非对称损失函数的质量特性值优化选择
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1 田口式质量损失函数
质量损失函数是用来度量由产品质量指标偏离 目标值而引起的经济损失。田口玄一提出了一种质 量损失函数, 它对经济损失, 特别是较小偏离引起的
损失有良好的近似。令 L ( Y )为由质量指标 Y 偏离 目标值而 引起 的 经济 损失, m 为 顾 客目 标 值。若 L ( Y )在 Y = m 存在二阶导数, 则 L ( Y )在 Y = m 附近 可以近似地表示为
2 基于非对称损失函数的特性目标值 优选模型
笔者认为质量损失有 3 种类型: 1)当特性指标
值 Y 落在规格界限内 ( LSL∀ Y ∀ USL )所引起的损
失; 2)特 性指标 值 Y 落在 规格 界限外 ( Y < LSL 或
Y > U SL )所引起的损失; 3)产品的检验成本。
2. 1 LSL∀ Y∀ USL 时的损失 一般来说, 指标值落在目标值 m 两边时的质量
下, 质量特性最优值与期望总损失随分布标准差 的增大而 增大; 分布 标准差 不变的情 况下, 质量 特性最 优值与 期望
总损失相对质量损失系 数具有一定的稳健性。
关键词: 质量控制; 非对称损失函 数; 优化
中图分类号: F 273. 2
文献标识码: A
文章编号: 1007 7375( 2008) 03 0024 03
D esigning the M ost Cost effective P rocess Target U sing A symm etric Loss Function
Chen X iang la i1, H an Zhi jun1, Zhang B in1, 2
( 1. Schoo l o f Econom ics andM anagem ent, N an jing U niversity of Science and T echno logy, N an jing 210094, Ch ina; 2. D epartment o f S tatistics, N anjing U n ive rsity o f Inform ation Sc ience and T echno logy, N anjing 210044, China)
2. 0 40. 927 20. 414 40. 930 20. 463 40. 933 20. 511 40. 936 20. 560 40. 939 20. 608
2. 5 41. 448 23. 939 41. 452 23. 978 41. 457 24. 017 41. 461 24. 056 41. 465 24. 094
1. 0
1. 5
40. 232 40. 522
7. 6365 15. 106
40. 234 40. 524
7. 7028 16. 166 40. 235 40. 525
7. 7691 15. 221
40. 236 40. 572
7. 8353 15. 285
40. 238 40. 529 7. 9016 15. 345
m
# s. .t E [ L ( Y ) ] yÎ ( LSL, USL) = k1 LSL ( y - m ) 2f ( y ) dy +
U SL
# k2 m (y - m ) 2f (y ) dy,
LSL
+∃
# # E [ L (Y) ]yÏ (LSL, U SL) = CL - ∃ f (y ) dy + CU USL f (y ) dy,
LSL
+∃
# # E [L ( Y) ] yÏ (LSL, U SL) = CL -∃ f (y ) dy + CU USL f (y ) dy。( 5)
最后, 对产品进行检验时会产生检验成本, 令 C I 为单位产品的检验成本。至此完成了非对称损失函
数的构造。
2. 3 优化模型
模型的目 标是寻求 一个最 优的质 量特性 目标
摘要: 质量特性目标值的选定是一个重要的命题, 它是影响质量成本的一个重要因素。由顾客定义的特性目标 值并
不一定能使得总体的质量损失最 小化。针 对此问题, 讨论了非对称的质 量损失函 数, 在此 基础上构 造出质量特 性目
标值的优选模型, 得到最优目标值。在模型的应 用中表明: 质 量损失 系数不 变、质 量特性 左偏比 右偏更 有害的 情况
f(y) =
1
(y- ) 2
e 22 ,
2!
LSL∀ ∀ USL。
( 6)
其中, TC ( Y )为总的质量损失。
模型 ( 6)中的第 1个限定条件代表了由顾客偏 好所导致的质量损失; 第 2个限定条件代表了由于
产品不合格所导致的质量损失; 第 3 个限定条件说
明了质量特性 Y 服从正态分布; 第 4 个限定条件则
在现代质量管理体系中, 质量特性目标值的选 定是一个重要的命题, 因为它往往会影响到过程的 缺陷率、材料的损失、重加工费用以及因偏离顾客的 目标值而产生的损失等。对特性目标值优化的研究 已有多年历史 [ 1 10] 。本文通过非对称田口质量损失 函数, 构造对目标值优化选择的模型, 讨论了特性最 优目标值的确定。
2!
其中, k 为质量损失系数, 可由功能界限 0 及其相应
收稿日期: 2007 04 23 作者简介: 陈湘来 ( 1980 ), 男, 江苏省人, 博士研究生, 主要研究方向为质量管理与应 用统计.
第 3期
陈 湘来, 韩之俊, 张 斌: 非对称损失函数的质量特性值优化选 择
25
经济损失 A 0 确定。田口式 的损失函数是一种对称 函数。然而, 有时产品的性能指标大于目标值和小 于目标值所造成的损失可能是不对称的。基于此, 本文将考虑非对称的损失函数。
质量损失系数与分布标准 差都为估计值, 难以 准确确定。表 1显示了在不同的损失系数和分布标 准差下的最优特性值 * 及其期望总损失 E* (TC )。
表 1 不同的损失系数和分布标 准差下的最优特性值
ki
k1 = 0. 2 k2 = 0. 1 k1 = 0. 4 k2 = 0. 2 k1 = 0. 6 k2 = 0. 3 k1 = 0. 8 k2 = 0. 4 k1 = 1. 0 k2 = 0. 5
表明了特性目标值应处于规格界限内。
3 数值计算
某企业加工轴外径, 轴外径 Y 服从正态分布。 Y 的规格要求为 ∀ = 40 % 1. 5, 也即 m = 40, LSL = 38 5, USL = 41. 5; 当 Y < LSL 时, 损失 CL = 60; 当 Y > USL 时, 损失 CU = 30; 质量损失系数 k1 = 0. 6, k2 = 0. 3; 过 程质量特性值分布标准差 = 2. 0; 检验成本 CI = 2。 利用式 ( 6), 通过 MATLAB 编程进行迭代计算, 求得 最优过程 均值 * = 40. 933, 总 质量损失 的期望为 E* ( TC) = 20. 511。当取 = m = 40时, 得到总质量 损失的期望为 E ( TC) = 22 568。可见, E* ( TC ) < E ( TC )。
/E ( TC ) 3. 0
41. 500
*
26. 554 E* ( TC )
41. 500
*
26. 590 E* ( TC )
41. 500
*
26. 625 E* ( TC )
41. 500
*
26. 660 E* ( TC )
41. 500
*
26. 695 E* ( TC )
从表 1可以看出, 在质量损失系数 ki 不变的情 况下, 质量特性最优值 * 随分布标准差 的增大而
L (Y)
L
(m )
+
L
(m ) 1!
(Y- m ) +
L !(m 2!
)
( Y - m ) 2。
( 1)
田口玄一认为, 当 Y = m 时损失最小并且为零。
因而 L (m ) = L (m ) = 0, 从而
L ( Y ) = L!(m ) ( Y - m ) 2 = k ( Y- m ) 2。
( 2)
Abstract: The determ ination of the op tim um process target ( m ean) is one of the m ost im portant dec ision m ak ing problem s. T he custom er identified target m ay no t be the m ost cost effective sett ing. T his article de ve lops an opt im ization m ode l for determ in ing the optim um setting of process target by using asymm etric quadric loss function. The exam ple show s that when qua lity loss coeffic ien t is fixed and the loss under tar get isw orse, the larger the standard dev iation, the larger the optim um process target and the expected to tal loss; when the standard dev iation is f ixed, the optim um process target and the expected total loss have ro bustness to the quality loss coeffic ien.t K ey w ord s: qua lity contro ls; asymm etric loss function; opt im izat ion
26
工业工 程
第 11卷
增大, 其期望总损失E* (TC )也随之变大。这是由于 随着 的增大, 质量特性值的波动变大, 落入规格界 限外的概率增大, 从而导致期望损失 的增大。当分 布标准差 不变时, 质量特性最优值 * 与相应期望 总损失 E* ( TC)随质量损失系数 ki 的增大而增大, 但是变化的幅度都非常小, 这说明质量特性最优值
m
yf (y ) dy +
m
U SL
# # k1
y2 f (
L SL
y)
dy
+
k2 m
y2 f ( y ) dy。
( 4)
2. 2 Y < LSL 或 Y > USL 时的损失
当指标值在规格界限以外时, 该产品会返工或
者报废。一般来说, 低于规格下限和高于规格上限
所得损失是不一样的。令 CL 为低于规格下限时的 损失, CU 为高于规格上限时的损失, 则此时的期望 损失为
第 11卷第 3期 2008年 5月
工业工程 Indu strial Engineering Journal
V o .l 11 N o. 3 M ay 2008
非对称损失函数的质量特性值优化选择
陈湘来1 , 韩之俊1 , 张 斌 1, 2
( 1. 南京理工大学 经济管理学院, 江苏 南京 210094; 2. 南京信息工程大学 统计学系, 江苏 南京 210044)
L (y )f ( y ) dy
LSL
=
k1
(y -
LSL
U SL
m
# # m ) 2f (y ) dy + k2 m
(y -
m ) 2f (y ) dy
=
k1m 2
f (y ) dy +
L SLБайду номын сангаас
USL
m
USL
# # # k2m2 m
f ( y ) dy -
2k1m
yf (y ) dy -
LSL
2k2m
值, 从而使得总的期望质量损失最小 化。假定质量 特性 Y 服从正态分布, 即 Y ~ N ( , 2 ), 则优化模型
的数学表达式如式 ( 6)所示:
m in E [ TC ( Y ) ] = E [ L ( Y ) ] yÎ (LSL, U SL) + E [ L ( Y ) ] yÏ (LSL, U SL) + E (CI )。
损失是不一样的。参照上述田口式损 失函数, 可以
得到如下的非对称损失函数:
k1 ( Y - m ) 2, LSL∀ Y < m;
L(Y) =
( 3)
k2 ( Y - m ) 2, m ∀ Y∀ U SL。
如果 Y 具有分布密度函数 f ( y ), 那么期望损失
为
USL
m
# # E [ L (Y ) ] yÎ (LSL, USL) =
质量损失函数是用来度量由产品质量指标偏离 目标值而引起的经济损失。田口玄一提出了一种质 量损失函数, 它对经济损失, 特别是较小偏离引起的
损失有良好的近似。令 L ( Y )为由质量指标 Y 偏离 目标值而 引起 的 经济 损失, m 为 顾 客目 标 值。若 L ( Y )在 Y = m 存在二阶导数, 则 L ( Y )在 Y = m 附近 可以近似地表示为
2 基于非对称损失函数的特性目标值 优选模型
笔者认为质量损失有 3 种类型: 1)当特性指标
值 Y 落在规格界限内 ( LSL∀ Y ∀ USL )所引起的损
失; 2)特 性指标 值 Y 落在 规格 界限外 ( Y < LSL 或
Y > U SL )所引起的损失; 3)产品的检验成本。
2. 1 LSL∀ Y∀ USL 时的损失 一般来说, 指标值落在目标值 m 两边时的质量
下, 质量特性最优值与期望总损失随分布标准差 的增大而 增大; 分布 标准差 不变的情 况下, 质量 特性最 优值与 期望
总损失相对质量损失系 数具有一定的稳健性。
关键词: 质量控制; 非对称损失函 数; 优化
中图分类号: F 273. 2
文献标识码: A
文章编号: 1007 7375( 2008) 03 0024 03
D esigning the M ost Cost effective P rocess Target U sing A symm etric Loss Function
Chen X iang la i1, H an Zhi jun1, Zhang B in1, 2
( 1. Schoo l o f Econom ics andM anagem ent, N an jing U niversity of Science and T echno logy, N an jing 210094, Ch ina; 2. D epartment o f S tatistics, N anjing U n ive rsity o f Inform ation Sc ience and T echno logy, N anjing 210044, China)
2. 0 40. 927 20. 414 40. 930 20. 463 40. 933 20. 511 40. 936 20. 560 40. 939 20. 608
2. 5 41. 448 23. 939 41. 452 23. 978 41. 457 24. 017 41. 461 24. 056 41. 465 24. 094
1. 0
1. 5
40. 232 40. 522
7. 6365 15. 106
40. 234 40. 524
7. 7028 16. 166 40. 235 40. 525
7. 7691 15. 221
40. 236 40. 572
7. 8353 15. 285
40. 238 40. 529 7. 9016 15. 345
m
# s. .t E [ L ( Y ) ] yÎ ( LSL, USL) = k1 LSL ( y - m ) 2f ( y ) dy +
U SL
# k2 m (y - m ) 2f (y ) dy,
LSL
+∃
# # E [ L (Y) ]yÏ (LSL, U SL) = CL - ∃ f (y ) dy + CU USL f (y ) dy,
LSL
+∃
# # E [L ( Y) ] yÏ (LSL, U SL) = CL -∃ f (y ) dy + CU USL f (y ) dy。( 5)
最后, 对产品进行检验时会产生检验成本, 令 C I 为单位产品的检验成本。至此完成了非对称损失函
数的构造。
2. 3 优化模型
模型的目 标是寻求 一个最 优的质 量特性 目标
摘要: 质量特性目标值的选定是一个重要的命题, 它是影响质量成本的一个重要因素。由顾客定义的特性目标 值并
不一定能使得总体的质量损失最 小化。针 对此问题, 讨论了非对称的质 量损失函 数, 在此 基础上构 造出质量特 性目
标值的优选模型, 得到最优目标值。在模型的应 用中表明: 质 量损失 系数不 变、质 量特性 左偏比 右偏更 有害的 情况
f(y) =
1
(y- ) 2
e 22 ,
2!
LSL∀ ∀ USL。
( 6)
其中, TC ( Y )为总的质量损失。
模型 ( 6)中的第 1个限定条件代表了由顾客偏 好所导致的质量损失; 第 2个限定条件代表了由于
产品不合格所导致的质量损失; 第 3 个限定条件说
明了质量特性 Y 服从正态分布; 第 4 个限定条件则
在现代质量管理体系中, 质量特性目标值的选 定是一个重要的命题, 因为它往往会影响到过程的 缺陷率、材料的损失、重加工费用以及因偏离顾客的 目标值而产生的损失等。对特性目标值优化的研究 已有多年历史 [ 1 10] 。本文通过非对称田口质量损失 函数, 构造对目标值优化选择的模型, 讨论了特性最 优目标值的确定。
2!
其中, k 为质量损失系数, 可由功能界限 0 及其相应
收稿日期: 2007 04 23 作者简介: 陈湘来 ( 1980 ), 男, 江苏省人, 博士研究生, 主要研究方向为质量管理与应 用统计.
第 3期
陈 湘来, 韩之俊, 张 斌: 非对称损失函数的质量特性值优化选 择
25
经济损失 A 0 确定。田口式 的损失函数是一种对称 函数。然而, 有时产品的性能指标大于目标值和小 于目标值所造成的损失可能是不对称的。基于此, 本文将考虑非对称的损失函数。
质量损失系数与分布标准 差都为估计值, 难以 准确确定。表 1显示了在不同的损失系数和分布标 准差下的最优特性值 * 及其期望总损失 E* (TC )。
表 1 不同的损失系数和分布标 准差下的最优特性值
ki
k1 = 0. 2 k2 = 0. 1 k1 = 0. 4 k2 = 0. 2 k1 = 0. 6 k2 = 0. 3 k1 = 0. 8 k2 = 0. 4 k1 = 1. 0 k2 = 0. 5
表明了特性目标值应处于规格界限内。
3 数值计算
某企业加工轴外径, 轴外径 Y 服从正态分布。 Y 的规格要求为 ∀ = 40 % 1. 5, 也即 m = 40, LSL = 38 5, USL = 41. 5; 当 Y < LSL 时, 损失 CL = 60; 当 Y > USL 时, 损失 CU = 30; 质量损失系数 k1 = 0. 6, k2 = 0. 3; 过 程质量特性值分布标准差 = 2. 0; 检验成本 CI = 2。 利用式 ( 6), 通过 MATLAB 编程进行迭代计算, 求得 最优过程 均值 * = 40. 933, 总 质量损失 的期望为 E* ( TC) = 20. 511。当取 = m = 40时, 得到总质量 损失的期望为 E ( TC) = 22 568。可见, E* ( TC ) < E ( TC )。
/E ( TC ) 3. 0
41. 500
*
26. 554 E* ( TC )
41. 500
*
26. 590 E* ( TC )
41. 500
*
26. 625 E* ( TC )
41. 500
*
26. 660 E* ( TC )
41. 500
*
26. 695 E* ( TC )
从表 1可以看出, 在质量损失系数 ki 不变的情 况下, 质量特性最优值 * 随分布标准差 的增大而
L (Y)
L
(m )
+
L
(m ) 1!
(Y- m ) +
L !(m 2!
)
( Y - m ) 2。
( 1)
田口玄一认为, 当 Y = m 时损失最小并且为零。
因而 L (m ) = L (m ) = 0, 从而
L ( Y ) = L!(m ) ( Y - m ) 2 = k ( Y- m ) 2。
( 2)
Abstract: The determ ination of the op tim um process target ( m ean) is one of the m ost im portant dec ision m ak ing problem s. T he custom er identified target m ay no t be the m ost cost effective sett ing. T his article de ve lops an opt im ization m ode l for determ in ing the optim um setting of process target by using asymm etric quadric loss function. The exam ple show s that when qua lity loss coeffic ien t is fixed and the loss under tar get isw orse, the larger the standard dev iation, the larger the optim um process target and the expected to tal loss; when the standard dev iation is f ixed, the optim um process target and the expected total loss have ro bustness to the quality loss coeffic ien.t K ey w ord s: qua lity contro ls; asymm etric loss function; opt im izat ion
26
工业工 程
第 11卷
增大, 其期望总损失E* (TC )也随之变大。这是由于 随着 的增大, 质量特性值的波动变大, 落入规格界 限外的概率增大, 从而导致期望损失 的增大。当分 布标准差 不变时, 质量特性最优值 * 与相应期望 总损失 E* ( TC)随质量损失系数 ki 的增大而增大, 但是变化的幅度都非常小, 这说明质量特性最优值
m
yf (y ) dy +
m
U SL
# # k1
y2 f (
L SL
y)
dy
+
k2 m
y2 f ( y ) dy。
( 4)
2. 2 Y < LSL 或 Y > USL 时的损失
当指标值在规格界限以外时, 该产品会返工或
者报废。一般来说, 低于规格下限和高于规格上限
所得损失是不一样的。令 CL 为低于规格下限时的 损失, CU 为高于规格上限时的损失, 则此时的期望 损失为
第 11卷第 3期 2008年 5月
工业工程 Indu strial Engineering Journal
V o .l 11 N o. 3 M ay 2008
非对称损失函数的质量特性值优化选择
陈湘来1 , 韩之俊1 , 张 斌 1, 2
( 1. 南京理工大学 经济管理学院, 江苏 南京 210094; 2. 南京信息工程大学 统计学系, 江苏 南京 210044)
L (y )f ( y ) dy
LSL
=
k1
(y -
LSL
U SL
m
# # m ) 2f (y ) dy + k2 m
(y -
m ) 2f (y ) dy
=
k1m 2
f (y ) dy +
L SLБайду номын сангаас
USL
m
USL
# # # k2m2 m
f ( y ) dy -
2k1m
yf (y ) dy -
LSL
2k2m
值, 从而使得总的期望质量损失最小 化。假定质量 特性 Y 服从正态分布, 即 Y ~ N ( , 2 ), 则优化模型
的数学表达式如式 ( 6)所示:
m in E [ TC ( Y ) ] = E [ L ( Y ) ] yÎ (LSL, U SL) + E [ L ( Y ) ] yÏ (LSL, U SL) + E (CI )。
损失是不一样的。参照上述田口式损 失函数, 可以
得到如下的非对称损失函数:
k1 ( Y - m ) 2, LSL∀ Y < m;
L(Y) =
( 3)
k2 ( Y - m ) 2, m ∀ Y∀ U SL。
如果 Y 具有分布密度函数 f ( y ), 那么期望损失
为
USL
m
# # E [ L (Y ) ] yÎ (LSL, USL) =