1 e t ) (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)
2.1 连续时间基本信号
1、奇异信号
阶跃函数ε(t) 和冲击函数δ(t)都是奇异信号。
2、正弦信号
f(t)=Asin(wt+φ) 其中 T=2π/w
A
f (t)
T
o
t
－A
图 2.1 – 1 正弦信号
【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉 公式
e e sin(wt ) 2j jwt jwt e e cos( wt ) 2
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) t 3. f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d ε(t) *ε(t) = tε(t)