03-3 梁的横向振动
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真
研究方法主要包括理论建模、数值模拟和实验验证。 首先，基于弹性理论和运动学原理，建立轴向运动梁 横向非线性振动的数学模型；其次，利用数值模拟方 法求解模型的非线性方程，分析系统的动态特性和演 化过程；最后，通过实验验证模型的准确性和有效性 。同时，本研究还将综合运用理论分析、数值模拟和 实验验证等多种手段，全面揭示轴向运动梁横向非线 性振动的内在机制和规律。
数值模拟与结果分析
数值模拟流程
01
根据建立的模型，利用数值方法进行模拟计算，得到梁的振动
响应。
结果分析
02
对模拟结果进行分析，研究轴向运动梁的振动特性、模态特性
、稳定性等。
结果验证
03
将数值模拟结果与实验结果进行对比，验证模型的准确性和有
效性。
04
轴向运动梁横向非线性振动优 化控制
控制策略与方法
目前，国内外学者对轴向运动梁的横向振动问题进行了广泛研究，取得了一定的研究成果。但是，由于轴向运动梁的横向振 动涉及到多个物理场和复杂的非线性因素，现有的研究方法仍存在一定的局限性，无法全面揭示其内在机制和规律。因此， 开展轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
分岔和混沌
分岔是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生突然改变的现象；混沌则是 指系统对初始条件极为敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
轴向运动梁横向非线性振动模型建立
轴向运动梁模型
轴向运动梁是指在轴向方向上运动的梁，其横向振动受到轴向运动 的影响。
非线性振动模型
建立轴向运动梁横向非线性振动模型需要考虑轴向运动、材料非线 性、几何非线性和外部激励等因素。
线性化模型局限性
由于忽略了非线性效应，线性化模型在描述大振幅振 动时精度较低。
梁的挠曲与振动
梁的挠曲与振动文中关于梁的挠曲与振动的内容，可以按照以下方式进行论述：梁是一种常见的结构元件，主要用于支撑和传递载荷。
在工程应用中，梁的挠曲和振动问题是一个重要的研究方向。
本文将从梁的基本理论开始，介绍梁的挠曲和振动原理，以及相关的方法和应用。
一、梁的基本理论梁的基本理论包括梁的结构模型、梁的受力分析和梁的位移方程。
在这一部分中，我们将详细介绍梁的结构模型，如欧拉梁理论和蒙元梁理论，并推导出梁的受力分析和位移方程的表达式。
二、梁的挠曲理论梁的挠曲是指在受力作用下，梁发生的曲度变形。
这部分将介绍梁的弯曲应力和挠曲变形的计算，包括梁的弯矩-曲率关系、梁的挠度和梁的挠曲曲线等内容。
同时，还可以讨论梁的挠曲问题在工程中的应用，如在梁设计中的影响因素和设计原则。
三、梁的振动理论梁的振动是指梁在受到外力激励后产生的自由振动或强迫振动。
这部分可以介绍梁的振动特性，如梁的共振频率、振型和振动响应等内容。
同时，还可以讨论梁的振动问题在工程中的应用，如梁的减振措施和振动测试方法等。
四、梁的挠曲与振动的分析方法在梁的挠曲与振动分析中，有多种数值分析方法可以应用，如有限元方法和模态分析等。
本部分可以介绍这些分析方法的基本原理和步骤，并以实例说明其在梁的挠曲与振动分析中的应用。
五、梁的挠曲与振动的应用梁的挠曲与振动问题在工程中具有广泛的应用背景。
这部分可以以实例的形式介绍梁的挠曲与振动问题在不同领域的应用，如桥梁结构、航空航天和机械工程等，以及相应的安全性评估和优化设计等内容。
六、总结通过对梁的挠曲与振动的论述，我们可以得出结论，总结研究的结果和成果，并思考未来在这一领域的发展方向。
同时，还可以指出该领域的研究挑战和存在的问题，为进一步的研究提供借鉴和启示。
以上所述为梁的挠曲与振动文章的一个可能的论述框架，具体内容需要根据实际情况进行发挥和拓展，以充分满足文章的字数要求和信息表达的完整性。
梁的双向横振动
考虑到边界上变分，
对于 位移边界条件 等于
又对于 力边界条件 是任意的，0同时由于 域内
是任意的
得到梁双向振动微分方程
由于Jyz的存在，导致方程是耦合的
只有各个截面的 主惯性轴 相互平行，选取两个主惯性平面 为xoy 和xoz面，使各截面的Jyz=0，方程解耦。的轴线]和[简化到轴线的外载荷] 在同一个平面, 载荷和梁的主惯性轴一个平面
不在一个平面？？分解到两个主方向上—---------两个平面内
如图所示，以变形前的轴线作为x轴，建立空间坐标系xyz 弹性线上各点的位移将有沿 y ，z 上的两个分量
V=v(x,t) W=w(x,t)
梁上任意一点a的位移，在三个方向上的 分量上分别为
得到a点的轴向应力及应变为 动能和势能的表达式为
Z轴的惯性矩 Y轴惯性矩
关于yz轴的惯 性积
考虑作用在梁上的分布载荷Fy(x，t)和Fz(x，t),以及作用于两 端的弯矩和剪力Qy0, Qz0, My0, 等，得到主动力的虚功为：
将动能 势能 虚功带入变分式
03-3 梁的横向振动
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x sin t
式中有C1, C2, C3, C4, 和六个待定常数。因为梁每个 端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振 动初始条件恰好可以决定六个未知数。
C2 C4 0
C1 sin L C3sh L 0 C1 sin L C3sh L 0
两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。
两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：
sin L 0
它的根为 由此得特征值为
y x, t y x, t x A x 2 EJ x f x, t 2 2 t x x
2 2 2
该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。 求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
3.4 梁的弯曲振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
振动力学(梁的横向振动)
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的 横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建 立更为精确的数学模型，以描述 更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态 下的非线性动力学行为，揭示更 为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动 ，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优 化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运 行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全 性和疲劳寿命等都有重要影响，因此 对梁的横向振动的研究具有重要的理 论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振 动的深入研究可以为新型结构的设计 和优化提供理论支持，促进工程技术 的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法， 并加强实验验证，以提高理论模 型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法， 结合智能材料和传感器， 开发更为高效和智能的振 动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主 动控制方法，以实现对梁 振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制 的优势，开发混合控制策 略，以提高控制效果和降 低能耗。
梁的横振动振动基础复习
梁的横振动方程的解
采用分离变量法最终得到梁横振动的一般解
其中
4 2 S
EI
t , x A cosh x B sinh x C cos x D sin x co t
A、B、C、D由边界条件确定
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
边界条件对梁振型的影响
(1) 两端固定的梁
位移为零 x0,xl 0
位移曲线斜率为零
频率方程
x
0
x 0 , x l
cosh l cos l 1
质点振动系统的衰减振动
• 衰减振动方程：
2 d d 2 2 0 0 2 dt dt
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
质点振动系统的衰减振动
包络曲线 振动衰减曲线 t
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
fn
l
2 l
n 2
2
EI S
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
• •
（4）悬臂梁
x0 0
2 x 2
x l
边界条件
x
0
x0
3 0 x 3
0
x l
频率方程 cosh l cos l 1
梁的横向受迫振动
连续系统振动
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连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
目录
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dU U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
梁的横向强迫振动
（6.158）
y( x, t ) w( x) sin t
1 w ( x) w( x) p ( x) EJ
IV 4
（6.159）
4 2 其中 a ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解
可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 1
（6.160）
0 j i 0 i j
l
l
（6.130）
将式（6.130）代入（6.129），得
l 2 l 0 i j i 0
EJY "Y " dx AY Y dx
i j
（6.131）
式（6.128）乘以 l
0
EJY "Y " dx AY Y dx
2 j i j 0 j i
Yi ( x) 并沿梁长对x积分，同样可得到
P(t )Y j (1 ) M (t )Y j ' ( 2 )
上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 筛选性质（见（ 1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 t t
( x)
导数的
1 y( x, t ) Y j ( x)Y j (1 ) P( ) sin j (t )d Y j ' ( 2 ) M ( ) sin j (t )d 0 0 j 1 j
2
（6.126）
式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有
l 2 0 j i i
(EJYi ")" i AYi 2 (EJYj ")" j AYj
l 0 i j
（6.127）
轴向运动功能梯度梁横向振动问题的
第２０卷第６期２０２２年１２月动力学与控制学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＶｏｌ．２０Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２２文章编号：１６７２ ６５５３ ２０２２ ２０（６） １０１ ０５ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２ ６５５３ ２０２２ ０４７ ２０２２ ０８ ２０收到第１稿，２０２２ ０９ ２８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１２１７２２８１，１１９７２２８４），基础加强１７３计划基金项目（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），陕西省科技创新团队资助（２０２２ＴＤ ６１）和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者Ｅ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛１ 周洋忻２ 胡伟鹏２（１．榆林市城市投资经营集团有限公司，榆林 ７１９０００）（２．西安理工大学土木建筑工程学院，西安 ７１００４８）摘要 轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战．本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上，基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，构造了横向振动模型的保结构数值格式，并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件．分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率，发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好，在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源，以指导微分求积法的改进，并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径．关键词 保结构， 轴向运动功能梯度梁， 对称破缺， 广义多辛， 横向振动中图分类号：Ｏ３０２文献标志码：Ａ引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化，使材料的热应力大为缓和，而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛［１ ３］．智慧建造［４］这一全新概念的提出，使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求，因此，功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择．作为智慧建造中的基本力学构件，功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要．特别是在装配式智慧建造过程中，功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著．Ｓａｎｋａｒ［５］基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论，得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解．Ｒｅｄｄｙ［６］基于ｖｏｎＫａｒｍａｎ几何非线性理论，建立了功能梯度梁的非线性Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．丁虎［７］、王忠民等［８］轴向运动功能梯度梁振动模型，并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性，为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础．刘金建等［９］基于Ｅｕｌｅｒ梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题．Ｂａｌｉｒｅｄｄｙ和Ｐｉｔｃｈａｉｍａｎｉ［１０］分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性．从本质上讲，功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺［１１］因素．对于含有对称破缺因素的动力学系统，本课题组基于多辛分析方法，建立了广义多辛分析方法［１２］这一保结构理论框架，并解决了一系列复杂动力学问题［１３ １６］．因此，本文将基于保结构思想，分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性，为功能梯度梁的横向振动控制提供参考．１ 轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献［８，９］，简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程．考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁（图１），梁长度为Ｌ，横截面宽度为ｂ、高为ｈ，轴向运动速度为定常速度，大小为η．为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度，假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷密度均为ｚ坐标的函数，即Ｅ（ｚ）和ρ（ｚ）．图１ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．１ Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ以含两种组分（如金属材料和陶瓷材料）的功能梯度材料为例，其有效材料参数可表述为：Ｅ（ｚ）＝（Ｅｃ－Ｅｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋Ｅｍ ＝Ｅｍ［（βＥ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］ρ（ｚ）＝（ρｃ－ρｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋ρｍ ＝ρｍ［（βρ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］（１）其中Ｅｃ，Ｅｍ，ρｃ，ρｍ分别为两种材料组分的物理参数，βＥ＝Ｅｃ／Ｅｍ，βρ＝ρｃ／ρｍ，ｋ为梯度指标．需要说明的是，从式（１）即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合．基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁基本假设，依据文献［８］，功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移ｕ（ｘ，ｔ）和横向位移ｗ（ｘ，ｔ）表述：ｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｔｕｚ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｔ）（２）功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为：εｘ＝ ｘｕ－ｚ ｘｘｗσｘ＝Ｅ（ｚ）εｘ＝Ｅ（ｚ）（ ｘｕ－ｚ ｘｘｗ）（３）由其描述的梁的应变能可表述为：Ｕ＝１２∫Ｌ０∫ＡσｘεｘｄＡｄｘ ＝１２∫Ｌ０［Ｄ１（ ｘｕ）２－２Ｄ２ ｘｕ ｘｘｗ＋ Ｄ３（ ｘｘｗ）２］ｄｘ（４）其中，Ａ为梁的横截面面积，并且：（Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３）＝∫ＡＥ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为：ｖｘ＝ ｔｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ） ＝ ｔｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｔｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｖｚ＝ ｔｗ（ｘ，ｔ）＋η ｘｗ（ｘ，ｔ）（５）由此描述的梁的动能可表述为：Ｋ＝１２∫Ｌ０∫Ａρ（ｚ）（ｖ２ｘ＋ｖ２ｚ）ｄＡｄｘ＝ １２∫Ｌ０｛Ｉ１［（ ｔｕ）２＋η２＋２η ｔｕ＋（ ｔｗ）２＋ η２（ ｘｗ）２＋２η ｔｗ ｘｗ］－２Ｉ２η ｔｘｗ－ ２Ｉ２ ｔｕ ｔｘｗ＋Ｉ３（ ｔｘｗ）２｝ｄｘ（６）其中（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝∫Ａρ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ由哈密顿原理，忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项，并消去轴向位移项，得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程：（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１） ｘｘｘｘｗ－（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１） ｔｔｘｘｗ＋ Ｉ１（ ｔｔｗ＋η２ｘｘｗ＋２η ｔｘｗ）＝０ｗｉｔｈｗ（０，ｔ）＝０ｗ（Ｌ，ｔ）＝０ｘｘｗ（０，ｔ）＝０ ｘｘｗ（Ｌ，ｔ）＝{０（７）２ 振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量： ｔｗ＝ ｘψ＝Ｄ１φ－Ｄ１Ｉ１χＤ２Ｉ２－Ｄ１Ｉ３， ｘｗ＝φ， ｘχ＝φ，并定义状态向量：ｚ＝（ｗ，φ，χ，ψ，φ）Ｔ，轴向运动功能梯度梁横向振动方程（不含边界条件）可以写成如下近似一阶对称形式：Ｍ ｔｚ＋Ｋ ｘｚ＝ ｚＳ（ｚ）＋τ（ｚ）（８）其中，Ｍ，Ｋ∈Ｒ５×５为反对称矩阵：Ｍ＝００００１０００００００００００００００－１００００，Ｋ＝ ０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０００００１０拟哈密顿函数为：Ｓ（ｚ）＝－１２［Ｉ１η２ｗ２＋（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１）φ２－２０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 Ｉ１χ２＋（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１）ψ２］余项为：τ（ｚ）＝［－２Ｉ１ηψ，０，φ，０，０］Ｔ．与标准的多辛形式不同，近似对称形式含有如下对称破缺因素［１１］：①系数矩阵Ｍ，Ｋ及哈密顿函数Ｓ（ｚ）显含空间变量；②哈密顿函数梯度存在余项τ（ｚ）；③系数矩阵Ｍ非严格地反对称，因此将其分解Ｋ＝Ｋ＋Ｋ⌒０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１／２Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０－１／２－１／２００１／２０＋００００１／２００００００００００００００１／２１／２００１／２０ ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献［１１］显式给出，第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献［１７］进行．为避免与已有工作重复，在此不给出详细表达式和具体处理步骤，只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差，以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能．在梁长度方位内（０≤ｘ≤Ｌ）采用空间步长进行均匀划分单元，并对系统采用时间步长进行Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ离散，得到保结构差分格式：Ｍδ＋ｔｚｊｉ＋１／２＋Ｋδ＋ｘｚｊ＋１／２ｉ＝ ｚＳ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）＋τ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）（９）其中：ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２＝１４（ｚｊｉ＋ｚｊｉ＋１＋ｚｊ＋１ｉ＋ｚｊ＋１ｉ＋１），δ＋ｘ，δ＋ｔ均为一阶前向差分．限于篇幅，格式的展开形式和消参后的形式不再给出，同时，离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出．需要强调的是，多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据，后续在数值结果中会详细讨论．３ 数值算例为了将结果与文献［８，９］的部分结果进行对比，材料参数取值如下：Ｅｃ＝３９０ＧＰａ，Ｅｍ＝２１０ＧＰａ，ρｃ＝３９６０ｋｇ／ｍ３，ρｍ＝７８００ｋｇ／ｍ３．为保证数值格式的保结构性能，依照广义多辛理论［１２］，需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内，离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差，即Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ），其中ｏ（Δｔ，Δｘ）为格式的数值截断误差．为了计算方便，忽略高阶项并取Δｔ／Δｘ＝０．５后，可以将数值截断误差上限估计值近似取为：ｏ（Δｔ，Δｘ）≤［ｏ］＝７Δｔ２（１０）在考虑梯度指标取值较大的情形下，确定容许的最大时间步长．取ｋ＝１０５，将时间步长取值从Δｔ＝０．００１ｓ逐渐增大，当式（１０）刚好严格满足时，得到最大允许时间步长为Δｔ＝０．０６４ｓ，此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图２所示．因此，在后续模拟过程中，取时间步长为Δｔ＝０．０５ｓ，空间步长为Δｘ＝０．１ｍ，就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能．分别取ｋ＝０．００１，１００两种梯度指标，分别采用微分求积法（ＤＱＭ）［８］、复模态法（ＣＭＭ）［９］和保结构方法（ＳＰＭ）模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程，得到梁的前六阶频率值如表１所示．从表１中不难发现，采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好．随着频率阶次升高，复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果．考察微分求积法的求解过程，可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面：①在进行微分求积运算之前，将偏微分方程化为常微分方程过程中，只考虑了方程解的一阶频率分３０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷量而忽略了高阶频率分量；②微分求积法采用非均匀网格离散，无法判断每一时间步内不等式（Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ））的满足情况，不具有评价其保结构性能的条件．复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题，故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好．上述结果表明，复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度．图２ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．２ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｒｅｓｉｄｕａｌｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ表１ 前六阶频率结果对比（Ｈｚ）Ｔａｂｌｅ１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ（Ｈｚ）ｋＭｏｄｅＮｏ．ＤＱＭＣＭＭＳＰＭ１ｓｔ１８．０３８５１８．０３８５１８．０３８５２ｎｄ７２．５８０１７２．５３３９７２．５３３９０．００１３ｒｄ１６１．１９７５１６０．００１８１６０．００１８４ｔｈ２８９．８８０６２８６．２１４７２８６．２１４２５ｔｈ４５８．９３８０４５２．７３１１４５２．７０９６６ｔｈ６６６．２０３９６５９．９０１８６５９．３０８９１ｓｔ９．７８４９９．７８４９９．７８４８２ｎｄ３２．９０９１３２．２２８６３２．２２５９１００３ｒｄ８０．３６１０７８．４３９２７８．４２９８４ｔｈ１４８．１３１５１４４．３６１８１４３．８１００５ｔｈ２３７．２０２７２３１．２１５６２３０．９０３５６ｔｈ３４６．７７３８３３８．８０３３３３８．３２７１４ 结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型，发展了保结构分析方法，并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况．研究结果表明：本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能，得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好，同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因，为微分求积法的进一步改进指明了方向，也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径．参 考 文 献１ＲｅｄｄｙＪＮ，ＣｈｉｎＣＤ．Ｔｈｅｒｍｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｐｌａｔｅｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｒ ｍａｌＳｔｒｅｓｓｅｓ，１９９８，２１（６）：５９３～６２６２ＮａｅｂｅＭ，ＳｈｉｒｖａｎｉｍｏｇｈａｄｄａｍＫ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉａｌｓ：ａｒｅｖｉｅｗｏｆｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１６，５：２２３～２４５３ＢａｒｔｌｅｔｔＮＷ，ＴｏｌｌｅｙＭＴ，ＯｖｅｒｖｅｌｄｅＪＴＢ，ｅｔａｌ．Ａ３Ｄ ｐｒｉｎｔｅｄ，ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｓｏｆｔｒｏｂｏｔｐｏｗｅｒｅｄｂｙｃｏｍ ｂｕｓｔｉｏｎ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，３４９（６２４４）：１６１～１６５４ＴｕａｎＡＮ，ＡｉｅｌｌｏＭ．Ｅｎｅｒｇｙｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｂｕｉｌｄｉｎｇｓｂａｓｅｄｏｎｕｓｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ：ａｓｕｒｖｅｙ．ＥｎｅｒｇｙａｎｄＢｕｉｌｄｉｎｇｓ，２０１３，５６：２４４～２５７５ＳａｎｋａｒＢＶ．Ａｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１（５）：６８９～６９６６ＲｅｄｄｙＪＮ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｔｈｅｏ ｒｉｅｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎ ｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２０１１，５９（１１）：２３８２～２３９９７ＤｉｎｇＨ，ＣｈｅｎＬＱ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅ ｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１０，３２９（１７）：３４８４～３４９４８姚晓莎，王忠民，赵凤群．轴向运动功能梯度梁的横向振动．机械工程学报，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ＹａｏＸＳ，ＷａｎｇＺＭ，ＺｈａｏＦＱ．Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｍａｄｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉ ａｌｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））９刘金建，蔡改改，谢锋，等．轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析．动力学与控制学报，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ＬｉｕＪＪ，ＣａｉＧＧ，ＸｉｅＦ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ｉｎＣｈｉ ｎｅｓｅ））１０ＢａｌｉｒｅｄｄｙＳＮ，ＰｉｔｃｈａｉｍａｎｉＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒｏｆｂｉ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓｕｂｊｅｃ ｔｅｄｔｏｖａｒｉａｂｌｅａｘｉａｌｌｏａｄ．ＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙＣｏｍｍｕｎｉｃａ ｔｉｏｎｓ，２０２２，３２：１０４０４３１１ＨｕＷ，ＷａｎｇＺ，ＺｈａｏＹ，ｅｔａｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，２０２０，１０３：１０６２０７４０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析１２ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＨａｎＳＭ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅＰＤＥｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２３５：３９４～４０６１３宋明哲，邓子辰，赵云平，等．含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析．动力学与控制学报，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ＳｏｎｇＭＺ，ＤｅｎｇＺＣ，ＺｈａｏＹＰ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｅｒｓｅｖｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｗｅａｋｄａｍｐｉｎｇ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））１４ＨｕＷ，ＨｕａｉＹ，ＸｕＭ，ｅｔａｌ．Ｍｅｃｈａｎｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｍｏｄｅｌｏｆｌｏｎｉｃ ｔｙｐｅｓｏｌｖｅｎｔ ｆｒｅｅｎａｎｏｆｌｕｉｄｓ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５９：１０７８３３１５ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＳｏｎｇＪ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｆｌｅｘｉｂｌｅｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇｈｕｂ ｂｅａｍｓｙｓｔｅｍ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５１：１０７３８９１６ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＺｈａｎｇＦ，ｅｔａｌ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｎｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｗｉｔｈｓｔｅｐ ｖａｒｉａｂｌｅｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｍｅｃｈａｎｉ ｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２２，１８０：１０９４２３１７ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＷａｎｇＢ，ｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｉｎａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１３，７２（１ ２）：３８９～３９８ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ ＰＲＥＳＥＲＶＩＮＧＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥＶＩＢＲＡＴＩＯＮＯＦＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＬＹＧＲＡＤＥＤＢＥＡＭＷＩＴＨＡＮＡＸＩＡＬＶＥＬＯＣＩＴＹＬｉｕＴａｏ１ ＺｈｏｕＹａｎｇｘｉｎ２ ＨｕＷｅｉｐｅｎｇ２（１．ＹｕｌｉｎＣｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｙｕｌｉｎ ７１９０００，Ｃｈｉｎａ）（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌ’ｓｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｇｒｅａｔｃｈａｌｌｅｎｇｅｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄｉｎｂｒｉｅｆｆｉｒｓｔｌｙ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｒｉｔｉ ｃａｌｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ ｓｕｌｔｓ，ｉｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｈｉｇｈｌｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｉｎｔｈｅｅｒｒｏｒａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｏｓｉｎｇａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｌｉｋｅｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ， ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇ， ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ， ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎＲｅｃｅｉｖｅｄ２０Ａｕｇｕｓｔ２０２２，ｒｅｖｉｓｅｄ２８Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２０２２．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（１２１７２２８１，１１９７２２８４），ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇＰｒｏｇｒａｍｍｅＴｅｃｈｎｉｃａｌＡｒｅａＦｕｎｄ（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），ｔｈｅＦｕｎｄｏｆｔｈｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉ（２０２２ＴＤ ６１）ａｎｄＦｕｎｄｏｆｔｈｅＹｏｕｔｈＩｎｎｏ ｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ５０１Copyright ©博看网. 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梁的弯曲振动 振动力学课件
sin l shl cos l chl
频率方程 cos lchl 1 0
可利用数值方法和图解法
i 1, 2,3 1l 1.875，2l 4.694，3l 7.855，
i3
il
2i 1
2
i 3, 4,
各阶固有频率为
i il 2
EI
l l 4
i 1, 2,
对应的各阶模态函数为
x)
"
dx
l 0
j
(
x)d
EIi"
(
"
x)
j
(x)
EI
(x)i'' (x)
'
l 0
l 0
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l 0
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l 0
j
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j
(x)EIi(x)
l 0
l
0 EIi(x)j(x)dx
l 0
j
(
x)
EI
(
x)i
(
x)
dx
l
j
(
A C
DB CC12
0
AB 0
CD
解出频率方程：
cos lchl 1 k1 cos lshl sin lchl
EI
k2 0
cos lchl 1 k2 cos lshl sin lchl
EI 3
k1 0
导出悬臂梁频率方程：
coslchl 1 0
k1 0, k2 0
受轴向力下三支点梁振动计算
三支点梁的振动响应计算设两段梁的阵型函数分别为：Y 1(x 1)=A 1sinβx 1+B 1cosβx 1+C 1shβx 1+D 1chβx 1Y 2(x 2)=A 2sinβx 2+B 2cosβx 2+C 2shβx 2+D 2chβx 2式中， β4=ω2ρA EJ端点条件为：x 1=0,Y 1=0,∂2Y 1∂x 12 x 2=0,Y 2=0,∂2Y 2∂x 22连续条件为：x 1=L 1, x 2=L 2, Y 1=Y 2=0 ∂Y 1∂x 1=− ∂Y 2∂x 2, ∂2Y 1∂x12= ∂2Y 2∂x 22将连续条件代入阵型函数表达式中，得：A 1sinβL 1+C 1shβL 1=0 A 2sinβL 2+C 2shβL 2=0A 1cosβL 1+C 1chβL 1=− A 2cosβL 2−C 2chβL 2 −A 1sinβL 1+C 1shβL 1=−A 2sinβL 2+C 2shβL 2为使上面的齐次方程组有非零解，其系数矩阵的行列式必须等于零，即： |sinβL 1shβL 10000sinβL 2shβL 2cosβL 1chβL 1−sinβL 1shβL 1cosβL 2chβL 2sinβL 2−shβL 2|=0展开后整理得: cotβL 1+cotβL 2=cthβL 1+cthβL 2 即可解出 βr =⋯ (r =1,2,……)所以： Y 1r (x 1)=A 1r sinβr x 1+C 1r shβr x 1 Y 2r (x 2)=A 2r sinβr x 2+C 2r shβr x 2又根据 A 1sinβL 1+C 1shβL 11r =(A 1C 1)r =−shβL1sinβL 1所以振型函数为： Y 1r (x 1)=shβr x 1+ε1r sinβr x 1Y 2r (x 2)=shβr x 2+ε2r sinβr x 2 (其中令C 1=C 2=1)梁对激励f(x,t)的响应设 梁为均匀梁，ρ,A,E,J 为常数，方程为：ρA ∂2y ∂t 2+EJ ∂4y∂x 4=f(x,t) ○1 设 y (x,t )=∑Y r (x )q r (t)∞r=1 ○2 将○2式代入○1式中，两边同乘以Y s (x )，在整个区间内（0<x<L ）积分，并考虑振型函数的正交性，则将原方程解耦为：q r (t )+ωr 2q r (t )=Q r (t ) (r =1,2,…)式中 Q r (t )=∫f (x,t )Y r (x )dx L0 (r =1,2,…)据杜哈梅积分公式，得：q r (t )=1ωr∫Q r (τ)t0sinωr (t −τ)dτ+q r0cosωr t +q r0ωrsinωr t将上式代入○2式中，梁的响应为： y (x,t )=∑Y r (x)[1ωr∫Q r(τ)t0sinωr (t −τ)dτ+q r0cosωr t +q r0ωrsinωr t]∞r=1其中， Y r (x )=shβr x +εr sinβr x Q r (t )=∫f (x,t )Y r (x )dx L0 q r0=∫ρAf(x)L 0Y r (x )dx q r0=∫ρAg(x)L 0Y r (x )dx 式中，f(x)是初始坐标，g(x)是初始速度AUG 23 2011Matlab 画出的数值解振形： Ansys 仿真振形：AUG 23 2011AUG 23 2011AUG 23 2011AUG 23 2011在轴向力作用下三支点梁的横向振动响应（代力法）将中间的支撑去掉, 代之以约束反力r(t), 这样连续梁变为简支梁。
梁的横向振动
弹性载荷：
2u u M EI kt 2 x x
3u V EI 3 ku x 惯性载荷：
2u M EI 2 0 x
u u V EI 3 m 2 x x
3 2
在考虑梁的剪切变形和转动惯量时，微元dx 的受力分析系如下：
u （1） x
梁的横向振动
主讲人 ：王高爽 小组成员：王高爽、王宇谦 冯丹、徐笑寒 指导老师：李伟
1、梁横向振动的微分方程的建立 2、变量分离求解微分方程 3、边界讨论 4、运动方程的推到
如下图所示，梁在xy平面内横向振动，假设变形 u的函数u=u(x,t),则在任意的t时刻，梁的振动 状态如图所示，取微元dx作为研究对象。
Thanks.
两边求全微分： u u dx dt Y (t ) X ' ( x)dx Y ' (t ) X ( x)dt x t
u Y (t ) X ' ( x) x
u Y ' (t ) X ( x) t
u u ， x t
仍是关于x,t的函数，仍然采用全微分得：
1 d 2Y a2 d 4 X 2 Y dt X dx4
按受力情况，微元沿着y方向运动方程，有牛顿定理：
由
2u v Fy O m 2 dx V (V dx) t x
由简单梁理论，忽略转动惯量的影响，各个力在 对dx右侧取矩： M M O M dx M Vdx 0 R x
即
M V x
由材料力学：
（1）
令（1）=P2得： d 2Y 2 p Y 0 2 dt
d4X p 4 4 X 0, 4 dx a
Y (t ) A sin pt B cos pt
【正式版】简支梁横向振动的求解PPT
根化据解两 上端式支得座边界特条件征，可得解：：出 可简化为无质量的梁上带有若干个集中质 量的横向振动 敬请老师与同学们批评指正！
All Right Reserved 滑动铰：挠度和截面弯矩为零
0 0
1
0
0
0 1 0
2
m
i
0
0
1
场传递矩阵
1 0
S
F i
0
1
0
0
0 0
li2 2 E iIi
li EiIi 1
0
6
li3 EiIi
li2
2EiIi
li
1
All Right Reserved
传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
将
x
y
M
Fs
T
代入到点与场矩阵中
可解出
相当于用多远函数去拟合
滑动铰：挠度和截面弯矩为零
又因为
m l 3 2
可得固有频率
EI
All Right Reserved
为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
SS n FS n P 1...S iPS iF...S 2 PS 2 FS 1 PS 1 F
1 0 0 0 S中就有n-1个 相乘，所得的方
因为
S ip
0
0
10 01
0
0
程是n-1次方的，其所求得的解 就越精确了。
振动力学(梁的横向振动)课件
解：左端的边界条件为挠度和转角为0 Φ (0)0,Φ (0)0
振动力学(梁的横向振动)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
QdMEIqd3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
振动力学(梁的横向振动)
Φ(l) 0
dM d3Φ
Q EIq
qkΦ(l)
dx
dx3
xl
2u
x2
A2u
t2
对于均匀梁，振动方程为
a2
4u x4
2u t2
0
其中
EI a
A 振动力学(梁的横向振动)
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t)Φ (x)q(t)
代入方程得到
a2x22q(t)d2d Φ x(2x)Φ(x)dd 2qt2 (t)
写为
a2
2 x2
d2Φ(x)
dx2
dd2qt2(t)
2 x2
EI
x2u2A2tu2 f
振动力学(梁的横向振动)
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例) 。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(x,t)
u(0,t)0,
0
x x0
振动力学(梁的横向振动)
振动力学
------弹性体的振动
振动力学(梁的横向振动)
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料 力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
振动力学(梁的横向振动)
桥梁振动在各个梁上面横向分布情况研究
桥梁振动在各个梁上面横向分布情况研究随着国民经济的发展，对交通的需求日益提高，众多的高速公路及城市快速干道相继修建。
公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高，车流密度也相应提高。
同时简支板梁桥[1]又是小跨径桥梁最常用的桥型之一。
板梁桥的主要缺点是跨径不宜过大。
跨径超过一定限制时，截面显著增大，从而导致自重过大，不经济。
此外，装配式板桥是通过铰缝传递横向荷载的，整体性差，因而在通过特殊重载车辆时无超载挖潜能力。
特别是在车辆动载作用下，桥面板的铰缝混凝土可能完全开裂或脱落，造成梁板之间的横向联系破坏，而且车辆在桥上行驶都会产生冲击影响，而冲击影响一般都是用冲击系数简化的方法，即将车辆荷载的动力作用影响用车辆的静力乘以冲击系数来表示。
但是冲击系数受很多的因素影响，而且车辆荷载对中小型桥梁产生的振动效应对桥梁的影响也是不可忽略的，因此，移动车辆荷载引起的简支板梁桥动力效应越来越被工程技术界所关注。
一、车桥振动的研究现状及发展动态车辆以一定的速度通过桥梁，桥梁受到车辆荷载的激励会产生振动，反过来桥梁的振动对于车辆来说也是一种反激励，因此车辆和桥梁的振动是一个相互影响，相互耦合的过程，我们称之为车桥耦合振动问题[2]。
关于车辆通过桥梁时的振动研究己有一百多年的历史，起源于铁路桥梁。
早在1825年[3]，世界上建成第一座铁路桥梁以来，科技工作者就开始了对车载和桥梁相互作用研究探索的漫长过程。
1844年，法国和英国桥梁科研工作者对著名Britannia桥做了模型试验。
1849年，R.willisZl月提交了第一份关于桥梁振动研究的报告，探讨了Chester铁路桥梁倒塌的原因。
在随后的一个世纪中，人们对车桥共振问题作了大量的理论和实验研究，对弄清车桥共振机理，揭示激励的原因和车桥共振的特点都有了较为深入的了解，并且.具有一定的实践价值。
我们一般称其为车桥振动的古典理论。
实际上，由于实际桥梁和车辆藕合振动系统本身的复杂性，并且车型和桥型又种类繁多，以及引起振动的各种激振源的随机性，古典理论显然不能全面合理的模拟车桥耦合振动问题。
梁的横向强迫振动
3 l x l x ix l Ayst 3 dx 4 C i sin l l 2 l
Pl 3 其中 y st 48EJ 为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率
及主振型为
将主振型代入（6.140）的归一化条件，得
EJ i 2 2 i a i Al 4 l ix Yi ( x) C i sin l
2
2
i 1,2,... i 1,2,...
j (0) Af1 ( x)Y j ( x)dx
（6.150） (0) Af ( x)Y ( x)dx j 2 j
0 0 l
l
i ( 0)
l
l 2 0
3 x ix x Ayst 3 4 C i sin dx l l l
卷积性质得到非齐次特解为
这样，方程（6.160）的通解为
1 w( x) 2EJ 3
x
0
p( )sh ( x ) sin ( x )d
w( x) C1cos x C 2 sin x C 3chx C 4shx x 1 p( )sh ( x ) sin ( x )d （6.161） 2 EJ 3 0 上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出 w( x) 的代入（6.159），
l
q j (t ) p( x, t )Y j ( x) m( x, t )Y j ' ( x) dx
q j (t ) P(t ) ( x 1 )Y j ( x) M (t ) ( x 2 )Y j ' ( x) dx （6.155）
轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真
02
轴向运动梁横向非线性振动建模
梁的基本参数和运动方程
梁的几何参数
长度、宽度、高度、截面尺 寸等。
梁的材料属性
弹性模量、泊松比、密度等 。
梁的运动方程
基于牛顿第二定律和欧拉-伯 努利方程推导出的动力学方 程。
横向非线性振动的模型建立
非线性弹簧阻尼模型
考虑非线性弹簧阻尼项，如库仑阻尼、粘性阻尼等。
外部激励
考虑周期性或随机外部激励。
初始条件
设定初始位置、速度和加速度等。
模型求解方法和稳定性分析
数值求解方法
如有限元法、多体动力学法、四阶龙格-库塔法等 。
解析求解方法
针对特定问题，寻求精确解或近似解。
稳定性分析
通过线性化、Floyd图或特征值分析等方法，判断 系统稳定性。
03
轴向运动梁横向非线性振动分析
02
轴向运动梁的横向振动是影响其性能和稳定性的关键因素之一
。
非线性振动问题在工程中具有普遍性，因此研究轴向运动梁的
03
横向非线性振动具有重要的实际意义和应用价值。
研究现状和发展
01
国内外学者针对轴向运动梁的横向振动问题进行了广
泛的研究，提出了多种建模和分析方法。
02
主要研究内容包括：线性振动模型、非线性振动模型
控制算法改进
针对特定应用场景，开发新的控制算法，以满足更严格的振动控制要求。
控制效果的评估和验证
控制效果评估
通过理论分析和仿真实验等方式，对控制器的实际效果进行评估。
控制效果验证
通过实际测试和实验数据，对控制器的性能进行验证，确保其在实际应用中的可靠性。
06
结论与展望
研究成果总结
梁横向弯曲振动的振型正交性及振型叠加法
梁横向弯曲振动的振型正交性),(]),()([),(222222t x p x t x u x EI x t t x u m =∂∂∂∂+∂∂齐次方程为：0]),()([),(222222=∂∂∂∂+∂∂x t x u x EI x t t x u m ]),()([),(222222x t x u x EI x t t x u m ∂∂∂∂-=∂∂根据分离变量法，设：)()(),(t q x t x u φ=，可得：0)()(2=+t q t qω )(])()([22222x m dxx d x EI dx d φωφ= 上式即为分析频率和振型的特征方程。
设对于第i 、j 两阶频率，有：)(])()([22222x m dx x d x EI dx d i i i φωφ= )(])()([22222x m dx x d x EI dx d j j j φωφ= 上面第一式两边乘以)(x j φ，并沿杆长积分得：)()(])()([)(22222x x m dx x d x EI dx d x j i i i j φφωφφ=⎰⎰⎰==l j i i l j i i li j dx x x m dx x x m dx dx x d x EI dx d x 020202222)()()()(])()([)(φφωφφωφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=-=-==l j i li j li j l j i li j li j i l j l i j l j i li j l j i li j l i j li j dx dx x d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d x EI d dx x d dx x d x EI dx d x xd dx x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x dx x d x EI dx d d x dx dx x d x EI dx d x 0222202222022022022220022022*********02202222)()()(])()([)(])()([)()()()(])()([)(])()([)(])()([)(])()([)()(])()([])()([)()(])()([])()([)(]))()([()(])()([)(φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 对于基本边界条件，有：0])()([)(022=li j dx x d x EI dx d x φφ0])()([)(022=li j dx x d x EI dx x d φφ 则有：⎰⎰⎰==lj i i l j i li j dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 同理有：⎰⎰⎰==lj i j l j i lj i dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 两式相减得到：0)()()(022=-⎰lj i j i dx x x m φφωω当22j i ωω≠时，有：0)()(0=⎰ljidx x x m φφ令：iliiM dx x x m =⎰0)()(φφ为振型i 对应的广义质量。
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d 2 F t d 2 d 2Y x x A x Y x 2 EJ x F t 0 2 2 dt dx dx
1 d F t 1 d d Y x 2 EJ x 2 F t dt 2 x A x Y x dx 2 d x
★系统的参数：单位体积质量 (x)，横截面积 A(x)，弯
曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于x和 y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。
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假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内 作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯 量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。
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★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y x EJ x 0, 2 dx
d 2Y x d EJ x 0 (x=0 或 x=L) 2 dx dx
振型方程的简化
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代入上述各边界条件，则 用振型函 数Y(x)表
Y x 0,
dY x 0 dx
(x=0 或 x=L)
(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即
示的边界 条件！
Y x 0,
d 2Y x EJ x 0 2 dx
(x=0 或 x=L)
(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
3.4 梁的弯曲振动
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★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
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注：常用的双曲函数公式有
shx thx chx 2 2 ch x sh x 1
sh0 0 ch0 1
d shx chx dx d chx shx dx
y x, t y x, t x A x 2 EJ x f x, t 2 2 t x x
2 2 2
该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。 求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。
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式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。
★同样可以得关于空间变量x的微分方程为
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 (0 x L) 2 2 dx dx
★通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。 ★振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。
C2 C4 0
C1 sin L C3sh L 0 C1 sin L C3sh L 0
两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。
两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：
sin L 0
它的根为 由此得特征值为
t x
在整个区间(0xL)中，都满足上式关系。
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由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式
y x, t M x, t EJ x x 2
2
2 y 2M x A x 2 f x, t 2 t x ★梁横向振动的偏微分方程
若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程
2 y x, t 2 2 y x,t x A x 2 EJ x 0 2 2 t x x
上 述 方程 的 解对 空 间 和时间是分离的，令
y x, t Y x F t
设其解为
Y x e
sx
常系数线性常 微分方程。
代入振型微分方程，得特征方程
s 0
4 4
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四个特征根为
s1,2 ,
s3,4 i
d 4Y x 4 Y x 0 的通解 振型微分方程 4 dx Y x D1e x D2e x D3eix D4eix
2 2 2
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★同前面讨论的波动方程一样， 可得关于时间t的微分方程为
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
上述方程的通解为简谐函数
F t Asin t B cos t C sint
常见的边界条件 (1)固定端：位移和转角等于零，即
y x,t y x, t 0, 0 anical Engineering, Yanshan University
用位移二元 函数y(x,t) 表示的边界 条件！
(x=0 或 x=L)
(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即
2 y x, t y x, t 0, EJ x 0 2 x
(x=0 或 x=L)
(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即
2 y x,t 2 y x,t EJ x 0, EJ x 0 (x=0 或 x=L) 2 2 x x x
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
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等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
EJ A
r 1, 2,
相应的振型函数为
r C1r sin r x C1r sin x L
C2 C3 C4 0
Yr x C1r sin r x C2 r cos r x C3r sh r x C4 r ch r x
r 1, 2,
r L r
r r L
r 1,2,
r 1,2 ,
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因 4
2 A
EJ
固有频率为
r r2
EJ r 2 2 2 A L
★对位移和转角的限制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。 其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。
用振型函数表示的边界条件
y x, t Y x F t 将方程 边界条件可以用振型函数表示。
(1)固定端：位移和转角等于零，即
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或者写为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x sin t
式中有C1, C2, C3, C4, 和六个待定常数。因为梁每个 端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振 动初始条件恰好可以决定六个未知数。
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上式简化为
2 y Q x A x 2 f x, t t x