空间几何中的向量方法

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量
一、空间向量的坐标运算
1． 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则
（1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++； （2）112233(,,)a b a b a b a b -=---； （3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈； （4）112233a b a b a b a b ⋅=++； （5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ⇔===≠∈； （6）1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=； （7
）a ==
（8
）cos ,a b
a b a b ⋅<>=
=
⋅. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=--求,,8,,a b a b a a b +-⋅的坐标.
2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =---
练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1，求向量MN 的坐标.
二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法
利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。

例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC ==求平面ABC 的法向量。

解：设(,,)n x y z =，则由,,n AB n AC ⊥⊥得=0=0n AB n AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即220
453=0x y z x y z ++=⎧⎨++⎩
不妨设1z =，得12=-1
x y ⎧
=⎪
⎨⎪⎩， 取1(,1,1)2n =-
2.矢量积公式
1
111
1
11112222
2
2
22
2(,,),(,,),,,
,y
z x z x y a x y z b x y z a b y z x z x y ⎛⎫
==⨯=-
⎪⎝⎭
其中行列式111221,2
2
y z y z y z y z =-法向量取与向量a b ⨯共线的即可。

用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写(2,2,1)
(4,5,3)
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算23151⨯-⨯=就是向量a b ⨯的
x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算[2341]2-⨯-⨯=-，作
为a b ⨯的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算25422⨯-⨯=作为z 坐标，所以(1,2,2)a b ⨯=-，可以取(1,2,2)n =-，它与前面方程法求得的
1
(,1,1)2
n =-是共线向量。

优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。

例2 已知(3,0,0)A ,(0,4,0)B ,(0,0,2)C ，试求平面ABC 的一个法向量.
练习：已知平面α经过三点(1,2,3)(201)(320)A B C --、，，、，，，试求平面α的一个法向量.
第二讲：立体几何的向量方法-------平行与垂直
一、平行
设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面αβ,的法向量分别为,u v ，则 （1） 线线平行：//l m ⇔______________⇔____________; （2） 线面平行：//l α⇔______________⇔____________; （3） 面面平行：//αβ⇔______________⇔____________;
例1：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，求证：PA EDB //平面.
二、垂直 1、 线线垂直
设直线l 的方向向量分别为()123=,,a a a a ，设直线m 的方向向量分别为()123,,b b b b =，则l m ⊥⇔___________⇔__________⇔_________________ 2、线面垂直
设直线l 的方向向量分别为()123=,,a a a a ，设平面α的法向量分别为()123,,u u u u =，则l ⊥α⇔___________⇔______________ 3、面面垂直
设平面α的法向量分别为()123,,u u u u =，设平面β的法向量分别为()123,,v v v v =，则
α⊥β⇔___________⇔__________⇔_________________
（一）证明线线垂直
例2：已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 是底面上BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且11
CN CC 4
=，求证：1AB MN ⊥.
变式1：已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，若侧棱1CC 的中点D ，求证：
11AB A D ⊥.
（二）证明线面垂直
例2：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，G 为1CC 的中点，求证：1A O GBD ⊥平面.
变式训练2： 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11E F D B 1、分别是BB ，的中点， 1EF B AC .⊥求证：平面
（三）证明面面垂直 例
3
：
在
四
面
体
AB
BEF BC
⊥平面A CD 中，
BCD BC CD BCD 90ADB 30E F ,,,,⊥=∠=∠=AB 平面、
分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF BC ⊥平面A .
变式训练3：在正棱锥P-ABC 中，三条側棱两两互相垂直，G 是三角形PAB 的重心，E 、F 分别是BC 、PB 上的点，且BE ：FB=1:2，求证：平面GEF BC ⊥平面P .
第三讲： 立体几何的向量方法---角度
一、空间向量三种角的向量求解方法
1、 异面直线所成的角：设异面直线12,l l 的方向向量分别为a 和b ，则1l 与2l 夹角θ满足
____________，其中θ的范围是______________.
2、 线面角：设直线l 的方向向量为a 和平面α的法向量为n ，则直线l 与平面α的夹角θ满
足__________________，其中θ的范围是______________.
3、 二面角：设平面α的法向量为n ，设平面β的法向量为m ，则平面α与平面β所成二面
角θ满足__________________，其中θ的范围是______________.
二、典型例题
例1：在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=，现将ABC ∆沿着平面的法向量平移到111A B C ∆的位置，已知1BC CA CC ==，取11A B 、11A C 的中点1D 、1F ，求1BD 与1AF 所成角的余弦值.
练习1：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求11B C 与面1AB C 所成角的余弦值.
例3. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD BCD ⊥底面A ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF PB PB F ,⊥交于求二面角C-PB-D 的大小.
练习2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，DAB 60AB 2AD ,∠==,
PD ABCD .⊥底面
(1)证明： PA BD .⊥
(2)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.
练习3：在四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ABCD AP AB 2⊥==底面，，
BC E F ,=分别是AD ，PC 的中点.
(1)证明：PC BEF .⊥平面
(2)求平面BEF 与平面BAP 的夹角大小.
第四讲： 立体几何的向量方法---距离
(1) 点面距离的向量公式
平面α的法向量为n ，点P 是平面α外的一点，点A 为平面α内的一点，则点P 到平面α的距离d 等于__________________; (2) 线面、面面距离的向量公式
平面//α直线l ，平面α的方向量为n ，M P α∈∈点，l ，平面α与直线l 间 的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =__________________; (3) 异面直线的距离向量公式
设向量n 与异面直线a b 、都垂直，,M a P b ∈∈，则两异面直线a b 、间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =__________________.
例1：正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD,CG=2,E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
（1） 求点B 到平面GEF 的距离；
（2） 求直线BD 到平面GEF 的距离.
例2：直三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA =4，底面三角形ABC 中，AC=BC=2，
BCA 90∠=，E 是AB 的中点，求异面直线CE 与1AB 的距离.。