03-3 梁的横向振动

3.4 梁的弯曲振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
EJ A
r 1, 2,
相应的振型函数为
r C1r sin r x C1r sin x L
C2 C3 C4 0
Yr x C1r sin r x C2 r cos r x C3r sh r x C4 r ch r x
r 1, 2,
代入上述各边界条件，则 用振型函 数Y(x)表
Y x 0,
dY x 0 dx
(x=0 或 x=L)
(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即
示的边界 条件！
Y x 0,
d 2Y x EJ x 0 2 dx
(x=0 或 x=L)
(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即
y x, t y x, t x A x 2 EJ x f x, t 2 2 t x x
2 2 2
该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。 求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。
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d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。
★同样可以得关于空间变量x的微分方程为
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 (0 x L) 2 2 dx dx
★通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。 ★振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。
C2 C4 0
C1 sin L C3sh L 0 C1 sin L C3sh L 0
两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。
两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：
sin L 0
它的根为 由此得特征值为
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上式简化为
2 y Q x A x 2 f x, t t x
忽略截面转动的影响，微段的 转动方程为
M M dx M Q Q dx dx f ( x, t )dx dx 0 x x 2 M 略去dx的二次项，上式简化为 Q x 2 2 y M x A x 2 f x, t 代入运动微分方程得 2
r L r
r r L
r 1,2,
r 1,2 ,
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因 4
2 A
EJ
固有频率为
r r2
EJ r 2 2 2 A L
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★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
2 2 2
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★同前面讨论的波动方程一样， 可得关于时间t的微分方程为
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
上述方程的通解为简谐函数
F t Asin t B cos t C sint
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等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d 2 F t d 2 d 2Y x x A x Y x 2 EJ x F t 0 2 2 dt dx dx
1 d F t 1 d d Y x 2 EJ x 2 F t dt 2 x A x Y x dx 2 d x
t x
在整个区间(0xL)中，都满足上式关系。
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由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式
y x, tຫໍສະໝຸດ Baidu M x, t EJ x x 2
2
2 y 2M x A x 2 f x, t 2 t x ★梁横向振动的偏微分方程
★对位移和转角的限制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。 其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。
用振型函数表示的边界条件
y x, t Y x F t 将方程 边界条件可以用振型函数表示。
(1)固定端：位移和转角等于零，即
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常见的边界条件 (1)固定端：位移和转角等于零，即
y x,t y x, t 0, 0 x
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用位移二元 函数y(x,t) 表示的边界 条件！
(x=0 或 x=L)
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注：常用的双曲函数公式有
shx thx chx 2 2 ch x sh x 1
sh0 0 ch0 1
d shx chx dx d chx shx dx
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
C 2 C 4 0 2 2 C C 0 2 4
C2 C4 0
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将第二组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
d 2Y x EJ x 0, 2 dx
d 2Y x d EJ x 0 (x=0 或 x=L) 2 dx dx
振型方程的简化
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因为 e
x
chx shx e
ix
cos x i sin x
将上述解改写为
Y x C1 sin x C2 cos x C3shx C4chx
这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为 积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常 数 (或四个常数的相对比值 )及导出特征方程，从而确定 梁弯曲振动的固有频率和振型函数Y(x)。
设其解为
Y x e
sx
常系数线性常 微分方程。
代入振型微分方程，得特征方程
s 0
4 4
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四个特征根为
s1,2 ,
s3,4 i
d 4Y x 4 Y x 0 的通解 振型微分方程 4 dx Y x D1e x D2e x D3eix D4eix
★系统的参数：单位体积质量 (x)，横截面积 A(x)，弯
曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于x和 y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。
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假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内 作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯 量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。
(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即
2 y x, t y x, t 0, EJ x 0 2 x
(x=0 或 x=L)
(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即
2 y x,t 2 y x,t EJ x 0, EJ x 0 (x=0 或 x=L) 2 2 x x x
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
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若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程
2 y x, t 2 2 y x,t x A x 2 EJ x 0 2 2 t x x
上 述 方程 的 解对 空 间 和时间是分离的，令
y x, t Y x F t
或者写为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x sin t
式中有C1, C2, C3, C4, 和六个待定常数。因为梁每个 端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振 动初始条件恰好可以决定六个未知数。