李永乐线代强化 笔记
考研数学线性代数和概率论的复习重点
考研数学线性代数和概率论的复习重点考研数学线性代数和概率论的复习重点有许多表示刚一开始线性代数和概率论与数理统计有难处，认为看书举步维艰。
店铺为大家精心准备了考研数学线性代数和概率论的复习要点，欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数和概率论的复习难点▶难点事实上线性代数应该是数学三门课中最好拿分的，但是这门课有一个特点，就是入门难，但是一旦入门就一通百通。
这门课由于思维上与高数南辕北辙，所以一上来会很不适应。
总体而言，6章内容环环相扣，所以很多同学一上来看第一章发现内容涉及到第五章，看到第二章发现竟有第4章的知识点，无法形成完整的知识网络，自然无法入门。
▶学习规划总的来说，线性代数这本书6章内容应该分为三个部分逐个攻破：首先行列式和矩阵，第二向量与方程组，第三第5和第六章。
这三个内容联系得相当紧密，必须逐个攻破，这样以两章为单位，每个单位中出现的知识点定理罗列出来，找到他们彼此的关系。
最好是拿一张白纸，像C语言中的指针那样一个一个连起来，形成属于你的知识网络，这一部分有哪些板块，每个板块有哪些定义知识点，比如行列式的定义，矩阵的定义各是，你是怎么理解的，向量与方程组有什么联系与区别，这些最基础的一定要搞清。
对于概率论，第一章是整本书的思维基础，第二章与第三章的逻辑思维就好像一元积分与二元积分一样，难点在于二元积分的计算。
在学习的过程中还是要先思考这一章节有哪些部分，每个部分哪些定义，哪些知识点，自己要找一张大纸，将这些全部像C语言中二叉树一样，罗列成一个树形图，最后根据每一个知识点各个击破。
第5章不用细看，第六章第七章主要是记忆，在记忆的基础上尽可能的理解。
浙大版的书上每章的课后题相当经典，请同学们反复推敲，做过之后，请在总结一遍，比如说这几道题是属于离散型还是连续型，对应了哪些知识点。
▶视频学习法线性代数：不要一上来就看李永乐的视频，因为那个视频是强化阶段看的，建议听一下施光燕的线性代数12讲，这位老师讲的内容很基础，只有十二讲，但是全讲到重点上去了，这样你就会很容易入门了。
李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)
【解】而由r(A)＝2知r(A*)＝1，所以通解由n－r(B)＝3－1＝2个解向量构成.
又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.
【解】由r(A)＝3知Ax＝0的通解由n－r(B)＝4－3＝1个解向量构成.从而
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax＝0的解，即[－1，0， 1，2]T
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax＝b的解，即[1，1， 1，1]T
从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0， 1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.
【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A)＋r(B)≤n(II)B的列向量均是Ax＝0的解.
}
【解】由AB＝0 r(A)＋r(B)≤3.
因为A≠0，B≠0知1≤r(A)≤2，1≤r(A)≤2
当k≠9时，r(B)＝2，从而r(A)＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得
(k－9)α3＝0
（或用秩）
#
∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解 α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解 r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)
∵r(η1，η2，…，ηt)＝t r(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1
r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
由i知132230从而32112234????????????01320用观察法取另一个向量使得它与2310t线性无关即32112234???????????????11210所以bx的通解是5310tk12310tk21211t其中k1k2为任意常数
万学海文名师李永乐谈09考研数学线性代数复习完美攻略
万学海文名师李永乐谈09考研数学线性代数复习完美攻略嘉宾：李永乐广受学生信赖的“线代王”，万学海文考研数学辅导“黄金团队”领头人，全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长，清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长。
主持人：各位同学大家好，很高兴今晚又与大家相约在万学海文辉煌讲堂。
针对09年的考研公共课规划，我们在前几期的节目中邀请到了考研英语辅导界的众多名师为大家做了英语复习的规划。
今天开始我们非常荣幸地邀请到全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长，清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长李永乐老师，为大家讲解考研数学线性代数的复习规划。
李永乐：各位同学大家好，考研是一个长期准备的过程，从每年考生的复习情况看，从11月起，就该进入全面的准备阶段。
今天在万学海文的辉煌讲堂我给大家讲讲线性代数的复习。
要想从整体上对自己的数学复习有一个清晰的思路和复习规划，首先同学们需要了解考研数学命题规律。
考研数学试题的题量一般在20-22道之间(一般6道填空题，6道选择题，10道大题)，试题量有所控制，这样才能保证考生基本能答完试题并有时间检查。
数学试卷的结构是总共20道题，填空5个，选择5个，大的综合题10个，其高数6个，线性代数和概率论各2个。
首先填空题命题原则是考最基本的运算，它的难易度一般要求都是容易和中等偏下的。
通过填空题的考察要了解同学快捷准确的能力，这就要求平时复习中一定要注意准确，会做的题拿不到分是最可惜的。
有的填空题会有一些小窍门，要学会总结和积累，做到快捷准确答题。
其次选择题命题原则考两个方面，一是对数学概念的理解，二是对数学方法的掌握。
选择题的难易度是中下等。
前两部分不会有难题，所以应该有个比较高的得分率，一定要好好复习。
最后，简答题中数一15到19是微积分，20、21是线性代数，22、23是概率论。
数二15到21是微积分，22、23是线性代数。
在这9道题里应该有1到2个难题，而且出在微积分部分，因为微积分部分题多分多。
李永乐 线性代数要注重知识点的衔接与转换
李永乐线性代数要注重知识点的衔接与转换考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。
本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A＝（α1，α2，……，αm）与B＝（β1，β2……，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，……αm与β1，β2，……βm等价，可知矩阵A＝（α1，α2，……αm）与B＝（β1，β2，……βm）等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx 的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P－1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～B A B，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
考研数学5大神备考经验分享
考研数学145大神备考经验分享摘要：数学是考研中非常重要的科目，分值150分，而且复习知识量多，难度大，所以对数学的复习尤为重要。
老师为大家分享一位145分高分学长的数学备考经验，一起来看看吧！►基本情况：本科大连理工大学，报考学校为天津大学，自己数学基础还算不错。
2019年考研数学一取得145分，在19年来说，145分还算是相当不错的。
每个人的学习方法都是不可复制的，希望大家结合自己的基础，找到适合自己的方法。
一、复习资料介绍1.同济版教材或者本科教材：对于考研数学来说，基础很重要，建议课本一定要看一遍，基础概念很重要，课本会比考研书籍讲的更详细，也能让你更好的理解。
当然视自己的基础而定，基础较差的同学可以先从课本开始学，可以搭配《张宇带你学》一起使用；对于基础好的同学可以直接做一些复习书籍，但是课本尽量放在手边，时不时翻一下。
2.张宇36讲：建议和课本结合使用，看一章内容做一章习题，特别适合巩固基础。
高数十八讲可以搭配张宇老师的基础视频一起使用。
线代概率部分知识点大家可以搭配其他书籍使用，比如李永乐的线性代数辅导讲义和王式安的概率辅导讲义。
3.李永乐复习全书：书中知识点可能讲的不是很详细，很多是直接给出。
例题和习题水平较高，有一定的难度，推荐基础好点的同学使用。
书中有很多难题，这些题很好地与基础知识结合在了一起，如果能吃透，对自己提升较大，但是可能花费时间会多一点。
4.李永乐660题：书中全部为选择题和填空题，题量不多，质量较高，如果自己在初期复习有时间，可以直接开始做，巩固基础知识，而且都是选择填空，做起来也比较轻松。
强化阶段也可考虑使用，需搭配其他的一些书籍使用，光一本660题达不到强化效果。
5.张宇1000题：这本书强烈推荐，适用于强化阶段，题量大，难度高，但是可以提高自己的数学做题技巧。
2020年考研数学不用说，肯定是要偏难的，所以今年的考生如果愿意吃苦，最好是做一下，记得要整理笔记，归纳题型。
2020年华中科技大学应用统计硕士专业考研成功上岸前辈复习经验分享
华中科技大学应用统计硕士考研成功经验分享本人本科就读于某211院校，平时学习成绩在班级中下游水平，跟绝大多数本科生一样，我平常也不怎么听课，期末临时冲刺抱大腿。
大三下学期四月中旬开始备考，暑期回家休息半个月，大四来学校基本上没什么课程，一心投入考研的备考当中。
总共历时八个月时间，初试总成绩383分。
现在介绍一下华中科技大学应用统计考研的基本情况。
一、华中科技大学应用统计专业华中科技大学应用统计设在数学与统计学院下，整个应用统计的研究方向偏向数学更多一点。
学费每年11000元，学制两年。
华科不提供真题以及报录比等信息，因此在搜集资料时十分困难，当初为了搜集华科的应用统计资料可没少走弯路。
应用统计从2019年开始大热，2019年之前报考人数较少且录取分数不高，复试线在350分附近。
2019年复试线380分，2020年复试线365分，最后录取最低分370分+。
1.关于院校专业：华科在新一轮软科大学排名第八，统计学学科高校评估B2.华科应统不歧视本科院校不好的同学，而且基本上初试分数够高就能录取，没有其他学校的那种复试暗箱操作，比较透明。
缺点就是招的人数不多，但是招生人数不多也意味着报考人数不多，所以想报考华科应统的同学好好准备还是没什么太大问题的。
二、考研公共课经验1.数学三首先基础阶段建议直接上手刷全书，不建议看教材。
理由是这两年考研人数猛增，题型越来越灵活，建议多刷题，题海战术。
高数部分可以配套张宇（我自己听的就是张宇，然后尽量始终跟一个老师。
我之前看网上说某个部分汤家凤讲得好但是跑去听了之后发现还是张宇讲的我能融会贯通。
所以听课部分还是得看每个人自己的学习程度）听张宇的全程班，基础班再是强化班，刷完全书两遍之后可以开始刷张宇的1000题，一开始可能会有些题目会有点难，觉得有些偏，可以适当看看思路放一下，做上标记。
刷完第一遍1000题之后可以开始第三遍刷全书，这个时候就可以只刷做标记的题目了，同时刷全书的时候开始做总结，就是那种按照题型总结的。
24李永乐线代强化课程表
24李永乐线代强化课程表摘要：I.引言A.介绍李永乐线代强化课程B.课程的重要性和特点II.课程概述A.课程时间安排B.课程内容简介C.课程教学目标III.课程讲师A.讲师简介B.讲师的教学经验和成果IV.课程大纲A.课程章节概述B.课程重点和难点V.课程学习资源A.课程教材B.课程辅助教材C.课程在线学习资源VI.课程评价A.学生评价B.专家评价C.社会评价VII.结论A.总结课程特点和优势B.提出课程改进建议正文：【引言】李永乐线代强化课程是针对考研数学线代部分的强化课程，由著名的考研数学辅导专家李永乐老师主讲。
该课程旨在帮助学生深入理解线代知识点，提高线代解题能力，从而在考试中取得更好的成绩。
【课程概述】该课程共分为24 讲，每讲时长约为1-1.5 小时。
课程从基础的线代知识入手，逐步过渡到复杂的线代题目解析，涵盖了线代考试的全部内容。
学生通过学习这个课程，可以系统地掌握线代知识，为考研数学做好充分的准备。
【课程讲师】李永乐老师是考研数学辅导领域的权威专家，具有丰富的教学经验和显著的教学成果。
他的课程讲解通俗易懂，深入浅出，能够引导学生迅速掌握线代知识，深受广大学生的喜爱和信赖。
【课程大纲】课程大纲涵盖了线代的所有知识点，从行列式、矩阵、向量到线性方程组、特征值和特征向量等，既有基础知识的讲解，也有难题的解析。
学生可以根据自己的需求选择学习相应的章节。
【课程学习资源】课程配备了丰富的学习资源，包括课程教材、辅助教材和在线学习资源。
课程教材详细讲解了课程大纲中的所有知识点，辅助教材提供了大量的练习题和解析，帮助学生巩固所学知识。
在线学习资源包括课程视频、PPT 和题库，方便学生随时随地进行学习。
【课程评价】该课程在学生中享有很高的口碑，许多学生在学习后都表示对线代知识有了更深刻的理解，解题能力也有了显著提高。
专家也对李永乐老师的教学方法和成果给予了高度评价，认为他的课程对于提高学生的考研数学成绩具有重要作用。
24李永乐线代强化课程表
24李永乐线代强化课程表摘要：I.引言A.介绍李永乐线代强化课程B.课程的重要性和适合的人群II.课程表概述A.课程时间安排B.课程内容概述C.课程结构简介III.课程具体内容A.线性代数基础知识回顾1.矩阵和向量2.线性方程组3.行列式和秩B.线性空间与线性变换1.线性空间2.线性变换3.特征值和特征向量C.二次型和二次曲面1.二次型2.二次曲面3.二次型的应用IV.课程优势与特点A.李永乐老师的教学经验和专业背景B.课程内容的实用性和针对性C.课程教学方式的灵活性和互动性V.总结与展望A.总结课程的主要内容和特点B.展望课程对学生的帮助和提升C.鼓励学生积极参与课程学习正文：【引言】李永乐线代强化课程是针对准备考研的学生量身定制的，目的是帮助学生巩固和提高线性代数知识，为考研数学取得高分打下坚实的基础。
本课程由具有丰富教学经验和专业背景的李永乐老师主讲，适用于有一定线性代数基础的学生。
【课程表概述】李永乐线代强化课程将于2023 年3 月1 日开课，课程持续时间为12 周。
课程内容包括线性代数基础知识回顾、线性空间与线性变换、二次型和二次曲面等。
学生每周将学习2 小时，共计24 课时。
【课程具体内容】在12 周的课程中，学生将首先复习线性代数基础知识，包括矩阵和向量、线性方程组、行列式和秩等内容。
接下来，课程将深入讲解线性空间与线性变换，包括线性空间、线性变换、特征值和特征向量等内容。
最后，课程将介绍二次型和二次曲面，包括二次型、二次曲面以及二次型的应用等内容。
【课程优势与特点】李永乐线代强化课程具有以下优势和特点：首先，由经验丰富的李永乐老师主讲，教学质量有保障；其次，课程内容紧密结合考研数学大纲，针对性强；最后，课程采用在线教学方式，学生可以随时随地学习，且教学方式灵活，学生可以通过互动环节与老师进行交流。
【总结与展望】总之，李永乐线代强化课程将为准备考研的学生提供有力的帮助，提高他们在线性代数方面的知识水平和应试能力。
李永乐线代笔记定稿版
李永乐线代笔记HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型2、微积分数一考的难3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】4、说曲面名称，数一；三个平面5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，7、二次型和特征值的关系8、方程组和特征值是重点，考解答题9、概念多，定理，运算法则多，符号多10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。
xn带进每个方程，则是解3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙4.帙就是最简行矩阵的行数5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】2、矩阵描述一些事情、做运算3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列4、遇到AB=0，秩；解5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”9、Ab转置的主对角线等于b转置a10、方程组可以写成矩阵乘法11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。
李永乐线性代数考研复习资料。复习提纲+经典例题解答
Page 6
ABC Amber CHM Conver t er Tr i al ver si on, ht t p: / / www. pr ocesst ext . com/ abcchm. ht ml
清华大学考研辅导强化班课程 《线性代数》
同理将Dn中ak2，ak3，… ，akn分别换成c2，c3，… ，cn 则记
而中
中的
是相同的。因此通过计算行列式 解：由以上分析有：
即可求出
Pa ge 1 2
ABC Amber CHM Conver t er Tr i al ver si on, ht t p: / / www. pr ocesst ext . com/ abcchm. ht ml
思路：本行列式元素的特点：每一行与第一行只有两个元素不同，因 丝山 谝恍械模ǎ?）倍分别加到其它各行上。 小结：①对于箭头形行列式，总是用主对角线元素去化第1列（或第1 校 怪 晌 希ㄏ拢┤ 切涡辛惺健Ｒ蛭 弥鞫越窍咴 厝セ 闶 ，后边的化零过程不会破坏前面已化成的零元素（请读者思考，为什 从姓饷春玫慕峁 湓 蚴鞘裁矗浚 ②例1.6中，将D中第1列元素化为0（a 11除外）与化第1行元素为0，其难度相同，但对例1.7化第1列元素为0 比化第1行元素来得简便，读者可仔细揣摩其中的区别。
例1.11
例1.12
思路：数字较大，直接计算麻烦。观察可知其第2列与第1 列相差不大，第3列与第2列的3倍相近。 例1.13
本题行列式中没有元素1，若直接化成上（下）三角形， 突岢鱿址质 虼讼冉 ?行的（－1）倍加到第1行，得 ½a11=－1，然后再化零。 （七）、利用行列式是一个多项式，可以分解因式的性质 来计算行列式。 若f(x)是x的一个多项式，显然当f(a)=0时，f(x)应有(x －a)的因式，如f(x)＝x2－5x+6,则f(2)＝0,f(3)=0，故f (x)＝K(x－2)(x－3)，再利用x=x0可求出K， 或用某个特定的xm项对比系数定出K。 例1.14
李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)
1
(III)由 A 2 ＝β α1 －2α2 ＋α3－α4＝β， 1
1
那么 B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
- 2 - / 11
从而 n－r(B)＝2.源自5因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4] 3 ＝α1－3α2＋5α3 1
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
- 1 - / 10
即 β 可由 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出.
【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的
概念：
设有向量小组 η1，η2，…，ηt 满足： (1) Aηi ＝ 0（i =1，…，t），即 ηi 是 Ax ＝ 0 的解. (2) Ax ＝ 0 的任意一个解都可以由 η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关. 那么称 η1，η2，…，ηt 为 Ax ＝ 0 的基础解系. 也就是说若 η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系，那么 η1，η2，…，ηt 必满足上
设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0
(1)
即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0
(2)
由 Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用 A 左乘（2），有
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0
又 b≠0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0
2018李永乐线性代数冲刺班讲义
参考答案 1 -6 0 0 ù é ê ú 1 2 0 ù é ê ú êú 0 0 ú ê0 1 ê ú ( ) ( ) 1. 1 1 8, 2 2 0 2. 4. 0 0 -1ú 5. a =-1 6. a =1 -2 3. ê ú ê 5 5 2 -2 ú ê0 0 ê ú ê ú ë 0 -1 0 û ê ú ê 5 5 ú ë0 0 -2 2 û
A x =b 解的结构 : α +k k k 1 1+ 2 … + n r r. η η ηnA α =λ α, α ≠0
齐次方程组线性无关解向量的个数 : n-r(A ) .
( )λ ( ) , 或 A -λ (λ 2 E -A = 0 E =0 E -A ) x =0 i ( )若P-1 3 A P = B. 由A 由B α =λ α⇒B (P-1 α ) =λ(P-1 α) ; α =λ α⇒A (P α ) =λ(P α). ⇔ k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 .
1 1 1ù é ê ú ê ú 已知 A = ê0 0 0ú 和 B = 2 3. ê ú ê ú ë0 0 0û
( ( Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = B.
2 -2 4ù é ê ú ê ú ê1 -1 aú 相似 . ê ú ê ú ë0 0 0û
第 8 页, 共1 0页
.
T 2 设 α, 矩阵 A = E +2 若A 则 αT 2. α A -3 E = O, +2 β 都是n 维非零列向量 , β , β=
.
0 ù é1 -1 0 ê ú ê ú 0 0 ú ê0 1 6 如A = ê 则A 3. = ú, 1 -1ú ê0 0 ê ú ê ë0 0 -1 1 ú û
李永乐660数二知识点
李永乐660数二知识点【实用版】目录1.李永乐 660 数二知识点概述2.数学知识点的分类和重要性3.李永乐 660 数二知识点的具体内容4.学习李永乐 660 数二知识点的方法和建议5.总结正文李永乐 660 数二知识点概述李永乐 660 数二是一本面向考研数学二考生的辅导书，该书全面、系统地梳理了数学二的各个知识点，为考生提供了一份详尽的复习资料。
本文将对李永乐 660 数二知识点进行概述，帮助考生了解其内容和重要性。
数学知识点的分类和重要性数学二主要包括高等代数、解析几何、微积分、概率论与数理统计等知识点，这些知识点在考研数学二中占据重要地位。
学习这些知识点，不仅能够提高考生的数学素养，还能够为后续的复习和考试打下坚实的基础。
李永乐 660 数二知识点的具体内容1.高等代数：线性代数、群论、环论、域论和格论等。
2.解析几何：向量代数、空间解析几何、二次曲线和曲面等。
3.微积分：极限、连续、导数、积分、微分方程等。
4.概率论与数理统计：随机事件与概率、随机变量、数理统计等。
学习李永乐 660 数二知识点的方法和建议1.系统学习：按照教材的顺序，逐步学习各个知识点，形成完整的知识体系。
2.多做练习：通过做题，加深对知识点的理解，提高解题能力。
3.及时复习：学习新知识的同时，不要忘记复习旧知识，巩固记忆。
4.交流讨论：与同学或老师交流学习心得，共同进步。
总结李永乐 660 数二知识点为考研数学二考生提供了一份全面、系统的复习资料。
学习这些知识点，不仅能够提高考生的数学素养，还能够为后续的复习和考试打下坚实的基础。
2019武汉大学电子与通信工程考研经验分享
第一志愿报考的是武汉大学电子信息学院电子与通信工程专业，初试成绩：政治65，英语二68，数学二124，信号与系统139，总分396。
我除了给我的基本规划外，还会给大家的复习提点建议，不可能面面俱到。
大家根据这些建议看看适不适合你，如果适合就在考研期间注意一下就行，总之，你要有属于自己的复习规划，而不能全信经验贴，有些内容可能不适合你。
一、数学二：1.我的用书：高数：张宇18讲线代：李永乐线性代数辅导讲义/张宇线性代数9讲试题：前期基础巩固+强化：汤家凤老师的《1800》，李永乐老师的《660》，汤家凤老师的《真题》，张宇老师的《闭关修炼》；后期冲刺刷题：汤家凤老师《最后八套卷》，张宇老师《八套卷》《四套卷》，李林老师《四套卷》《六套卷》，以及部分张宇老师1000题。
2.我的数学基本复习规划：4,5月份：看高数基础视频+做18讲6月份：1800高数部分+做线代辅导讲义+看李永乐线代视频7月份：1800做完（第一遍）（对做错的做出标记）+看强化视频8月份：1800刷错题（第二遍）+闭关修炼9月份：660（第一遍）（20天完成）+闭关修炼刷错题（一天一页）+真题两天一套（20号左右开始)，要求做真题时严格按照考试时间做，自己打分。
10月份：真题+660错题（第二遍）11月份：汤家凤老师《最后八套卷》，张宇老师《八套卷》《四套卷》，李林老师《四套卷》。
12月份：李林老师《六套卷》+回顾错题我在此期间穿插着做了点张宇老师的1000题。
注意：4,5,6,7月份基本只复习了数学和英语，所以白天只用来做数学，晚上学英语。
4,5月份由于要准备毕业设计，复习的比较慢。
还有一点我是二战，一些知识点已经掌握了，很多知识点只要看看就可以。
3.建议：①不建议买李永乐老师的复习全书。
原因：全书内容太难，不适合基础不好的学生学习，而且里面的题不适合基础性学习。
我始终认为将好几科都编在一本书里，即便它再全，也比不上专门讲一科的辅导讲义，高数讲义推荐张宇18讲，线代讲义推荐李永乐线性代数辅导讲义。
线代强化知识点总结
线代强化知识点总结1. 向量与向量空间向量是线性代数中最基本的概念之一，它是指具有大小和方向的量。
向量可以表示为n维空间中的一个点，也可以表示为一个有序元组。
在给定向量空间V上，向量满足以下性质：- 加法交换律和结合律：对于所有的向量u、v、w∈V，有u+v=v+u和(u+v)+w=u+(v+w)；- 乘法分配律：对于所有的标量c和向量u、v∈V，有c(u+v)=cu+cv和 (c+d)u=cu+du；- 零元素：存在一个向量0，对任意向量u∈V，有u+0=u；- 相反元素：对于每个向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-u)=0。
向量空间就是满足上述性质的集合V。
在向量空间中，我们可以定义向量的线性组合、线性相关和线性无关等概念，这些概念对于理解和应用线性代数是非常重要的。
2. 矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以表示为一个矩形的数组，其中的元素可以是实数或复数。
矩阵可以进行加法、数乘、转置、乘法等运算，这些运算对应着线性代数中的向量空间的运算规则。
矩阵的运算有一些重要的性质，如加法的交换律和结合律、数乘和矩阵乘法的分配律等。
对于n×n矩阵A，我们还可以定义其行列式与逆矩阵。
行列式可以描述矩阵的某种度量，而逆矩阵则是用来求解线性方程组的重要工具。
在矩阵的运算中，有一些特殊的矩阵可以对我们理解线性代数理论有所帮助，比如对称矩阵、正定矩阵、酉矩阵等。
3. 线性变换与矩阵表示线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持加法和数乘运算。
线性变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵就是线性变换的矩阵表示。
对于给定的线性变换T:V→W，其中V和W分别为向量空间，我们可以找到V和W的一组基底，然后通过线性变换T将V中的基底映射到W中，这样就可以得到线性变换T的矩阵表示。
矩阵表示的选择不唯一，但是在特定的基底下，线性变换的矩阵表示是确定的。
线性变换与矩阵表示的关系对于理解矩阵和向量空间之间的联系非常重要。
李永乐线代笔记
第一章节 行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。
②代数余子式千万别忘记(−1)i+j③行列式两行（列）对换，行列式要变号！④克拉默法则：x n =D n D基本行列式的计算：①副对角行列式=(−1)n(n−1)2a 1n a 2,n−1···a n1②副对角拉普拉斯：|O A B ∗|=(−1)nm |A||B| ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(x i −x j )1≤j<i≤n 即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。
④特征多项式（三阶）：|λE −A |=λ3−(a 11+a 22+a 33)λ2+s 2λ−|A|其中s 2=|a 11a 12a 21a 22|+|a 11a 13a 31a 33|+|a 22a 23a 32a 33| ⑤零多的，直接展开算。
⑥将第一行（列）的k 倍依次加至其余各行（列）。
⑦将每一行（列）都加到第一行。
⑧逐行（列）相加。
特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。
②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式；↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。
③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。
④对角线为a ，其余都为b 的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。
第二章节 矩阵主要公式：①伴随：AA ∗=A ∗A =|A |E ； A ∗=|A|A −1 ； (A ∗)−1=(A −1)∗=A |A|(A ∗)T =(A T )∗ ； (kA)∗=k n−1A ∗ ； (A ∗)∗=|A|n−2Ar (A ∗)={n ，如果r (A )=n1，如果r (A )=n −10，如果r (A )<n −1②可逆：A−1=A∗|A|；(kA)−1=1kA−1(A n)−1=(A−1)n；(A−1)T=(A T)−1[B O O C ]−1=[B−1OO C−1]；[O BC O]−1=[O C−1B−1O]③转置：(A T)T=A；(kA)T=kA T[A B C D ]T=[A T C TB T D T]④行列式：|A T|=|A|；|A−1|=|A|−1；|A∗|=|A|n−1|kA|=k n|A|；|AB|=|A|·|B|（行列式没有加减运算）⑤加与乘(A+B)T=A T+B T；(AB)T=B T A T(AB)−1=B−1A−1；(ABC)−1=C−1B−1A−1；(AB)∗=B∗A∗（求逆和伴随没有加法运算）[B O O C ]n=[Bn OO C n]（副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式）⑥秩r(A)=r(A T)；r(A T A)=r(A)（证明过程见下）：设(I)A T Ax=0,(II)Ax=0，若α是(II)的解，显然也是(I)的解；若α是(I)的解，则A T Aα=0→αT A T Aα=0→(Aα)T Aα=0→|Aα|2=0→Aα=0，则α也是(II)的解，故(I)、(II)同解。
中国科学院大学经济与管理学院金融专硕考研经验之各科学法介绍
考研经验之各科学习方法介绍一、前言2019年，对于考研党而言，或许注定就不太一样。
这一年，史上首屈的两百万考研大军一齐挤进考场。
同时，学术不端、入学腐败、师德败坏现象频发，教育部出重拳整顿纲纪。
初试、复试、调剂的战场上都变幻不测、鸡飞狗跳、风卷尘嚣。
而这一年，层层渡险、九死一生，二战的我终侥幸上岸，以初试第四398分，复试第四88分，综合成绩第四84分的成绩，被中国科学院大学经济与管理学院金融硕士（金融工程方向）拟录取。
拟录取通知于2019年3月28日上午在官网发布。
至此，其为我2017年2月15日开始至2019年3月28日结束耗时771天的两年研途划上了完整的句号。
两年的备考中做了一些思考。
同时，也得到了亲人、朋友、同学、老师、学长学姐的诸多帮助和指导。
因此，为了回馈许多许多人的帮助，也为了对所获进行一个回顾，我决定把考研经验写下来分享。
也以此激励自己不断努力前进。
需要特别指出的是，两年的备考经验告诉我，网络上的经验贴往往质量参差、鱼龙混杂。
在过程中，我有浏览关注的经验帖应有几十上百篇之多，其中涉及路数方法五花八门、琳琅满目。
但真正有所裨益的，大概不过两位数。
大量帖子或内容重复、理解表面、泛泛而谈、食之无味，或剑走偏锋、观点偏激、投机取巧、哗众取宠。
只有极少数的经验帖完整负责而精致简练，使我在备考的基础阶段、强化阶段、冲刺阶段均能常读常新，与实践经验相互印证下收获不少。
为了获得高质量的产出，我将尽量客观详实地进行介绍，依托事实，在基础上进行观点输出。
当然，不敢托大，主要还是以叙述自己的经历为主，目的是和大家探讨，经验为大家所借鉴。
也希望各位读者能以自身情况为依托，批判吸收。
我把自己的考研经验分成几个部分，本部分是有关各科目学习方法的经验介绍。
二、自身情况我本科是湖南大学金融与统计学院金融学（金融工程）专业，湖南大学属于比较差的985&211大学，而湖大金融在湖大各专业中属于不错的专业，其在业内和中南地区来说还算不错。
李永乐教你怎么学线代
主持人：第三个阶段呢？
李永乐老师：第三个阶段，因为你有了这本复习资料已经全面复习了，第三个阶段应该是巩固提高了，我想应该做三件事情。
李永乐老师：第一件事情做一些往年的真题，第二件事情是做一些模拟题，第三件事情通过做真题做模拟题肯定有做不动的地方，有卡壳的地方，再看复习资料，这个复习资料看一遍绝对不够，复习资料可能要看几遍，所以通过做真题，做模拟题回过头再看复习资料。后一个阶段我觉得要反复滚动，第三个阶段最好九月份就开始，九月份到十二月在这个阶段开始。
李永乐老师：我想是这样，因为 考研 是一个选拔考试，选拔考试比大家本科学习的时候难度大一些，比本科考试的时候要难一些，数学现在考得不好，像本年A类地区数一数二调档线是66分，数三数四是八十分，如果要折合成百分制，数一数二可能就非常于44分，偏低了。所以我想可能同学们复习当中是有不少误区吧。现在竞争又比较激烈，所以我想考研数学可能是一个很关键的科，尤其数学是150分，比重大，你政治英语好的和差的拉不开分，数学是可以把分拉开的，数学真要好好准备一下。
李永乐老师：我想 考研 的复习资料，每个同学一定要读一本，只看课本肯定不行，作为我跟李正元老师，我们几个老师合作写的这本复习全书，我们是严格参考着纲的，另外注意到每年命题的一些新的动向，所以我们年年都针对这个不断修改和完善的，我想我们这本书也许就是这么一个情况。作为660题是不是一定要买，我觉得这倒不是一定要买的，660题，我想主要是我们考虑到同学们现在概念不好，数学概念不清晰，所以在阅卷过程当中选择题的错误率比较高，所以编了这么一本书，这本书《660题》有360个我们编的都是概念性的选择题，这样对同学澄清一些数学概念肯定有好处，还有300个填空，我想这本书如果同学要做做的话对大家应该是有帮助的，我想是这么一个情况。另外也是全书的一个补充，全书的练习题可能也不够。