流体力学读书笔记

高等流体力学读书笔记论文题目: 特征线法读书笔记姓名: 杨志伟学号: 113108000839专业:兵器发射理论与技术指导教师: 周建伟日期: 2013年12月1 特征线法1.1 理论的引出在考虑了两对面管壁都外折使得两束膨胀波相交，以及膨胀波束在自由边界上反射等问题时，单有绕外钝角流动的公式就不够使用了，需要一种使用于解复杂问题的方法，这就是特征线法。

在概况性上说，特征线法确实比绕外钝角的解法进了一步，只要是两个自变数的双曲线型偏微分方程都能用。

定常超声速流（包括平面及轴对称的无旋和有旋流）与一维费定常流（不论亚声速还是超声速）的运动方程都是双曲型的。

这几种流动能在数学上归在一起，正是反映了在物理上这几种流动都是以波的形式进行变化这样一个事实。

定常亚声速流场上，流动的变化不是以波的形式进行的，任何扰动都没有界线可言，扰动遍及全场，变化都是连续的，任何流动参数（速度、密度和压强等）不仅本身连续，而且它对空间坐标的导数也都连续。

与此相反，在定常超声速流场上，扰动都是有界的，像激波在流场中是以突跃面的形式存在的，流动参数本身在突跃面上有突跃的变化，称为强突跃；另一种扰动也是有界的，例如膨胀波（或微弱压缩），界线是马赫波，流动参数本身在波上是连续的，但它的导数在波上可以不连续。

如图1所以，定常超声速气流流过外钝角，在第一道膨胀波O L11的上游，各流动参数都是均一的，对 的导数到处都是零，但一到O L上便开始11变化了，虽然流动参数本身在O L还是连续的，但无变化的直匀流区突然在这条11线上有变化的扇形膨胀地带相接，诸流动参数的导数在O L上必是突然从零变为11某一定值。

在最后一道波O L上，导数从一定值跃变为零。

在中间各道波上，流12动参数的导数取了特殊的突跃值——零。

图1 外钝角绕流流动参数的导数在其上发生突跃的线（或面）称为弱突跃线（或面），以区别与流动参数本身发生突跃的强突跃面（如激波）。

马赫线（膨胀波或微弱压缩波）就是弱突跃线。

当然，突跃之中可以包括突跃值为零（即不发生突跃）的情况。

这样就可以把绕外钝角流动的扇形地带中的每一道膨胀波都包括在内，都是弱突跃线。

上述几种流动的运动方程都是双曲型二阶偏微分方程。

解双曲型二阶偏微分方程时，存在有一类特殊的曲线，即函数的二阶导数在这种曲线上所以不连续，因而知道了因数在这种曲线一侧的数值时，不可能靠级数展开去推得函数在曲线另一侧的数值来。

双曲型二阶偏微分方程所独有的这种函数导数可以不连续的曲线，在数学上称为特征线。

流场上的弱突跃线就是数学上的特征线。

根据数学上的特征线理论，用数值解法解决定常超声速流动的问题，就是气体动力学中的所谓特征线法。

特征线理论除了定义特征线、并根据定义找出特征线方程之外，还确定；沿特征线上的各参数的变化之间必须遵守一定的关系，这是特征线所具有的另一方面的性质。

所以说，特征线有两种性质：一是跨过这种曲线，函数(例如位函数)的二阶导数可以不连续；二是沿着这种曲线，函数的一阶导数(例如流速)的变化之间又必须遵守一定的规律。

就是说，既有突跃的一面、又有规律性的一面。

在做计算时，要同时利用这两种性质，尤其是利用沿特征线的规律性。

这个规律性在绕外钝角流动的问题中已经用过了，那就是气流折角与流速有一一对应的关系。

不过，这个关系在绕外钝角流动的问题里，没有从数学上强调它是沿特征线的关系，表面上看来反而像是跨特征线似的。

原因是，在那个简单问题上，没有全面讨论流场，只是画了要用的马赫线。

事实上，与流线成μ角的马赫线还有另一族存在，如图2上的PQR 线。

后面可以证明，在这个具体问题上，所谓沿特征线的变化关系正是沿PQR 那一族马赫线的变化关系。

图2 外钝角绕流的马赫线本节先把定常平面超声速流和轴对称超声速流的运动方程列一下，以说明数学上的共同点，然后导出这些方程列的特征线来。

接下去详细讲解特征线法在乎面无旋定常超声速流问题上的应用及解题法。

后面再讲超声流流过圆锥体的稻确解及轴对称特征线法。

1.2 两个自变数的运动方程平面不可压位流的运动方程是22220x yφφ∂∂+=∂∂ 而在平面定常无旋可压流的条件下，此式府写为如下形式22222222221111120c x x c y yc x y x y φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫-∙+-∙-∙∙∙=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 通乘以2c ，并引用符号x x φφ∂=∂，y y φφ∂=∂，22xx x φφ∂=∂，22yy y φφ∂=∂，2xy x yφφ∂=∂∂则上式化为()()222220x xx x y xy y yy cc φφφφφφφ-∙-∙∙+-∙= （1-1）定常无旋轴对称流的运动方程直接写为()()2222220xxx x r xr rrr r c c c r φφφφφφφφ-∙-∙∙+-∙+= （1-2）这两个方程是同一类型的，都是具有两个独立变数的二阶非线性偏微分方程。

它们有时也称为拟线性方程，因为对最高阶导数而言是线性的。

此二式可写成一个共同的形式20xx xy yy A B C D φφφ+++= （1-3）一般说来，式中的系数A ，B ，C ，D 是x ，y ，x φ，y φ的函数。

这样一个二阶偏微分方程，究竟属于哪种类型，要看判别式()2B AC -大于、等于、还是小于零。

现在式（1-1）中的()()()()22222222222222x y x y x y B AC c c c c c V c φφφφφφ⎡⎤-=∙--∙-=+-=-⎣⎦式（1-2）中的()()22222222x y B AC c c c V c φφ⎡⎤-=+-=-⎣⎦在超声速流(V c >)中，这两个判别式都大于零，所以式（1-1）与（1-2）都是双曲型的方程。

现在总概括成式（1-3）来研究，目的是要得到解决实际问题的具体办法。

不过，并不能单纯从数学角度来研究式（1-3）的解法，而是要与气体流动的物理情况密切结合起来。

函数φ就是速度位，x φ就是x 分速，y φ就是y 分速。

也常把x φ和y φ组成的平面称为“速度面”。

1.3 哥西问题及特征线方程在一定的边界条件下直接积分式（1-3）是很困难的，所以就希望用数值解的办法求出需要的答案。

以平面流动来说，假设知道了待求函数在某一条曲线上的函数值，如果能够设法求出函数在该曲线附近的数值，就能把全流场上的解答一步步地找出来，这在数学上叫做哥西问题。

哥西问题的数学提法是这样：给定函数的偏微分方程，并在xy 平面上沿某一条曲线L 给定该函数的数值，问能否推出L 曲线附近的函数值。

在所讨论的问题中，未知函数是φ。

此处限于讨论介质属性(各流动参数)是连续的流场。

这样，x φ和y φ(诸分速)就是x 和y 的连续函数。

如果从曲线L 出发，往附近任意走一小步，x φ和y φ的改变量应为x x x xx xy d dx dy dx dy x yφφφφφ∂∂=+=∙+∙∂∂ （1-4） y y y xy yy d dx dy dx dy xyφφφφφ∂∂=+=∙+∙∂∂ （1-5）因此，如果能够以曲线L 为基地逐步向外开拓，位函数φ除了应该满足式（1-3）之外，还应满足式（1-4）及式（1-5）。

而要做到这一点，各个二阶偏导数的数值必须是能够确定的。

难道说有不确定的情况吗？有的，下面就谈这个问题。

从几何上想一下，微分方程式（1-3）的每一个解可以看作是x ，y ，φ空间中的一个三维曲面，叫做积分曲面，而且每个解都定义了一个满足式（1-3）的函数(),x y φφ=。

在积分曲面上可以画出很多条不同的空间曲线，每一条曲线在xy 平面上都有一定的投影。

在指定点处，从这些被投影的曲线向外每走一小步，就可按式（1-4）与式（1-5）确定出相应的x d φ与y d φ值。

注意，积分曲面上的任意一点处，式（1-3）都是能满足的。

此外，式（1-4）及式（1-5）是适用于位于该曲面上的任何曲线的无限小微段所对应的改变量。

因此，位函数的二阶导数应同时满足下列三式2xx xy yy A B C D φφφ++=-0xx yy x dx dy d φφφ∙+∙+= （1-6） 0xy yy y dx dy d φφφ+∙+∙= （1-7）这一组方程可以看作是xx φ，xy φ及yy φ的线性代数方程，解得22002200xy x y xy A D C dx d d dy A dy d C dx d D dx dyA B C A dy B dxdy C dx dx dy dxdyφφφφφ-∙∙+∙∙+∙∙==∙-∙+∙ （1-8）xx φ以及yy φ的形式与xy φ是类似的，分母行列式都一样，只是分子行列式有所不同罢了。

由式（1-8）可以看出，如果分母行列式等于零，那么，诸二阶偏导数就不能确定，也就无法根据给定曲线上的函数值来推算在曲线附近的函数值。

这样一类具有特殊性质的曲线，它们虽然是积分曲面上的线条，但是x φ及y φ的导数在这些线上可以不连续，这类曲线，如果存在的话，称为解的特征曲线（或简称为特征线），特征线在xy 平面上的投影，称为物理面特征线。

注意到x φ及y φ就是u 和v ，位函数的二阶导数不连续就意味着速度的导数不连续，因而所有流动参数的导数也都不连续。

这正符合在本节开头处说的弱突跃的定义。

所以特征线的物理意义很清楚，就是弱突跃线。

令式（1-8）的分母等于零，即得特征线在物理平面上的投影的微分方程，是220dy dy A B C dx dx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭特特（1-9） 由此，得dy dx ⎛⎫=⎪⎝⎭特（1-10） 式（1-10）就是物理面特征线的微分方程，它规定厂物理特征线斜率的变化规律。

该式只有当20B AC ->时才有意义。

可见，只有双曲型的偏微分方程才具有特征线。

椭圆型方程，由于20B AC ->而不存在特征线。

再看，该式中有正负号、表示在同一点可以有两个斜率，也就是说在xy 平面上有两族特征线存在。

负号定为第Ⅰ族特征线，正号定为第Ⅱ族特征线。

而在式（1-10）中的3个系数A ，B ，C 是与x φ与y φ有关系的。

为了作出物理面特征线，就必须确定x φ及y φ沿着特征线是怎样变化的。

1.4 函数的导数沿特征线的变化在特征线上，既然分母行列式等于零，那么，在用式（1-3）、式（1-6）及式（1-7）求φ的3个二阶偏导数时，分子行列式也必须为零，否则会出现无限大的答案；而在物理问题里，参数总是有限值。

分子行列式为零便规定了x φ与y φ的变化之间有一定的关系。

以求xy φ这个二阶偏导数约分子行列式来说（xx φ和yy φ也一样），它是式（1-8）的分子，即0x y A dy d C dx d D dx dy φφ∙∙+∙∙+∙∙= （1-11）由此解得y x x d A dy D dy d C dx C d φφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭特特特（1-12） 把式（1-10）代入式（1-12），得导数沿特征线的变化规律（也称为“相容性条件”）为y x x d D dy d C d φφφ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭特特（1-13）式（1-13）给定了x y φφ-平面上的特征线斜率与x φ，y φ，x ，y 之间的关系。