第二章 谓词逻辑
第二章 谓词逻辑
同理可证, x(A(x)⋁B(x)) x A(x)⋁x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 21
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
(5)量词分配的蕴含关系
Predicate Logic 谓词逻辑
x A(x) ⋁ x B(x)x(A(x)⋁B(x))
x(A(x)⋀B(x))x A(x) ⋀ x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 13
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例4】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题：
(1)所有的病人都相信医生。
(2)有的病人相信所有的医生。 (3)有的病人相信某些医生。 (4)所有的病人都相信某些医生。 解: 设F(x)：x是病人，G(y)：y是医生，H(x，y)：x相信y。
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2.2 谓词公式中的等价与蕴含
Predicate Logic 谓词逻辑
x(A(x)→B) x A(x) → B 不成立(×)
x(A(x)→B) x(┒A(x)⋁B)
x ┒A(x)⋁B ┒x A(x)⋁B x A(x) → B 同理, x(A(x)→B) x A(x) → B
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
全总个体域
全总个体域
要死的
人
活一百岁以上
人
4/16/2014 5:10 PM
chapter2
12
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例2】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题 (a) 没有不犯错误的人。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
第二章 谓词逻辑
例6 设个体域是人类，
每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 x yL(y,x) ∧┐y x L(x,y)
例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y x(M(x)→y (F(y)∧L(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→L(x,y)))
F(x,y)x摆满了y。 R(x)x是大红书柜。 Q(y)y是古书。
a这只 b那些 R(a)Q(b)F(a,b)
例5 所有运动员都钦佩一些教练员。
设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (x)(S(x)→(y)(J(y)∧L(x,y)))
A(x)中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元； A(x)中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由 出现，自由出现的变元成为自由变元。
例1(x)(A(x)(y)Q(x,y)) 解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y） 此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现 是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变 元。 例2(x)F(x)G(x,y) 解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次 出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出 现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x 是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y 仅是自由变元。
关于特性谓词的说明
M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅 是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人 的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死” 因而M(x)与D(x)是条件关系。
离散数学第二章谓词逻辑
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
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x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。
下面就此作一简要介绍。
一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。
具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。
一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。
表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。
在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。
我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。
全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“∀”表示。
存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“∃”表示。
在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定∀xF(x)的真假。
当每一个个体都使得F(x)=1时，就有∀xF(x)=l；否则∀xF(x)=0。
对于∃F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有∃xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)∃xF(x)=0。
在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。
为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。
离散数学 第2章 谓词逻辑
对于一个谓词，如其中的每一个变量都在一个量词的作用之下， 对于一个谓词，如其中的每一个变量都在一个量词的作用之下，则它就 不再是一个命题函数，而是一个命题了 不再是一个命题函数， 如论域D={a1,a2,…,an} 如论域 则 ∀ xG(x)为G(a1) ∧G(a2) ∧… ∧G(an) 为
∃ xG(x)为G(a1) ∨G(a2) ∨… ∨G(an)
数学分析中极限定义为： 数学分析中极限定义为：任给小正数 ε ，则存在一个正数 δ，使得当 0<|x-a|< δ 时有 时有|f(x)-b|< ε，此时即 limf f ( x) = b
x→a
解设P(x,y)表示“x大于y” Q(x,y)表示”x小于y” 则
limf f ( x) = b
x→a
表示
例如：函数f(x)表示“x的父亲”，谓词P(x)表示“x是教授”，c表示 个体李四。则P(f(c))表示“李四的父亲是教授”。这里c是项， f(c)也是项。 函数f(x, y)表示x+y，谓词N(x)表示“x是自然数”，f(2, 3)表示5，则 N(f(2, 3))表示5是自然数。这里x, y是项， f(x, y)也是项。
2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
2.1.2 命题函数
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn）组成的P(x1, 定义 x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词；当n=0时，P称为 零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻划了个体的性质，多元谓词刻划 了个体之间的关系。 个体变元的取值范围D称为个体域或论域。如果不事先指明，认为论域 是一切可以作为对象的东西的集合，这样的论域称为全总个体域。 例2.1.1 设S(x)表示“x是田径运动员”，B(x)表示“x是篮球运动员”，则 ¬S(x)表示“x不是田径运动员”，S(x)∨B(x)表示“x是田径运动员或篮球运动 员”。 命题函数不是命题，只有当其中的个体变元用特定个体或个体常量替换 时，才能成为一个命题。但个体变元在哪些范围内取特定值，对是否成为命 题及命题的真值极有影响。 例2.1.3 设S(x)表示“x是大学生”。若x的取值范围为某大学的计算机系 的全体学生，则S(x)是永真式。若x的取值范围为某中学的全体学生，则S(x) 是永假式。若x的取值范围为某电影院的观众，则S(x)的真值不能确定。
第2章 谓词逻辑
（3）不是所有的人都喜欢看电影。 解：令F(x)：x是人，G(x)：x喜欢看电影。 则命题表示为：(x)(F(x)G(x))
21
第二章 谓词逻辑
练习
在谓词逻辑中将下列命题符号化（个体域为全体鸟类）： (1) 所有蜂鸟都有鲜艳的羽毛。 (2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类有灰暗的羽毛。 (4) 蜂鸟是小鸟。 解：设P(x)：x是蜂鸟， Q(x)：x是大鸟，R(x)：x以蜂蜜为 食。S(x)：x有鲜艳的羽毛。
16
第二章 谓词逻辑
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义
例：取个体域为实数集：
考虑命题： 对任意的x，存在着y，使得x+y=5
H(x,y): x+y=5 真命题 符号化为：∀x∃yH(x,y)，
但颠倒量词顺序得：∃y∀xH(x,y)，表示的含义：
存在着y，对任意的x，都有x+y=5，假命题
18
第二章 谓词逻辑
§2-1-3 谓词逻辑命题符号化
例2-1.3 用谓词逻辑符号化下列命题。 （1）所有大学生都爱学习。 解：令S(x)：x是大学生，L(x)：x爱学习，(x)(S(x)L(x)) （2）每个自然数都是实数。 解：令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，(x)(N(x)R(x))
6
第二章 谓词逻辑 定义2-1.1 一个原子命题用一个谓词（如P）和n个有次 序的个体常元（如a1，a2，…，an）表示成P(a1，a2，…， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 定义2-1.2 由一个谓词（如P）和n个体变元（如x1， x2，…，xn）组成的P(x1，x2，…，xn)，称为n元原子谓词 或n元命题函数，简称n元谓词。 • n=1，一元谓词——表示性质 • n2，多元谓词——表示事物之间的关系， • 例如：L(x,y)：xy • 0元谓词——不含个体变元的谓词——命题常元或变元； 例如：ab:a取为2,b取为3 命题看成谓词的特殊情况，命题逻辑的联结词均可应用。
离散数学_谓词逻辑
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符 号化为 （x）(P(x)∨N(x)) 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 （x）(I(x)(P(x)∨N(x))).
全称量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
【例】设 P 表示命题：张辉是工人。 Q 表示命题：李明是工人。 仅仅从命题符号 P 和 Q 看不出张辉和李明 都是工人这一特性。 【例】 x=3 ? x+y=z ? f(x)=0 ?
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression) 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 （7） x与y具有关系L。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”、“…与…具有关系L”都是谓词。
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
（2）当个体域为人类集合时： 令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为 （ x）G(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 （x） (M(x) ∧ G(x))
存在量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
第二章 谓词逻辑
第２章 谓词逻辑
【例2.1.1】 将下列语句形式化为谓词逻辑 】 中的命题或命题函数。 中的命题或命题函数。 （1）小王是二年级大学生。 ）小王是二年级大学生。 （2）小王是李老师的学生。 ）小王是李老师的学生。 （3）如果 且y≤x，则x=y。 ）如果x≤y且 ， 。 是大学生； （ ） 解：（1）令F（x）：x是大学生；G（x）：x ） （ ） 是大学生 是二年级的； ：小王。则原句形式化为： 是二年级的；a：小王。则原句形式化为： F（a）∧G（a）。 （ ） （ ）
（ （ ） （ ）） ∀ x（H（x）→F（x））
2-13
第２章 谓词逻辑
（ 2） 引入特性谓词 （ x） ： x是我们班 ） 引入特性谓词W（ ） 是我们班 的人。 （ ） 会吸烟。 的人。 G（x） ：x会吸烟。 会吸烟 "我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解： 我们班有人吸烟"的涵义可以这样理解 ： 我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解 在宇宙间的万物（全总个体域） 在宇宙间的万物（全总个体域）中，有一个子 我们班， 吸烟的人。 集 --我们班 ， 还有另一个子集 吸烟的人 。 强 我们班 还有另一个子集--吸烟的人 调的是既在我们班，又吸烟的的人， 调的是既在我们班，又吸烟的的人，所以是两 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。则原 句可形式化为： 句可形式化为：
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第２章 谓词逻辑
前两句均是命题， 前两句均是命题 ， 第三句因为含有变元 所以是命题函数。 但实际上我们知道， 所以是命题函数 。 但实际上我们知道 ， 只要 限制在数的范围内， 将 x、 y限制在数的范围内 ， 第三句是定理 ， 、 限制在数的范围内 第三句是定理， 是永真的。 这就涉及到了个体域。 是永真的 。 这就涉及到了个体域 。 在简单命 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如" 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如 所有的"、 有一些 等等， 有一些"等等 所有的 、"有一些 等等，用来表示论域中的 全体或部分个体， 在谓词逻辑中， 我们用量 全体或部分个体 ， 在谓词逻辑中 ， 词把它们形式化。 词把它们形式化。
第二章谓词逻辑
(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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第二章 谓词逻辑
练习：将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好 成绩。 解： （1） 令F (x): x是正数。M (x): x大于零。 则符号化为： (x) (F (x) M (x)) 真值为1。
（2） 令E (x): x小于2。S (x): x是素数。 则符号化为： (x) (E (x) ∧S (x)) 真值为0。 （3）令D (x): x是有理数。 F (x): x能表示成分数。 则符号化为： (x) (D (x) F (x)) 或¬(x) (D (x) ∧¬F (x)) 真值为１。 （4）令M (x)：x是人. Q (x): x参加考试。 H (x): x取得好成绩。则符号化为： ¬(x) (M (x)∧ Q (x) H (x)) 或 (x) (M (x)∧ Q (x) ∧¬H (x)) 真值不定。
例3：设x, y, z是整数，将下列命题符号化 （1）对一切x成立x+0=x。 （2）对于任意x, y有z满足x + y =z。 （3）对于任意x和任意y均有x y=y。 （4）有一个x使得x y=y对一切y成立。 解: (1)(x)(x+0=x) (2) (x) (y) (z) (x + y =z) (3) (x) (y) (x y =y) (4) (x) (y) (x y =y)
但这两个命题有共同点，即它们的谓语部 分是相同的，因此我们用符号表示这两个 命题时既要考虑它们的不同又要考虑它们 的相同之处，所以我们可以用P表示它们相 同的谓语部分“是工人”而用a, b 表示张 三；李四，则这两个命题可表示为P(a), P(b)。 谓词逻辑就是对原子命题的成份、结 构和原子命题间的共同特性等作了进一步 分析。引入了个体词、谓词、量词、谓词 公式等概念，在此基础上研究谓词公式间 的等值关系和蕴含关系，并且对命题逻辑 中的推理规则进行扩充和进行谓词演绎。
离散数学第二章谓词逻辑
则xP和xP都是谓词公式
(5)当且仅当能够有限次地应用(1)－(4)所得到的
式子是谓词公式
二、谓词公式的概念
谓词公式是命题公式的扩展，约定最外层圆括号可 以省略，但量词后面若有括号则不省略。
例如 (P(x,y)→(Q(x)→R(y,z)))
P(x,y,z)∧(P(x,y,z)→Q)
y((A(x)∧A(y))→F(x,y,0))
2.2 命题函数与量词
例2.2.6 翻译命题
甲村人与乙村人都同姓。
解 设A(x)：x是甲村人。 B(y)：y是乙村人。 P(x,y)：x与y同姓。 (1)全总个体域 xy((A(x)∧B(y))→P(x,y)) (2)x的论域:甲村人 xy(P(x,y)) y的论域:乙村人
1.令F(x)：x是金属。G(y)：y是液体。H(x,y)：x可以溶解在y 中。则命题“任何金属可以溶解在某种液体中。”可翻译 为（ ）。 A．x(F(x)∧y(G(y)∧H(x,y))) B．xy(F(x)→(G(y)→H(x,y))) C．x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y))) D．x(F(x)→y(G(y)→H(x,y))) 2.令F(x)：x是火车。G(y)：y是汽车。H(x,y)：x比y快。则命 题“某些汽车比所有火车慢。”可翻译为（ ）。 A.y(G(y)→x(F(x) ∧H(x,y))) B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y))) C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y))) D.y(G(y)→x(F(x)→H(x,y)))
由一个谓词常量或谓词变量A，n(n≥0)个个体变量 x1,x2,…,xn组成的表达式A(x1,x2,…,xn) 注意：0元谓词是命题，谓词逻辑是命题逻辑的扩 展。
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第二章谓词逻辑1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？2.么叫做谓词？3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？4.填空题：1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。
∀x(F(x,y)→∃yP(y))∧Q(z)∧∃xA(x)∀x∃y∀z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？∀x(F(x,y)→∃yP(y))∧Q(z)∧∃xA(x)7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。
8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。
客体 j：金某人。
用上面给出的符号将下面命题符号化。
1．所有教练员是运动员。
2．某些运动员是大学生。
3．某些教练是年老的，但是健壮的。
4．金教练既不老，但也不是健壮的。
5．不是所有运动员都是教练。
6．某些大学生运动员是国家选手。
7．没有一个国家选手不是健壮的。
8．所有老的国家选手都是运动员。
9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。
10．有些女同志既是教练又是国家选手。
11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员。
9.将下面命题符号化1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。
2．没有大学生不懂外语。
3．有些液体可以溶解所有固体。
4．每个大学生都爱好一些文体活动。
5．每个自然数都有唯一的后继数。
10.令P表示天气好。
Q表示考试准时进行。
A(x)表示x是考生。
B(x)表示x提前进入考场。
C(x)表示x取得良好成绩。
E(x,y)表示x=y。
利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。
1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。
2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。
4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。
11.将下面命题符号化。
1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。
(S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。
) 2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。
(Z(x):x是自然数； E(x,y):x=y； Q(x,y):y是x的前驱数。
)12.<A,≤>是偏序集，B是A的非空子集。
在括号内分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。
y是B的极小元⇔( )y是B的最小元⇔( )y是B的下界⇔( )13.设论域D={1,2} 又已知a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F求谓词公式∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
(要求有解题的过程)14设论域为{2,3}，Ａ(x,y)表示 x+y=xy。
求谓词公式⌝∀x∃yA(x,y) 的真值。
(要求有解题的过程。
)15.设谓词P(x,y)表示x是y的因子，论域是{1,2,3}。
求谓词公式∀x∃y⌝A(x,y)的真值。
(要求有解题过程)16.令论域D={a,b}，P(a,a)：F， Pa,b)：T， P(b,a)：T， P(b,b)：F。
公式( )的真值为真。
A：∀x∃yP(x,y) B：∃x∀yP(x,y) C：∀x∀yP(x,y) D：⌝∃x∃yP(x,y) 17.令论域D={a,b}，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( )的真值为真。
a:⌝∃x∃yP(x,y) b:∃x∀yP(x,y) c:∀x∀yP(x,y) d: ∀x∃yP(x,y)18.令Lx,y)表示x<y, 当论域为( )时, 公式∀x∃yL(x,y)的真值为假。
a: 自然数集合 b: 整数集合 c: 有理数集合 d:实数集合19.设论域为{1,2,3}，已知谓词公式∃xP(x,3) →(∀y⌝P(3,y) →∃zP(1,z)) 的真值为假，则x=2时，使P(x,3)为真。
此说法是否正确？针对你的答案说明原因。
20.什么叫做对谓词公式赋值？21.什么叫做谓词公式的永真式？22.什么叫做谓词公式A与B等价？23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B？24.设Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，在下面的等价公式中，哪些是不正确？说明不正确的原因。
1. ∀xA(x)∨B⇔∀x(A(x)∨B)2. ∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)3. B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))4. ∀xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)25.证明下面等价公式∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)26.证明下面等价公式∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))27.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∃xA(x)∧∃xB(x) ⇔∃x(A(x)∧B(x))28.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∀x(A(x)∨B(x)) ⇔∀xA(x)∨∀xB(x)29.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∃xA(x)∧∃xB(x) ⇒∃x(A(x)∧B(x))30.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∀x(A(x)∨B(x)) ⇒∀xA(x)∨∀xB(x)31.什么叫做谓词公式的前束范式？32.不是谓词公式∀x(A(x,y)→∃yB(x,y)) 的前束范式的为 ( )a: ∀x∃y(A(x,t)→ B(x,y)) b: ∀x∃t(A(x,y)→ B(x,t))c: ∀x∃y(A(x,y)→ B(x,y)) d: ∀t∃y(A(t,x)→ B(t,y))33.写出谓词公式∀x(P(x)∧R(x))→(⌝∃xP(x)∧Q(x))的前束范式。
34.分别指出推理规则US、ES、的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。
35.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。
并分析发生的错误。
36.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。
并分析发生的错误。
37.分别指出推理规则EG、UG的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。
38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
(要求按照推理的格式书写推理过程。
)∀xC(x), ∃x(A(x)∨B(x)), ∀x(B(x)→⌝C(x)) ⇒∃xA(x)39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
(要求按照推理的格式书写推理过程。
) “不认识错误的人，也不能改正错误。
有些诚实的人改正了错误。
所以有些诚实的人是认识了错误的人。
”设A(x):x是认识错误的人。
B(x):x改正了错误。
C(x):x是诚实的人。
命题符号化为：∀x(⌝A(x)→⌝B(x))，∃x(C(x)∧B(x)), ⇒∃x(C(x)∧A(x))40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）∀x(A(x)→(⌝B(x)∨⌝C(x))), ∀x(A(x)→(⌝C(x)→D(x))), ∃x(A(x)∧⌝D(x)) ⇒∃x(A(x)∧⌝B(x))41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
∃x(A(x)∧(B(x)→⌝C(x))), ∀x(A(x)→(C(x)∨⌝D(x))), ∀x(A(x)→D(x))⇒∃x(A(x)∧⌝ B(x))42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“鸟都会飞。
猴子都不会飞。
所以，猴子都不是鸟。
”43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“一些病人喜欢所有医生。
任何病人都不喜欢庸医。
所以没有医生是庸医。
”44. 给定谓词如下：S(x):x是学生；L(x):x是校领导； G(x):x是好的；T(x):x 是老师；P(x): x受过处分； C(x,y):y表扬x。
用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。
“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。
所以，有的老师是校领导。
”45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行。
”46. 给定谓词 M(x):x是高山俱乐部成员。
H(x):x是滑雪者。
D(x):x是登山者。
L(x,y):x喜欢y。
客体：a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。
用谓词逻辑推理证明方法，解决下面问题。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。
没有一个登山者喜欢雨。
而所有滑雪者都喜欢雪。
凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。
小杨喜欢雨和雪。
试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。
如果有，他是谁？”47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。
）∃x(⌝P(x)→ Q(x)), ∀x(⌝Q(x)∨⌝R(x)), ∀xR(x) ⇒∃xP(x)48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。
）∀x(P(x)→(Q(x)∧R(x))), ⌝∀x(R(x)→Q(x)) ⇒∃x(R(x)∧⌝P(x))49. 用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
(要求：按照教材中推理的格式写出推理过程)∀x(⌝C(x)∨(⌝A(x)∨⌝B(x))), ∀x(A(x)→(⌝C(x)→D(x))), ⌝∀x(⌝A(x)∨D(x)) ⇒∃x(A(x)∧⌝B(x))50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
(要求：按照逻辑推理格式书写推理过程)∀x(∃y(S(x,y) ∧M(y)) →∃z((P(z)∧R(x,z))) ⇒⌝∃zP(z) →∀x∀y (S(x,y) →⌝M(y))51.设：Ｎ(x)表示x是自然数；Ｏ(x)表示x是奇数；Ｅ(x)表示x是偶数；Ｃ(x)表示x能被２整除。
用上面给定的谓词表示下面各个命题，然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。